Neutrino Majorana dan Osilasinya

Neutrino Majorana dan Osilasinya

Oleh ;

Mahendra Satria H

1108 100 004

Dosen Pembimbing ;

Agus Purwanto, D.Sc

Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Latar Belakang

1930 :

Neutrino pertama kali dipostulatkan oleh Wolfgang Pauli untuk menjelaskan peluruhan β ( n p + e )

1932 :

James Chadwick menemukan neutron dalam reaksi inti 4He + 9Be12C + n Segera setelah penemuan neutron, W. Heisenberg, E. Majorana dan D. Ivane mengasumsikan bahwa komponen penyusun inti adalah proton dan neutron.

Teori peluruhan β pertama kali diajukan oleh Enrico Fermi ;

Didasarkan pada asumsi bahwa inti tersusun atas proton-neutron dan pada hipotesa Pauli tentang keberadaan partikel netral berspin ½,

Kemudian Fermi menamai partikel  neutrino ( netral, kecil )

1933 :

Neutrino  partikel elementer, spin 1/2 ( fermion ), massanya hampir nol. Eksperimen baru-baru ini ( Super-K, SNO dan KamLAND) menunjukkan bahwa massa neutrino sangat kecil dibandingkan dengan partikel lain.

Setiap partikel mempunyai anti-partikel ,

Bagaimana jika partikel tersebut adalah Neutrino ( q = 0 ),

diinterpretasikan sebagai partikel Majorana,

Jika neutrino q =0 dan m = 0 ( sangat netral ) konsekuensinya

Perumusan Masalah

Bagaimana sifat-sifat yang ditimbulkan dari keadaan neutrino yang

tidak bermassa dan tidak bermuatan

Sampai dimana osilasi dapat terjadi jika neutrino sebagai partikel

Majorana

Analisis karakteristik utama Neutrino Majorana dan Osilasinya

Batasan Masalah

Partikel tak bermassa

Model Standar,

Neutrino diasumsikan tak bermassa ( m=0 ), yang bergerak dengan ν ≈ c ( Ultra-relativistik )

Lebih lanjut, hasil dari observasi eksperimen selama peluruhan β, menunjukkan, neutrino mempunyai spin ½.

konsekuensinya

Tahun 1929, H. Weyl mengajukan persamaan 2 komponen untuk mendeskripsikan partikel tak bermassa berspin ½.

Dari Konsekuensi sebelumnya Persamaan Weyl,

Persamaan dasar dari persamaan gerak neutrino Persamaan Dirac untuk Neutrino

Persamaan Dirac Ultra-relativistik ( ν ≈ c  m = 0 )













₂

.

mc

c

i

t

i

























_

_

_





.







i

c

t

i



1

_,

2

_,

3



,















lenyap









Menjadi spinor 2 komponen



















_



Analog persamaan Weyl,  











p

c

t

i







.













i

c





_.

Solusi persamaan ini diberikan

 

 

 

p u e E x p Et i        _  . / 3 2 2 1



Dari persm.(2) disubstitusi ke persm.(1) lebih lanjut didapatkan

 

p

c

p

u

 

p

Eu











.







 

p

c

p

u

 

p

u

E

2 





2



2 



Persamaan ini dikali dari kiri

c



.

p



Dimana energi E merupakan energi relativistik untuk partikel tak bermassa

c

p

E



₀ Lebih lanjut didapatkan

 

p

c

p

u

 

p

u

c

p

₀2 2 





2



2 



Dengan menerapkan persm.(3),

 

0



₀ 

 

0





_

cu

p

Eu

 

0

.







_



c



p

u

Maka diperoleh

 

0

.

 

0

0









_ 

_

u

p

u

p



Dikarenakan partikel bergerak dalam arah sembarang, maka untuk lebih memudahkan persoalan, partikel bergerak dipilih dalam arah sumbu-z

k

p

p





_z

ˆ

Lebih lanjut dari persm.(8)

 

0

 

0 0   _  _ u p u p _{z z}

 

0

 

0 0   _  _ u p p u z z Kemudian diperoleh

Untuk mendapatkan helisitas kanan, ditentukan dahulu spinor 2-komponen, Dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen

0   I z





   





1 0 0 1

Maka diperoleh nilai eigen λ

1





Untuk λ = +1, vektor eigen diperoleh

   

0





0





_

u

u

z



                     b a b a 1 0 0 1















b

a

Didapatkan spinor 2-komponen untuk partikel tidak bermassa dengan helisitas kanan (helisitas positif)

 

_















0

1

0 a

u



 

_        0 1 0 u

Jadi, Untuk partikel anti-neutrino hanya memiliki helisitas kanan (helisitas positif)

Bahasa Spin, Spin-Up p σ Faktor normalisasi = 1 kˆ

Lebih lanjut dideskripsikan,         p c t i



. 







i

c





_.

Solusi persamaan ini diberikan

 

 

 

p u e E x p Et i        _  . / 3 2 2 1



Dari persm.(2) disubstitusi ke persm.(1) lebih lanjut didapatkan

 

p

c

p

u

 

p

Eu













.







Maka diperoleh

 

0

.

 

0

0









_ 

_

_

u

p

u

p



Dikarenakan partikel bergerak dalam arah sembarang, maka untuk lebih memudahkan persoalan, partikel bergerak dipilih dalam arah sumbu-z

k

p

p





_z

ˆ

Lebih lanjut dari persm.(4)

 

0

 

0 0   _  _{ } u p u p _{z z}

 

0

 

0 0   _  _{ } u p p u z z Kemudian diperoleh

Untuk λ = -1, vektor eigen diperoleh

   

0





0





_





_z

u

u

                   d c d c 1 0 0 1















d

c

Didapatkan spinor 2-komponen untuk partikel tidak bermassa dengan helisitas kiri (helisitas negatif)

 

_















1

0

0 d

u



 

_        1 0 0 u

Jadi, Untuk partikel neutrino hanya memiliki helisitas kiri (helisitas negatif)

Bahasa Spin, Spin-Down p -σ Faktor normalisasi = 1 kˆ

Helisitas neutrino dapat diketahui melalui eksperimen M. Goldhaber, L. Grodzins dan A. Sunyar

Partikel tak bermuatan & Partikel massif bermuatan

Setiap partikel mempunyai anti-partikel ( lepton dan quark ),

Lepton , quark

Bagaimana jika partikel tersebut ??

Tidak bermuatan ( q = 0 )    





















,

,

,

,

,

,

,

,

e e

e

e

 

b

s

d

b

s

d

t

c

u

t

c

u

,

,

,

,

,

,

,

,

Bagaimana hasil transformasinya, karena muatan partikel neutrino dan anti-neutrino sama ( kedua-duanya netral ) ?

Menginterpretasikan sebagai partikel yang disebut

Partikel Majorana

konsekuensinya

Dapat terjadi, jika neutrino tidak bermuatan q = 0 dan tidak bermassa m = 0 ( sangat netral )

Persamaan Dirac, dimana solusinya menghasilkan,

Keberadaan elektron dan anti-partikelnya yaitu positron. Kemudian jika dipengaruhi oleh medan elektromagnetik A_μ

Diidentifikasi melalui











 _









0

 

m

A

e

i

Untuk elektron q = - e

Untuk positron akan diuraikan sebagai berikut

Perbandingan persamaan ini ...











 _









0

 

m

A

e

i











c



0

m

A

e

i



 _



 _



Kedua persamaan ini

diinterpretasikan sebagai

persamaan Dirac untuk Elektron dan Positron dalam medan

elektromagnetik dimana muatannya berlawanan, dan Fungsi gelombang ψ,

menyatakan bahwa partikel elektron berbeda dengan anti-partikelnya ( positron ).

Terjadi jika melalui,

transformasi sekawan muatan



c



_C

ˆ



T

Jika muatan e = q = 0 maka , didapat

_e





_e





0



i







_



m







0









c



0

m

i



 _





c





konsekuensinya

Fungsi gelombangnya identik,

( Partikel & anti-partikelnya sama )

Diidentifikasi sebagai Partikel Majorana

Representasi Dirac

Dari persamaan Dirac sebelumnya,



i







_



m







0

Memenuhi matriks Dirac,

                      0 0 , 0 0 , 0 0 0 0 5 0















_D i i i D D I I _{i i}     0  0,  

Representasi Weyl atau Kiral

                 . .





      c i t i c i t i













₂ . mc c i t i        

 

e   u

 

p E x p Et i        _  . / 3 2 2 1  2x1 Solusinya 2x1 2x1          _



Persm. Weyl Partikel m=0 dg Helisitas kanan & kiri







_

_

_





.







i

c

t

i

didefinisikan,

 

p c pu

 

p Eu   .  

 

p c pu

 

p Eu    .  

 

 

 

 

                        p u p u p c p u p u E _       . 0 0  





       0 0 I I



didefinisikan,

 Didefinisikan sebagai dan 3 2 1 0 5 W W W W W

i



























I

I

0

0

Memenuhi sifat-sifat

 





T i W i W T W W W W x W i * * 0 0 5 4 4 2 5 0 , 1















    



 i



  _ 0_, , Sehingga diperoleh Matriks ϒμ W        0 0   







_W

Representasi Majorana

Dibangun dari persamaan Dirac riil,

0

.

1

_













_

_

_





_

_

_

m

i

t

i



_































I

I

D i i i

0

0

,

0

0

_

₀

_







dengan Jika persamaan ini dikalikan ( -i ), didapat

0

.

_













_

_

_





_

_

_

m

i

t



Riil, Jika





2 3 1

,

4

4



















imajiner

x

riil

matriks

i

Kemudian jika di atur,

3 3 1 1 2

_,

_

_

_,

_

_















  Representasi Dirac                        1 0 0 1 , 0 0 , 0 1 1 0 _{2 3} 1 _{ }  i i 0 D







 

Dari sifat matriks ϒμ_{, kita mendapatkan matriks ϒ}μ _{dalam representasi}

Majorana



































































1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 0

0

0

,

0

0

0

0

,

0

0

































i

i

i

i

M M M M

















0 1 2 3 2 ₂ 5

0

0















_M

i

_{M M M M} Dan, 2



Representasi Dirac

Representasi Weyl

Representasi Majorana













































0

0

0

0

0

0

0 0 5 0















D i i i D D

I

I

3 2 1 0 5 W W W W W

i



























I

I

0

0

_

































































1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 0

0

0

0

0

0

0

0

0

































i

i

i

i

M M M M       0 1 2 3 2 ₂ 5 0 0       _M i _{M M M M}        0 0   







_W































I

I

0

0

0

0









_



































0

0

0

0

I

I









_









Dirac

Dirac









2 3 1

,













Model Standar

,

Teori yang mendeskripsikan tiga interaksi partikel elementer, yaitu interaksi elektromagnetik, interaksi lemah dan interaksi kuat.

Pada peluruhan β, arus bermuatan hanya melibatkan medan fermion helisitas kiri sehingga diasumsikan doublet sedangkan medan fermion helisitas kanan diasumsikan singlet

Tidak diikutsertakan medan neutrino heisitas kanan, karena

pengukuran terhadap helisitas neutrino (Goldhaber, Grodzins dan Sunyar)  neutrino di alam hanya memiliki helisitas kiri.

                                                      L L L L L L L L L L L L L L L L eL eL b t s c d u e 3 2 1 , , , ,               

Sektor Quark,

Lepton dan quark berspin ½.

Persamaan lagrangian interaksi quark dan medan vektor

dengan

Kemudian dipisahkan bagian bermuatan dan bagian netral, akan didapatkan lagrangian arus bermuatan

Dengan arus bermuatan

 

x

gj

   

x

A

x

L

_I





_ 

 

 



  3 1 2 1       x   x j _{L L}     . . 3 3 2 2 j W hc gj A g L_I CC _        



_{L L L L L L}



CC b t s c d u j_  2 



_   



_   



_ 

dan

Persamaan ini adalah persamaan medan boson bermuatan W±_.

Kemudian arus j_α3 _diberikan

Hanya memenuhi pada komponen helisitas kiri

2 1 2 1 i A W  _





        t c u u d d sb L L L L u d d u j , , 1 1 , , 1 1 3 1 2 1 1 2 1     

Sektor Lepton

,

Model standar untuk neutrino dan lepton bermuatan sama dengan model standar untuk quark.

Lagrangian interaksi lepton diberikan

dengan

dimana

Persamaan ini adalah persamaan arus elektromagnetik dari lepton bermuatan     A g j B gj Llep Y 2 1    



              , , 3 2 1 , 2 1 e l em Y lL lL j j j j

 



    l em l l j_ 1 _

Neutrino Dirac

1. Neutrino ≠ Anti-neutrino

(Pasangan Lepton Bermuatan) 2. Bilangan Lepton Konservatif 3. Suku Massa Dirac

* Dengan Suku Massa

atau

Neutrino Majorana

1. Neutrino = Anti-neutrino

(ini dapat terjadi jika Neutrino tidak bermuatan dan tidak bermassa) atau sangat netral

2. Perbedaan hanya di “Handedness’’ * ѵ  Left-Handed

* ѵ  Right-Handed

Bilangan Lepton tidak Konservatif 3. Suku Massa Majorana

atau



_{R L L R}



m















R



T L L T R

m



*







*







L



c L c L L

m

_

_

_

_





2



*  2*   2



2 T T i i m  

Tahun 1937, E. Majorana mengajukan paper yang berjudul “Teori Simetrik untuk elektron dan positron” melalui prinsip medan.

Jika teori ini diaplikasikan kedalam fermion netral yang memiliki p tertentu maka hanya ada 2 keadaan helisitas.

Lebih lanjut  persamaan gerak untuk fermion netral namun dengan menggunakan teori 2 komponen yang dikembangkan oleh Case.

Kontras dengan fermion Dirac, fermion Majorana hanya dideskripsikan melalui spinor 2 komponen. Untuk

menunjukkan hal itu, diasumsikan berangkat dari medan fermion bebas relativistik  Persm. Dirac









_









0

m

i

Kemudian diperkenalkan dua operator proyeksi

Dan definisi kiral,

 2 1 2 1 5 5





    R L P P    









 





L R

P

P

Dua persamaan untuk komponen kiral dari medan fermionik

Dua persamaan untuk komponen kiral dari sekawan muatan

Dengan hubungan L R R L

m

i

m

i













   









 

 

 

 

 

c L c R c R c L m i m i













         



  

 

 



  

 



  

 

L R c c L R c R L c R L c R L c c L R R L R L R L L R c c L R c R L c R L c R L P P P P P P P , , , , , , , , , , , , , ,                            

Kemudian didefinisikan syarat Majorana

Dengan adalah konstanta faktor fase Majorana kompleks, dimana memiliki peran yang sangat penting pada aplikasi dari teori Majorana

Menyatakan bahwa partikel Majorana merupakan anti-partikelnya sendiri

Komponen kiral Medan Majorana

Didapat persamaan Majorana 2 komponen

c







  i e  T L R T R L



C







C







_,



 

_

2 *

 

_

0





x

m





x



 _

Kuantisasi Medan Majorana

Fermion Kiralitas Kiri 2 Komponen Sekawan Muatannya

Medan Majorana

Persamaan Gerak Medan Majorana

 

_{ }

_       x x L





0

 

 

_       0 * 2 x i x c L   

 

x

 

x

_L

 

x

_Lc

 

x

M















 

 



_











x

x

i







2 *



₀ 



i_i





 

x  m



2



*

 

x





₀





i



_i





2



*

 

x



m



 

x

Dari persm.(3) dapat ditulis sebagai

Diambil

Sehingga Medan Majorana dapat ditulis sebagai Didefinisikan dahulu

 

t i

 

t m

 

t t * 2 . k k k  k    













 

_{ }

 

 

_{ }

 

_              t b t a t t b t a t k k k k * * * , _k k





 

k t i k t i k t e c e e a    

 

i t _k k t i k t e d e f b     

 

_{ }

                                   



k x k.x * * . * * 3 3 2 i k k k i k k k M e e c d e c e f k d N x  

Asumsi awal untuk Solusi Energi Positif dapat ditulis

Untuk Solusi Energi Negatif

Secara lengkap diberikan Persamaan Medan Majorana 4 komponen

Persamaan ini dapat ditulis

sebagai Superposisi dari keadaan

energi positif dan energi negatif                                                     k k m c a m c a d c e f k k k k k k 2 1 * *                                                       k k m c a m c a f e c d T k T k k k k k 2 * 1 * * *

 

 



 

 

                                  





x ik h T x ik h h h M e h m m h h h a e h m m h h a k d N x . * . 1 , 1 3 3 2 2 2 k k k k         

Jika Neutrino merupakan partikel Majorana

Bilangan lepton tidak konservatif

Maka Osilasi dan Bauran antara keadaan Neutrino flavor adalah

Keadaan Neutrino dan ditransformasi ke dalam superposisi

dari keadaan neutrino bermassa dan

Osilasi antara neutrino dan terjadi dengan Probabilitas Transisi

 

_{1 2} 2 1

cos

sin

sin

cos































c e e

 







 





 

c



e e c e e c e e L A A P







,  *













  m2

Osilasi Neutrino tangan kiri ( Pendekatan Ultra-relativistik )

Didefinisikan keadaan flavor awal yang merupakan superposisi dari keadaan neutrino bermassa

Dimana

Diasumsikan, saat produksi neutrino, tercipta neutrino elektronik dengan momentum-4 diberikan

Keadaan neutrino elektronik awal dapat ditulis sebagai

Osilasi Neutrino Majorana

 

₀



₁



₂



t



A



B

1 2 2   B A



_{ }



  E p p  , 

 

₂ 2 1 1 , 1 2 0

1

1

























  i h

e

t

Faktor fase Majorana

Keadaan neutrino bermassa didapat dari keadaan vakum

Dimana dimasukkan faktor fase

Faktor fase ini memberikan informasi kepada kita tentang ruang-waktu dimana neutrino tercipta



,



0

* 0

_a

_p

_h

e

ip x _T _  







0 x ip

e



Dengan keadaan vakum didefinisikan

Dari persm sebelumnya akan didapat

Kemudian akan didapatkan probabilitas transisi

1 0 , 0 0 _ *T _ a a_{ }

 

 

 





          1 , 1 . 2 3 3 1 1 , 2 h x ik e u k h e k d N x





 

      ik x i e e h k u . 2 2 1 , 

 

   

2 0 0 x t L P _{e e} e    

 

_                        L E m 4 sin 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 3 

 

   

2 0 0 x t L P_  _ _

 

               m L 4 sin 1 2 2 1 2 12 2 2 2 3 

Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat ditarik kesimpulan ;

1. Sifat utama yang menarik disini adalah partikel neutrino tidak bermassa dan tidak bermuatan begitu juga anti-partikelnya. Sehingga diidentifikasi sebagai partikel Majorana

2. Persamaan Weyl merupakan persamaan dasar dari persamaan gerak neutrino, dimana dapat dikatakan, persamaan Weyl

diturunkan dari persamaan Dirac ultra-relativistik ( ν ≈ c  m = 0 ) 3. Persamaan Weyl akan menghasilkan satu keadaan helisitas dari

masing-masing neutrino dan anti-neutrino, dimana untuk

neutrino hanya memiliki helisitas kiri ( left-handed ), sedangkan anti-neutrino hanya memiliki helisitas kanan ( right-handed ) 4. Pengamatan peluruhan 0νββ akan didapat hasil langsung bahwa