u a 0, (1.1) dengan ummnya digunakan a 12 = a 21 dan bahwa lebih sering dituliskan sebagai (Vesely, 2001) sehingga

I

Persamaan difensial parsial | Pendahuluan, solusi numerik dengan menggunakan beda hingga, aplikasi pada potensial listrik, aplikasi pada difusi.

20200408 | url https://doi.org/10.5281/zenodo.3744577

1 Tuliskanlah bentuk umum dari persamaan diferensial parsial kuasilinier orde kedua. Lalu apa yang dimaksud dengan kuasilinier?

Salah satu cara menuliskan bentuk umum dari suatu persamaan diferensial parsial (PDB) kuasilinier orde kedua adalah

0 ) , , , ,

2 (

2 22 2

21 2

2 12 2

11 







 



 





 





 





y u x u u y x y f

a u y x a u x y a u x

a u , (1.1)

dengan ummnya digunakan a₁₂ = a₂₁ dan bahwa ²u/xy²u/yx sehingga lebih sering dituliskan sebagai (Vesely, 2001)

0 ) , , , , (

2 2

2 22 2

2 12 2

11 







 



 





 





y u x u u y x y f

a u x y a u x

a u . (1.2)

Kuasilinier berarti bahwa suku turunan kedua dari fungsi yang diturunkan, yang dalam hal ini adalah u, muncul dalam hanya bentuk pangkat linier.

2 Tunjukkan bahwa ²u/xy²u/yx untuk sembarang fungsi u = u(x, y), misalnya saja u(x, y) = ax² + by² + cxy + sin xy.

Turunan parsial u terhadap x akan memberikan xy y cy x ax

u 2   cos



 , (2.1)

dan turunan parsiap Persamaan (2.1) terhadap y adalah xy xy

yx x c

y u x

u

y sin cos

2





 



 



 











 . (2.2)

Dengan cara yang sama dapat diperoleh

xy x cx y by

u 2   cos



 , (2.3)

dan

xy xy

yx y c

x u y

u

x sin cos

2





 



 



 











 . (2.4)

Dari Persamaan (2.2) dan (2.4) dapat ditunjukkan bahwa

y x

u x

y u





 





^{2 2}

. (2.5)

3 Dalam tipologi resmi PDP terdapat tiga jenis persamaan yaitu hiperbolik, parabolik, dan eliptik. Dalam parameter a₁₁, a₁₂, dan a₂₂ kategorikan ketiga jenis persamaan tersebut dan tuliskan pula contoh-contoh penerapannya dalam berberapa sistem fisis.

Tabel 3.1 Beberapa contoh PDP dan penerapannya dalam sistem fisis.

Parameter Jenis Nama Persamaan Persaman

2 0

12 22

11a  a 

a Hiperbolik Gelombang

Gelombang teredam

 

x t t f

u x

c u ,

2 2 2 2

2 









 

x t t f

a u t

u x

c u ₂ ,

2 2 2

2 



 









2 0

12 22

11a  a 

a Parabolik Difusi

Schrödinger

 

x t t f

u x

D u ,

2 2

 







 

0

2 ²

2 2



 

 



 U x u

t i u x

u

m h

h

2 0

12 22

11a  a 

a eliptik Potensial

Schrödinger kasus stasioner

 

^{x y}

y u x

u ₂ ,

2 2

2 









 

⁰

2

2 2 2 2 2



 





 mU x u

y u x

u

h

Atau ntuk jenis hiperbolik a12 = 0, a11a22 < 0, untuk parabolik a12 = 0, a11a22 = 0, dan untuk eliptik a12 = 0, a11a22 > 0. Untuk persamaan Schrödinger kasus stasioner ruas kanannya dapat pula tidak sama dengan nol akan tetapi εu.

4 Fungsi gelombang dalam bentuk y

 

x,t  Asin



kxt₀



merupakan solusi dari persamaan gelombang dalam Tabel 3.1. Bagaimanakah menerapkan y(x, t)

dalam rumusan sebelumnya? Apa hubungannya dengan u? Kemudian tunjukkan bahwa fungsi gelombang y(x, t) merupakan solusi dari persamaan gelombang. Agar hal tersebut terpenuhi hubungan apa yang diperlukan dari parameter pada persamaannya?

Fungsi u dalam Tabel 3.1 adalah bentuk umum sehingga dapat pula menjadi y(x,t).

Selanjutnya dengan u

 

x,t Asin



kxt₀



dapat diperoleh u

x k

u ₂

2 2



 

 (4.1)

dan

t u

u ₂

2

2 



 . (4.2)

Substitusi keduanya ke persamaan gelombang

 

x t t f

u x

c u ,

2 2 2 2

2 







 , (4.3)

akan memberikan

 

x t f u u c

k^{2 2}  ²  ,

  , (4.4)

yang akan terpenuhi bila

 

x,t 0

f (4.5)

dan

kc

 . (4.6)

5 Untuk sistem elektrostatik dalam vakum persamaan Poisson memiliki bentuk

0 2



  

 , (5.1)

yang dapat menjadi persamaan Laplace

2 0

  , (5.2)

bila ρ = 0. Hukum Gauss dalam bentuk diferensial dalam vakum dengan adanya sumber muatan ρ memiliki bentuk

0

 



 Er r

(5.3)

dan hubungan antara medan listrik E r

dengan potensial listrik ϕ







 r r

E . (5.4)

Turunkan Persamaan (5.1) dari persamaan-persamaan yang diberikan. Dan untuk kasus dua-dimensi, hasil yang diperoleh akan sama dengan jenis PDP apa?

Jelaskan dengan singkat.

Substitusi Persamaan (5.4) ke (5.3) akan memberikan

   

0 2



 



   







r r r r

, (5.5)

yang tak lain adalah Persamaan (5.1). Untuk kasus dua dimensi Persamaan (5.5) dapat dituliskan menjadi

 

 

^{, ,}

2 2 2 2

2 2 2 2

2 0 2 2 2

2 2 2 2 0

0 2

y y x

u x

u y u x

y x

y x



















 



 





 



 



 







 



 



 



 







 



 



 



 







 



 







, (5.6)

dengan ρ(x, y) merupkan rapat muatan bergantung pada posisi (x, y).

6 Terdapat dua aturan dalam penyelesaian PDP yaitu permasalahan syarat awal dan permasalahan syarat batas. Apa perbedaan keduanya dan apa kaitannya dengan jenis PDP dalam Tabel 3.1?

Permasalahan syarat awal dideskripsikan dalam PDP berjenis hiperbolik dan parabolik yang menggambarkan sistem yang bergantung waktu, seperti menjelaskan fenomena transpor. Dalam permasalahan berjenis ini saat t = 0 nilai dari u dan  / telah diketahui melalui daerah spasial yang diuji. u t

Permasalahan syarat batas menggambarkan sistem yang stasioner, dideskripsikan dalam PDP berjenis eliptik, Syarat yang dibutuhkan dapat berupa sepanjang garis batas C(x, y) = c₀ atau permukaan S(x, y, z) = s₀.

7 Teorema divergensi atau teorema Gauss mengaitkan antara fluks suatu medan vektor F

r

yang menembus permukaan tertutup



A

A d

r

dengan divergensi medan tersebut F

r r

 dalam volume yang terlingkupi



V

dV dalam bentuk

  



^{  }

V A

dV F A

d F

r r r r

, (7.1)

dengan dA = dxdy dan dV = dxdydz atau elemen luas dan volume lainnya.

Tunjukkan bahwa Peramaan (7.1) ini dapat membuat hukum Gauss

0 in

 A q d E

A





^r ^{r , (7.2)}

menjadi berbentuk Persamaan (5.3) dan apa rumusan yang diperlukan?

Persamaan (7.2) dengan menggunakan teorema Gauss dapat dituliskan menjadi

 

0 in

 dV q E

V







^{r r . (7.3)}

Sementara rapat muatan per satuan volume ρ terkait dengan muatan yang terlingkupi adalah





V

dV

q_in  . (7.4)

Substitusi Persamaan (7.4) ke (7.3) akan memberikan

  _



^{ }

V V

dV dV

E

0

 r

r

, (7.5)

yang tak lain menyatakan Persamaan (5.3) karena kedua sisi merupakan integral dV yang sama.

Catatan 7 Ingatlah bahwa terdapat rapat muatan per satuan volume ρ, rapat muatan per satuan luas σ, dan rapat muatan per satuan panjang λ.Atau yang secara umum dapat dinyatakan dengan ρ = dq / dV, σ = dq / dA, λ = dq / dl.

8 Terdapat suatu kuantitas terukur yang dideskripsikan dengan "kerapatan" u

 

rr,t . Untuk memudahkan, tetapi tanpa batasan untuk yang lebih umum, u dapat diasum- sikan merupakan skalar. Jumlah total kuantitas ini dalam suatu volume V yang diberikan adalah

 

^

  

V

V t u r t dV

M r,

. (8.1)

Suatu "fluks" besaran tersebut yang melewati suatu permukaan S pada volume V dinyatakan dengan J. Lebih lanjut dapat didefinisikan "rapat fluks" atau "rapat arus" rj

 

rr,t

yang berkontribusi secara lokal pada fluks total melalui

  

^





S

S d t r j J

r r r

, . (8.2)

Kedua persamaan terakhir dikaitkan dengan persamaan kontinuitas dt J

dM_V

 . (8.3)

Dengan menggunakan teorema Gauss dapatkan hubungan antara kerapatan u dengan rapat arusrj

. Dan disebut apa PDP ini?

Teorema Gauss akan membuat Persamaan (8.2) menjadi

  

^





V

dV j J

r r

. (8.4)

Substitusi Persamaan (8.1) dan (8.4) ke (8.3) akan menghasilkan

   

 













 



 



 







 

 









V

V V

V V

dV t j

u

dV j t dV

u

dV j dV

t r dt u

d

. ,

r r r r

r r r

(8.5)

Dikarenakan volume V berukuran sembarang sehinggga tidak harus nol maka dipenuhi

t j

u r r







 

 , (8.6)

yang dinyatkatakan sebagai PDP konservatif umum.

9 Bagaimanakah kebergantungan rapat fluks j r

terhadap posisi rr

dan waktu t?

Bagaimana terhadap kerapatan u?

Dalam hampir semua kasus fisika yang relevan rapat fluks j r

tidak akan bergan- tung secara eksplisit pada posisi rr

dan waktu t, melainkan hanya implisit melalui

 

r t u r,

atau turunan spasialnya ru

 

rr,t

 . Dengan demikian rapat fluks jr

dapat berbentuk

 

u j j r

r (9.1)

atau

 

^u

j j  r r r

. (9.2)

10 Apa yang dimaksud dengan persamaan konservatif-hiperbolik dan konservatif- parabolik terkait dengan rapat fluks jr

? Terkait dengan rapat fluks j

r

, suatu PDP konservatif-hiperbolik memiliki bentuk

 

u t j

u r r







 

 (10.1)

dan konservatif-parabolik

 

^u

t j

u  



 r r r

. (10.2)

11 PDP konservatif-hiperbolik pada Persamaan (10.1) untuk satu dimensi dapat pula dituliskan dalam bentuk

x

t 



 

u j

, (11.1)

yang dapat diperoleh dari suatu persamaan gelombang

2 2 2 2 2

x c u t

u



 



 . (11.2)

Tentukanlah bentuk matriks kolom u dan j .

Dengan melihat Persamaan (11.2) dapat dituliskan bahwa

 

x t u

u , . (11.3)

Perkenalkan dua variabel baru yaitu

t r u



  (11.4)

dan

x c u

s 

  , (11.5)

yang bila disubstitusikan ke Persamaan (11.2) akan membuatnya menjadi

 

x cs t

r x c s t r



 







 



 . (11.6)

Kemudian menurut Persamaan (2.5)

 

. 1

x cr t

s x c r t s t s c x r x

u t t u

x 









 







 







 











 



 











 (11.7)

Persamaan (11.6) dan (11.7) dapat dituliskan dalam bentuk



 











 





 







 



 







 



 









cs cr x s

r t cr cs x s r

t , (11.8)

yang dapat diubah menjadi

x

t 



 

u j

, (11.9)

dengan



 



 s

u r (11.10)

dan



 







  cr

j cs . (11.11)

Jadi Persamaan (11.9) telah menunjukkan bentuk konservatif-hiperbolik dalam Persamaan (10.1), yang dalam hal ini u tidaklah skalar melainkan vektor u.

12 Persamaan diferensial konservatif-hiperbolik pada Persamaan (11.9) yang umum, telah dapat dituliskan dalam bentuk persamaan advektif

x

t 





 

 u

u C

. (12.1)

Tentukanlah matriks bujursangkar C.

Dengan menggunakan Persamaan (11.9) – (11.11) dapat diperoleh



 











 





 









cr cs s x

r

t , (12.1)

yang perlu diubah menjadi



 







 











 



 









s r c

c x

s r

t 0

0 , (12.2)

dan karena c adalah konstan, dapat lebih lanjut diperoleh



 







 



 







 



 









s r x c

c s

r

t 0

0 , (12.3)

sehingga dapat dituliskan kembali menjadi

x

t 





 

 u

u C

, dengan



 







 

0 0

c

C c . (12,4)

Ingatlah bahwa persamaan diferensial konservatif-hiperbolik dapat dituliskan dalam bentuk umumnya seperti pada Persamaan (11.1) atau bentuk persamaan advektif seperti pada Persamaan (12.1).

13 Apa yang dimaksud dengan persaman difusif? Jelaskan dengan mengaitkannya dengan bentuk umum dari PDP konservatif-parabolik.

14 Tuliskan persamaan difusif bila koefisien transpornya tidak bergantung koordinat spasial.

15 Tuliskan bentuk umum dari persamaan diferensial eliptik, e.g. persamaan Poisson dan Laplace.

16 Carilah literatur yang menjelaskan mengapa digunakan istilah persamaan diferensial hiperbolik, parabolic dan eliptik. Jelaskan dengan fungsi-fungsi yang bernama sama.