ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI DATA BILANGAN BULAT

(1)

ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI

DATA BILANGAN BULAT

TESIS

Oleh

YUNITA DWI SARI 157021026/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

(2)

ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI

DATA BILANGAN BULAT

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

YUNITA DWI SARI 157021026/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

(3)

Judul Tesis : ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI DATA BILANGAN BULAT Nama Mahasiswa : YUNITA DWI SARI

Nomor Pokok : 157021026

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Syahril Efendi, M.IT) (Prof. Dr. Muhammad Zarlis)

Ketua Anggota

Dekan

(Dr. Kerista Sebayang, MS)

Tanggal lulus : 23 Mei 2017

(4)

Telah diuji pada

Tanggal : 23 Mei 2017

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Syahril Efendi, M.IT

Anggota : 1. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 2. Dr. Esther Nababan, M.Sc 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si

(5)

PERNYATAAN

ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI

DATA BILANGAN BULAT

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.

Medan, Penulis,

Yunita Dwi Sari

(6)

ABSTRAK

Ukuran skala produktif merupakan suatu ukuran yang menyatakan bagaimana baiknya sumber daya diatur dan dimanfaatkan untuk mencapai hasil yang optimal. Ukuran skala produktif dapat digunakan sebagai tolak ukur keberhasilan suatu industri atau perusahaan dalam menghasilkan barang atau jasa. Dalam mengestimasi ukuran skala produktif setiap DMU perlu memperhatikan tingkat efisiensi input−output, dengan metode Data Envelopment Analysis (DEA), DMU dapat mengidentifikasi unit yang digunakan sebagai referensi yang dapat membantu untuk mencari penyebab dan jalan keluar dari ketidakefisienan yang dapat mengoptimalkan produktivitas, yang merupakan keuntungan utama dalam ap- likasi manajerial. Oleh karena itu, Data Envelopment Analysis (DEA) dipilih untuk mengestimasi ukuran skala produktif yang akan berfokus pada input nilai data bilangan bulat dengan model CCR dan model BCC. Tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi terbaik untuk estimasi ukuran skala produktif dalam input nilai data bilangan bulat dengan metode Data Envelopment Analysis (DEA).

Kata kunci : Ukuran skala produktif, Data envelopment analysis (DEA), Bilangan bulat

(7)

ABSTRACT

The most productive scale size (MPSS) is a measurement that states how resources should be organized and utilized to achieve optimal results. The most productive scale size (MPSS) can be used as a benchmark for the success of an industry or company in producing goods or services. To estimate the most productive scale size (MPSS), each decision making unit (DMU) should pay attention the level of input- output efficiency, by data envelopment analysis (DEA) method decision making unit (DMU) can identify units used as references that can help to find the cause and solution from inefficiencies can optimize productivity that main advantage in managerial applications. Therefore, data envelopment analysis (DEA) is chosen to estimating most productive scale size (MPSS) that will focus on the input of integer value data with the CCR model and the BCC model. The purpose of this research is to find the best solution for estimating most productive scale size (MPSS) with input of integer value data in data envelopment analysis (DEA) method.

Keywords : M ost productive scale size, Data envelopment analysis, Integer value

(8)

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”ESTIMASI UKURAN SKALA PRODUKTIF DALAM DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN NILAI DATA BILA- NGAN BULAT”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada:

Prof. Dr. Runtung Sitepu, SH, MHum selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Program Studi Magister Matema- tika FMIPA USU.

Dr. Sawaluddin, M.IT selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.

Dr. Syahril Efendi, MIT selaku Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

Dr. Esther Nababan, M.Sc selaku Penguji pertama yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

(9)

Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Penguji Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

Seluruh Staf Pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa perkuliahan.

Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih yang mendalam kepada ayahanda Alm. Jumari Ismail, ibunda Rukiah, dan kakak saya Yuliana Pu- tri, AMd.Keb serta segenap keluarga yang senantiasa memberi dukungan dan doa kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini. Tak lupa rekan-rekan Mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2015, atas kerjasama dan hubungan yang baik selama perkuliahan.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

Terimakasih.

Medan, Penulis,

Yunita Dwi Sari

(10)

RIWAYAT HIDUP

Yunita Dwi Sari adalah anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Jumari Ismail dan Rukiah. Lahir di Tanjung Pura pada tanggal 16 Juli 1993.

Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 050726 pada Tahun 2005. Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Tanjung Pura pada tahun 2008. Dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Tanjung Pura pada tahun 2011.

Tahun 2011, penulis memasuki Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara pada Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika dan lulus pada tahun 2015. Semenjak tamat penulis bekerja sebagai Guru Matematika di SMP Sri Langkat hingga sekarang.

Pada tahun 2015 penulis mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara. Selama kurun waktu 2 tahun belajar di Pascasar- jana Universitas Sumatera Utara, Penulis banyak mendapatkan pengalaman belajar yang sangat berharga. Berkat doa dan dukungan keluarga, akhirnya penulis dapat menyelesaikan pendidikan S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara di tahun 2017, dan memperoleh gelar Magister Sains Matematika (M.Si).

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

DAFTAR LAMPIRAN xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Manfaat Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Bilangan Bulat 5

2.2 Ukuran Skala Produktif 5

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 8

3.1 Prosedur Penelitian 8

3.2 Data Envelopment Analysis (DEA) 8

3.2.1 Constant return to scale (CRS) 9

3.2.2 Variable return to scale (VRS) 9

(12)

3.2.3 Return to scale (RTS) 11

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 12

4.1 Proses Evaluasi Efisiensi Input-Output Untuk Ukuran Skala

Produktif 12

4.2 Contoh Persoalan 13

4.2.1 Penyelesaian dengan model CCR 13

4.2.2 Penyelesaian dengan model BCC 19

4.2.3 Penyelesaian dengan RTS 23

BAB 5 KESIMPULAN 26

DAFTAR PUSTAKA 27

(13)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Data untuk contoh ilustrasi 13

4.2 Hasil evaluasi efisiensi Input-Output 23

4.3 Hasil scaling DMU 24

4.4 DMU dengan input bilangan bulat 25

(14)

DAFTAR GAMBAR

2.1 Ukuran skala produktif 6

(15)

DAFTAR LAMPIRAN

1. Output LINDO untuk DMU 1 (CCR) 28

11. Output LINDO untuk DMU 1 (BCC) 33

(16)

21. Output LINDO untuk DMU 1 (scaling) 38

24. Output LINDO untuk DMU 1 (integer) 39

(17)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Ukuran skala produktif merupakan suatu ukuran yang menyatakan bagaimana baiknya sumber daya diatur dan dimanfaatkan untuk mencapai hasil yang optimal. Ukuran skala produktif dapat digunakan sebagai tolak ukur keberhasilan suatu industri atau perusahaan dalam menghasilkan barang atau jasa. Setiap Decision Making Unit (DMU) saat ini dituntut untuk dapat meningkatkan pro- duktivitas dan efisiensi yang tinggi dikarenakan semakin tingginya biaya yang dibutuhkan atau dikeluarkan untuk menjalankan roda perusahaan.

Khodabakhshi (2009) menyatakan dalam menentukan fungsi maksimum sebuah solusi dimana nilai fungsi objektifnya adalah nol, dan lebih ditekankan bah- wa nilai input θ₀^∗ harus bernilai bilangan bulat positif, sehingga hal ini jelas bahwa nilai optimal dari fungsi objektif adalah variabel non-negatif yang selalu memiliki φ^∗₀ ≥ θ^∗₀.

Berdasarkan pernyataan Khodabakhshi bahwa untuk memaksimumkan se- buah solusi dari fungsi objektifnya, maka lebih ditekankan pada nilai input yang bernilai bilangan bulat positif untuk mendapatkan nilai yang optimal, sehingga untuk memperkirakan ukuran skala produktif dapat lebih efisien.

Untuk mengestimasi ukuran skala produktif banyak alternatif strategi dan metode perbaikan yang dapat dikembangkan, tergantung pada aspek-aspek output atau input yang digunakan sebagai agregat dasar, ada beberapa perusahaan yang hanya memiliki nilai data input berupa bilangan bulat, misalnya perusahaan yang memiliki sistem pendistribusian barang atau jasa langsung kepada pelanggan akhir dan tidak melakukan proses pengolahan produk, melainkan hanya memiliki hak untuk melaksanakan bisnis dengan menggunakan merek, nama, sistem maupun prosedur yang telah ditetapkan sebelumnya dalam jangka waktu dan

(18)

2

area tertentu, sehingga agregat dasar dalam mengestimasi ukuran skala produk- tifnya hanya menggunakan nilai data input bilangan bulat.

Ahn (2012) Data Envelopment Analysis (DEA) adalah metode untuk meng- evaluasi kinerja yang memungkinkan analisis secara simultan terhadap indikator kinerjanya. Penilaian kinerja diperlukan untuk mengidentifikasi suatu metode pengukuran kinerja produktivitas untuk dapat menentukan ukuran skala produktif yang efisien dari setiap Decision Making Unit (DMU).

Ramanathan (2003) Data Envelopment Analysis (DEA) dengan model CCR mencerminkan (perkalian) efisiensi teknis dan efisiensi skala, sedangkan model BCC mencerminkan efisiensi teknis saja, sehingga efisiensi skala relatif adalah rasio dari efisiensi model CCR dan model BCC. Jika hasil rasionya adalah satu maka Decision Making Unit (DMU) tersebut beroperasi pada ukuran skala produktif terbaik. Jika hasil rasio kurang dari satu berarti masih ada inefisiensi skala pada Decision Making Unit (DMU) tersebut.

Decision Making Unit (DMU) yang efisien dengan model CCR berarti efisien- si teknis dan skalanya sudah optimal. Sedangkan Decision Making Unit (DMU) yang efisien dengan model BCC tapi tidak efisien dengan model CCR itu artinya Decision Making Unit (DMU) tersebut mengalami inefisiensi terhadap skalanya, hal ini dikarenakan Decision Making Unit (DMU) hanya efisien secara teknisnya saja, sehingga infisiensi yang ada adalah berasal dari skalanya.

Cooper et al., (2011) menyatakan bahwa Data Envelopment Analysis (DEA) efisiensi relatif Decision Making Unit (DMU) dapat didefinisikan sebagai rasio dari total output tertimbang dibagi dengan total input tertimbangnya.

Pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa metode Data Envelopment Analysis (DEA) menentukan bobot (weights) untuk setiap input dan output dari setiap Decision Making Unit (DMU), dimana bobot tersebut memiliki sifat yang tidak bernilai negatif dan bersifat universal, yang artinya setiap Decision Mak- ing Unit (DMU) dalam sampel yang ada harus dapat menggunakan seperangkat bobot yang sama untuk mengevaluasi rasionya (total weighted output/total weight-

(19)

3

ed input ) dan rasio tersebut tidak boleh lebih dari satu (total weighted output/total weighted input = 1), karena apabila nilai dualnya lebih atau kurang dari satu maka Decision Making Unit (DMU) bersangkutan dianggap tidak efisien secara relatif atau mengalami inefisiensi, sebaliknya apabila nilai dualnya sama dengan satu, atau nilai efisiensinya adalah 100 %, maka Decision Making Unit (DMU) dianggap efisien.

Berdasarkan penilaian kinerjanya, metode (DEA) dapat mengidentifikasi unit yang digunakan sebagai referensi yang dapat membantu untuk mencari penyebab dan jalan keluar dari ketidakefisienan yang dapat mengoptimalkan produktivitas, yang merupakan keuntungan utama dalam aplikasi manajerial. Oleh karena itu, salah satu metode yang memungkinkan untuk mengestimasi ukuran skala produktif yang efisien pada suatu Decision Making Unit (DMU) adalah meto- de Data Envelopment Analysis (DEA), dikarenakan metode Data Envelopment Analysis (DEA) dapat mengevaluasi kinerja dari Decision Making Unit (DMU) dan menganalisis hasil evaluasi yang efisiensi relatif dari setiap Decision Making Unit (DMU) yang sebanding. Selain menghasilkan nilai efisiensi masing-masing Decision Making Unit (DMU), Data Envelopment Analysis (DEA) juga mampu menunjukkan unit-unit yang menjadi referensi bagi unit-unit yang tidak efisien.

Sehingga pada penelitian ini, metode Data Envelopment Analysis (DEA) dipilih untuk mengestimasi ukuran skala produktif yang akan berfokus pada input ni- lai data bilangan bulat yang diharapkan dapat menemukan solusi terbaik dalam mengestimasi ukuran skala produktif yang efisien.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas yang menjadi perumusan ma- salah dalam penelitian ini adalah dengan input berupa nilai data bilangan bulat apakah dapat memberikan solusi terbaik dalam mengestimasi ukuran skala pro- duktif dengan metode Data Envelopment Analysis (DEA).

(20)

4

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi terbaik untuk estimasi uku- ran skala produktif dengan input nilai data bilangan bulat dalam metode Data Envelopment Analysis (DEA).

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai motivasi penelitian lebih lan- jut dalam menemukan solusi terbaik untuk mengestimasi ukuran skala produktif pada berbagai pengambil keputusan dengan adanya Data Envelopment Analysis (DEA).

(21)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, . . .) dan negatifnya (−1, −2, −3, . . .) dan -0 sama dengan 0 sehingga tidak lagi dima- sukkan secara terpisah. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z yang berasal dari kata Zahlen yaitu bahasa Jerman yang berarti bila- ngan. Himpunan Z juga tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian, artinya jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat.

Khezrimotlagh et al., (2012) DEA adalah teknik nonparametrik dalam ope- rasi penelitian yang diusulkan untuk mengukur efisiensi dan produktivitas pada setiap DMU dengan beberapa input dan output yang hanya dapat ditentukan dengan nilai bilangan bulat seperti jumlah karyawan, buku, nomer majalah dan jumlah penumpang.

Setiap DMU memiliki nilai data input maupun output untuk mengevaluasi tingkat efisiensi pada ukuran skala produktif yang bisa saja berbentuk bilangan real ataupun bilangan bulat, karena penelitian ini berfokus pada nilai data input bilangan bulat, maka contoh persoalaan nilai data input yang digunakan adalah data dari karyawan pada penelitian Moghaddas dan Vaez-Ghasemi (2014).

2.2 Ukuran Skala Produktif

KBBI (2008) menyatakan ukuran adalah hasil mengukur, skala adalah lajur yang dipakai untuk menentukan tingkatan atau banyaknya sesuatu, dan produktif adalah mampu menghasilkan terus dan dipakai secara teratur untuk membentuk unsur-unsur baru (memberi hasil, manfaat, dan sebagainya) yang dapat memberi keuntungan, sehingga dapat disimpulkan bahwa ukuran skala pdofuktif adalah

(22)

6

ukuran untuk menentukan tingkatan atau banyaknya sesuatu mampu memberi hasil, manfaat, serta keuntungan yang optimal.

Moghaddas dan Vaez-Ghasemi (2014) Untuk menemukan sebuah titik yang mrupakan Most Productive Scale Size (MPSS) maka analisis akan dibatasi men- cari titik temu antara perbatasan CCR dan kombinasi dari titik hasil setelah melakukan scaling terhadap DMU yang tidak efisien atau mengalami penaikan atau penerunan pada skalanya menggunakan persamaan model usulan berikut:

(θ^∗X0− S^−∗

Pn

j=1λ^∗_j ,Y0− S^−∗

Pn

j=1λ^∗_j ) = ( ˜X0, ˜Y0) (2.1) Cooper et al., (2011) Gambar 2.1 di bawah ini menunjukkan batas-batas efisiensi BCC yang diwakili dengan garis yang solid dan batas-batas efisiensi CCR diwakili oleh garis putus-putus dari titik nol yang mengevaluasi teknis dan pengembalian untuk skala kinerja DMU secara bersamaan. Hal tersebut menggambarkan dengan A = (1, 1) sebagai titik koordinat awal pada gambar di bawah menggunakan persamaan (2.1) untuk mendapatkan MPSS.

Gambar 2.1 Ukuran skala produktif

Unit B menimbang dari (2.1) untuk menyesuaikan ke unit A, yang akan menjadi titik koordinat unit B dan C. Mengambil ke dalam perhitungan unit B dan C sebagai koresponding yang sesuai dengan titik MPSS untuk unit A,

dan menyelesaikan dengan model usulan dimana nilai s⁻ = 0 dan s⁺ = 0 yang menghasilkan titik dengan koordinat (3/2, 2) dan (3, 4) dimana titik tersebut merupakan ukuran skala produktif yang paling efisien, sedangkan unit E setelah

(23)

7

dilakukan evaluasi terhadap tingkat efisiensinya ternyata unit E memiliki potensi untuk menjadi ukuran skala produktif dengan melakukan scaling. Unit E adalah hasil dari scaling pertama yang menghasilkan titik koordinat (7/2, 9/2), sete- lah diperiksa ternyata unit E belum mencapai ukuran skala produktif, sehingga unit E perlu melakukan scaling kedua yang menghasilkan unit E dengan titik koordinat (27/8, 9/2).

(24)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Prosedur Penelitian

Metode penelitian ini bersifat literatur dan kajian pustaka, sedangkan prosedur yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Mengidentifikasi Data Envelopment Analysis (DEA) terhadap ukuran skala produktif;

2. Menggunakan metode Data Envelopment Analysis (DEA) untuk mengesti- masi ukuran skala produktif dalam nilai data bilangan bulat;

3. Memperlihatkan hasil estimasi ukuran skala produktif dalam nilai data bi- langan bulat dengan metode Data Envelopment Analysis (DEA).

3.2 Data Envelopment Analysis (DEA)

Analisis data dalam penelitian ini menggunakan metode Data Envelopment Analysis (DEA). DEA memiliki dua model yang akan digunakan dalam penelitian ini, yaitu Constant Return to Scale (CRS) yang disebut dengan juga model CCR dan Variable Return to Scale (VRS) yang disebut juga dengan model BCC.

Eslami et al., (2012) Menyatakan Data Envelopment Analysis (DEA) adalah suatu metode non-parametrik yang membandingkan entitas yang sama, misalnya virtual terbaik dari Decision Making Unit (DMU). Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan metode yang dirancang secara khusus untuk mengukur efisiensi relatif suatu decision making unit (DMU) yang menggunakan banyak input dan juga output.

Dalam Khoveyni et al., (2013) Fare dan Grosskopf menyatakan bahwasannya tersedia model alternatif untuk memperkirakan ukuran skala produktif berdasarkan solusi optimal dari CCR dan BCC yaitu:

(25)

9

3.2.1 Constant return to scale (CRS)

Jahanshahloo dan Khodabakhshi (2003) Model ini menunjukkan perubahan jumlah output yang proporsional dengan perubahan jumlah semua input yang digunakan. Contoh jika modal atau input di tambah sebesar x kali maka output juga naik sebesar x kalinya.

Cooper et al., (2006) bentuk linear dari model CCR adalah sebagai berikut:

MaxX

r

uryro (3.1)

s.t X

r

uryro−X

i

vixio ≤ 0 X

i

vixio− 1 ur, vi ≥ 0 xij ∈ Z⁺ ∀i, j

Keterangan:

J0 = Unit yang sedang diuji

J = Unit lainnya yang diperbandingkan n = Jumlah unit yang dianalisis

m = Jumlah masukan yang digunakan s = Jumlah keluaran yang dihasilkan

Vi = Jumlah masukan i yang digunakan unit yang dianalisis Ur = Jumlah keluaran r yang dihasilkan unit yang dianalisis Yr = Bobot dari keluaran r yang dihasilkan unit yang dianalisis

3.2.2 Variable return to scale (VRS)

Jahanshahloo dan Khodabakhshi (2003) Pada model ini terdapat dua jenis variable return to scale, yaitu:

(26)

10

1. Decreasing return to scale

Decreasing return to scale terjadi apabila perubahan jumlah output yang dihasilkan tidak proporsional (lebih kecil) dibandingkan perubahan input.

2. Increasing return to scale

Increasing return to scale terjadi apabila perubahan semua input akan meng- hasilkan perubahan output yang lebih besar proporsinya dibandingkan pe- rubahan input.

Dalam Wang dan Lan (2013) Banker, Charmes, dan Cooper menyatakan bentuk linear dari model BCC adalah sebagai berikut:

min θ − (

Xm i=1

S_i⁻+ Xm

r=1

S_r⁺) (3.2)

s.t Xn

j=1

λjxij+ S_i⁻= θxio i = 1, . . . , m Xn

j=1

λjyrj− S_i⁺= yro r = 1, . . . , s λj ≥ 0 j = 1, . . . , n

xij ∈ Z⁺ ∀i, j

Nilai-nilai efisiensi BCC diperoleh dengan menjalankan model di atas untuk setiap DMU. Nilai-nilai efisiensi pengukuran kinerja BCC disebut nilai efisiensi teknis murni (pure technical efficiency), hal ini terkait dengan nilai-nilai yang diperoleh dari model yang memperbolehkan variabel berskala hasil, sehingga skala yang ada dapat tereliminasi. Secara umum nilai efisiensi CCR untuk setiap DMU tidak akan melebihi nilai efisiensi BCC, yang memang telah jelas secara intuitif karena model BCC menganalisa tiap DMU secara lokal daripada secara global.

(27)

11

3.2.3 Return to scale (RTS)

Cooper et al., (2011) Bentuk linier dari RTS untuk menentukan Pn j=1λ^∗_j pada persamaan (2.1) yang digunakan untuk proses scaling pada DMU yang mengalami penurunan atau penaikan skala adalah sebagai berikut:

max Xn

j=1

λj − (

Xm i=1

S_i⁻+ Xm

r=1

S_r⁺) (3.3)

s.t Xn

j=1

λjxij+ S_i⁻= θxio i = 1, . . . , m Xn

j=1

λjyrj− S_i⁺= yro r = 1, . . . , s λj ≥ 0 j = 1, . . . , n

xij ∈ Z⁺ ∀i, j

(28)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Proses Evaluasi Efisiensi Input-Output Untuk Ukuran Skala Pro- duktif

Cooper et al., (2000) Untuk mengevaluasi efisiensi data dari input maupun output, setiap Decision Making Unit (DMU) menggunakan Data Envelopment Analysis (DEA) dengan dua model yaitu model CCR dan BCC. Model CCR mencerminkan efisiensi teknis dan efisiensi skala, sedangkan model BCC mencerminkan efisiensi teknis saja, sehingga efisiensi skala relatif adalah rasio dari efisien- si model CCR dan model BCC yang dapat dilihat pada status Returns to Scale (RTS).

Cooper et al., (2011) status Returns to Scale (RTS) dalam Data Envelopment Analysis (DEA) adalah sebagai berikut :

1. Jika θ^∗_CCR = θ^∗_BCC atauP

λ^∗_j = 1 kasus ini disebut Constant Return to Scale (CRS).

2. Jika θ^∗_CCR < θ^∗_BCC atau P

λ^∗_j < 1 kasus ini disebut Increasing Return to Scale (IRS).

3. Jika θ_CCR^∗ > θ^∗_BCC atau P

λ^∗_j > 1 kasus ini disebut Decreasing Return to Scale (DRS).

Pada kasus θ^∗_CCR = θ_BCC^∗ atau P

λ^∗_j = 1 Decision Making Unit (DMU) tersebut telah beroperasi pada ukuran efisiensi skala terbaik. Sedangkan DMU yang efisien dengan model BCC tapi tidak efisien dengan model CCR berarti memiliki inefisiensi skala. Hal ini karena DMU tersebut efisien secara teknis saja, sehingga inefisiensi yang ada adalah berasal dari skala, sehingga diperlukan scaling agar DMU tersebut menjadi efisien dan beroperasi pada skala yang opti- mal.

(29)

13

4.2 Contoh Persoalan

Pada penelitian ini, data yang akan dijadikan sebagai contoh diambil dari data 10 DMU yang sudah diteliti Moghaddas dan Vaez-Ghasemi(2014). Dike- tahui masing-masing perusahaan memiliki dua nilai data input dan dua data output. Untuk input (I1) yaitu merupakan data bahan olahan, (I2) merupakan data karyawan, sedangkan output (O1) yaitu merupakan data dari kepuasaan pelanggan, dan (O2) merupakan data dari penjualan. Penelitian ini berfokus pada nilai data input dengan bilangan bulat saja, sehingga data yang digunakan hanya input yang berasal dari data karyawan. Berikut ini akan disajikan hasil evaluasi efisiensi dari setiap DMU menggunakan DEA dengan model CCR dan model BCC untuk mengestimasi ukuran skala produktif.

Kumpulan data 10 DMU dipresentasikan dalam Tabel 4.1 dari data tersebut akan ditentukan DMU mana yang sudah efisien dan memerlukan scaling untuk menjadi skala yang produktif. Penyelesaian akan dilakukan menggunakan metode DEA dengan model CCR dan BCC.

Tabel 4.1 Data untuk contoh ilustrasi DMU X Y1 Y2

1 24 4.1 3.6 2 32 4.0 3.2 3 30 4.4 4.2 4 35 4.4 4.4 5 25 3.6 4.0 6 24 3.9 4.2 7 33 4.5 4.5 8 32 3.6 3.7 9 20 3.6 3.8 10 36 4.5 4.6

4.2.1 Penyelesaian dengan model CCR

Berikut ini diberikan model program linier untuk penyelesaian CCR berdasarkan model pada persamaan (3.1) terhadap 10 DMU.

(30)

14

Evaluasi DMU 1 max 4.1u1+3.6u2 st

4.1u1+3.6u2-24v<=0 4.0u1+3.2u2-32v<=0 4.4u1+4.2u2-30v<=0 4.4u1+4.4u2-35v<=0 3.6u1+4.0u2-25v<=0 3.9u1+4.2u2-24v<=0 4.5u1+4.5u2-33v<=0 3.6u1+3.7u2-32v<=0 3.6u1+3.8u2-20v<=0 4.5u1+4.6u2-36v<=0 24v=1

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 2

max 4.0u1+3.2u2 st

(31)

15

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 3

max 4.4u1+4.2u2 st

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 4

max 4.4u1+4.4u2 st

4.1u1+3.6u2-24v<=0 4.0u1+3.2u2-32v<=0 4.4u1+4.2u2-30v<=0 4.4u1+4.4u2-35v<=0 3.6u1+4.0u2-25v<=0 3.9u1+4.2u2-24v<=0

(32)

16

4.5u1+4.5u2-33v<=0 3.6u1+3.7u2-32v<=0 3.6u1+3.8u2-20v<=0 4.5u1+4.6u2-36v<=0 35v=1

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 5

max 3.6u1+4.0u2 st

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 6

max 3.9u1+4.2u2 st

4.1u1+3.6u2-24v<=0

(33)

17

4.0u1+3.2u2-32v<=0 4.4u1+4.2u2-30v<=0 4.4u1+4.4u2-35v<=0 3.6u1+4.0u2-25v<=0 3.9u1+4.2u2-24v<=0 4.5u1+4.5u2-33v<=0 3.6u1+3.7u2-32v<=0 3.6u1+3.8u2-20v<=0 4.5u1+4.6u2-36v<=0 24v=1

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 7

max 4.5u1+4.5u2 st

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

(34)

18

Evaluasi DMU 8

max 3.6u1+3.7u2 st

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 9

max 3.6u1+3.8u2 st

(35)

19

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

Evaluasi DMU 10

max 4.5u1+4.6u2 st

u1>=0 u2>=0 v>=0 end

4.2.2 Penyelesaian dengan model BCC

Berikut ini diberikan model program linier untuk penyelesaian BCC berdasarkan model pada persamaan (3.2) terhadap 10 DMU.

Evaluasi DMU 1

min teta st

24l1+32l2+30l3+35l4+25l5+24l6+33l7+32l8+20l9+36l10-24teta<=0 4.1l1+4.0l2+4.4l3+4.4l4+3.6l5+3.9l6+4.5l7+3.6l8+3.6l9+4.5l10<=4.1

(36)

20

3.6l1+3.2l2+4.2l3+4.4l4+4.0l5+4.2l6+4.5l7+3.7l8+3.8l9+4.6l10<=3.6 l1+l2+l3+l4+l5+l6+l7+l8+l9+l10=1

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 2

min teta st

24l1+32l2+30l3+35l4+25l5+24l6+33l7+32l8+20l9+36l10-32teta<=0 4.1l1+4.0l2+4.4l3+4.4l4+3.6l5+3.9l6+4.5l7+3.6l8+3.6l9+4.5l10<=4.0 3.6l1+3.2l2+4.2l3+4.4l4+4.0l5+4.2l6+4.5l7+3.7l8+3.8l9+4.6l10<=3.2 l1+l2+l3+l4+l5+l6+l7+l8+l9+l10=1

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 3

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 4

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0

(37)

21

end

Evaluasi DMU 5

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 6

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 7

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

(38)

22

Evaluasi DMU 8

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 9

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Evaluasi DMU 10

min teta st

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10>=0 end

Model program linier tersebut diselesaikan dengan sof tware LINDO. Hasil dari model program linier yang dijalankan dengan LINDO untuk penyelesaian menggunakan model CCR dan model BCC dapat dilihat pada lampiran. Tabel 4.2 menunjukkan nilai

(39)

23

objektif dari setiap solusi yang diperoleh. DMU dikatakan efisien jika nilai objektifnya bernilai 1.

Tabel 4.2 Hasil evaluasi efisiensi Input-Output

DMU X Y1 Y2 CCR BCC RT S

1 24 4.1 3.6 0.95 1.00 Increasing 2 32 4.0 3.2 0.69 1.00 Increasing 3 30 4.4 4.2 0.81 0.67

4 35 4.4 4.4 0.70 0.57 5 25 3.6 4.0 0.84 0.80 6 24 3.9 4.2 0.92 0.83 7 33 4.5 4.5 0.76 0.61

8 32 3.6 3.7 0.63 1.00 Increasing 9 20 3.6 3.8 1.00 1.00 Constant 10 36 4.5 4.6 0.69 0.56

Dari tabel 4.2 dapat dilihat bahwa DMU 9 telah beroperasi pada ukuran efisiensi skala terbaik, dimana θ^∗_CCR = θ^∗_BCC atau P

λ^∗_j = 1. Sedangkan DMU 1, 2, dan 8 mengalami inefisiensi terhadap skalanya, dimana θ_CCR^∗ < θ^∗_BCCatauP

λ^∗_j < 1, sehingga diperlukan scaling untuk membuat DMU 1, 2, dan 8 layak beroperasi pada ukuran skala produktif.

4.2.3 Penyelesaian dengan RTS

Berikut ini diberikan model program linier untuk penyelesaian scaling menggunakan persamaan (3.3) terhadap 3 DMU yang efisien pada model BCC tetapi tidak efisien terhadap model CCR atau mengalami increasing.

Scaling pada DMU 1

λ^∗_j= max(l1+l2+l8) + (S_i⁻+ S_r⁺) 24l1+32l2+32l8 = 22.8

4.1l1+4.0l2+3.6l8 = 4.1 3.6l1+3.2l2+3.7l8 = 3.6 l1,l2,l8 = 0

λ^∗_j= max(l1+l2+l8) + (S_i⁻+ S_r⁺)

(40)

24

24l1+32l2+32l8 = 22.08 4.1l1+4.0l2+3.6l8 = 4.0 3.6l1+3.2l2+3.7l8 = 3.2 l1,l2,l8 = 0

λ^∗_j= max(l1+l2+l8) + (S_i⁻+ S_r⁺) 24l1+32l2+32l8 = 20.16

4.1l1+4.0l2+3.6l8 = 3.6 3.6l1+3.2l2+3.7l8 = 3.7 l1,l2,l8 = 0

Dari model program linier untuk penyelesaian scaling diatas menggunakan persamaan (3.3) untuk mendapatkan nilai λ^∗_j, sehingga untuk DMU 1 diketahui λ^∗_j = 1,05, untuk DMU 2 diketahui λ^∗_j = 1,45, untuk DMU 8 diketahui λ^∗_j = 1,59. Setelah itu substitusikan λ^∗_j ke persamaan (2.1).

Evaluasi pada DMU 1 menggunakan model usulan ((0.95)(24)−0

1.05 ,^4.1−0_1.05 ,^3.6−0_1.05 ) = (21.66, 3.91, 3.41)

Tabel 4.3 Hasil scaling DMU

DMU X Y1 Y2 CCR

1 21.66 3.91 3.42 1.00 2 15.24 2.76 2.21 1.00 8 12.70 2.27 2.33 1.00

(41)

25

Setelah dilakukan scaling data DMU yang baru dievalusi kembali menggunakan DEA dengan model CCR yang hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.2 yang ternyata DMU 1, 2, dan 8 hasil nilai objektifnya adalah satu, yang artinya DMU tersebut sudah efisien dan layak beroperasi pada ukuran sakla terbaik. Karena penelitian ini berfokus pada data bilangan bulat maka data input yang masih berbentuk bilangan real diubah kebentuk bilangan bulat.

Tabel 4.4 DMU dengan input bilangan bulat

DMU X Y1 Y2 CCR

1 22 3.97 3.47 1.00 2 15 2.72 2.18 1.00 8 13 2.32 2.37 1.00

(42)

BAB 5 KESIMPULAN

Berdasarkan hasil evaluasi efisiensi menggunakan DEA dengan model CCR dan model BCC untuk mengestimasi ukuran skala produktif dari contoh persoalaan yang diambil dari data 10 DMU yang berfokus pada bilangan bulat dalam penelitian Moghad- das (2014), terlihat bahwa DMU 9 merupakan DMU yang beroperasi pada skala terbaik, dimana θ^∗_CCR = θ^∗_BCC atauP

λ^∗_j = 1 dan slack = 0. Sedangkan DMU 1, 2, dan 8 mengalami inefisiensi terhadap skalanya, dimana θ^∗_CCR < θ_BCC^∗ atau P

λ^∗_j < 1, sehingga diperlukan scaling untuk membuat DMU 1, 2, dan 8 layak beroperasi pada ukuran skala produktif. Tesis ini bertujuan mencari solusi terbaik untuk mengestimasi ukuran skala produktif dengan input nilai data bilangan bulat dalam DEA, dengan adanya pembatasan nilai input yaitu bilangan bulat dapat lebih mudah memperkirakan ukuran skala produktif dan sekaligus menegaskan validitas metode DEA ini adalah sebagai sarana yang cukup efisien untuk mengestimasi ukuran skala produktif.

(43)

DAFTAR PUSTAKA

Ahn, H. (2012). Behavioral effects of DEA on performance assessment. Proceed- ings of the 10^th International Conference on DEA, 48-54.

Cooper, W.W., Seiford, L.M., dan Tone, K. (2000). Data Envelopment Analysis.

Kluwer Academic, Boston, Mass.

Cooper, W.W., Seiford L.M., dan Tone, K. (2011). Handbook on Data Envelop- ment Analysis, Vol. 164 second edition ed F.S. Hillier. Springer.

Cooper, W.W., Seiford, L.M., dan Tone, K. (2006). Introduction to Data Enve- lopment Analysis and Its Uses : with DEA Solver Software and Reference.

Springer, New York.

Eslami, R., Khodabakhshi, M., Jahanshahloo, G.R., Lotfi, F.H., dan Khoveyni, M. (2012). Estimating most productive scale size with imprecise-chance constrained inputoutput orientation model in data envelopment analysis.

Computers & Industrial Engineering pp 254-261.

Jahanshahloo, G.R., dan Khodabakhshi, M. (2003). Using inputoutput orien- tation model for determining most productive scale size in DEA. Applied Mathematics and Computation 146. 849-855.

Khezrimotlagh, D., Salleh, S., dan Mohsenpour, Z. (2012). A Comment on The- ory of Integer-Valued Data Envelopment Analysis. Applied Mathematical Sciences, Vol. 6, No. 116, 5769-5774.

Khodabakhshi, M.(2009). Estimating most productive scale size with stochastic data in data envelopment analysis. Economic Modelling. 968-973.

Khoveyni, M., dan Eslami, R. (2013). Estimating right and left returns to scales in data envelopment analysis: A new approach. International Journal of Data Envelopment Analysis, Vol. 1, No. 3, 135-150.

Moghaddas, Z., dan Vaez-Ghasemi, M. (2014). Estimating most productive scale size in DEA with real and integer value data. Int. J. Industrial Mathe- matics, Vol. 6, No. 2, 107-114.

Ramanathan, R. (2003).An Introduction to Data Envelopment Analysis: A Tool for Performance Measurement. Sage Publications India Pvt Ltd.

Tim Penyusun Kamus Pusat Bahasa, (2008). Kamus Besar Bahasa Indonesia, edisi keempat. Balai Pustaka.

Wang, Y., dan Lan, Y. (2013). Estimating most productive scale size with double frontiers data envelopment analysis. Economic Modelling. PP 182-186.

(44)

28

LAMPIRAN 1

Output LINDO untuk DMU 1 (CCR)

LAMPIRAN 2

(45)

29

LAMPIRAN 3

LAMPIRAN 4

(46)

30

LAMPIRAN 5

LAMPIRAN 6

(47)

31

LAMPIRAN 7

LAMPIRAN 8

(48)

32

LAMPIRAN 9

LAMPIRAN 10

(49)

33

LAMPIRAN 11

Output LINDO untuk DMU 1 (BCC)

LAMPIRAN 12

(50)

34

LAMPIRAN 13

LAMPIRAN 14

(51)

35

LAMPIRAN 15

LAMPIRAN 16

(52)

36

LAMPIRAN 17

LAMPIRAN 18

(53)

37

LAMPIRAN 19

LAMPIRAN 20

(54)

38

LAMPIRAN 21

Output LINDO untuk DMU 1 (scaling)

LAMPIRAN 22

(55)

39

LAMPIRAN 23

LAMPIRAN 24

Output LINDO untuk DMU 1 (integer)

(56)

40

LAMPIRAN 25

LAMPIRAN 26