PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan dengan : 1. Memfaktorkan

+ + = ( − ^{) (} − ⁾ dengan p + q = b dan pq = ac 2. Rumus ABC

a ac b

x b

2

2

4

2 , 1





 

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menentukan akar-akar

2. Jenis-jenis akar

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda akar

5. Menyusun persamaan kuadrat

6. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat SOAL DAN PEMBAHASAN

1.1 Soal dan pembahasan menentukan akar-akar

Soal menentukan akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.1

Contoh Soal : 1. UN 2011

Akar-akar persamaan kuadrat 2 − ¹³ − ^{7 = 0} adalah x

1

dan x

2

.jika x

1

> x

2

, maka nilai dari 2x

1

+ 3x

2

= ….

Penyelesaian :

ac = p.q = 2(-7) = 1 x (-14)= -14 b = p + q = 1 + (-14) = -13

( 2 + 1) ( 2 − ^{14) = 0} + ( − ^{7) = 0}

= − atau ^{= 7}

Jadi, 2 + 3 = 2( 7) + 3 − ^{= 14} − ^{= 12} 2. UN 2012

Diketahui persamaan kuadrat x

²

– 10x + 24 = 0 mempunyai akar-akar x

1

dan x

2

dengan x

1

>

x

2

. Nilai dari 10x

1

+ 5x

2

adalah....

Penyelesaian : ac = p.q

1 x 24 = (-6) x (-4) = 24 b = p + q = (-6) + (-4) = -10

( − ^{6) (} − ^{4) = 0} ( − ^{6) (} − ^{4) = 0}

= 6 atau = 4

Jadi, 10 + 5 = 10( 6) + 5( 4) = 60 + 20 = 80

Konsep 4.1

Rumus menentukan akar-akar persamaan ax

²

+ bx + c = 0 adalah :

,

=

^±√

Biasa ditulis bahwa : D = b

²

– 4ac (D = diskriminan)

(1)

D

 0 : mempunyai akar real/nyata (2) D  k

²

: mempunyai akar rasional

(3)

D

 0 : mempunyai dua akar real yang berlainan (4)

D

 0 : mempunyai akar yang sama

(5)

D

 0 : tidak mempunyai akar real

Jika x

1

dan x

2

akar-akar persamaan ax

²

+ bx + c = 0, maka :

1. a

x b

x

₁



₂

 

2. a

x c x

₁

.

₂

 Rumus-rumus lain :

Ingat..!!!

Penyelesaian pert idaksam aan : (i)

( − ^{) (} − ⁾ ≤ ⁰

^adalah

≤ ≤

(ii)

( − ^{) (} − ⁾ ≥ ⁰

^adalah

≤

^{at au}

≥

1.2 Soal dan pembahasan jenis-jenis akar

Soal jenis-jenis akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.2

Contoh soal : Ebtanas 1990

Agar persamaan kuadrat + ( − ^{2) +} − ^{2 = 0} mempunyai akar yang nyata, maka nilai a yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian :

+ ( − ^{2) +} − ^{2 = 0} Akar nyata

≥ ⁰

− ⁴ ≥ ⁰

( − ²⁾ − ^{4( 1) (} − ²⁾ ≥ ⁰

− ^{4 + 4} − ^{4 + 8} ≥ ⁰

− ^{8 + 12} ≥ ⁰ ( − ^{2) (} − ⁶⁾ ≥ ⁰

≤ ² atau ≥ ⁶

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ≤ ² atau ≥ ⁶ 1.3 Soal dan Pembahasan Jumlah dan Hasil kali Akar-akar

Soal jumlah dan hasil kali akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.3

Konsep 4.2

Konsep 4.3

Syarat-syarat agar akar-akar memenuhi tanda-tanda tertentu adalah : (1) Mempunyai dua akar positif

(a) x

₁

 x

₂

 0

(b) x

₁

. x

₂

 0

(c)

D

 0

(2) Mempunyai dua akar negative (a) x

₁

 x

₂

 0

(b) x

₁

. x

₂

 0

(c)

D

 0

(3) Mempunyai akar berlainan tanda

0 .

₂

1

x  x

Contoh Soal:

UN 2011

Akar-akar persamaan kuadrat 3 − ^{+ 9 = 0} adalah x

1

dan x

2.

Nilai + = ⋯

Penyelesaian : 3 − ^{+ 9 = 0}

+ = = = = 3

+ = =

^{( )}

=

^.

= = −

1.4 Soal dan Pembahasan Tanda-tanda Akar

Soal tanda-tanda akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.4

Contoh Soal : PP 1981

Bila akar-akar persamaan kuadrat − ^{2 + + 2 = 0} tidak sama tandanya, maka a = … Penyelesaian :

− ^{2 + + 2 = 0}

Syarat mempunyai akar-akar berlainan tanda :

. = = + 2

1 < 0

< − ²

Konsep 4.4

Rumus menentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya x

1

dan x

2

adalah :

2 1 2 1

2

( x x ) x x . x

x   

Tips :

Jika x

1

dan x

2

akar-akar persamaan ax

²

+ bx + c = 0, maka persamaan kuadrat yang akar- akarnya :

1. x

₁

 p dan x

2

 p  a ( x  p )

²

 b ( x  p )  c  0

2. 0

^{2 2}

0

2

1 ²

      

 



 



 



  c atau ax bpx cp

p b x p a x px dan px

3. 1 1 1

²

1 0

₂

0

2 1









 



 



 

 

 



  c atau cx bx a

b x a x

dan x x

4. x

1²

dan x

₂²

 a

²

x

²

 ( b

²

 2 ac ) x  c

²

 0 1.5 Soal dan Pembahasan Menyusun Persamaan Kuadrat

Soal menyusun persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.5

Contoh Soal : 1. UN 2010

Jika p dan q adalah akar-akar persamaan − ⁵ − ^{1 = 0} maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah …

Penyelesaian :

− ⁵ − ^{1 = 0}

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x

1

dan x

2

maka:

+ = = 5 . = = − ¹

= ( 2 + 1) , = ( 2 + 1)

+ = ( 2 + 1) + ( 2 + 1) = 2( + ) + 2 = 2.5 + 2 = 12

. = ( 2 + 1) ( 2 + 1) = 4 . + 2( + ) + 1 = 4( − 1) + 2.5 + 1 = 7 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah :

− ^{( + ) + . = 0}

− ^{12 + 7 = 0} 2. UN 2011

Akar-akar persamaan 3 − ^{12 + 2 = 0} adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar- akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah …

Konsep 4.5

Cara Smart :

− ^{4 + 1 = 0} → a = 1, b = -4, c = 1 Akar-akarnya

3 dan 3 → p = 3 Gunakan rumus :

+ + = + ( − ^{4) 3 + 1.3} = − ^{12 + 9} Cara Smart :

3 − ^{12 + 2 = 0} → a = 3, b = -12, c = 2 Akar-akarnya :

(α + 2) dan (β + 2) → p = 2 Gunakan rumus :

( − ^{) + (} − ^{) + = 3(} − ^{2) + (} − ^{12) (} − ^{2) + 2} = 3 − 12 + 12 + ( − 12 + 24) + 2

= 3 − 24 + 38 = 0

− ^{8 +} = 0 (kedua ruas dikali 3) 3 − 24 + 38 = 0

3. UN 2012

Diketahui persamaan kuadrat x

²

– 4x + 1 akar-akarnya x

1

dan x

2

. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x

1

dan 3x

2

adalah …

Penyelesaian :

− ^{4 + 1 = 0}

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x

1

dan x

2

maka:

+ = =

^{( )}

= 4 . = = 1

= 3 , = 3

+ = 3 + 3 = 3( + ) = 3.4 = 12 . = 3 . 3 = 9( . ) = 9.1 = 9

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 3 adalah :

− ^{( + ) + . = 0}

− ^{12 + 9 = 0}

Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax

²

+ bx + c ≤ 0, ax

²

+ bx + c ≥ 0, ax

²

+ bx + c < 0, dan ax

²

+ bx + c > 0 Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah :

1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi “ = “

3. Tentukan nilai x yang memenuhi 4. Gambar nilai x pada garis bilangan

5. Tentukan benar atau salah setiap interval dengan menguji nilai x tertentu sebagai wakil interval pada pertidaksamaan

6. Jawabannya adalah nilai x pada interval yang bernilai benar.

1.6 Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat

Soal pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.6

No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan

a >

Hp = {x | x < x

1

atau x > x

1

}

Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau x

1

, x

2

adalah akar–akar persaman

kuadrat ax

²

+ bx + c = 0

b ≥

Hp = {x | x ≤ x

1

atau x ≥ x

1

}

c <

Hp = {x | x

1

< x < x

2

}

Daerah HP (tebal) ada tengah x

1

, x

2

adalah akar–akar persaman

kuadrat ax

²

+ bx + c = 0

d ≤

Hp = {x | x

1

≤ x ≤ x

2

}

Contoh Soal : 1. UN 2011

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan − ^{2 + 11} − ⁵ ≥ ⁰ adalah … Penyelesaian :

− ^{2 + 11} − ⁵ ≥ ⁰ (kedua ruas dikali -1, tanda pertidaksamaan berubah) 2 − ^{11 + 5} ≤ ⁰

−

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + + Konsep 4.6

Cara Smart :

Penyelesaian pertidaksamaan : ( − ^{) (} − ⁾ ≥ ⁰ adalah

≤ atau ≥

Jadi penyelesaiannya :

{ Ι ^< − ^{4 > , }} 2. UN 2012

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( 2 + 5) > 12 adalah … Penyelesaian :

( 2 + 5) > 12  2 + 5 − ^{12 > 0}

Langkah 1 : 2 + 5 − ^{12 > 0}

Langkah 2 : ( 2 − ^{3) ( + 4) = 0}

= ∨ ⁼ − ⁴