2,5 cm 37,5 cm. 2 cm 3 cm

(1)

1 1

Kesebangunan dan Kesebangunan dan

Kekongruenan Bangun Kekongruenan Bangun Datar

Datar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut.

kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut.

Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan pada

pada papan papan catur, catur, baik baik yang yang berwarna berwarna hitam hitam maupun maupun yang yang berwarna berwarna putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. A. Kesebangunan Kesebangunan Bangun Datar Bangun Datar B.

B. Kekongruenan Kekongruenan Bangun Datar Bangun Datar

1 1

Bab Bab

e

es se eb ba an n u un na an n d da an n

1 1

Ba Ba

S S _u_u_m_m

b

b e e r r : : C C D D _I_I_m_ma_a g g^e^e

(2)

5

5.. Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

Jika

Jika ^?^? PP₁₁ == 5500°°,, tteennttuukkaann bbeessar ar ^?^? QQ₂₂,, ^?^? R R ₃₃,, ddaann

?

? SS₄₄.. Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

A. A. Keseb Keseb angu angunan nan Bang Bangun un Data Data r r

1. 1. Kes Kes eba ebangu ngunan nan Ban Bangun gun Dat Datar ar

D

Da al la am m k ke eh hi id du up pa an n s se eh ha ar ri i- -h ha ar ri i, , p pa as st ti i k ka am mu u p pe er rn na ah h m me en nd de en ng ga ar r i is st ti il la ah h m

me em mp pe er rb be es sa ar r a at ta au u m me em mp pe er rk ke ec ci il l f fo ot to o. . K Ke et ti ik ka a k ka am mu u m me em mp pe er rb be es sa ar r ( (a at ta au u mem

memper perkec kecil il) ) fot foto, o, ber beruba ubahka hkah h ben bentuk tuk gam gambar bar nya nya? ? Ben Bentu tuk k ben benda da pad pada a fot foto o mu

mula la-m -mul ula a de deng ngan an fo foto to ya yang ng te tela lah h di dipe perb rbes esar ar ad adal alah ah sa sama ma, , te teta tapi pi uk ukur uran anny nya a berlainan

berlainan dengan dengan perbanding perbandingan an yang yang sama. sama. Gambar Gambar benda benda pada pada foto foto mula- mula- mu

mula la de deng ngan an fo foto to ya yang ng te tela lah h di dipe perb rbes esar ar me meru rupa paka kan n co cont ntoh oh du dua a ba bang ngun un ya yang ng sebangun.

sebangun.

Se

Se k kar ar an ang, g, c cob oba a ka kam mu u pe per rha hat ti ika kan n Ga Gam mba bar r 1. 1.1 1 . . S Seb eban ang gun unka kah h p per er s seg egi i- - panjang

panjang ABCD ABCD dengan dengan pers persegipa egipa njang njang EFGH EFGH ? ? Pad Pada a per per se segip gipanj anj ang ang ABCD ABCD dan

dan per perseg segipa ipanja nja ng ng EFGH, EFGH, perbandingan perbandingan panjangnya panjangnya adalah adalah 4 4 : : 8 8 = = 1 1 : : 2. 2.

A

Ad da ap pu un n p pe er rb ba an nd di in ng ga an n l le eb ba ar rn ny ya a a ad da al la ah h 2 2 : : 4 4 = = 1 1 : : 2 2. . D De en ng ga an n d de em mi ik ki ia an n, , perbandin

perbandin gan gan sisi-sisi sisi-sisi yang yang bersesuaian bersesuaian pada pada kedua kedua persegipan persegipan jang jang tersebut tersebut dapat

dapat dinyatakan dinyatakan sebagai sebagai berikut. berikut.

AB AB EF EF

BC BC FG FG

CD CD GH GH

DA DA HE

= = = HE =

= 1 1 = = =

2 2

1 1 2 2

1 1 2

; 2

; ; ; ; ;

Kem

Kemudia udia n, n, perh perhati atikan kan sudu sudut-s t-sudut udut yang yang ber berses sesuai uaian an pada pada per persegi segipanj panj ang ang ABCD

ABCD da dan n pe pers rseg egip ipan anja jang ng EFGH EFGH . . O Ol le eh h k ka ar re en na a k ke ed du ua an ny ya a b be er rb be en nt tu uk k persegipanjang,

persegipanjang, setiap setiap sudut sudut besarnya besarnya 90° 90° sehingga sehingga sudut-sudut sudut-sudut yang yang bersesuaian

bersesuaian pada pada kedua kedua bangun bangun tersebut tersebut sama sama besar. Artinya besar. Artinya kedua persegi - kedua persegi - panjang

panjang tersebut tersebut memiliki memiliki sisi-sisi sisi-sisi yang yang bersesuaian bersesuaian dan dan sebanding sedang- sebanding sedang- kan s

kan s udut udut-s -s udut udut yang yang bers bersesua esuaian ian sam sam a a bes besar. ar. Ole Oleh h kare kare na na itu itu, , per perseg segipan ipan jang jang ABCD

ABCD dan dan pers persegip egipanja anjang ng EFGH EFGH dikatakan dikatakan

sebangun.sebangun.

. . J

Jad adi, i, du dua a at atau au l leb ebih ih ba ba ng ngun un di dika kat tak akan an s seb eban angu gun n ji jika ka me meme menu nuhi hi s sya yara rat- t- syarat sebagai berikut.

syarat sebagai berikut.

H H

E E

G G

F 8 cm F

8 cm

4 cm 4 cm D

D

A A

C C

B B 4 cm 4 cm

2 cm 2 cm

Kesebangunan Kesebangunan dilambangka

dilambangkanndengandengan““~~““..

Plus + Plus +

1.

1. JeJelalaskskanancacararamemengngukukurursusududuttmemengnggugunanakakannbubususur r derajat.

derajat.

2.

2. JelJelaskaskanansifsifat-at-sifsifatatperpersegsegipaipanjanjang,persng,persegiegi,,laylayangang-- layang,

layang,trapesium, trapesium, belah ketupat, belah ketupat, dan segitiga.dan segitiga.

3.

3. JelJelaskaskan can cara ara memmembuabuat set segitgitiga iga samsama sia sisi.si.

4

4.. TTeennttuukkaan nn niillaai a.i a.

α α

3 3

3

3 33

3 3

R R₂₂

Q

Q22 P P ₂₂

S S ₂₂

4 4

4

4 44

4 4 1

1 11

1 1 1

1

(a) (a)

(b) (b)

Panj

Panj ang ang sis sisi-s i-sisi isi yang yang ber berses sesuai uaian an pada pada bang bangun- un- bang bangun un ter terseb sebut ut

•

• memiliki perbandingan yang senilai.

memiliki perbandingan yang senilai.

Sudut- Sudut-

• s

• sud udut ut ya yang ng be ber rse se su suai aian an pa pada da ba bang ngun un- -ba bang ngun un te ters rseb ebut ut sama besar.

sama besar.

Uji

Uji Kom Kompet pet ens ensi i Aw Aw al al

Gambar 1.1 Gambar 1.1 Dua

Duaperspersegipegipanjaanjangngyanyanggsebangun.sebangun.

Buatlah tiga Buatlah tiga persegipan

persegipanjangjangyangyang sebangun dengan kedua sebangun dengan kedua persegipanjang pada persegipanjang pada Gam

Gambar bar 1.11.1..

Cerdas Berpikir

(3)

Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

3 3

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?sebangun?

Jawab:

a.

a. Perhatikan Perhatikan persegipanjangpersegipanjang IJKL IJKL dan persegi dan persegiMNOP MNOP .. (i)

(i) Perbandingan Perbandingan panjang panjang sisi-sisi sisi-sisi yang yang bersesuaian bersesuaian adalahadalah IJ

IJ MN MN

JK JK NO NO

KL KL OP OP

LI LI PM

= = PM

= 6 6 = == ==

2 2

2 2 2 2

6 6 2 2

2 2 2

; 2

; ;; ;;

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL IJKL dan persegi dan persegi MNOP

MNOP tidak sebanding. tidak sebanding.

(ii) Besar

(ii) Besar setiap setiap sudut sudut pada pada persegipanjang persegipanjang dan dan persegi persegi adalah adalah 90° 90° sehinggasehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang

sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL IJKL dan persegi dan persegiMNOP MNOP sama besar.

sama besar.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL IJKL dan persegi dan persegiMNOP MNOP tidak sebangun.

tidak sebangun.

b.

b. Perhatikan persegiPerhatikan persegiMNOP MNOP dan persegi dan persegiQRST QRST .. (i)

(i) Perbandingan Perbandingan panjang panjang sisi-sisi sisi-sisi yang yang bersesuaian bersesuaian adalahadalah MN

MN QR QR

NO NO RS RS

OP OP ST ST

PM PM TQ

= = TQ

= 22 = == ==

6 6

2 2 6 6

2 2 6

; ; ; 6

; ; ;

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP MNOP dan persegi dan persegi QRST QRST sebanding.

sebanding.

(ii)

(ii) Oleh Oleh karena karena bangunbangun MNOP MNOP dan dan QRST QRST berbentuk persegi, besar setiap berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90˚ sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun sudutnya 90˚ sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar.

tersebut sama besar.

Dari

Dari (i) (i) dan dan (ii) (ii) dapat dapat disimpulkan disimpulkan bahwa bahwa persegipersegiMNOP MNOP dan persegi dan persegiQRST QRST sebangun. sebangun.

c.

c. Dari Dari jawaban jawaban a telah a telah diketahui diketahui bahwa bahwa persegipanjangpersegipanjang IJKL IJKL tidak sebangun tidak sebangun dengan persegi

dengan persegi MNOP MNOP . Dengan demikian, persegipanjang. Dengan demikian, persegipanjang IJKL IJKL juga tidak juga tidak sebangun dengan persegi

sebangun dengan persegiQRST QRST . Coba kamu jelaskan alasannya. Coba kamu jelaskan alasannya L

L P P

M M

O O

T T

Q Q

S S

R R N

I N I

K K

J J 6 cm

6 cm

6 cm 6 cm

2 cm 2 cm

Perhatikan gambar berikut.

Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjangQRQR^.^. Jawab:

Jawab:

Oleh karena persegipanjang

Oleh karena persegipanjang ABCD ABCD dan persegipanjang dan persegipanjang PQRS PQRS sebangun, perbandingan sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding.

sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding.

AB AB QR QR

BC BC RS

RS QRQR QRQR

=

= 99 == 6 6 == ^X^X ==

2 2

9 9 22

6 6 33 Jadi, panjang

Jadi, panjangQRQR adalah 3 cm. adalah 3 cm.

D D

A A

C C

B B

S S

P P

R R

Q 2 cm Q 2 cm 6 cm

6 cm

9 cm 9 cm

Contoh Contoh Soal Soal 1.1 1.1

Contoh Contoh Soal

Soal 1.2 1.2

(4)

Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya.

a a^.^.

Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan

Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannyasisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar?

sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar?

b b^.^.

Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki

bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama?perbandingan yang sama?

c c^.^.

Kegiatan Kegiatan

Diketahui dua jajargenjang yang sebangun seperti

Diketahui dua jajargenjang yang sebangun seperti gambar berikut.gambar berikut.

Tentukan nilai Tentukan nilai^x.^x.

Jawab:

Perhatikan jajargenjang ABCD.

1

1B B = = D D = = 120°120°

A

A = = C C = = 180° 180° − − 120° 120° = = 60°60°

Oleh karena jajargenjang

Oleh karena jajargenjang ABCD ABCDsebangun dengan jajargenjangsebangun dengan jajargenjang EFGH EFGH , besar sudut-, besar sudut- sudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian,

sudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, 11 E E ==11A = 60°.A = 60°.

Jadi, nilai

Jadi, nilai^x^x = 60 = 60^˚^˚ D

D

A A

C C

B B

H H

E E

G G

F 6 dm F 6 dm

2 dm 2 dm 6 cm

6 cm

9 cm 9 cm

120

120^°^° ^x^x

Contoh Contoh Soal

Soal 1.3 1.3

2. 2. Kesebangunan Kesebangunan pada pada Segitiga Segitiga

Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

2 cm 2 cm

4 cm 4 cm

3 cm 3 cm

5 cm 5 cm

6 cm 6 cm

10 cm 10 cm 8 cm

8 cm

3 cm

3 cm (a)(a)

2,5 cm

2,5 cm 37,5 cm37,5 cm

2 cm 2 cm

3 cm 3 cm

4,5 cm 4,5 cm 3 cm 3 cm

75°

25°

25° 25°25°

75°

60°

60° 60°60°

60°

60° 90°90° 90°90°

40°

50°

50° 50°50°

(

(aa)) ((bb))

(b) (b) Thales a

Thales adalah seoradalah seorang ahling ahli

mempelajari matematika, mempelajari matematika, ilmu pengetahuan lain.

ilmu pengetahuan lain.

Dalam matematika, Dalam matematika, ia terkenal dengan ia terkenal dengan caranya mengukur tinggi caranya mengukur tinggi piramida di Mesir dengan piramida di Mesir dengan menggunakan prinsip menggunakan prinsip kesebangunan pada kesebangunan pada segitiga.

segitiga.

Sumber

Sumber:: Matematika, Khazanah Matematika, Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-anak, Pengetahuan Bagi Anak-anak, 1979.

1979.

Thales Thales 624 SM–546 SM 624 SM–546 SM

Sekilas Sekilas

Matematika Matematika

1 1

1 1 1 1

(5)

5 5

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?sebangun?

Jawab:

Ol

Oleheh kkararenenaa papadada sesettiaiapp ssegegititiigaga didikeketatahhuiui ppananjajangngduduaa ssisisii dadann bbesesarar susuddutut yyanangg diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi.

diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi.

a.

a. BesBesararsudsudut yut yang ang diadiapit pit oleoleh kh kedueduaasissisi sai sama bma besaesarr, ya, yaitu itu 50°50°.. b.

b. Perbandingan dua sisi Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikyang bersesuaian sebagai berikut.ut.

Untuk

Untuksegitsegitiga (a) dan (b)iga (a) dan (b).. 3

3 10

10= 0,3 dan= 0,3 dan 66 13

13= 0,46= 0,46 Untuk

Untuksegitsegitiga (a) dan (c)iga (a) dan (c).. 3

3 5 5

6 6 10 10 00 66

=

= == ^,^, Untuk

Untuksegitsegitiga (b) dan (c)iga (b) dan (c).. 10

10 5

5 22 1313 10 10 11 33

=

= dandan == ,, Jadi,

Jadi,segitiga yang segitiga yang sebangun adalah segisebangun adalah segitiga (a) dan tiga (a) dan (c)(c) 50°

50° 50°

50°

6 6

3 3

13 13

10 10

50°

5 10 5

10

Contoh Contoh Soal

Soal 1.4 1.4

Pa

Pasasangnganan-p-pasasanangagann sesegigititigaga tetersrsebebutut mememimililikiki 22 sisisisi bebersrsesesuauaiaiann yayangng sasamama panjang

panjangdandansudutsudutyangyangdiapitnyadiapitnyasamasamabesar.besar.CobaCobakamukamuukurukurpanjangpanjangsisi-sisisisi-sisi ya

yangng bebelulumm didikeketatahuhui.i. ApApakakahah sisisisi-s-sisisii tetersrsebebutut mememimililikiki peperbrbanandidingnganan yayangng sa

samama dedengnganan sisissi-i-sisisisi yayangng lalaininnynya?a? KeKemmududiaian,n, ukukurur pupullaa ssududuut-t-susududutt yayangng bersesuaiannya, apakah hasilnya

bersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar?sama besar?

Ket

Ketiga iga sya syarat rat kes keseban ebanguna gunan n pada pada segi segitig tiga a dapa dapat t digu digu naka nakan n unt untuk uk menc mencari ari panjang

panjang salah salah satu satu sisi sisi segitiga segitiga yang yang belum belum diketahui diketahui dari dari dua dua buah buah segitiga segitiga yang

yang seb seb angu angun. n.

J

Ji ika ka k kam amu u m men en ge ge r rj jak ak a an n ke ke gi giat at a an n t te er rs seb eb u ut t de de n nga ga n n be bena na r r, , a aka ka n n d di ipe pe r ro ol leh eh kes

kes im im pul pulan an bah bahwa wa unt unt uk uk mem mem eri eriks ks a a kes keseba eba ngu ngunan nan pad pada a se segit git iga iga , , cuk cukup up lak lak uka ukan n te

tes s pad pada a ked kedua ua se se git git iga ters iga tersebu ebut t se sesua suai i den dengan gan uns unsur- ur- uns unsur ur yan yang g dik dik eta etahu hui. i.

Unsur-Uns

Unsur-Unsur ur yang yang Diketahui Diketahui Pada Segitiga

Pada Segitiga

Syar

Syarat at Keseb Kesebangun angunan an

(i

(i) ) Sis Sisi- i-si sisi si-s -sis isi ( i (s.s s.s.s .s) ) (ii

(ii) ) Sudut Sudut-sud -sud ut-s ut-sudut ( udut (sd.s sd.sd.sd d.sd) ) (iii)

(iii) Sisi-sudut Sisi-sudut-sisi -sisi (s.sd.s) (s.sd.s)

Perbandingan sisi-sisi yang Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

bersesuaian sama. sama.

Sudut-sudut

Sudut-sudut yang be yang be rsesuaian rsesuaian sama sama besar.

besar.

Dua si

Dua si si si yang bers yang bersesuaian m esuaian m emiliki emiliki perbanding

perbanding an yang an yang sama dan sama dan sudut sudut bersesuaian

bersesuaian yang diap yang diapit sama besa it sama besa r. r.

(

(aa)) (b)(b) ((cc))

Dari gambar berikut, ada Dari gambar berikut, ada berapa buah s

berapa buah segitigaegitigayangyang sebangun

sebangun??Sebutkan Sebutkan dandan jelaskan jaw

jelaskan jawabanmu.abanmu.

D

D E E

C C

A

A BB

F F

Problematika Problematika

Tabel

Tabel1.11.1 Syarat kesebangunan pada segitigaSyarat kesebangunan pada segitiga

(6)

Gambar berikut menunjukkan

Gambar berikut menunjukkan ∆ABC ∆ABC dengan dengan DE DE sejajar sejajar BC BC . Jika panjang. Jika panjang AD AD = 8 cm, = 8 cm, BD

BD = 2 cm, dan = 2 cm, dan DE DE = 4 cm, tentukan panjang = 4 cm, tentukan panjang BC BC ..

Jawab:

Oleh

Olehkarenakarena ∆∆ ABC ABC sebangunsebangundengandengan∆∆ ADE ADE

, ,

AD AD AD AD DBDB

DE DE BC

BC BC BC

+

+ ==

+ + ==

maka maka 88

8 8 22

4 4 8 8 10 10

4

= 4

= BC BC

BC

BC ⁼⁼ 44^X^X1010 ⁼⁼ 8

8 55 Jadi, panjang

Jadi, panjang BC BC adalah 5 cm adalah 5 cm A

A

C C

B B D

D E E

Contoh Contoh Soal

Soal 1.6 1.6

Contoh Contoh Soal

Soal 1.5 1.5

Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR

. .

Jawab:

PQ

PQ = 3 = 3 KL KL = 2= 21 1 cmcm QR

QR = 3 = 3 LM LM = 30 cm = 30 cm PR

PR = 3 = 3MK MK = 3 × 6 = 18 = 3 × 6 = 18 Jadi, panjang

Jadi, panjang PR PR adalah 18 cm adalah 18 cm P

P

R R

Q Q 30 cm 30 cm 21 cm

21 cm

K K

M M

L L 10 cm 10 cm 6 cm

6 cm

7 cm 7 cm Perhatikan gambar berikut.

Panjang

PanjangQT QT adalah .... adalah ....

aa. . 4 4 cmcm bb. . 5 5 cmcm cc. . 6 6 cmcm dd. . 8 8 cmcm Jawab:

Jawab:

∆

∆QST QST sebangun dengan sebangun dengan

∆

∆QRP QRP ..

+ +

8(

8(QTQT+ 3) = 12+ 3) = 12QT QT 8

8QT QT + 24 = 12 QT + 24 = 12 QT 4

4QT QT = 24 = 24 QT QT = 6 = 6 Jadi, panjang

Jadi, panjangQT QT adalah 6 cm. adalah 6 cm.

Jawaban: c Jawaban: c

Soal UN Soal UN , 2007, 2007 R

R S S

Q T Q

T 8 cm 8 cm 12 cm 12 cm

3 cm P 3 cm P

Sebuah tongkat yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat Sebuah tongkat yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut.

bendera tersebut.

Ja Jawawabb:: Misalkan,

Misalkan, DE DE = tinggi tongkat = tinggi tongkat BD

BD = bayangan tongkat = bayangan tongkat AB

AB = bayangan tiang bendera = bayangan tiang bendera AC

AC = tinggi tiang bendera = tinggi tiang bendera

Contoh Contoh Soal

Soal 1.7 1.7

C C

E E

B D B

A D A

?

1,5 m 1,5 m

1 m 1 m

Solusi Solusi

Matematika Matematika

R R

S S

Q T Q

T 8 cm 8 cm 12 cm 12 cm

3 cm P 3 cm P

(7)

7 7

BD BD AB AB

DE DE AC

AC AC AC

=

= ==

, ,

,

maka

,

maka 11 2 2 55

1 1 55

,

, , ,

AC

AC == 22 55××11 55 1 1

, ,

=

= 33 7755

Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m

5.

5. Tentukan Tentukan nilainilai x x dan dan y y pada pasangan bangun- pada pasangan bangun- bangun yang sebangun

bangun yang sebangun berikut.berikut.

a.

b b

. .

6.

6. Di Di antara antara gambar-gambar gambar-gambar berikut, berikut, manakah manakah yangyang sebangun?

sebangun?

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1.

1. Manakah Manakah di di antara antara bangun-bangun bangun-bangun berikut berikut yangyang pasti sebangun?

pasti sebangun?

a.

a. Dua Dua jajargenjangjajargenjang b. Dua

b. Dua trapesiumtrapesium c. Dua

c. Dua persegipersegi d. Dua

d. Dua lingkaranlingkaran e. Dua

e. Dua persegipanjangpersegipanjang 2.

2. Perhatikan Perhatikan gambar gambar berikut.berikut.

Sebangunkah

Sebangunkah persegipanjangpersegipanjang ABCD ABCD dan persegi- dan persegipanjang

panjang EFGH EFGH ? Jelaskan jawabanmu.? Jelaskan jawabanmu.

3.

3. Gambar-gambar Gambar-gambar berikut berikut merupakan merupakan dua dua bangunbangun yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y.

yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y.

a.

b b

. .

4.

4. Deni Deni membuat membuat sebuah sebuah jajargenjang jajargenjang seperti seperti gambargambar berikut.

berikut.

Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dib

jajargenjang yang dibuat Deni.uat Deni.

10 10

4

4 22

x x

10 10

5 5 4

4

10 10

20 20 y y

10 10

6 6 35°

35°

Uji Kompetensi 1.1 Uji Kompetensi 1.1

D D

A A

C C

H H

E E

G G

F 15 F

15

6 6 2

2

5 5

B B

E E

H F H

F

G G 70°

70°

x°

70°

A 70°

A C C

D D

B B

70°

65°

S

S R R

Q P Q

P

103°

S

S R R

Q P Q

P x x

y y

15 15

9 9

5

5 1212

6 3 6

3 30°

30° 30°30° 30°30°

(

(aa)) ((bb)) ((cc))

(8)

B. B. Kekongruena Kekongruenan n Bangun Bangun Datar Datar

1. 1. Kekongruenan Kekongruenan Bangun Bangun Datar Datar

Pernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu?

Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut benda- atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut benda- benda

benda yang k yang kongr ongr uen. uen. Coba Coba kamu s kamu sebutk ebutk an ben an benda-b da-benda l enda l ain d ain di se i se kita kitarmu rmu yang yang kongruen.

kongruen.

Perhatikan Gambar 1.3 Perhatikan Gambar 1.3

Gambar 1.3: Dua bangun kongruen Gambar 1.3: Dua bangun kongruen A

A

D D

B B

C

C P P

Q Q S S

R R

Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama

memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

sama besar.

Kongruen disebut juga Kongruen disebut juga sama dan sebangun, sama dan sebangun, dilambangkan dengan “ dilambangkan dengan “≅≅””..

Plus+

Gambar 1.3

Gambar 1.3 menunju menunjukkan dua bangun datar kkan dua bangun datar, yaitu layang , yaitu layang-layang -layang ABCD

ABCD dan layang-layang dan layang-layang PQRS PQRS . Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada . Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu

kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu AB AB = = QR QR = = AD AD = = RS RS dan dan BC

BC = = PQ PQ = = CD CD = = SP SP . Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layang- . Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layang- layang

layang tersebut tersebut juga juga sama sama besar, besar, yaitu yaitu A A = = R, R, C C = = P P , , ^B ^{B =} ⁼ ^Q, ^{Q, dan} ^dan

D

D = = S. S. Oleh Oleh karena it karena itu, u, layang-layang ABCD layang-layang ABCD dan dan layang-layang layang-layang PQRS PQRS kongruen, ditulis layang-layang

kongruen, ditulis layang-layang ABCD ABCD

≅≅

layang-layang layang-layang PQRS PQRS . .

C C

D D A

A BB

E E

Pada gambar di samping,

Pada gambar di samping, DE DE // // AB AB.. Jika

Jika AB AB = 12 cm, = 12 cm, DE DE = 8 cm, dan = 8 cm, dan DC

DC = 10 cm, tentukan panjang = 10 cm, tentukan panjang AC AC ..

8

8. Buktikan. Buktikan bahwa bahwa ∆ ∆ DEF DEF sebangunsebangundengandengan ∆ ∆GHF.GHF.

D

D E E 7 7 5 5

12 12 4

4 F F

G

G H H

D D E B E

B A A

12 m 12 m

aliran sungai aliran sungai

9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai 9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai

bay

bayangaangan 1,5 m. n 1,5 m. JikJika pada saat yang sama, seba pada saat yang sama, sebuahuah poh

pohon mempuon mempunyanyai bayangi bayangan 30 an 30 m, tentm, tentukan tinukan tinggiggi poh

pohon on terstersebutebut.. 10.

10. Seorang pemuda Seorang pemuda menghitung lebar menghitung lebar sungai dengansungai dengan menancapkan tongkat di titik

menancapkan tongkat di titik B, B, C, C, DD, dan, dan E E (seperti pada gambar) sehingga

(seperti pada gambar) sehingga DCA DCA terletak pada terletak pada satu garis. Tentukan lebar sungai

satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut.tersebut.

Gambar 1.2 Gambar 1.2

Sumber:

Sumber:Dokumentasi PenulisDokumentasi Penulis

7 7

. .

1

1 11

1

1 1 1 1 1 11 1 1 11

(9)

9 9

Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen.

Ja Jawawabb :: a.

a. Panjang Panjang sisi-sisi sisi-sisi yang yang bersesuaian bersesuaian pada pada trapesiumtrapesium ABCD ABCD dan trapesium dan trapesium PQRS PQRS sama besar, yaitu

sama besar, yaitu AB AB = = PQ, BC PQ, BC = =QR, CDQR, CD = = RS RS , dan, dan AD AD = = PS PS .. b.

b. Sudut-sudut yang Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesiubersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besarm tersebut sama besar, yaitu, yaitu A

A== P P== E E== QQ dan dan C C = = R R = = D D = = S.S.

Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium

Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD ABCD≅≅ trapesiumtrapesium PQRS PQRS .. Perhatikan gambar berikut.

Contoh Contoh Soal Soal 1.9 1.9

Contoh Contoh Soal Soal 1.8 1.8

A A E E

H H

D

D C C

G G F

F

B B

Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada bangun tersebut.

bangun tersebut.

Ja Jawawabb ::

Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya.

Pada balok

Pada balok ABCD ABCD.. EFGH, EFGH,sisi-sisi yang kongruen adalahsisi-sisi yang kongruen adalah sisi

sisi

•

• ABCD ABCD≅≅ sisi sisi EFGH EFGH sisi

sisi

•

• ABFE ABFE ^≅^≅ sisi sisi CDHGCDHG sisi

sisi

•

• BCGF BCGF ≅≅ sisi sisi ADHE ADHE

Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

Tentukan

Tentukan besar besar E.E.

120°

45°

x x 60°

60°

A A

D D

C

C H H

G G

E E

F F B

B

Contoh Contoh Soal

Soal 1.10 1.10

Manakah pernyataan yang Manakah pernyataan yang benar?

benar?

aa. . Bangun-bangun Bangun-bangun yangyang sebangun pasti kongruen.

sebangun pasti kongruen.

bb. . Bangun-bangun Bangun-bangun yangyang kongruen pasti sebangun.

kongruen pasti sebangun.

Jelaskan jawabanmu.

Tugas Tugas

D

D R R

S S

Q Q

P P A

A

C C

B B

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1

1 1

(10)

2. 2. Kekongruenan Segitiga Kekongruenan Segitiga

Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan pada

pada bangun bangun segitiga. segitiga. Untuk Untuk menunjuk menunjukkan kan apakah apakah dua dua segitiga segitiga kongruen kongruen atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, bandingk

bandingk an an sisi-sisi sisi-sisi dan dan sudut-sudut sudut-sudut yang yang bersesuaian bersesuaian . . Perhatikan Perhatikan tabel tabel syarat kekongruenan dua segitiga berikut.

syarat kekongruenan dua segitiga berikut.

Unsur-Unsur yang Diketahui Unsur-Unsur yang Diketahui

Pada Segitiga Pada Segitiga

Syarat Kekongruenan Syarat Kekongruenan

(i)

(i) Sisi-sisi-sisi Sisi-sisi-sisi (s.s.s) (s.s.s)

(ii)

(ii) Sisi-sudut-sisi Sisi-sudut-sisi (s.sd.s) (s.sd.s)

(iii)

(iii) Sudut-sisi-sudu Sudut-sisi-sudut t (sd.s.sd) (sd.s.sd) atau atau

Sudut-sud

Sudut-sud ut-sisi ut-sisi (sd.sd.s) (sd.sd.s)

Sisi-sisi yang bersesuaian sama Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

panjang.

Dua sisi yang bersesuaian sama Dua sisi yang bersesuaian sama panjang

panjang dan dan satu satu sudut sudut yang yang diapit

diapit oleh oleh kedua kedua sisi sisi tersebut tersebut sama besar.

sama besar.

Dua sudut yang bersesuaian Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang sama besar dan satu sisi yang bersesuaian

bersesuaian sama pan sama pan jang. jang.

Gambar di samping merupakan gambar

Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisisegitiga samasisi STU

STU . Jika. Jika SOSO tegak lurus tegak lurus TU TU dan panjang sisi-sisinya dan panjang sisi-sisinya 3 cm, buktikan bahwa

3 cm, buktikan bahwa ∆STO ∆STO ^≅^≅ ∆SUO. ∆SUO.

U U

O S O

S Ja Jawawabb::

Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama

sudah pasti sama besar.besar.

A

A = = F F = = 45˚45˚

C

C = = H H = 60˚ = 60˚

D

D== GG = 120˚ = 120˚

B

B = = E E = ?= ?

Jumlah sudut pada bangun datar

Jumlah sudut pada bangun datar ABCD ABCD = jumlah sudut pada bangun datar = jumlah sudut pada bangun datar EFGH

EFGH = 360°. = 360°.

E

E = 360° − ( = 360° − ( – – F F + + – – GG + + – – H H ) )

=

= 360° 360° − − (45°+120°(45°+120°+ + 60°60°))

=

= 360° 360° − − 225° 225° = = 35°35°

Jadi,

Jadi, E = E =35°35°

Contoh Contoh Soal

Soal 1.11 1.11

www.deking. wordpress.com www.deking. wordpress.com www.gemari.or.id

www.gemari.or.id

Situs Matematika Situs Matematika

Tabel

Tabel1.21.2 Syarat kekongruenan pada segitigaSyarat kekongruenan pada segitiga 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11