BAB 3 METODE PENELITIAN

(1)

Dari Persamaan (37) diperoleh persamaan untuk u

𝑢 𝑆 =

2 ^2𝜎

𝑄𝑒𝑥𝑝 𝑆 ^𝜎 𝑃 1+𝑒𝑥𝑝 2𝑆 ^𝜎

𝑃

... (38)

Bentuk solusi Persamaan (38) dapat diubah menjadi bentuk trigonometri berikut

𝑢 𝑆 = ^2𝜎

𝑄 s𝑒𝑐ℎ 𝑆 ^𝜎

𝑃 ... (39) Substitusi Persamaan (39) ke Persamaan (27) maka diperoleh

𝐹₁ 𝑆, 𝜏 = ^2𝜎_𝑄 s𝑒𝑐ℎ 𝑆 ^𝜎_𝑃 𝑒^𝑖𝜎𝜏 (40) Solusi eksak untuk Φ_𝑛(𝑡) dalam ekspresi F₁berdasarkan Persamaan (14), (18) dan (20) adalah

Φ_𝑛 𝑡 = 𝐹₁𝑒^𝑖𝜃^𝑛+ 𝜀 𝜇 𝐹₁ ²+

𝛿𝐹₁²𝑒^𝑖2𝜃^𝑛 + 𝑐. 𝑐 ... (41) Substitusi Persamaan (38) ke Persamaan (39)

Φ_𝑛 𝑡 = ^2𝜎_𝑄 s𝑒𝑐ℎ 𝑆 ^𝜎

𝑃 𝑒^{𝑖 𝜎𝜏 +𝜃}^𝑛 + ^{2𝜎𝜀𝜇}

𝑃

2

+ ^{2𝜎𝜀𝛿}

𝑃

2

𝑒^{2𝑖(𝜎𝜏 +𝜃}^𝑛⁾+ 𝑐. 𝑐 ... (42a) Φ_𝑛 𝑡 = ^2𝜎_𝑄 s𝑒𝑐ℎ 𝑆 ^𝜎

𝑃 2cos 𝜎𝜏 + 𝜃_𝑛 +^{2𝜎𝜀𝛿}

𝑃

2

digunakan nilai variabel-variabel karakteristik DNA, yaitu sebagai berikut k = 3K = 24 N/m,

l = 3,4 x 10⁻¹⁰ m, m = 5,1 x 10⁻²⁵ kg,

a = 2 x 10¹⁰ m⁻¹, D = 0,1 eV.

Massa yang digunakan dalam hal ini merupakan massa rata-rata untuk empat buah nukleotida (h = 4).^9,10

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dari bulan Februari 2011 sampai dengan Januari 2012.

3.2 Peralatan

Peralatan yang digunakan adalah perangkat komputer dengan software yang digunakan MATLAB R2010b dan Microsoft Office 2007. Sebagai pendukung penulis menggunakan sumber literatur, yaitu jurnal-jurnal ilmiah, buku- buku, dan sumber-sumber lain yang terkait.

3.3 Metode Penelitian

Metode penelitian ini adalah mencari solusi numerik dari dinamika gangguan soliton DNA model Peyrard-Bishop- Dauxois (PBD) orde ke-3 dengan menggunakan metode finite-difference ^{2𝜎𝜀𝛿}

𝑃

2

2 cos 2(𝜎𝜏 + 𝜃_𝑛) ... (42b)

(2)

8

dibantu dengan interpolasi Lagrange.

Langkah-langkah yang dilakukan secara garis besar adalah studi pustaka dan pembuatan program simulasi.

3.3.1 Studi Pustaka

Studi pustaka dilakukan dengan membaca dan memahami jurnal-jurnal dan buku-buku yang berkaitan dengan penelitian ini. Studi pustaka juga membantu dalam menganalisis hasil simulasi yang dilakukan.

3.3.2 Pembuatan Program Simulasi Membuat sintak simulasi dengan

bantuan software MATLAB

menggunakan interpolasi Lagrange dan metode finite-difference. Termasuk dengan mengubah persamaan dinamika DNA model PBD ke dalam persamaan finite-difference dan interpolasi Lagrange.

3.3.2.1 Metode Beda Hingga (Finite Difference)

Sebuah aplikasi penting dari persamaan diferensial adalah dalam analisis numerik, terutama dalam persamaan diferensial numerik, tujuannya untuk menentukan solusi numerik dari persamaan diferensial biasa dan parsial.

Idenya adalah dengan menggantikan turunan yang muncul dalam persamaan diferensial dengan persamaan finite- difference yang teraproksimasi. Metode yang dihasilkan kemudian disebut metode beda hingga.¹⁹ Atau dalam kata lain, metode beda hingga (finite-difference) diterapkan untuk persamaan diferensial dengan melibatkan pergantian semua turunan dengan formula perbedaan (difference).²⁰ Metode ini digunakan untuk membantu dalam menentukan solusi numerik dari Persamaan NLS (26) sebelumnya [halaman 11]. Persamaan tersebut kemudian dapat diubah ke dalam bentuk persamaan differensial biasa, menjadi

𝑖^𝜕𝐹

𝜕𝑡 + 𝑃^𝜕²^𝐹

𝜕𝑥²+ 𝑄 𝐹 ²𝐹 = 0 ... (44)

Maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik beda hingga untuk masing-masing turunan parsial.

Untuk melakukannya pertama kali pilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0 dan membagi interval [a, b]

dengan (N + 1) sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 5, sedemikan rupa sehingga

ℎ = ^𝑏−𝑎

𝑁+1 ... (45)

Membuat sintak simulasi dengan bantuan software MATLAB menggunakan interpolasi Lagrange dan metode finite-difference. Termasuk dengan mengubah persamaan dinamika DNA model PBD ke dalam persamaan finite-difference dan interpolasi Lagrange.

Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatakan sebagai²¹

𝑥_𝑛 = 𝑎 + 𝑛ℎ, 𝑛 = 0,1, … , 𝑁 + 1 ... (46) Karena Persamaan (44) dibangun oleh dua parameter 𝑥 dan 𝑡, maka selanjutnya parameter 𝑡 juga dapat dituliskan sebagai 𝑡_𝑚 = 𝑎 + 𝑚ℎ, 𝑚 = 0,1, … , 𝑁 + 1 .... (47) dimana ℎ dapat pula dideskripsikan sebagai Δ𝑥 dan Δ𝑡 (ℎ = Δ𝑥 = Δ𝑡) dengan menyesuaikan parameter yang dimaksud.

Selanjutnya Persamaan (44) akan diubah ke dalam bentuk formula metode beda hingga. Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor yang dapat dituliskan 𝐹 𝑥_𝑛+ ∆𝑥 = 𝐹 𝑥_𝑛 + ∆𝑥 ^𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 + ^∆𝑥²

2

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 +^∆𝑥³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛 + ⋯ ... (48)

Gambar 5. Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h.²⁰

(3)

(55a) dan 𝐹_𝑛−1 dapat dinyatakan 𝑛+1

𝐹_𝑛+1 = 𝐹 𝑥_𝑛 + ∆𝑥 ^𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 +^∆𝑥²

2

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 + ^∆𝑥³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛 + ⋯ ... (49) 𝐹_𝑛−1 = 𝐹 𝑥_𝑛 − ∆𝑥 ^𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 +^∆𝑥²

2

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 + ^∆𝑥³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛 + ⋯ ... (50) Jika Persamaan (49) dikurangi dengan Persamaan (50) maka

𝐹_𝑛+1− 𝐹_𝑛−1 = 2∆𝑥 ^𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 + ^2(∆𝑥)³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛 + ⋯ ... (51) Turunan 𝐹 𝑥_𝑛 terhadap 𝑥 adalah

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 = ^𝐹^{𝑛 +1}^−𝐹^{𝑛 −1}

2∆𝑥 − ^(∆𝑥)³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛+ ⋯ ... (52a) atau

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 − ^𝐹^{𝑛 +1}^−𝐹^{𝑛 −1}

2∆𝑥 ≈ ^(∆𝑥)³

3!

𝜕³𝐹

𝜕𝑥³ 𝑥_𝑛+ ⋯ ... (52b) Selanjutnya ruas kanan pada Persamaan (52b) dapat dikatakan sebagai error dari Persamaan (51) yang artinya nilainya dapat diabaikan dengan memberikan notasi O. Sehingga Persamaan (51) dapat dituliskan kembali menjadi

^𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥_𝑛 = ^𝐹^{𝑛 +1}^−𝐹^{𝑛 −1}

2∆𝑥 + 𝑂(∆𝑥) ... (53)

dijumlahkan dengan Persamaan (50), maka

𝐹_𝑛+1+ 𝐹_𝑛−1 = 2𝐹 𝑥_𝑛 + (∆𝑥)²^𝜕²^𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 + ^2(∆𝑥)⁴

4!

𝜕⁴𝐹

𝜕𝑥⁴ 𝑥_𝑛 + ⋯ ... (54) Turunan kedua dari 𝐹 𝑥_𝑛 terhadap 𝑥 adalah

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 =^𝐹^{𝑛 +1}^−2𝐹^𝑛^+𝐹^{𝑛 −1}

∆𝑥² +^(∆𝑥)²

12

𝜕⁴𝐹

𝜕𝑥⁴ 𝑥_𝑛 atau

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 =^𝐹^{𝑛 +1}^−2𝐹^𝑛^+𝐹^{𝑛 −1}

∆𝑥² + 𝑂(∆𝑥²) ... (55b) Selanjutnya dilakukan aproksimasi turunan waktu (^𝜕𝐹

𝜕𝑡) pada Persamaan (44) berdasarkan Persamaan (53). Dimana dapat dituliskan persamaannya

^𝜕𝐹

𝜕𝑡 𝑡_{𝑚 +1},𝑥_𝑛 = ^𝐹^𝑛^{𝑚 +1}^+𝐹^𝑛^𝑚

2∆𝑡 (∆𝑡) ... (56) Sementara aproksimasi untuk turunan kedua terhadap jarak (^𝜕²^𝐹

𝜕𝑥²) pada Persamaan (44) berdasarkan Persamaan (55b) dalam iterasi waktu ke-𝑚 dapat dituliskan persamaannya

𝜕²𝐹

𝜕𝑥² 𝑥_𝑛 = ^𝐹^{𝑛 −1}^𝑚 ^+2𝐹^𝑛^𝑚^−𝐹^{𝑛 −1}^𝑚

∆𝑥² + 𝑂(∆𝑥²) ... (57) Kemudian Persamaan (56) dan (57) disubstitusikan ke Persamaan (44) maka

𝑖^{𝐹 𝑥}^𝑛^,𝑡^{𝑚 +1}^{− 𝐹(𝑥}^𝑛^,𝑡^{𝑚 −1}⁾

2Δt + 𝑃^{𝐹 𝑥}^{𝑛 +1}^,𝑡^𝑚^{− 2𝐹 𝑥}^𝑛^,𝑡^𝑚^{+ 𝐹(𝑥}^{𝑛 −1}^,𝑡^𝑚⁾

Δx² + 𝑄 𝐹 ²𝐹 = 0 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_{𝑚 +1} − 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_{𝑚 −1} = 2𝑖^Δt

Δx²𝑃(𝐹 𝑥_𝑛+1, 𝑡_𝑚 − 2𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 + 𝐹 𝑥_{𝑛 −1}, 𝑡_𝑚 ) + 𝑄 𝐹(𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚) ²𝐹(𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚)

𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_{𝑚 +1} = 2𝑖 ^𝛥𝑡

𝛥𝑥²𝑃(𝐹 𝑥_{𝑛 +1}, 𝑡_𝑚 − 2𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 + 𝐹 𝑥_{𝑛 −1}, 𝑡_𝑚 ) + 𝑄 𝐹(𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚) ²𝐹(𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚) + 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_{𝑚 −1} ... (58)

Persamaan (58) inilah yang selanjutnya diubah ke dalam bahasa pemrograman MATLAB.

3.3.2.2 Interpolasi Lagrange

Pada metode finite-difference sebelumnya telah diuraikan bahwa untuk menentukan solusi numerik, cara pertama dengan memilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0 dan membagi

(4)

𝑥 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄ 𝑁

ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

10 interval [a, b]. Sebelum menentukan nilai a dan b, harus diketahui terlebih dahulu nilai titik-titik sebelum a dan nilai titik- titik setelah b, agar mempermudah dalam menentukan nilai a dan b yang dimaksud.

Untuk itu digunakanlah interpolasi Lagrange dalam menentukan titik-titik tersebut.

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, untuk mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1).²¹ Langkah pertama yang dilakukan adalah mendefinisikan fungsi berikut 𝐿₀ 𝑥 = ^𝑥−𝑥¹

𝑥₀−𝑥₁ ... (59a) dan

𝐿₁ 𝑥 = ^𝑥−𝑥⁰

𝑥₁−𝑥₀ ... (59b) kemudian definisikan fungsi polinomial sebagai berikut

𝑃 𝑥 = 𝐿₀ 𝑥 𝑦₀+ 𝐿₁(𝑥)𝑦₁ ... (60) Substitusi Persamaan (59a) dan (59b) ke Persamaan (60), maka akan didapat 𝑃 𝑥 = ^𝑥−𝑥¹

𝑥₀−𝑥₁𝑦₀+ ^𝑥−𝑥^𝑜

𝑥₁−𝑥₀𝑦₁ ... (61) dan ketika 𝑥=𝑥0

𝑃 𝑥₀ =^𝑥⁰^−𝑥¹

𝑥₀−𝑥₁𝑦₀+^𝑥⁰^−𝑥^𝑜

𝑥₁−𝑥₀𝑦₁= 𝑦₀... (62a) dan pada saat 𝑥=𝑥1

𝑃 𝑥₁ =^𝑥¹^−𝑥¹

𝑥₀−𝑥₁𝑦₀+^𝑥¹^−𝑥^𝑜

𝑥₁−𝑥₀𝑦₁= 𝑦₁ ...(62b) Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa Persamaan (61) benar- benar melewati titik (𝑥𝑜, 𝑦_𝑜) dan (𝑥1, 𝑦₁).²²

Persamaan (61) dinamakan interpolasi Lagrange derajat 1. Nama interpolasi ini diambil dari nama penemunya, yaitu Joseph Louis Lagrange yang berkebangsaan Perancis. Bentuk umum interpolasi Lagrange derajat ≤ n

untuk (n+1) titik berbeda adalah

𝑃 𝑥 = 𝑦_𝑖

𝑛

𝑖=0

𝐿_𝑖 𝑥 = 𝑦₀𝐿₀ 𝑥 + 𝑦₁𝐿₁ 𝑥 + ⋯ + 𝑦_𝑛𝐿_𝑛… … … . (63)

dengan i = 0, 1, 2, ...., n dan

𝐿_𝑖 𝑥 = 𝑥 − 𝑥_𝑗

𝑥_𝑖− 𝑥_𝑗 = 𝑥 − 𝑥₀ 𝑥 − 𝑥₁ … 𝑥 − 𝑥_𝑖−1 𝑥 − 𝑥_𝑖+1 … 𝑥 − 𝑥_𝑛 (𝑥_𝑖− 𝑥) 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖 … 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖+1 … (𝑥_𝑖− 𝑥_𝑛)

𝑛

𝑗 =0 𝑗 ≠𝑖

… … (64)

Mudah dibuktikan bahwa:

𝐿_𝑖 𝑥_𝑗 = 1 , 𝑖 = 𝑗 0 , 𝑖 ≠ 𝑗

dan polinom interpolasi P(x) melalui setiap titik data.²³

Jika terdapat N data yang terdiri dari titik-titik 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, dan seterusnya,

dan jarak antara titik satu dengan lainnya adalah h, maka Persamaan (63) dapat ditulis untuk tiga titik terdekat (𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃)

𝑃 𝑥 = ^𝑥−𝑥¹^(𝑥−𝑥²⁾

𝑥₀−𝑥₁ (𝑥₀−𝑥₂)𝑦₀+ ^𝑥−𝑥⁰^(𝑥−𝑥²⁾

𝑥₁−𝑥₀ (𝑥₁−𝑥₂)𝑦₁+ ^𝑥−𝑥⁰^(𝑥−𝑥¹⁾

𝑥₂−𝑥₀ (𝑥₂−𝑥₁)𝑦₂ 𝑃 𝑥 =^{−2ℎ (−3ℎ)}

−ℎ (−2ℎ) 𝑦₀+^{−ℎ (−3ℎ)}

ℎ(−ℎ) 𝑦₁+^{−ℎ (−2ℎ)}

2ℎ (ℎ) 𝑦₂

𝑃 𝑥 = 3𝑦₀− 3𝑦₁+𝑦₂... (65)

(5)

1 + 𝜀

𝜓²Δt 𝑄 𝐹₁ ²𝐹₁+

𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 ... (67) 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_{𝑚 +1} = 2𝑖𝜑² Δt

Δx² (𝐹 𝑥_{𝑛 +1}, 𝑡_𝑚 − 2𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 +

𝐹 𝑥_𝑛−1, 𝑡_𝑚 ) +

variabel yang digunakan pada persamaan NLS ini masih mengalami masalah dalam perhitungan numeriknya, dimana nilai yang digunakan masih terlalu besar untuk cakupan numerik pada software MATLAB sehingga error yang dihasilkan juga menjadi cukup besar. Untuk mengatasi masalah ini, maka dilakukanlah skala ulang terhadap nilai parameter pendukung. Skala ulang parameter ini tidak mengubah persamaan, tetapi dilakukan dengan cara memasukkan variabel pengali lain yang nilainya kecil yang dapat ditentukan sendiri, ke dalam parameter t, x, dan F, sehingga nilai ketiga parameter tersebut menjadi lebih kecil (penurunan lengkap dapat dilihat pada Lampiran B dan C)

𝑡 → ^𝑡

𝜎 ; 𝑥 →^𝑥

𝑃 𝜎

𝜑 ; dan 𝐹 → 𝜓𝐹 _𝑄^𝜎 ... (66) dimana 𝜑 dan 𝜓 merupakan variabel skala ulang yang dimaksud. Nilai kedua variabel ini harus disesuaikan dengan parameter t, x, dan F agar diperoleh hasil yang tepat. Dalam hal ini nilai variabel 𝜑 dan 𝜓 berturut-turut digunakan nilai 0,0005 dan 0,03 untuk gangguan pertama dan kedua, serta 0,001 dan 0,03 untuk gangguan ketiga. Nilai ini diperoleh dari hasil trial and error yang dilakukan selama penelitian.

Parameter t, x, dan F yang telah diskala ulang, kemudian disubstitusi ke Persamaan (58), sehingga persamaannya menjadi:

𝐹 =²

𝜓 sech ^𝑥

𝜑 ... (68) Dalam penelitian ini, solusi numerik dari persamaan NLS stabil diberikan tiga kasus gangguan. Hal ini dengan cara memberikan variabel tambahan pada persamaan ansatz, sehingga dapat diamati perubahan dari masing-masing keadaan setelah diberi gangguan. Ketiga persamaan tersebut adalah

𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 =²

𝜓 𝑠𝑒𝑐ℎ ^𝑥

𝜑 1 + 𝜀 ... (69a) 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 =²

𝜓 𝑠𝑒𝑐ℎ 1 + 𝜀 ^𝑥

𝜑 ... (69b) 𝐹 𝑥_𝑛, 𝑡_𝑚 =²

𝜓 (𝑠𝑒𝑐ℎ ^𝑥^𝑖^+𝑥⁰

𝜑 + 𝑠𝑒𝑐ℎ ^𝑥^𝑖^−𝑥⁰

𝜑 𝑒^𝑖𝜃)... (69c) Persamaan (69a), (69b), dan (69c) selanjutnya digunakan untuk menggantikan Persamaan ansatz (68) solusi stabil. Sama seperti Persamaan (68) persamaan-persamaan tersebut digunakan untuk menentukan solusi baru dari persamaan NLS soliton DNA yang digunakan. Dari ketiga persamaan ini akan dihasilkan solusi baru yang berbeda dengan solusi stabilnya.

Persamaan-persamaan yang telah diubah ke dalam bentuk persamaan metode beda hingga dan interpolasi Lagrange, serta telah dilakukan skala ulang kemudian disusun dalam bahasa pemrograman MATLAB [Lampiran D].

Dari program simulasi ini akan ditampilkan output berupa grafik tiga dimensi yang merupakan hasil solusi numerik dari soliton DNA model PBD ini.

Solusi numerik yang telah diperoleh ini selanjutnya diamati dan dianalisa, sehingga dapat dijelaskan fenomena yang terjadi.