Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan dengan : 1. Memfaktorkan
+ + = ( − ) ( − ) dengan p + q = b dan pq = ac 2. Rumus ABC
a ac b
x b
2
2
4
2 , 1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menentukan akar-akar
2. Jenis-jenis akar
3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda akar
5. Menyusun persamaan kuadrat
6. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat SOAL DAN PEMBAHASAN
1.1 Soal dan pembahasan menentukan akar-akar
Soal menentukan akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.1
Contoh Soal : 1. UN 2011
Akar-akar persamaan kuadrat 2 − 13 − 7 = 0 adalah x
1dan x
2.jika x
1> x
2, maka nilai dari 2x
1+ 3x
2= ….
Penyelesaian :
ac = p.q = 2(-7) = 1 x (-14)= -14 b = p + q = 1 + (-14) = -13
( 2 + 1) ( 2 − 14) = 0 + ( − 7) = 0
= − atau = 7
Jadi, 2 + 3 = 2( 7) + 3 − = 14 − = 12 2. UN 2012
Diketahui persamaan kuadrat x
2– 10x + 24 = 0 mempunyai akar-akar x
1dan x
2dengan x
1>
x
2. Nilai dari 10x
1+ 5x
2adalah....
Penyelesaian : ac = p.q
1 x 24 = (-6) x (-4) = 24 b = p + q = (-6) + (-4) = -10
( − 6) ( − 4) = 0 ( − 6) ( − 4) = 0
= 6 atau = 4
Jadi, 10 + 5 = 10( 6) + 5( 4) = 60 + 20 = 80
Konsep 4.1Rumus menentukan akar-akar persamaan ax
2+ bx + c = 0 adalah :
,=
±√Biasa ditulis bahwa : D = b
2– 4ac (D = diskriminan)
(1)
D 0 : mempunyai akar real/nyata (2) D k
2: mempunyai akar rasional
(3)
D 0 : mempunyai dua akar real yang berlainan (4)
D 0 : mempunyai akar yang sama
(5)
D 0 : tidak mempunyai akar real
Jika x
1dan x
2akar-akar persamaan ax
2+ bx + c = 0, maka :
1. a
x b
x
1
2
2. a
x c x
1.
2 Rumus-rumus lain :
Ingat..!!!
Penyelesaian pert idaksam aan : (i)
( − ) ( − ) ≤ 0
adalah≤ ≤
(ii)
( − ) ( − ) ≥ 0
adalah≤
at au≥
1.2 Soal dan pembahasan jenis-jenis akar
Soal jenis-jenis akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.2
Contoh soal : Ebtanas 1990
Agar persamaan kuadrat + ( − 2) + − 2 = 0 mempunyai akar yang nyata, maka nilai a yang memenuhi adalah ….
Penyelesaian :
+ ( − 2) + − 2 = 0 Akar nyata
≥ 0
− 4 ≥ 0
( − 2) − 4( 1) ( − 2) ≥ 0
− 4 + 4 − 4 + 8 ≥ 0
− 8 + 12 ≥ 0 ( − 2) ( − 6) ≥ 0
≤ 2 atau ≥ 6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ≤ 2 atau ≥ 6 1.3 Soal dan Pembahasan Jumlah dan Hasil kali Akar-akar
Soal jumlah dan hasil kali akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.3
Konsep 4.2
Konsep 4.3
Syarat-syarat agar akar-akar memenuhi tanda-tanda tertentu adalah : (1) Mempunyai dua akar positif
(a) x
1 x
2 0
(b) x
1. x
2 0
(c)
D 0
(2) Mempunyai dua akar negative (a) x
1 x
2 0
(b) x
1. x
2 0
(c)
D 0
(3) Mempunyai akar berlainan tanda
0 .
21
x x
Contoh Soal:
UN 2011
Akar-akar persamaan kuadrat 3 − + 9 = 0 adalah x
1dan x
2.Nilai + = ⋯
Penyelesaian : 3 − + 9 = 0
+ = = = = 3
+ = =
( )=
.= = −
1.4 Soal dan Pembahasan Tanda-tanda Akar
Soal tanda-tanda akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.4
Contoh Soal : PP 1981
Bila akar-akar persamaan kuadrat − 2 + + 2 = 0 tidak sama tandanya, maka a = … Penyelesaian :
− 2 + + 2 = 0
Syarat mempunyai akar-akar berlainan tanda :
. = = + 2
1 < 0
< − 2
Konsep 4.4
Rumus menentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya x
1dan x
2adalah :
2 1 2 1
2
( x x ) x x . x
x
Tips :
Jika x
1dan x
2akar-akar persamaan ax
2+ bx + c = 0, maka persamaan kuadrat yang akar- akarnya :
1. x
1 p dan x
2 p a ( x p )
2 b ( x p ) c 0
2. 0
2 20
2
1 2
c atau ax bpx cp
p b x p a x px dan px
3. 1 1 1
21 0
20
2 1
c atau cx bx a
b x a x
dan x x
4. x
12dan x
22 a
2x
2 ( b
2 2 ac ) x c
2 0 1.5 Soal dan Pembahasan Menyusun Persamaan Kuadrat
Soal menyusun persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.5
Contoh Soal : 1. UN 2010
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan − 5 − 1 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah …
Penyelesaian :
− 5 − 1 = 0
Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x
1dan x
2maka:
+ = = 5 . = = − 1
= ( 2 + 1) , = ( 2 + 1)
+ = ( 2 + 1) + ( 2 + 1) = 2( + ) + 2 = 2.5 + 2 = 12
. = ( 2 + 1) ( 2 + 1) = 4 . + 2( + ) + 1 = 4( − 1) + 2.5 + 1 = 7 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah :
− ( + ) + . = 0
− 12 + 7 = 0 2. UN 2011
Akar-akar persamaan 3 − 12 + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar- akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah …
Konsep 4.5
Cara Smart :
− 4 + 1 = 0 → a = 1, b = -4, c = 1 Akar-akarnya
3 dan 3 → p = 3 Gunakan rumus :
+ + = + ( − 4) 3 + 1.3 = − 12 + 9 Cara Smart :
3 − 12 + 2 = 0 → a = 3, b = -12, c = 2 Akar-akarnya :
(α + 2) dan (β + 2) → p = 2 Gunakan rumus :
( − ) + ( − ) + = 3( − 2) + ( − 12) ( − 2) + 2 = 3 − 12 + 12 + ( − 12 + 24) + 2
= 3 − 24 + 38 = 0
− 8 + = 0 (kedua ruas dikali 3) 3 − 24 + 38 = 0
3. UN 2012
Diketahui persamaan kuadrat x
2– 4x + 1 akar-akarnya x
1dan x
2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x
1dan 3x
2adalah …
Penyelesaian :
− 4 + 1 = 0
Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x
1dan x
2maka:
+ = =
( )= 4 . = = 1
= 3 , = 3
+ = 3 + 3 = 3( + ) = 3.4 = 12 . = 3 . 3 = 9( . ) = 9.1 = 9
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 3 adalah :
− ( + ) + . = 0
− 12 + 9 = 0
Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah
ax
2+ bx + c ≤ 0, ax
2+ bx + c ≥ 0, ax
2+ bx + c < 0, dan ax
2+ bx + c > 0 Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah :
1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi “ = “
3. Tentukan nilai x yang memenuhi 4. Gambar nilai x pada garis bilangan
5. Tentukan benar atau salah setiap interval dengan menguji nilai x tertentu sebagai wakil interval pada pertidaksamaan
6. Jawabannya adalah nilai x pada interval yang bernilai benar.
1.6 Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat
Soal pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.6
No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan
a >
Hp = {x | x < x
1atau x > x
1}
Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau x
1, x
2adalah akar–akar persaman
kuadrat ax
2+ bx + c = 0
b ≥
Hp = {x | x ≤ x
1atau x ≥ x
1}
c <
Hp = {x | x
1< x < x
2}
Daerah HP (tebal) ada tengah x
1, x
2adalah akar–akar persaman
kuadrat ax
2+ bx + c = 0
d ≤
Hp = {x | x
1≤ x ≤ x
2}
Contoh Soal : 1. UN 2011
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan − 2 + 11 − 5 ≥ 0 adalah … Penyelesaian :
− 2 + 11 − 5 ≥ 0 (kedua ruas dikali -1, tanda pertidaksamaan berubah) 2 − 11 + 5 ≤ 0
−
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + + Konsep 4.6