BAB II TEORI TERKAIT

II. TEORI TERKAIT

2.1 Pemodelan Penjalaran dan Transformasi Gelombang

2.1.1 Persamaan Pengatur

Berkenaan dengan persamaan dasar yang digunakan model MIKE, baik deskripsi dari suku-suku sumber serta metode solusi numerik yang digunakan, MIKE 21 NSW ini didasarkan pada pendekatan yang diusulkan oleh Holthuijsen et, al 1989.

Variasi persamaan angin di MIKE 21 didiskusikan dan dibandingkan dalam Johnson (1998).

Persamaan dasar yang digunakan diturunkan dari persamaan kekekalan massa untuk densitas gerak spektral gelombang. Parameterisasi dari persamaan dalam domain frekuensi dilakukan dengan memasukkan momen ke-nol dan momen ke-1 dari gerak spektrum sebagai variabel tidak bebas. Hal ini mengantarkan kita pada persamaan differensial parsial terkopel.

డ൫஼_೒ೣ௠_బ൯

డ௫

൅

^{డ൫஼೒೤}_డ௬^௠బ൯

൅

^డሺ஼_డఏ^ഇ௠బሻ

ൌ ܶ

_଴

(2.1)

డ൫஼೒ೣ௠భ൯

డ௫

൅

^{డ൫஼೒೤}_డ௬^௠భ൯

൅

^డሺ஼_డఏ^ഇ௠భሻ

ൌ ܶ

_ଵ

(2.2)

dimana

m

o

(x,y,) - momen ke-nol dari spektrum m

1

(x,y,) - momen ke-satu dari spektrum

C

gx

dan C

gy -

komponen dalam arah x dan y dari kecepatan grup

C



- kecepatan penjalaran mewakili perubahan gerak dalam arah 

 - arah penjalaran gelombang T

0

dan T

1

- suku-suku sumber

BAB II

TEORI TERKAIT

Momen-momen ini m

n

() didefinisikan sebagai densitas gerak spektral gelombang, kecepatan penjalaran gelombang C

gx

, C

gy

dan C



diperoleh menggunakan teori gelombang linier.

݉

_௡

ሺߠሻ ൌ ׬ ߱

_଴^{ ௡}

ܣሺ߱ǡߠሻ݀߱ (2.3)

dimana  merupakan frekuensi absolut dan A adalah densitas gerak spektral gelombang.

Suku-suku di ruas kiri persamaan dasar memasukkan efek refraksi dan pendangkalan, sedangkan suku-suku sumber T

0

dan T

1

memasukkan efek pembangkitan angin lokal dan dissipasi yang terkait gesekan dasar dan gelombang pecah.

2.1.2 Kriteria Stabilitas

Menggunakan metode beda pusat pada arah-y dan upwinded differencing pada arah-, maka kriteria stabilitas adalah (lihat Abbot et, al 1978)

ฬ

^஼_஼^೒೤ο௫

೒ೣο௬

ฬ ൅ ฬ

_஼^஼ഇο௫

೒ೣοఏ

ฬ ൑ ͳ (2.4)

dimana C

gx

dan C

gy

merupakan komponen dalam arah-x dan arah-y dari kecepatan grup dan C



merupakan kecepatan penjalaran mewakili perubahan gerak dalam domain-. Dalam kenyataannya sangat sulit menggunakan criteria ini karena C

gx

, C

gy

dan C



sulit diketahui dengan baik. Untuk kasus tanpa arus, berikut adalah dua pendekatan yang dapat digunakan (lihat Holthuijsen et al, 1989).

୼௫

୼௬

൑ ܿ݋ݏሺߠሻ ቂ

^ଵ_ௗ^డௗ_డ௡

ቃ

^ିଵ

(2.5)

୼௬

୼௫

൒ ʹ ݐܽ݊ሺߠሻ (2.6)

Dimana d adalah kedalaman laut dan n adalah koordinat normal terhadap terhadap arah spektral gelombang . Syarat yang pertama diatas dapat disederhanakan menjadi:

୼௫

୼஘

൒ ݐܽ݊ሺߠሻǤ

_ௗ^ଵడௗ_డ௫

െ

_ௗ^ଵడௗ_డ௬

(2.7)

Hal ini juga dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mengasumsikan kontur lurus dan sejajar sebagai :

୼௫

୼஘

൒ ݐܽ݊ሺߠሻǤ

_ௗ^ଵడௗ_డ௫

(2.8)

2.1.3 Parameter – Parameter Gelombang

Tinggi gelombang signifikan H

m0

didefinisikan oleh

ܪ

_௠௢

ൌ Ͷ ඥܧ

ଵ

(2.9)

dimana total energi gelombang E

1

adalah

ܧ

_ͳ

ൌ ׬

_Ͳ^ʹߨ

ܧ ^ሺ ߠ ^ሻ ݀ߠ (2.10)

rata-rata periode gelombang T

m

didefinisikan oleh

ܶ

_݉

ൌ

^ʹߨ_߱

ͳ

(2.11)

dimana

߱

ͳ

ൌ

^{׬ ׬Ͳʹߨ Ͳ߱ܧሺ߱ǡߠሻ݀߱݀ߠ}

׬ ׬_Ͳ^ʹߨ _Ͳ^ܧሺ߱ǡߠሻ݀߱݀ߠ

(2.12)

arah rata-rata gelombang q

m

dan deviasi standar berarah  didefinisikan oleh :

ߠ

_௠

ൌ ܽݎܿݐܽ݊

^௕_௔

(2.13)

ߪ ൌ ቆʹ ቀͳെሺܽ

^ଶ

൅ ܾ

^ଶ

ሻ

^భమ

ቁቇ

భ మ

(2.14)

dimana

ܽ ൌ

_ா^ଵ

భ

׬ ܿ݋ݏሺߠሻܧሺߠሻ݀ߠ

_଴^ଶగ

^(2.15)

dan

ܾ ൌ

_ா^ଵ

భ

׬ ݏ݅݊ሺߠሻܧሺߠሻ݀ߠ

_଴^ଶగ

^(2.16)

2.2 Parameter Model Gelombang

2.2.1 Gesekan Dasar

Gesekan dasar merupakan proses dimana gelombang kehilangan sebagian dari energinya terkait pengaruh gesekan di dasar laut. Efek ini bersifat kumulatif dan jumlah energi yang terdisipasi bertambah dengan jarak, tinggi gelombang, periode gelombang serta berkurangnya kedalaman.

Formulasi disipasi energi terkait gesekan dasar berdasarkan hukum friksi kuadratik (the quadratic friction law). Disipasi energi untuk gelombang acak tak berarah dengan profil tinggi gelombang Rayleigh (satu nilai frekuensi, ), diberikan oleh Dingemas (1983) sebagai:

ௗா

ௗ௧

ൌ

_଼ξగ^ିଵ



^஼೑ೢ_௚

ቀ

_{ୱ୧୬ሺ௞ௗሻ}^{ఠுೝ೘ೞ}

ቁ

^ଷ

(2.17)

dimana

ܧ ൌ ܪ

^ଶ_௥௠௦

Τ ͺ (2.18)

Z adalah frekuensi, H

^rms

adalah akar kuadrat rata-rata dari tinggi gelombang, k adalah bilangan gelombang, d adalah kedalaman dan c

fw

adalah faktor friksi gelombang.

Ekspresi disipasi diatas telah diperluas oleh Holthuijsen et al. (1989) untuk

menambahkan profil berarah dari energi gelombang dan pengaruh dari arus.

݂

_ௐ

ൌ ൝ ͲǡʹͶܽ

_௕

Ȁ݇

_ே

൏ Ͳ

‡š’ሺെͷǡͻ͹͹ ൅ ͷǡʹͳ͵ ቀ

_௞^௔್

ಿ

ቁ

^{ି଴ǡଵଽସ}

ሻܽ

_௕

Ȁ݇

_ே

൒ Ͳ (2.19) dan

ܥ

_௙௪

ൌ ݂

_௪

Τ ʹ (2.20)

Faktor friksi c

fw

dapat ditetapkan langsung ataupun menggunakan ekspresi numerik (lihat Jonsson,1966).

Gesekan dasar di daerah yang didominasi oleh pasir bergantung pada besarnya butiran dari sedimen dan keberadaan struktur dasar. Untuk lebih rinci dapat dilihat di Nielsen, 1979, dan Roudkivi, 1988. Untuk kasus dimana tidak terdapat struktur dasar, parameter kekasaran Nikuradse (k

N

) dapat di perkirakan dengan (Nielsen, 1979)

݇

_ே

ൌ ʹǡͷܦ

_ହ଴

(2.21)

Dimana d

50

merupakan nilai tengah dari ukuran butiran. Dengan keberadaan riak –riak, k

N

dapat menjadi jauh lebih besar daripada nilai tersebut dan seharusnya dapat dipekirakan melibatkan karakteristik riak. Kekasaran dasar dapat kemudian menjadi lebih besar dengan adanya vegetasi. Umumnya cukup sulit untuk menaksir parameter ini, dengan begitu parameter ini digunakan sebagai faktor kalibrasi.

2.2.2 Gelombang Pecah

Gelombang pecah merupakan proses dimana gelombang kehilangan energi saat gelombang tumbuh terlalu curam (mencapai batas kecuraman) dan menjadi tidak stabil, atau saat gelombang menjadi terlalu tinggi untuk ditopang oleh kedalaman.

Formulasi gelombang pecah terkait kecuraman gelombang yang besar dan

batas kedalaman didasarkan dari persamaan yang dikembangkan oleh Battjes dan

Janssen, 1978. Mereka memasukkan ekspresi berikut untuk laju dimana energi

terdisipasi terkait gelombang pecah.

ௗா

ௗ௫

ൌ

^ିן_଼గ

ܳ

_௕

߱ܪ

_௠^ଶ

(2.22)

dimana

ଵିொ್

௟௡ሺொ_್ሻ

ൌ  െቀ

^ு_ு^ೝ೘ೞ

೘

ቁ

^ଶ

(2.23)

E adalah energi total, Z adalah frekuensi, H

rms

adalah nilai rms dari tinggi gelombang, H

m

adalah nilai maksimum tinggi gelombang yang diperkenankan, Q

b

adalah fraksi dari gelombang pecah D adalah konstanta yang dapat diatur. Q

b

mengontrol laju dari disipasi, dan ketinggian gelombang maksimum dihitung oleh:

ܪ

_௠

ൌ ߛ

_ଵ

݇

^ିଵ

–ƒŠሺ

^ఊమ_ఊ^௞ௗ

భ

ሻ (2.24)

dimana k adalah bilangan gelombang, d adalah kedalaman laut J

1

dan J

2

adalah dua parameter gelombang pecah. J

1

mengontrol kondisi kecuraman dan J

2

mengontrol kondisi kedalaman batas. Dengan menaikkan J

¹

, kecuraman terkait pecahnya gelombang akan berkurang.

Empat referensi acuan penetapan parameter-parameter gelombang adalah :

x

Parameter J

¹

^, J

²

^dan D ditentukan langsung sebagai nilai yang konstan dalam daerah gelombang. Baltjes dan Janssen (1978) menggunakan nilai-nilai berikut untuk tiga konstanta gelombang pecah yaitu :

J

¹

^{= 0,88,} J

²

= 0,8 dan D 

x

Battjes dan Stive (1985). Disini J

2

ditentukan langsung sebagai fungsi parameter gelombang laut dalam. J

¹

^dan D ditentukan langsung sebagai nilai yang konstan. Pada sebuah tulisan oleh Baltjes dan Stive (1985), dikemukakan bahwa nilai J

²

didapatkan dengan mengkalibrasi model disipasi terhadap model gelombang. Diperoleh bahwa :

ߛ

_ଶ

ൌ Ͳǡͷ ൅ ͲǡͶǤ ݐ݄ܽ݊ሺ͵͵Ǥ ܵ

_଴

ሻ (2.25)

dimana ܵ

_଴

adalah kecuraman gelombang datang (S

o

= H

rms

/ L

puncak

,

laut dalam

, dimana L

puncak

,

laut dalam

adalah panjang gelombang pada puncak dari spektrum gelombang dating yakni pada laut dalam. Dalam Baltjes & Stive (1985), D  dan J

¹

^{= 0,88.}

x

Nelson (1987). Disini J

²

adalah fungsi dari kemiringan dasar lokal.

Kecuraman terkait gelombang pecah ditiadakan ( J

1

tidak digunakan). D langsung ditentukan sebagai nilai yang konstan. Nelson (1987) mengusulkan bahwa terdapat ketergantungan dari gelombang pecah yang diakibatkan oleh kemiringan dasar lokal berdasarkan

ߛ

_ଶ

ൌ Ͳǡͷͷ ൅ ͲǡͺͺǤ ݁ݔ݌ ቀെͲǤͲͳʹǤ

_{௧௔௡ ఏ}^ଵ

ቁ (2.26)

dimana ݐܽ݊ ߠ adalah slope dasar. Ekspresi ini valid untuk ݐܽ݊ ߠ0 dengan kata lain berkurangnya kedalaman dalam arah penjalaran gelombang.

x

Parameter J

¹

^, J

²

^dan D ditentukan sebagai peta dua dimensi.

Di kemudian hari nilai untuk J

¹

= 1.0 diusulkan Holthuijsen et.al (1989).

Efek dari gelombang pecah dalam perioda gelombang rata-rata dapat dimasukkan. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa disipasi energi terkait gelombang pecah dikonsentrasikan pada sisi frekuensi rendah dari spektrum frekuensi.

Karenanya, gelombang pecah mempunyai pengaruh pengurangan periode gelombang pecah rata-rata.

2.3 Transformasi Gelombang dalam Perairan Dangkal

Gelombang akan mengalami transformasi ketika gelombang menjalar di perairan dangkal, baik perubahan kecepatannya, tinggi dan mungkin arahnya.

Parameter yang tidak mengalami perubahan sepanjang perambatannya adalah

periode, karena jumlah gelombang persatuan waktu yang melalui titik - titik yang

berurutan adalah sama.

Penyebab utama transformasi gelombang adalah terdapat variasi kedalaman pada perairan dangkal. Perubahan bentuk gelombang dapat berupa shoaling (efek pendangkalan), refraksi (pembelokkan) dan breaking (pecahnya Gelombang). Jika gelombang membentur suatu halangan (berupa breakwater atau karang), maka gelombang tersebut akan mengalami hamburan atau difraksi. Perubahan – perubahan yang terjadi dari suatu gelombang dalam penjalarannya dari laut dalam ke arah pantai, antara lain :

2.3.1 Pendangkalan

Pendangkalan (shoaling) adalah proses berubahnya profil gelombang sewaktu bergerak akibat berkurangnya kedalaman air pada waktu gelombang bergerak. Fasa gelombang dan kecepatan grup gelombang menjadi fungsi kedalaman ketika kedalaman berkurang sekitar seperempat panjang gelombang di laut dalam.

Sedangkan perioda gelombang dan frekuensi gelombang tidak berubah ketika gelombang mendekat ke pantai, dan komponen ini dipakai untuk menghitung parameter shoaling. Tinggi gelombang akan membesar ketika kecepatan grup gelombang melambat. Asumsi yang digunakan adalah daya dari gelombang itu, akan tetap sepanjang dia merambat.

ு

ுబ

ൌ ට

^஼_஼^ಸబ

ಸ

ൌ ට

^ଵ_ଶ^ଵ_௡^஼_஼^ಸ

ൌ ܭ

_௦

(2.27)

Dimana Ks adalah koefisien pendangkalan yang bergantung pada kedalaman, dan menyatakan besarnya perubahan tinggi gelombang akibat pendangkalan.

2.3.2 Refraksi

Refraksi atau pembelokkan terjadi pada keadaan suatu gelombang datang dari

perairan dalam dengan suatu sudut tertentu ke perairan dangkal, yang menyebabkan

suatu muka gelombang akan menyentuh kedalaman yang berbeda dan hal ini akan

m pe pe se si

G Su ((h Ja

pa ke na se m ge A

ƒ

ƒ

ƒ

menyebabkan erbedaan ke erairan dan edangkan si

si yang lain

ambar 1. Re umber:

http://www.su anuari 2009)

Perbe ada kontur ecepatannya amun keada eolah-olah memilki pen

elombang se Asumsi yang

Energi ya Lintasan Pada sua dangkal h

n perbedaa ecepatan di ngkal yan isi lain yan n.

efraksi Gelom urfline.com/s

edaan kecep kedalaman a sama dan aan lain jug membelok ngaruh yang

epanjang pa g digunakan

ang terkandu gelombang atu periode hanya berga

an kecepata sebabkan k ng menyeb g masih be

mbang yang M surfnews/ima

patan ini a n yang sam n masuk ke ga mungkin dan masu g signifika antai.

n dalam men ung diantar tegak lurus e tertentu, antung pada

an dari satu karena satu babkan kec erada di per

Menjalar Dar ages/2008/02_

akan berkur a, artinya m e pantai mu n terjadi, dim

k kepantai an terhadap

nganalisa re ra dua lintas s dengan mu

kecepatan a kedalaman

u muka ge sisi muka g cepatan fa rairan dalam

ri Perairan D _february/ca_

rang setelah muka gelom uka gelomb

mana muka dengan su tinggi gel

efraksi adala san gelomba uka gelomb

gelombang n laut di titik

elombang te gelombang asa gelomb

m bergerak

Dalam ke Per _swell_3/full/b

h muka ge mbangnya t bang sejajar a gelomban

udut terten lombang da

ah :

ang tertentu bang

g disuatu t k tersebut.

ersebut. Ad telah mem bang berku

lebih cepa

airan Dangk bryant_oc.jp

elombang b telah sejaja r dengan p ng tetap ber ntu. Refraks

an profil e

u adalah teta

titik di per danya masuki urang at dari

kal.

pg,9

berada ar dan

antai, gerak si ini energi

ap.

rairan

ƒ Perubahan batimetri secara bertahap

ƒ Gelombang memiliki perioda tetap, muka gelombang panjang tak hingga, amplitudo kecil dan monokhromatis

ƒ Pengaruh arus laut, angin, pemantulan gelombang dan gesekan dasar tidak diperhitungkan

Gambar 2. Sinar Gelombang Memasuki Perairan Dangkal. Sumber: (Dean & Dalrymple, Water

Wave Mechanics for Engineers and Scientists, Prentice-Hall, New Jersey, 1984)

Akibat asumsi diatas enegi ditransmisikan secara konstan diantara ortogonal- ortogonalnya. Pada perairan dalam energi yang ditransmisikan menembus bidang diantara dua ortogonal yang berdekatan. Fluks energi rata-ratanya adalah:

ܲ ഥ ൌ

_௢ ^ଵ_ଶ

ܾ

_௢

ܧ

_௢

ܥ

_௚௢

(2.28)

Energi dalam kolom ini konstan sampai perairan dangkal

ܲത ൌ ܾ݊ܧതܥ

_௚

(2.29)

ܲ

௢ሺ௟௔௨௧ௗ௔௟௔௠ሻ

ൌ ܲ

ଵሺ௟௔௨௧ௗ௔௟௔௠ሻ

(2.30)

ሺ݊ܧܥሻ

௢

ܾ

_௢

ൌ ሺ݊ܧܥሻ

_ଵ

ܾ

_ଵ

(2.31)

dimana bo = jarak orthogonal di perairan dalam.

Dengan ܧ ൌ

^ଵ_଼

ߩ݃ܪ

^ଶ

dan n

o

= 1 maka didapatkan:

ܪ

_ଵ

ൌ ܪ

_௢

ට

^௡_௡^బ_భ^௖_௖^బ_భ

ට

^௕_௕^బ

భ

ൌ ܪ

_଴

ට

_௡^ଵ

భ

஼_బ

஼భ

ට

^௕_௕^బ

భ

(2.32)

dengan

ܭ

_௥

ൌ ට

^௕_௕^బ_భ

ൌ ට

^{ୡ୭ୱ ఏ}_{ୡ୭ୱ ఏ}^బ_భ

ൌ ට

^{ଵି௦௜௡}_{ଵି௦௜௡}^మ_మ^ఏ_ఏ^బ

భ

ర

(2.33)

2.3.3 Gelombang pecah

Pada saat gelombang menjalar dari perairan dalam ke perairan dangkal maka akan terjadi perubahan pada parameter gelombang yaitu adanya pertambahan tinggi gelombang dengan semakin bekurangnya kedalaman. Sehingga saat memasuki perairan dangkal akan terjadi fenomena gelombang pecah, yaitu saat tinggi gelombang menjadi tidak stabil akibat terlalu curam sedangkan kedalamannya semakin berkurang yang menyebabkan gelombang semakin tinggi dan tidak stabil dan akhirnya pecah. Maka gelombang pecah sangat berkatan dengan rasio antara tinggi gelombang dan kedalaman perairan.

Pada saat gelombang pecah maka energi gelombang tersebut akan mengalami disipasi. Bila ditinjau pada perairan yang mengalami pendangkalan (shoaling) maka gelombang yang datang dari perairan dalam akan bergerak ke arah pantai dan pecah ketika hampir mendekati pantai.

Tinggi gelombang saat pecah H

b

dapat diketahui dengan

ܪ

_௕

ൌ

^ுబᇱ

ଷǤଷ௫ቀ^ಹబᇲ_ಽబቁ^భȀయ

(2.34)

Sedangkan kedalaman saat gelombang tersebut pecah d

b

dapat diketahui dari

ௗ_್

ு್

ൌ ͳǤʹͺ (2.35)

2.3.4 Stress Radiasi

Kehadiran suatu gelombang yang menjalar ke arah akan menghasilkan aliran momentum yang didefinisikan sebagai stress radiasi. Aliran momentum ini dibentuk oleh dua faktor, yaitu:

1. Kecepatan partikel air yang disebabkan gelombang 2. Tekanan

Stress radiasi adalah stress yang diintegrasi terhadap kedalaman (depth-

integrated stress) atau gaya persatuan lebar yang dapat didefiniskan sebagai

excessive flux dari momentum karena adanya gelombang.