Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasan tri Untuk SMA

Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri

Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri

1.

1. Jika Jika sudutsudut α α  dandan  β  β  lancip, coslancip, cos α α  == 5 5 4 4 dan cos dan cos β  β  == 25 25 24 24 ,, berapa nilai cos(

berapa nilai cos( α α  -- β  β  ) ?) ? Jawab :

Jawab :

*

* diketahui diketahui coscos α α  == 5 5 4 4 ; dimana cos ; dimana cos α α  == r  r   x  x x = x = 44 r r yy ⇒⇒ _{r r = = 5 5 55} 3 3 α  α  α α  x x r =r =  x x22 ++ y y22 ₄₄ 2 2 r  r  == x x22 ++ y y22 2 2  y  y == r r 22 --  x x22 = 25 – 16 = 25 – 16 = 9 = 9 y

y = = 9 9 == ±±33 _{karena sudut lancip berada di kuadran 1karena sudut lancip berada di kuadran 1} maka nilai yang diambil adalah + 3 maka nilai yang diambil adalah + 3 sehingga sin sehingga sin α α  == r  r   y  y = = 5 5 3 3 *

* diketahui diketahui coscos β  β  == 25 25 24 24 ; dimana cos ; dimana cos β  β  == r  r   x  x 2 2  y  y == r r 22 --  x x22 = 625 – 576 = 625 – 576 = 49 = 49 y

y = = 49 = 49 = 77sudut sudut lancip; lancip; sehingga sehingga sinsin  β  β  == r  r   y  y = = 25 25 7 7 Ditanyakan cos(

Ditanyakan cos( α α  -- β  β  )) ⇒⇒ _{dari rumus dijabarkan menjadidari rumus dijabarkan menjadi}

cos(

masukkan nilai-nilai di atas : masukkan nilai-nilai di atas :

= = 5 5 4 4 .. 25 25 24 24 + + 5 5 3 3 .. 25 25 7 7 = = 125 125 96 96 + + 125 125 21 21 = = 125 125 117 117

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm. 2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm.

Nilai Cos C adalah….. Nilai Cos C adalah….. Jawab Jawab : : BB 3 3 (c) (c) 4 4 (a)(a) A A CC 5 (b) 5 (b) gunakan aturan cosinus gunakan aturan cosinus

2 2

cc == aa22++ bb22 - 2ab cos C- 2ab cos C 2 ab cos C = 2 ab cos C = aa22++ bb22 -- cc22 cos C = cos C = ab ab cc b b a a 2 2 2 2 2 2 2 2 _{++ −−} = = 5 5 .. 4 4 .. 2 2 3 3 5 5 4 422 ++ 22 −− 22 = = 40 40 38 38 = = 20 20 19 19 3. Diketahui cos A = 3. Diketahui cos A = 5 5 4 4

, berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A …. , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A …. Jawab:

Jawab:

berada di kuadran kedua berarti x nya negatif  berada di kuadran kedua berarti x nya negatif  kuadran I kuadran I  x = + ; y= +x = + ; y= + kuadran II kuadran II  x = - ; y = +x = - ; y = + kuadran III kuadran III  x = - ; y = -x = ; y = -kuadran IV kuadran IV x = + ; y= -x = + ; y=

-cos A = cos A = 5 5 4 4

karena di kuadran kedua maka nilai cos A = karena di kuadran kedua maka nilai cos A =

5 5 4 4 − − 5 5 3 3 - 4 - 4 cos A = cos A = 5 5 4 4 − − = = r  r   x  x 2 2 r  r  == x x22 ++ y y22 2 2  y  y == r r 22 --  x x22 = 25 – 16 = 25 – 16 = 9 = 9 y

y = 3= 3 sehingga sin A =sehingga sin A = r  r   y  y = = 5 5 3 3

sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = 2 sin A cos A

= 2. = 2. 5 5 3 3 .. 5 5 4 4 − − = = 25 25 24 24 − − 4. Bentuk  4. Bentuk  2 2 4 4 cos cos 1 1−− xx

adalah identik dengan … adalah identik dengan …

Jawab: Jawab: 2 2 4 4 cos cos 1 1−− xx = = 2 2 1 1 --2 2 4 4 cos cos xx = = 2 2 1 1 --2 2 )) 2 2 2 2 cos( cos(  x x++ xx = = 2 2 1 1 --2 2 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2 2 cos cos 2 2 cos cos  x x  x x−−  x x xx =

= 11 -- coscos 22 sinsin 22

2 2 2 2  x  x  x  x−−

= = 2 2 1 1 --2 2 )) 2 2 sin sin 2 2 1 1 (( −− 22  x x = = 2 2 1 1 --2 2 1 1 + + sinsin22 22 x x = = sinsin22 22 x x 5. Jika 5. Jika θ  θ  θ  θ  sin sin cos cos 1 1−− = = 3 3 3 3 , maka , maka θ θ  = ……….= ……….  jawab :  jawab : 2 2 )) sin sin cos cos 1 1 (( θ  θ  θ  θ  − − = = ))22 3 3 3 3 (( θ  θ  θ  θ  θ  θ  2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos 2 2 1 1−− ++ = = 3 3 1 1 θ  θ  θ  θ  θ  θ  2 2 2 2 cos cos 1 1 cos cos cos cos 2 2 1 1 − − + + − − = = 3 3 1 1 ⇒

⇒ _{1 – 2 cosθ 1 – 2 cosθ  ++ ccooss}22_θ θ ==

3 3 1 1 ( 1-( 1-ccooss22θ θ )) 1 – 2 cos 1 – 2 cosθ θ  ++ ccoos s =22θ θ  = 3 3 1 1 --3 3 1 1 θ  θ  2 2 cos cos 3 3 2 2 - 2 cos - 2 cosθ θ  ++ 3 3 4 4 θ  θ  2 2 ccoos s = = 00 3 3 4 4 θ  θ  2 2

ccoos s - - 2 2 ccoossθ θ  ++ 3 3 2 2 = = 0 0 x x 33 4

4 coscos22θ θ  - 6 cos- 6 cos θ θ  + 2 = 0+ 2 = 0 pakai rumus ABC :

pakai rumus ABC : Anggap cos Anggap cos θ θ  = x= x diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2 diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2 2 2 ,, 1 1  x  x == a a ac ac b b b b 2 2 4 4 2 2 −− ± ± − −

= = 8 8 32 32 36 36 6 6±± −− ⇒ ⇒ 1 1  x  x == 8 8 2 2 6 6++ = 1 ; = 1 ; x x₂₂== 8 8 2 2 6 6−− = = 2 2 1 1 1 1  x  x = 1= 1 ⇒⇒ _{coscos θ θ  = 1 ;= 1 ; θ θ  == 00}00 2 2  x  x == 2 2 1 1 ⇒ ⇒ _{cos θ cos θ  ==} 2 2 1 1 ;; θ θ  == 606000

Kita masukkan ke dalam persamaan : Kita masukkan ke dalam persamaan :

θ  θ  == 0000 θ  θ  θ  θ  sin sin cos cos 1 1−− = = 3 3 3 3 ⇒ ⇒ 0 0 1 1 1 1−− = ~

= ~ ⇒⇒ _{tidak memenuhitidak memenuhi}

θ  θ  == 606000 θ  θ  θ  θ  sin sin cos cos 1 1−− = = 3 3 3 3 ⇒ ⇒ 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1−− = = 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 = = 3 3 1 1 = = 3 3 1 1 x x 3 3 3 3 = = 3 3 3 3 ⇒ ⇒ _{memenuhimemenuhi} Sehingga nilai Sehingga nilai θ θ  == 606000 6. Bentuk  6. Bentuk   x  x  x  x  x  x  x  x 4 4 cos cos 6 6 cos cos 4 4 sin sin 6 6 sin sin + + + + senilai dengan …. senilai dengan …. Jawab : Jawab :  x  x  x  x  x  x  x  x 4 4 cos cos 6 6 cos cos 4 4 sin sin 6 6 sin sin + + + + = = )) 4 4 6 6 (( 2 2 1 1 cos cos )) 4 4 6 6 (( 2 2 1 1 cos cos 2 2 )) 4 4 6 6 (( 2 2 1 1 cos cos )) 4 4 6 6 (( 2 2 1 1 sin sin 2 2  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x − − + + − − + + = tan = tan 2 2 1 1 10x = tan 5x 10x = tan 5x

7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah : 7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :

Jawab : Jawab :

untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori Urutan pemecahannya:

Urutan pemecahannya:

- dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus - dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus

atau cosinus (bukan tangen) atau cosinus (bukan tangen)

- kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :

- kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :

kita lihat pada grafik apabila x =

kita lihat pada grafik apabila x = 15 15 me00 menununjunjukkakkan nin nilai ylai y= 0 ;= 0 ; karena grafik bergeser ke kanan

karena grafik bergeser ke kanan 15 15 mak00 maka funa fungsi yagsi yang ding dipakapakai adai adalahlah (( _x x−−1515))00 (kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai

(kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai (( _x x++1515))00₎₎ kalau dimasukkan nilai

kalau dimasukkan nilai 115 5 m00 maakkaa (( _x x−−1515))00_{== 00}00 nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin

nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 00 = 000 = 0 fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin

fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin(( _x x−−1515))00 _{tetapi karena nilai minimumnya beradatetapi karena nilai minimumnya berada} di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin

di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin (( _x x−−1515))00_.. (di kuadran pertama standarnya adalah positif)

(di kuadran pertama standarnya adalah positif) α  α  00 0 0 303000 454500 606000 909000 Sin 0 Sin 0 2 2 1 1 2 2 1 1 ₂₂ 2 2 1 1 ₃₃ 11 Cos 1 Cos 1 2 2 1 1 ₃₃ 2 2 1 1 ₂₂ 2 2 1 1 00 Tan 0 Tan 0 3 3 1 1 ₃₃ 11 ₃₃ ~~

Yang perlu diperhatikan lagi

Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik mpada grafik memperlihatkan ½ emperlihatkan ½ perioda (1 perioda perioda (1 perioda adalahadalah 36360 0 se00 sehihingnggaga persamaan terakhirnya

persamaan terakhirnya menjadi menjadi y= -sin y= -sin 22(( _x x−−1515))00 Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu

Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 1515 ,,00 105105 dan00 dan 19519500 x =

x = 151500 →→ _{y= -sin 2y= -sin 2(( x x}−−₁₅₁₅₎₎00 _{= -sin= -sin 00 = 0}00_{= 0 benarbenar}

x =

x = 10510500 →→ _{y= -sin 2y= -sin 2(( x x}−−₁₅₁₅₎₎00 _{= - sin= - sin 181800 =} 00_{= - - ssinin((118800 -- α} 00 _{α  ))} →→_{α α  == 00}00

maka - sin

maka - sin 11880 0 = 00 = --ssiinn 00 = 000= 0 benarbenar

Nilai minimum y= -1 yaitu di x = Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 606000 x =

x = 606000 →→ _{y= -sin 2y= -sin 2(( x x}−−₁₅₁₅₎₎00 _{= - sin= - sin 9090 = - 1}00_{= - 1} _benarbenar

Nilai maximum y= 1 yaitu di x = Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 15015000

x =

x = 15015000 →→ _{y= -sin 2y= -sin 2(( x x}−−₁₅₁₅₎₎00 _{= - sin= - sin 270270 = -} 00_{= - ssinin((118800 +}00_{+α α  )= sin)= sin α α  = 1= 1} _benarbenar

8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan

8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 00 < 00< x x << 36036000 Jawab :

Jawab :

sin x + cos x = 0

sin x + cos x = 0 ⇔⇔ _{(sin(sin x x}++_coscosxx))22 _{== 00}22 ⇔

⇔ _{ssiin n +}22 _{x x + ccoos s} 22 _{x x + + 2 2 ssiin n x x ccoos s x x = = 0 0 ((ssiin n +}22 _{xx + ccooss}22 _{x x= 1 = 1 ; 2 ; 2 sisin x n x ccos os x = x = sisinn22xx))} ⇔

⇔ _{1 + sin2x = 01 + sin2x = 0} ⇔⇔ _{sin2x = -1sin2x = -1}

Nilai yang memenuhi adalah 2x =

Nilai yang memenuhi adalah 2x = 27027000 →→ _{x =x = 135135}00

dan 2x =

dan 2x = 63063000 →→ _{x =x = 31315 5 (i}00 _{(ingngat at sisin n (k(k..336600 +}00_{+ α α ) = sin) = sin α α ))}

(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) (dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) Sehingga HP= {