BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Pemetaan linear merupakan salah satu jenis pemetaan yang dikenal dalam bidang matematika, khususnya dalam bidang matematika analisis. Diberikan ruang vektor X dan Y atas lapangan yang sama, katakan K (C atau R), pemetaan f : X → Y dikatakan linear apabila f(αx) = αf(x) dan f(x + u) = f(x) + f(u), untuk setiap x, u ∈ X dan untuk setiap α ∈ K. Contoh dari pemetaan linear adalah f :R → R dengan f(x) = 3x untuk setiap x ∈ R. Konsep pemetaan linear banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang, diantaranya dalam bidang geometri, statistika multivariat, fisika, dan tehnik. Dalam analisis fungsional, keluarga pemetaan linear digunakan sebagai salah satu syarat pada Teorema Keterbatasan Seragam.

Pemetaan yang tidak memenuhi sifat di atas disebut pemetaan tak linear.

Contoh dari pemetaan tak linear adalah f : R → R dengan f(x) = 2x+2 untuk se- tiap x ∈ R. Contoh lain dari pemetaan tak linear adalah, fungsi f dari ruang bernor- ma (X, k.k) atas lapangan R, dengan f(x) = kxk untuk setiap x ∈ X. Meskipun pemetaan yang disebutkan terakhir bukan pemetaan linear, namun pemetaan terse- but mempunyai sifat splitting, yaitu jika diberikan u ∈ X dan t ∈ R, maka terdapat s∈ [−|t|, |t|], dengan sifat

kx + tuk = kxk + skuk untuk setiap x ∈ X.

Li dkk [2009] telah meneliti bahwa terdapat keluarga pemetaan tak linear dari R ke R yang mempunyai sifat splitting seperti yang berlaku pada norma, walaupun ada beberapa syarat yang harus ditambahkan. Lebih lanjut, konsep terse- but dapat dikembangkan secara lebih umum pada ruang vektor topologis. Keluarga

1

pemetaan tak linear itulah yang akan disebut dengan keluarga pemetaan demi linear.

Dalam penelitian tersebut juga menunjukkan bahwa, pada Teorema Terbatas Sera- gam tidak harus menggunakan keluarga pemetaan linear, akan tetapi pemetaan demi linear, dengan syarat daerah asal keluarga pemetaan tersebut ruang yang metrizable.

Selanjutnya Guo dkk [2012] mempublikasikan penelitian tentang aplikasi pemetaan demi linear. Isi penelitian tersebut adalah mengkarakterisasi matriks transformasi l^q(X)ke l^p(Y ), dengan X dan Y ruang Banach.

Dalam tugas akhir ini, akan dipelajari keluarga pemetaan demi linear seperti yang telah diteliti oleh Li dkk [2009], serta aplikasinya dalam mengkaraterisasi matriks transformasi l^q(X)ke l^p(Y ), dengan X dan Y ruang Banach, seperti yang telah diteliti oleh Guo dkk [2012].

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada latar belakang, dalam penelitian ini akan diru- muskan masalah sebagai berikut.

1. Akan dibuktikan bahwa pada Teorema Terbatas Seragam, keluarga pemetaan linear dapat diganti dengan keluarga pemetaan demi linear, dengan syarat daerah asal pemetaan tersebut ruang yang metrizable.

2. Akan dibuktikan untuk setiap 1 ≤ q < ∞, 1 ≤ q < ∞, dan f^ijanggota suatu keluarga demi linear yang terbatas untuk setiap i, j ∈ N, (fij) merupakan matriks transformasi yang memetakan l^q(X)ke l^p(Y ), dengan X dan Y ruang Banach.

1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, tujuan penelitian yang akan dipaparkan adalah sebagai berikut.

1. Mempelajari pengertian dan sifat pemetaan demi linear dari R ke R.

2. Mempelajari pengertian dan sifat pemetaan demi linear pada ruang vektor topologis yang lebih umum.

3. Mengetahui karakterisasi matriks transformasi dari l^q(X) ke l^p(Y ), dengan X dan Y merupakan ruang Banach.

Dari hasil penelitian ini, diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang kelu- arga pemetaan yang lebih luas daripada keluarga pemetaan linear, yaitu keluarga pemetaan demi linear, beserta aplikasinya dalam mengkarakterisasi matriks trans- formasi dari l^q(X)ke l^p(Y ), dengan X dan Y ruang Banach.

1.4. Tinjauan Pustaka

Pemetaan linear merupakan tipe pemetaan yang banyak dibahas dalam bidang matematika analisis. Diberikan ruang vektor X dan Y dengan lapangan yang sama, dinamakan K, dan f pemetaan linear dari ruang vektor X ke ruang vektor Y . Salah satu sifat pada pemetaan linear adalah sifat splitting, yaitu untuk setiap x, u ∈ X, dan setiap t ∈ K terdapat s ∈ K sehingga

f (x + tu) = f (x) + sf (u) .

Pada pemetaan linear berlaku sifat splitting tegas, yaitu f(x + tu) = f(x) + sf (u)dengan s = t. Selanjutnya terdapat keluarga pemetaan tak linear dari R ke R yang mempunyai sifat splitting, walaupun tidak tegas seperti pada pemetaan linear dari R ke R. Pembahasan tentang keluarga pemetaan tak linear tersebut dikaji oleh Li dkk [2009]. Selanjutnya Li dkk [2009] memperluas definisi pemetaan tersebut pada ruang vektor topologis yang lebih umum, yang selanjutnya dikenal dengan pemetaan demi linear. Dalam penelitiannya Li dkk [2009] menyatakan bahwa keluarga pemetaan demi linear dapat digunakan untuk memperluas Teorema Keterbatasan Seragam.

Sebelum dilakukan kajian lebih lanjut mengenai pemetaan demi linear diper- lukan beberapa pembahasan mengenai barisan fungsional kontinu. Wilansky [1970]

menyatakan apabila {fn} merupakan barisan fungsional linear kontinu pada ru- ang Banach X, dan {fⁿ(x)} terbatas untuk setiap x ∈ X, maka {kfⁿk} terbatas.

Sedangkan Royden [1988] menyatakan apabila X ruang Banach dan F merupakan keluarga operator linear terbatas dari X ke ruang bernorma Y dan T terbatas titik demi titik untuk setiap T ∈ F , maka T terbatas seragam untuk setiap T ∈ F .

Pada Teorema Keterbatasan Seragam disyaratkan daerah asal X adalah ru- ang Banach. Royden [1988] menyatakan dalam Teorema Kategori Baire, bah- wa ruang metrik yang lengkap merupakan kategori ke-dua. Selanjutnya karena dalam pembuktian Teorema Keterbatasan Seragam kondisi yang dibutuhkan adalah X merupakan ruang kategori kedua, maka pada Teorema Keterbatasan Seragam, syarat daerah asal X ruang Banach bisa diganti dengan X ruang kategori kedua.

Dalam Teorema Keterbatasan Seragam disyaratkan keluarga fungsi yang di- gunakan adalah keluarga fungsi linear. [Li dkk , 2009] menyatakan bahwa keluarga semua fungsi linear merupakan keluarga bagian semua pemetaan demi linear. Se- lanjutnya Li dkk [2009] memperluas Teorema Keterbatasan seragam, dengan me- ngurangi salah satu syarat yang diperlukan, yaitu keluarga pemetaan yang diguna- kan tidak harus keluarga pemetaan linear, tetapi keluarga pemetaan demi linear.

Selain itu, syarat bahwa daerah asal adalah ruang Banach, diganti dengan ruang kategori kedua dan metrizable.

Selanjutnya pemetaan demi linear dapat diaplikasikan dalam bidang analisis, khususnya pada ruang barisan. Guo dkk [2012], menyatakan aplikasi pemetaan de- mi linear dan teorema terbatas seragam yang diperluas tersebut dalam mengkarak- terisasi matriks tranformasi dari l^q(X)ke l^p(Y ), dengan X dan Y merupakan ruang Banach terhadap lapangan K, 1 ≤ q < ∞, dan 1 ≤ p < ∞. Perlu diingat bahwa

l^q(X) = (

(xj)∈ X^N: X∞

j=1

kx^jk^q <∞ )

dan

l^p(Y ) = (

(yi)∈ Y^N: X∞

i=1

kyⁱk^p <∞ )

.

Selanjutnya A = (fij) adalah matriks transformasi dari ruang barisan l^q(X) ke

l^p(Y ), jika {fij} ⊆ Y^X dan X∞

j=1

fij(xj) konvergen saat (xj) ∈ l^q(X)dan i ∈ N, lebih lanjut

Ax = X∞ j=1

fij(xj)

!

∈ l^p(Y ) untuk setiap x = (xj) ∈ l^q(X).

1.5. Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur referen- si berkaitan dengan paper Li dkk [2009] dan paper Guo dkk [2012]. Paper Li dkk [2009] menyajikan tentang pemetaan demi linear dan beberapa sifat-sifatnya, sedangkan paper Guo dkk [2012] menyajikan aplikasi dari pemetaan demi linear dalam mengkarakterisasi matriks transformasi dari suatu ruang barisan l^q(X) ke l^p(Y ). Dalam kedua paper tersebut, konsep, definisi, contoh, lemma, teorema, aki- bat, dan bukti hanya disajikan secara garis besar atau hanya merujuk paper lain.

Dalam tesis ini akan menyajikan konsep, definisi, contoh, lemma, teorema, akibat, dan bukti secara lebih detail.

Sebelumnya akan dibahas dahulu tentang beberapa konsep dasar pada ru- ang topologis. Selanjutnya dipelajari juga beberapa konsep yang berlaku di ruang bernorma, yaitu pemetaan linear, khususnya pada R. Keseluruhan konsep tersebut akan digunakan untuk mempelajari keluarga pemetaan demi linear pada R, beserta sifat-sifatnya. Selanjutnya dibutuhkan juga beberapa konsep tentang ruang vektor topologis untuk mempelajari pemetaan demi linear secara umum. Selanjutnya akan dikaji tentang pemetaan ekuikontinu dan pemetaan terbatas untuk membuktikan teorema tentang ekuikontinu pada keluarga pemetaan demi linear. Selanjutnya juga dikaji konsep tentang ruang metrizable untuk membuktikan teorema terbatas sera- gam yang diperluas pada keluarga pemetaan demi linear. Selanjutnya dibutuhkan juga beberapa konsep mengenai ruang l^p untuk mempelajari karakteristik matriks transformasi dari ruang barisan l^q(X)ke l^p(Y ).

1.6. Sistematika Penulisan

Dalam tesis ini, penelitian akan dibagi menjadi 5 bab. BAB I adalah pen- dahuluan yang berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. Se- lanjutnya BAB II adalah dasar teori. Dalam bab ini, akan dibahas mengenai lan- dasan teori yang akan digunakan pada bab berikutnya, diantaranya konsep-konsep pada ruang bernorma, ruang vektor topologis, dan ruang l^p. Kemudian dilanjutkan di BAB III dan BAB IV, yaitu pembahasan hasil penelitian. BAB III akan di- fokuskan dalam membahas pemetaan demi linear, sedangkan BAB IV akan di- fokuskan dalam membahas matriks transformasi dari ruang barisan l^q(X)ke l^p(Y ).

Yang terakhir adalah BAB V yang berisi tentang kesimpulan penelitian.