Betonarme Elemanlarda Kapasite Tasarimi

(1)

BETONARME TAŞIYICI

SİSTEMLERDE

KAPASİTE TASARIMI

Zekai Celep

Prof.Dr., İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Fakültesi celep@itu.edu.tr

http://www.ins.itu.edu.tr/zcelep/zc.htm

İnşaat Mühendisleri Odası İstanbul Şubesi Bakırköy, Kadiköy, Harbiye

Meslekiçi Eğitim Seminer Ekim 2008

Zekai Celep 2

1. Giriş

2. Kesitin doğrusal olmayan davranışı 3. Süneklik

4. Plastik mafsal kabulü 5. Kapasite tasarım ilkeleri 6. Statik itme çözümü 7. Sonuçlar

Betonarme taşıyıcı sistemlerde kapasite tasarımı

Zekai Celep 3

1. Giriş

•

Betonarme yapıların kapasite tasarımı ilkesinin kullanılması belirgin şekilde Deprem Yönetmeliği (2007) nde ortaya çıktı.

•

Kapasite ilkesinin kullanılabilmesi için gerekli olan kavramlar:

•

Kesit ve taşıyıcı sistemin doğrusal olmayan, davranışı,

•

Eğilme etkisi (kiriş)

•

Eğilme ve normal kuvvet etkisi (kolon ve perde)

•

Kesme kuvveti etkisi (kiriş, kolon ve perde)

•

Süneklik,

•

Plastik mafsal kabulü,

•

Statik itme çözümü

Zekai Celep 4

2. Kesitin doğrusal olmayan davranışı

Beton ve çeliğin davranışı Eğilme etkisi

fy s s c fy sem su f cem c cu 0 y 0 c cu fc 0 c c s su y 0 s

(2)

Zekai Celep 5

Eğilme etkisindeki kesitte doğrusal olmayan davranış

s F As As Fs tarafs iz ekse n c Fc Fc ekse n tarafs iz b c c b c G+Q durumu 1.4G+1.6Q durumu Zekai Celep 6

Betonarme kesitte eğilme etkisi, eğilme rijitliği ve şekil değiştirme

Eğilme rijitliği yükleme bağlı

C A Donatının akmaya erişmesi Betonun çekmede çatlaması B φ φu φ y 0 M_cr Eğrilik M_y M_u Eğilme momenti Betonun kısalma kapasitesine erişmesi çatlamış EI M cr A B C E ği lme rijit liğ i E I 0 Eğilme momenti çatlamamış EI Zekai Celep 7

Akma eğrisi, akma yüzeyi ve şekil değiştirme

N / Nu o (a) (b) Plastik şekil değiştirme artımı vektörü 0 dε d(φh) d(φh)+ dε N / N M / M 1 o u u o 0 1 1 M / Mxu xo M / Myu yo dε d(φ _yh) d(φ _xh) -1 -1 Plastik şekil değiştirme artımı vektörü Zekai Celep 8

•

Eğilme momenti ve normal kuvvet etkisi

•

Karşılıklı etki diyagramı

•

Akma eğrisi (süneklik varsa)

Betonarme yapılarda kapasite tasarımı ilkesi

50 100 150 200 250 M (kNm) 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 A B C D E N (MN)_u u Deprem etkisinde eğilme momenti değişimi

(3)

Zekai Celep 9

Eğilme rijitliği normal kuvvete bağlı

400mm 8φ16 C25/S420 40 0m m 40m m 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 100 150 200 250 0 50 -4.0MN -3.0MN = N -1.0MN -2.0MN A B C D φ = 0.20 radyan/m) E +0.5MN u φ (radyan/m) M ( kN m ) Zekai Celep 10

C A M a M_b M o M s B A B C

Kiriş kesitleri Kolon kesitleri

l

Eğilme rijitliğinin kiriş boyunca değişimi

Zekai Celep 11

Kesit atalet momenti hesabında brüt ve çatlamış kesit

Dış etkiler altındaki taşıyıcı sistemde, kesit atalet momentinin değeri ve eksen boyunca değişiminde,

•

Eğilme momentinin eleman boyunca değişimi,

•Şekil değiştirmelerin, dolayısıyla düşey ve yatay yerdeğiştirmelerin

değeri

etkili olur. Yükler arttıkça;

•

Kesitlerde çatlamalar ilerler,

•Şekil değiştirmeler ve yerdeğiştirmeler

artar,

•Atalet momenti azalır ve periyot artar,

•

Deprem kuvveti azalır.

S (T ) 2.5 1.0 1 T1 TB TA S(T =2.51) (TB/T1) 0.8 Zekai Celep 12

•

Düşey yükler altında, kirişlerde eğilme momenti ve kolonlarda normal kuvvet ile eğilme momenti beraberce etkili olur.

•

Deprem yüklemesinde kirişlerde eğilme momenti artarken,

kolonlarda eğilme momenti normal kuvvetin yanında etkili olmaya başlar.

•

Çatlama; kirişlerde daha fazla etkili olurken, kolonlardaki etkisi mevcut normal kuvvetten dolayı daha sınırlı olur.

brüt kolon çatlamış

kolon

I

<

brüt kiriş çatlamış

kiriş

I

(4)

Zekai Celep 13

3. Süneklik

Sünek davranışta, yük kapasitesine erişildiğinde ek olarak önemli bir şekil değiştirme / yerdeğiştirmesi kapasitesi ortaya çıkar.

Gevrek davranış Sünek davranış

u = u P_u u _y u u P P u u y u elastik enerji elastik

enerji tüketilenplastik enerji

u P

Gevrek davranış Sünek davranış

Zekai Celep 14

Süneklik türleri:

•

Sünekliğin kullanılması doğrusal olmayan davranışın beklendiğinde karşı gelir.

•

Sünekliğin faturası, doğrusal olmayan şekil ve yer değiştirmeleri kabul edilmesidir.

•

Düşey yüklerde doğrusal olmayan davranış sınırlı kullanılırken, deprem etkisinde çok daha geniş ve yaygın olarak kullanılır.

d P Sistem davranışı P d Eleman davranışı B C δ O δ_y δu F F_u 1 M φ idealize edilmiş davranış eğrisi gerçek davranış eğrisi Kesit davranışı A y u

δ

µ

=

/

Zekai Celep 15

İki halkalı zincirde gevrek ve sünek davranış

kapasitesi düşük

gevrek halka kapasitesi yükseksünek halka

kapasitesi yüksek

gevrek halka kapasitesi düşüksünek halka

Zekai Celep 16

•

Elemanda sünek güç tükenmesinin sağlanması:

•

Kat mekanizması güç tükenmesinin önlenmesi,

•

Kiriş-kolon birleşim bölgesinde yetersiz kesme kuvveti

dayanımından veya yetersiz donatı kenetlenme boyundan oluşabilecek güç tükenmesinin önlenmesi,

•

Kiriş, perde ve kolonlarda yetersiz kesme kuvveti dayanımından oluşabilecek güç tükenmesinin önlenmesi,

•

Kolonlarda eksenel taşıma kapasitesinin yetersizliğinden oluşabilecek güç tükenmesinin önlenmesi,

•

Prefabrike elemanların birleşim bölgeleri dayanımlarının yetersizliğinden oluşabilecek oluşabilecek güç tükenmesinin önlenmesi,

(5)

Zekai Celep 17 Sünek güç tükenmesinin sağlanarak gevrek güç tükenmesinin önlenmesi:

•

Güç tükenme mekanizmasının sünek ve gevrek ortaya çıkma durumunda gevrek güç tükenme durumunu sünekten daha kuvvetli tutarak, öngörülen yükler üzerinde yükleme durumunda güç tükenmenin sünek olmasını sağlamak,

•

Bunun için yönetmeliklerde öngörülen kurallar:

Zekai Celep 18

TS500 de sünek davranışın öne çıkarılması:

Eğilme donatısına üst sınır öngörülmesi

' A A s s b d ε = ε ε < εs y c cu ' s ε x <x_b σ = c fc F_s Fs' ε > εs y x >xb ε ε_c _cu ' s ε σ f c c F_s Fs'

donatı akmaya eriştikten sonra beton güç tükenmesine erişiyor donatı akmaya erişmeden

önce beton güç tükenmesine erişiyor b

ρ

−

'

≤

_max

=

0 .

85

Zekai Celep 19

Donatı kenetlenme boyuna bir alt sınır öngörülmesi

kenetlenme boyu küçük donatıda gevrek güç tükenmesi

(donatının sıyrıması)

kenetlenme boyu büyük donatıda sünek güç tükenmesi (donatının akması)         = 012

φ

; 20

φ

f f . max ctd yd b l Zekai Celep 20

TS500 ve Deprem Yönetmeliği’nde sünek davranışın öne çıkarılması:

Etriye aralığına bir üst sınır öngörülmesi

burkulma boyu büyük donatıda

(6)

Zekai Celep 21

Deprem Yönetmeliği’nde sünek davranışın öne çıkarılması:

Sarılma bölgesinde sargı donatısının öngörülmesi

f ε σ f σ ε c c c c c c

gevrek beton davranışı (yetersiz yanal şekil değiştirme

sınırlandırılması)

sünek beton davranışı (yanal şekil değiştirme sınırlandırılması) Kirişlerin sarılma bölgelerinde: sc≤min

[

0.25h;8φl;150mm

]

Kirişlerin orta bölgelerinde: sc≤min

[

0.5d;300mm

]

Kolonların sarılma bölgelerinde sc≤min

[

h/3;b/3;100mm

]

Kolonların orta bölgelerinde so≤min

[

0.5h;0.5b;12φl;200mm

]

Zekai Celep 22

Kiriş kapasitesinin zayıf, kolon kapasitesinin güçlü halka olarak düzenlenmesi

gevrek güç tükenmesi (kuvvetli kiriş düzeni)

sünek güç tükenmesi (kuvvetli kolon düzeni)

)

(

2 .

1 )

(

M

_ra

+

M

_rü

≥

M

_ri

+

M

_rj Zekai Celep 23

Eğime kapasitesinin zayıf, kesme kuvveti kapasitesinin güçlü halka olarak düzenlenmesi

kuvvetli eğilme donatılı kiriş

gevrek kesme kuvveti güç tükenmesi sünek eğilme momenti güç tükenmesikuvvetli kesme kuvveti donatılı kiriş

n ra rü n a ü e

M

V

l

+

=

+

=

1 .

4

Zekai Celep 24

Eğilme kapasitesinin zayıf, kesme kuvveti kapasitesinin ve filiz donatıların kapasitesinin güçlü halka olarak düzenlenmesi

temel filiz donatılarında kısa kenetlenme boyu gevrek güç tükenmesi

gevrek kesme kuvveti güç tükenmesi

sünek eğilme güç

tükenmesi zeminden temelinkalkması

d t d t p v e

V

M

V

)

(

)

(

β

=

(7)

Zekai Celep 25

Kolonlarda ortalama gerilmenin sınırlandırılarak sınırlı sünekliğin sağlanması

c σ_c fc A B _ε σ_c<< fc B beton gerilmeleri maksimumdan uzakta tasarım σ_c= 0.85 fc A beton gerilmeleri maksimuma yakın tasarım ) 5 . 0 ( / _ck E Q G c N f A ≥ ₊ ₊ Zekai Celep 26

Kiriş-kolon birleşim bölgesinde donatı akması kapasitesinin zayıf, kesme kuvveti kapasitesinin güçlü halka olarak düzenlenmesi

F =A f F =A f s A s4 A s3 s2 y s s1 y

birleşim bölgesinde beton güç tükenmesine erişmeden donatı

akmaya erişiyor F < A f F < A f s2 y A A

donatı akmaya erişmeden birleşim bölgesinde beton güç tükenmesine erişiyor

s s3 s s1 y s4

[

s s s s

]

kol cd j c yk e

f

A

V

f

b

h

V

=

1 .

25 max

₁

+

₂

;

₃

+

₄

−

≤

0 .

60

Zekai Celep 27

Kirişsiz döşemelerde kolon başlığında eğime kapasitesinin zayıf, zımbalama kapasitesinin güçlü halka olarak düzenlenmesi

kirişsiz döşemeden eğilme donatısı akmadan zımbalama kapasitesine

erişiliyor

kirişsiz döşemede zımbalama kapasitesine erişilmeden

eğilme donatısı akıyor

pd pr

V

≥

Zekai Celep 28

4. Plastik mafsal kabulü

Mesnette plastik mafsal:

Plastik mafsal bölgesinin boyu, eğrilik-moment değişimine, eleman boyunca eğilme momentinin

değişimine,

kesit yüksekliğine ve kesitteki normal kuvvete bağlıdır.

EI

M /

=

φ

h

p

=

0 .

5 l

l plastik eğriliklerin bulunduğu kesitler plastik eğrilik değişimi eşdeğer plastik eğrilik değişimi lp y M M Kesit A Kesit B My u M M Mu 0 EI Kesit A Kesit B φ =M / EI_y _u p φ B φ y=M / EI=u φA φB φ

(8)

Zekai Celep 29 Açıklıkta

plastik mafsal

0 EI Kesit A Kesit B φ_y =M / EI_u φB φ M M_u My φ _y=M / EI=_u φ_A Kesit A Kesit B plastik eğriliklerin bulunduğu kesitler eşdeğer plastik eğrilik değişimi φ B lp plastik eğrilik değişimi u M M φ Zekai Celep 30

Plastik mafsal kabülü:

•

Kesitte eğilme momentinin küçük değerlerinde elastik ve büyük değerlerinde elastik ve plastik şekil değiştirmeler meydana gelir.

•

Kiriş ve kolon ekseni boyunca dağılı olan plastik şekil

değiştirmelerin belirli kesitte toplandığının kabul edilmesi

Plastik Mafsal kabulünü oluşturur.

•

Plastik mafsal taşıyıcı sistem hesaplarında bir kesitte kabul edilirken, betonarme kesit hesaplarında plastik mafsal boyunun kabulüne ihtiyaç vardır. Bu boy eleman boyunca moment dağılımına ve kesit yüksekliğine bağlıdır.

•

Plastik mafsallar, çerçeve sistemlerde deprem etkisinde en çok zorlanan kolon ve kirişlerin uçlarında meydana gelir.

Zekai Celep 31

Deprem etkisindeki çerçeve sisteminin tasarımında doğrusal elastik ötesi davranışı gözönüne alınarak plastik mafsal kabulünün tasarımda kullanımı:

• Taşıyıcı sisteme uygun sünek ve kat mekanizmasına izin

vermeyen bir mekanizma durumu kabul edilir.

• Plastik mafsal dışındaki bölgelerin doğrusal elastik davrandığı

kabul edilir.

• Bu etkiler altında sünekliğin sağlandığı, plastik mafsal

kesitlerinin yeterli dönme kapasitesine sahip olduğu kabul edilir.

Zekai Celep 32

5. Kapasite tasarımı ilkeleri

Deprem Yönetmeliği’nin öngörüsü:

•

50 yılda aşılma olasılığı %10 olan deprem kuvvetlerinin karşılanması (öngörülen kuvvetlerin karşılanacak şekilde, kesit boyutlarının belirlenmesi ve gerekli donatının sağlanması),

•

Taşıyıcı olmayan elemanlardaki hasarın ve ikinci mertebe etkilerin sınırlandırılması için, yatay yerdeğiştirmelerin sınırlandırılması,

•

Öngörülenden daha büyük deprem meydana geldiğinde güç

tükenmesi mekanizmasının kontrolü (sünek güç tükenmesinin gevrekten önce ortaya çıkmasının sağlanması / Kapasite Tasarımı), Neden sünek güç tükenmesi:

•

Güç tükenme durumunun büyük yerdeğiştirmelerle meydana gelerek) haberli olması,

•

Deprem yükünün karşılanmasında elemanlar arası yardımlaşmanın sağlanması,

•

Güç tükenmesinin büyük enerji tüketimi ile ortaya çıkması,

(9)

Zekai Celep 33

Kapasite tasarımı ilkeleri

•

Kabul edilen yükler altında sistemde kritik kesitler incelenerek sünek güç tükenmesi güç tükenme durumunun seçimi,

•

Kat mekanizması oluşturan güç tükenme durumu ortaya

çıkmaması sağlanması,

•

Gevrek güç tükenme durumunu sünekten daha kuvvetli tutarak, öngörülen yükler üzerinde yükleme durumunda güç

tükenmesinin sünek olmasını sağlanması,

•

Bu kritik kesitlerin hepsinin kapasiteye erişecek şekilde boyutlandırılması,

•

Kritik kesitlerde elastik ötesi şekil değiştirmeler ortaya çıkacağı için, bu kesitlerde elastik ötesi şekil değiştirme kapasitesinin (gerekli sünekliğin) sağlaması,

Zekai Celep 34

Betonarmede sünek güç tükenmesinin sağlanarak gevrek güç tükenmesinin önlenmesi:

•

Kesitte sünek güç tükenmesinin sağlanması:

•

Eğilme momenti altında sünek güç tükenmesinin sağlanması (donatının öngörülen maksimumun altında olması durumunda, güç tükenmesi donatının akmaya erişip uzaması ile ortaya çıkacaktır),

•

Eğilme momentinin etkili olduğu normal kuvvet etkisinin

sınırlandırılarak sünek güç tükenmesinin sağlanması,

•

Elemanda kesme kuvveti için gerekli talebi karşılayacak tasarımın yapılması (gerekli donatının sağlanması),

•

Elemanda normal kuvvet için gerekli talebi karşılayacak tasarımın yapılması,

•

Donatının kenetlenme boyunun kısa olması sebebiyle sıyrılması sonucu güç tükenmesinin gerekli boy sağlanarak önlenmesi,

•

Zımbalama etkisinde güç tükenmesinin (kirişsiz döşemelerde,

radye temellerde) gerekli tasarımı yapılarak önlenmesi,

Zekai Celep 35

Kapasite tasarımı:

•

Büyük deprem etkisindeki yapılarda sünek yapılarda kullanılır.

•

Tasarımda taşıyıcı sistemin bazı elemanları büyük şekil

değiştirmelerle enerji tüketecek ve elastik ötesi şekil değiştirme yapacak şekilde tasarlanır. Bu kritik kesitlere plastik mafsal denir.

•

Bunun dışındaki kesitler daha büyük mukavemette yapılarak güç tükenmesi önlenir. Bunun gibi sünek güç tükenmesinin mukavemeti daha büyük yapılarak önlenir.

•

Elastik ötesi davranıştan dolayı, elastik deprem etkileri ortaya çıkmaz (Ra = Deprem yükü azaltma katsayısı).

Zekai Celep 36

Kapasite tasarımın adımları:

•

Büyük depremde oluşacak mekanizma durumu seçilir.

•

Plastik mafsalda minimum elastik ötesi dönme ile gerekli

yerdeğiştirme sünekliğinin elde edilmesi amaçlanır.

•

Plastik mafsal bölgeleri tanımlanır. Bu kesitlerde süneklik

sağlanır. Donatı kenetlenmesi ve dönme kapasitesi sağlanır. Bunun için en uygun yöntem sık ve kenetlenmesi tam sargı donatısı uygulamasıdır.

•

Donatı düzeni plastik masal bölgelerinde ve diğer bölgelerde farklı olarak düzenlenir.

(10)

Zekai Celep 37

•

Plastik mafsal içeren elemanlarda istenmeyen elastik ötesi şekil değiştirme biçimleri bunların dayanımları yüksek tutularak önlenir.

•

Gevrek elemanların veya enerji tükenmeyen elemanların dayanımları, plastik mafsal kapasitelerin talebinden yüksek tutulur. Bunlar elastik kalacak şekilde tasarlanır.

•

Deprem kuvvetleri ne kadar hassas olarak hesaplanırsa hesaplansın, büyük belirsizlikler içerir.

•

Kapasite tasarımında, taşıyıcı sistemin davranışı tasarımcı tarafından belirlenir. Taşıyıcı sistemin istenen mekanizma durumu sağlanırken, istenmeyen mekanizma durumu önlenir.

Zekai Celep 38

•

Kolon ve kirişte kesme kuvveti dayanımı, plastik mafsalın talebinden yüksek tutulur.

•

Kiriş-kolon birleşim bölgesi enerji tüketimi bakımından zayıf bir bölgedir. Kesme kuvvetinden oluşabilecek elastik ötesi şekil değiştirme ve donatı aderans çözülmesi önlenmelidir. Dayanımı plastik mafsalın talebinden daha büyük tutulmalıdır.

•

Kapasite tasarımından kesit kapasiteleri hesaplandıktan sonra basit denge denklemleri ile diğer kesitlerde talep edilen dayanım kolayca hesap edilir.

•

Gevrek elemanlar kuvvete esaslı tasarlanır.

•

Sünek kesitlerde ortaya çıkan dayanımın hesap dayanımı değil, gerçek dayanımdır:

fcd / fck ve fyd / fyk / fsu aralarındaki farkı,

Zekai Celep 39

6. Statik itme çözümü:

•

Taşıyıcı sistem elastik ötesi davranış da gözönüne alınarak kadar adım adım yüklenir.

•

Son itme adımında deprem etkisinin iç kuvvet dağılımı, şekil değiştirme ve yerdeğiştirme talebi hesaplanır.

•

Bulunan bu talebin ortaya çıkması için gerekli kesit kuvvet, eğilme momenti ve şekil değiştirme kapasiteleri sağlanır.

•

Tüm sistem incelenerek elemanların güç tükenme durumları

belirlenir.

•

Plastik mfasal kabulünün kullanılmdığı çözümde elasik ötesi davranışın sünek elemanlarda oluşması ve gevrek elemanların elastik kalması sağlanır.

Zekai Celep 40

Statik itme çözümü:

•

Sünek güç tükenmesi (Plastik şekil değiştirme talepleri hesap

edilerek, şekil değiştirme kapasiteleri karşılaştırılır.)

Kesitten talep edilen beton ve donatı için birim uzama/kısalma değerleri ilgili sınır kapasite değeriyle karşılaştırılarak, kesit hasar bölgeleri belirlenir. Bunların sağlanabilir olduğu ve kabul

edilebilir olduğu incelenir.

•

Sünek olmayan güç tükenmesi (İç kuvvet talepleri hesap edilerek,

iç kuvvet kapasiteleri ile karşılaşılır.)

Sünek olmayan elemanların elastik kalması sağlanır.

(11)

Zekai Celep 41 Statik itme çözümü:

•

Taşıyıcı sistemin elastik ötesi yatay yük kapasitesinin belirlenmesi için yapılan çözümdür.

•

Taşıyıcı sistemin elastik ötesi kapasitesi hesaba katılır.

•

Yatay yük etkisinde kesitlerde oluşan plastik şekil

değiştirmeler plastik mafsal kabulü ile gözönüne alınır.

•

Taşıyıcı sistemin hiperstatiklik derecesinin yüksekliği, plastik

mafsalların sayısının çokluğu ve moment kapasitesi yüksekliği oranında sistemin elastik ötesi yatay yük kapasitesi, elastik kapasiteden daha büyük olur.

Zekai Celep 42

Statik itme yükü arttıkça;

•

Plastik şekil değiştirmeler gözönüne alındığı için yatay yük kapasitesi artar. Buna karşılık plastik mafsal kesitlerde elastik ötesi şekil değiştirmeler meydana gelir ve yatay yerdeğiştirmeler artar.

•

Plastik şekil değiştirme, donatının akması ve betonda büyük şekil değiştirmelerin oluşması olarak ortaya çıkar ve sınırlı hasar durumuna karşı gelir.

•

Elastik ötesi kapasiteden faydalanıldığı için, kesit plastik şekil değiştirmelerinin ve yatay yerdeğiştirmelerin kabul edilebilir seviyede kaldığının kontrolü gerekir.

Zekai Celep 43

Statik itme çözümü için Deprem Yönetmeliği’ndeki kabuller:

•

Plastik şekil değiştirmelerin belirli kesitlerde toplandığının kabul

edilmesi ve plastik mafsal kabulünün kullanılması

•

Plastik mafsal boyu kabulü: L_p= 0.5 h

•

Plastik mafsalların, deprem etkisinde en çok zorlanan kolon ve kirişlerin uçlarına, perdelerde ise her katta kat seviyesinde yerleştirilmesi

•

Plastik mafsal kesitlerinin güç tükenmesi çizgilerinin (yüzeylerinin) tanımlanması ve bunların doğrusallaştırılması

•

Betonarme tablalı kesitlerde tabladaki beton ve donatının hesaba

katılması

•

Betonarme elemanlarda çatlamış kesit eğilme rijitliklerinin hesaba katılması

Zekai Celep 44

Plastik şekil değiştirme bölgesi (plastik mafsallar) kesit etkisinin büyük olduğu ve sünek güç tükenmesi oluşacak şekilde seçilir.

perde kritik kesiti çerçeve (kolon ve kiriş) kritik kesitleri çerçeve sistemi moment diyagramı perde moment diyagramı perde D epre m yü kü

(12)

Zekai Celep 45

Plastik şekil değiştirme bölgesi (plastik mafsallar) kesit etkisinin büyük olduğu ve sünek güç tükenmesi oluşacak şekilde seçilir.

çevre perdesi muhtemel plastik mafsal kesiti per de moment di ya g ra m ı perde Zekai Celep 46

Plastik şekil değiştirme bölgesi (plastik mafsallar) küçük şekil değiştirme ile büyük yerdeğiştirme sünekliliği oluşturacak şekilde ve toplam güçlemye sebep olmayacak şekilde seçilir.

θ

₂

>>

θ

₁

θ

1

θ

2

∆

Zekai Celep 47 Örnek 1:

B kolon kapasitesi = 2 X A kolon kapasitesi A kolonu sünek değil:

A kolonu sünek:

δ P Ph/4 Ph/4 h Rijit kiriş δAy 0 δ_By E Bu Au C çerçevenin güç tükenme noktası δ B kolonun davranış eğrisi A kolonun davranış eğrisi F δu δAy 0 δ_By B kolonun davranış eğrisi E H D A kolonun davranış eğrisi δ Bu Au

(a) Gevrek kolonlar (b) Sünek kolonlar C B A F F F F F çerçevenin güç tükenme noktası G A δB Au Bu Au u

F

P

=

+

=

3

Au u

F

P

=

2

Zekai Celep 48 Örnek 2:

İkinci mertebe etkilerle statik itme eğrisi

50mm 50mm b=300mm h=500mm V P =5.0m o 6

φ

20

420 /

25 S

C

ε

_cu

=

0 .

004 ε

_y

=

0 .

0021

MPa

f

_c

=

25

MPa f_y =420

GPa

E

_s

=

200

kN Po=1500 . , , ,

(13)

Zekai Celep 49

Kesitte akma durumu (A noktası):

50mm 50mm b=300mm h=500mm Çekme donatısının akması durumu ε_c x ε Fs a ε'_s F' Fc s 0.85 fc y a/2 0 My φ y Eğilme momenti M Eğrilik φ 6φ20 y s

ε

ε =

3

10 1500

85 .

0 =

×

=

f

b

a

P

o c

F

s

=

F

s

'

x 277

=

mm

00336

.

0 =

−

=

x

d

x

y c

ε

0021 . 0 00276 . 0 ' ' ₌ _> ₌ − − = y y x d d x s ε ε ε Zekai Celep 50

kNm

M

a

h

P

d

f

A

M

y o y s y

01 .

357 )

2 /

5 .

0 (

)

'

(

=

−

+

−

=

m rad x d y y= ₋ =12.14×10−3 / ε φ

_m

EI

P

y y

₃

0 .

102

2 2

=

l

φ

l

δ

kN M V_y = y =71.40 l

kN

P

M

V

y y y o

=

40 .

97 −

=

l

δ

Birinci mertebe etki ile

İkinci mertebe etki ile

Zekai Celep 51

Kesitte plastik şekil değiştirme durumu ( B noktası):

m

rad

p

=

24 .

28 ×

10

−3

/

φ

_l

_p

=

h

/

2 l

l

_p _p _p

h

p p

θ

φ

δ

=

0 .

5 m

h

p y p y

+

=

+

0 .

5 =

0 .

132 =

δ

φ

l

δ

kN

P

M

V

=

(

_y

−

δ

_o

)

/

_l

=

31 .

82 01008

.

0 =

c

ε

_ε

_s

₌

₀

_.

₀₀₆₃₀

ε

s

'=

0 .

00828

İkinci mertebe etki ile (kabul edildi)

Zekai Celep 52

A A B B C C D D E E

δ

(mm) 50 100 200 300 400 0 20 40 60 80 V ( kN) Birinci ve ikinci mertebe etkilerle Birinci mertebe etkilerle

Benzer şekilde C, D ve E noktaları plastik şekil değiştirme kabul edilerek, hesaplanarak karşı gelen yükler hesaplanabilir.

(14)

Zekai Celep 53

Örnek 3:

Farklı kazık boyları olan iskelede statik itme eğrisi

004 .

0 =

cu

ε

_y

=

0 .

0021

MPa

f

_c

=

25

MPa f_y=420

GPa

E

_s

=

200

. , , , A Rijit platform 1m 1m 1m 1m 1m V B C D E F Zekai Celep 54

2

491

3

25

3 '

mm

A

_s

=

_s

=

φ

=

×

_A

_''

₂

₂₅

₂

₄₉₁

_mm

2 s

=

φ

=

×

004 .

0 =

cu

ε

_ε

_y

₌

₀

_.

₀₀₂₁

f_c=25MPa MPa f_y=420

E

_s

=

200 GPa

E_c=30GPa Zekai Celep 55

0 My φ_y Eğilme momenti M Eğrilik φ φ_u b=0.55m 8φ25 h=0.65m 60mm 60mm Güç tükenmesi

durumunda basit eğilme

εcu x ε Fs a ε's F' Fc s 0.85 fc s a/2 εs'' _F''_s Fs σc _F c x/3 F 's Çekme donatısının akması durumu εc x εs' εy εs'' A' = 3s φ25 A'' = 2φ25 A = 3φ25 s s Zekai Celep 56

Kesitin akma durumu:

"

'

_s _s s c

F

+

=

+

" 5 . 0 ' ' 2 1 s s y y s s s y c y _d _x E A x h f A A E x d d x x b E x d x − − + = − − + −

ε

mm

x 135

=

MPa

f

MPa

E

x

d

x

c c y c

=

ε

₋

=

19 <

=

25 σ

MPa

E

x

d

x

s y s

69 '

'

=

−

=

ε

σ

E

MPa

x

d

x

h

s y s

''

0 .

5 ₋

=

176 −

=

ε

σ

(15)

Zekai Celep 57 Betonarme yapılarda kapasite tasarımı ilkesi

kN

x

b

F

_c

=

0 .

5 σ

_c

=

689 .

7 F

s

=

A

s

f

y

=

618 .

7 kN

kN

A

F

_s

'

=

_s

'

σ

_s

'

=

101 .

4 F

s

''

=

A

s

''

σ

s

''

=

172 .

4 kN

kNm

M

d

h

F

x

h

F

M

y s s c y

03 .

383 )

'

5 .

0 )(

'

(

)

3 /

5 .

0 (

=

−

+

−

=

m

radyan

x

d

y y

=

ε

/(

−

)

=

4 .

69 ×

10

−3

/

φ

0 My φ_y Eğilme momenti M Eğrilik φ φ_u Zekai Celep 58

Kesitin güç tükenmesi durumu:

kNm

M

_u

=

448 mm

x 87

=

m

radyan

x

cu u

=

ε

/

=

45 .

45 ×

10

−3

/

φ

004

0. =

cu

ε

0 My φ_y Eğilme momenti M Eğrilik φ φ_u

kNm

M

_y _u

415

0 ≤

=

2 3 3 3

₅₅₀

₆₅₀

_/

₁₂

₁₅₁

₁₀

10

30

40 .

0 kNm

I

E

_c

=

×

=

×

Zekai Celep 59 A kazığında mafsallaşma:

kN M V_A₁=2 _y/_l_A=2×415/1=830.0 kN V VB1= A1l3A/l3B=830.0/23=103.7 kN V VC1= A1l3A/l3C=830.0/33=30.7 kN V VD1= A1l3A/l3D=830.0/43=12.3 kN V V V_E _F _A 3_A/ 3_E 830.0/53 6.6 1 1= = l l = =

kN

V

1

=

A1

+

B1

+

C1

+

D1

+

E1

+

F1

=

990 .

0

m EI V A A 3 3 3 3 1 1 0.46 10 1 / 10 151 12 0 . 830 / 12 − × = × × = = l δ Zekai Celep 60 B kazığında mafsallaşma:

kN V VC1=∆ B1 3B/ C3 =311.3×23/33=92.2 ∆ l l kN V V V V V V1=∆ B1+∆ C1+∆ D1+∆ E1+∆ F1=482.3 ∆ kN V V V₂= ₁+∆ ₁=990.0+482.3=1472.3 kNm M VB2=2 y/lB=2×415/2=415.0 kN VB1=415.0−103.7=311.3 ∆ kN V VD1=∆ B1 3B/ 3D=38.9 ∆ l l kN V V VE1=∆ F1=∆ B1 3B/ 3E=311.3×23/53=19.9 ∆ _l _l m EI V B B 3 3 3 3 1 1 1.37 10 2 / 10 151 12 3 . 311 / 12 − × = × × = ∆ = ∆ l δ

(16)

Zekai Celep 61

Kazık uçlarında plastik mafsal oluşumu:

A B C D E F 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5

Kazık uçlarının mafsallaşma sırası

Zekai Celep 62

C kazığında mafsallaşma:

rad A Ap1=∆ 1/ =1.37×10−3/1=1.37×10−3 ∆θ δ l kN V V VC2= C1+∆ C1=30.7+92.2=123.0 kN V V V_D₂= _D₁+∆ _D₁=12.3+38.9=51.2 kN V V V VE2= F2= E1+∆ E1=6.6+19.9=26.6 m 3 3 1 1 2=δ +∆δ =(0.46+1.37)10− =1.83×10− δ Zekai Celep 63

2 0 4 6 8 10 12 1500 2000 1000 500 V V V A B V_C V_E V_D δ (mm) V, V , V , V , V , V ( kN) A B C D E

Tüm sistemde ve kazıklarda statik itme eğrisi:

Zekai Celep 64

b=0.55m 60mm 60mm ε =0.0017 x ε'_s ε''_s x ε_s' ε_s'' Fs a 0.85 fc a/2 F''s x ε_s' ε''_s Fc F's c c cMN ε <ε =0.0035 Minimum hasar sınırı ε _c=0.0035 c cGV ε =ε s ε =0.020 ε _s<ε _sGV=0.040 ε s_s<ε _sGÇ=0.060 ε =0.02282 ε _c=0.0040 c cGÇ ε =ε s s ε =ε_sMN ε =0.010 Güvenlik sınırı Göçme sınırı h=0. 65 m 8φ25

(17)

Zekai Celep 65

Minimum hasar sınırı (MN):

010 .

0 =

=

_sMN s

ε

c

=

0 .

0017

<

ε

cMN

=

0 .

0035

mm d x s c c ₌₈₆ + = ε ε ε y c s

ε

x _xd

ε

_'= − '=₀_.₅₁×₁₀−3< y c s x x h _ε ε ε _''= 0.5 − =₄_.₇₂×₁₀−3>

kN

a

b

f

F

c

=

0 .

85

c

=

854 .

35 F

s

'

=

A

s

'

σ

s

=

151 .

72 kN

kN

A

F

_s

''

=

_s

''

σ

_s

=

412 .

44 F

s

=

A

s

σ

s

=

618 .

66 kN

Zekai Celep 66

kN

F

N

=

−

_c

−

_s

'

+

_s

''

+

_s

=

25 .

03 kNm

d

h

F

a

h

F

M

_MN

=

_c

(

0 .

5 −

0 .

5 )

+

(

_s

'

+

_s

)(

0 .

5 −

'

)

=

450 .

59 m

rad

x

c MN

=

ε

/

=

9 .

77 ×

10

−3

/

φ

m

rad

y MN MNp

=

φ

−

φ

=

15 .

08 ×

10

−3

/

φ

rad

h

_MNp MNp

=

0 .

5 φ

=

4 .

90 ×

10

−3

=

θ

Zekai Celep 67 Göçme hasar sınırı (GÇ):

cGÇ c

ε

= 00400. = x 88= mm

ε

s=0.02282<

ε

sGÇ=0.060 m rad GÇ =45.45×10−3 /

φ

m rad y GÇ GÇp=φ −φ =(45.45−4.69)×10−3=40.76×10−3 / φ rad h GÇp GÇp=0.5 φ =0.325×40.78×10−3=13.25×10−3= θ Zekai Celep 68

Kazık kesitlerinde yatay öteleme – plastik mafsal dönme ilişkisi

0 2 4 6 8 10 12 δ (mm) 2 4 6 8 10 θ (r adyan )x 10 3 p V= 990. 02 kN V= 1472. 28 kN V=1 757.2 5k N V=194 2.3 3kN V= 2061. 17 kN c 12 14 θ pMN = 4.90x10 -3 θ pGS = 12.70x10 θ pGÇ = 13.25x10 -3 -3 θpA θpB θpC θpD θpE, pF

(18)

Zekai Celep 69

Örnek 4:

Elastik mesnetli perde de statik itme eğrisi

004 .

0 =

cu

ε

0021

.

0 =

y

ε

MPa

f

_c

=

25

MPa f_y=420

GPa

E

_s

=

200

. , , , 2 1885 20 6 ' mm A A_s= _s =

φ

=

GPa

E

c

=

30

, , , , , , . Perdenin kesiti 3x3.00m 2x 3. 00m Planda perde Perde temeli 2.75mx5.50m Perde V l =15.0m a) b 3.0m P 0.30~0.60m 0.30~0.60m 3.00m 0.30 2.70~2.40m Zekai Celep 70

Kesitte akma durumu:

x

b

F

N

o

+

sy

=

0 .

5 σ

c

x 669

=

mm

MPa

x

d

x

E

c c c s c

=

ε

=

ε

₋

=

21 σ

m h z≈0.85 =0.85×3.00=2.55

kNm

z

N

F

M

_y

=

_u

=

(

2

_su

+

_o

)

/

2 =

3828

m rad x E x c c c y= = / =1.10×10−3 /

σ

ε

φ

kN

N

o

=

1418

Zekai Celep 71

Perde mesnet kesitinde:

Kesitte güç tükenmesi durumu:

kN

N

o

=

1418

kN f A F F_sy= _su= _s _y=1885×0.420≈792 su c o F F N = −

N

o

= 85

0 .

f

c

b

a

−

F

su

mm

a 347

=

x 408

=

mm

z

=

d

−

0 .

5 a

=

2 .

53 m

≈

2 .

55 m

m

rad

x

cu u

=

ε

/

=

9 .

80 ×

10

−3

/

φ

Zekai Celep 72

Fs a 0.85 fc a/2 408mm 2292mm u Çekme donatısının akması durumu; M , φ 3.0 0 m 2. 70 m c ε =0.02094 y y Güç tükenmesi durumu; M , _u φ s ε =0.004 ε s=0.0021 c ε =0.00069 669mm Fs σc Fc 2031mm

(19)

Zekai Celep 73 Betonarme yapılarda kapasite tasarımı ilkesi

m

EI

P

_y y

=

l

3

/(

3 )

=

φ

l

2

/

3 =

82 .

6 ×

10

−3

δ

m rad y u p=φ −φ =(9.80−1.10)10−3=8.70×10−3 / φ rad h p p p p=φ =φ 0.5 =8.70×10−3×0.5×3.00=13.1×10−3 θ l m p y u=δ +θ l=82.6×10−3+13.1×10−3×15.0=279.1×10−3 δ

kN

M

P

_y

≈

_u

=

_y

/

_l

≈

_u

/

_l

=

3828

/

15 .

0 =

255

37 . 3 6 . 82 1 . 279 = = + = = y p y y u w

_δ

δ

µ

Perdenin yerdeğiştirme sünekliği:

Zekai Celep 74

Elastik mesnetli perde:

Temel boyutları ve yatak katsayısı, temel dönme rijitliği:

Temel dönmesi ve bunun sonucu perde uç yerdeğiştirmesi ve süneklik:

m m 2.75 50 . 5 × _k ₁₀_MN_/_m3 v= rad MNm I k kθ = v temel=10×2.75×5.503/12=381 / rad k M_y f = / θ=3828/381×103=10.18×10−3 θ m f f =θ l=10.18×10−3×15.0=152.7×10−3 δ 78 1 7 152 6 82 7 152 1 279 . . . . . = + + = + + + = + + = f y f p y f y f u wf _δ _δ δ δ δ δ δ δ δ µ Zekai Celep 75

Kesit hasar sınırları:

Minimum hasar sınırı (MN):

3.00 m 2.7 0 m ε =0.0010s c ε =0.00329 669mm Fs σc Fc 2031mm s ε =ε_sMN c cMN ε <ε =0.0035 ε =0.01832 c ε =0.0035c cGV ε =ε s ε <ε =0.040_s _sGV Güvenlik sınırı Minimum hasar sınırı Fs a 0.85 fc a/2 Fc c ε =0.02094s ε =0.004c cGÇ ε =ε ε <ε =0.060s _sGÇ Göçme sınırı 2292mm 408mm 0035 . 0 ≤ c

ε

s≤0.010 e m rad MN=min[0.0035/0.669;0.010/2.031]=min[5.23;4.92]×10−3=4.92×10−3 / φ Zekai Celep 76 Güvenlik sınırı (GV): Göçme sınırı (GÇ):

Betonarme yapılarda kapasite tasarımı ilkesi 0035 . 0 ≤ c

ε

_s

≤

0 .

040

m rad GV=min[0.0035/0.408;0.040/2.292]=min[8.58;17.45]×10−3=8.58×10−3 / φ 004 . 0 ≤ c ε εs≤0.060 m rad GÇ=min[0.004/0.408;0.060/2.292]=min[9.80;26.18]×10−3=9.80×10−3 / φ

(20)

Zekai Celep 77

Riijit zemin durumunda uç yerdeğiştirmesi:

Elastik zemin durumunda uç yerdeğiştirmesi:

m h MNp y MN=δ +φ l /2=82.6+(4.92−1.10)×10−3×15.0×3.0/2=168.6×10−3 δ m h GVp y GV=δ +φ l /2=82.6+(8.58−1.10)×10−3×15.0×3.0/2=250.9×10−3 δ m h GÇp y GÇ=δ +φ l /2=82.6+(9.80−1.10)×10−3×15.0×3.0/2=278.4×10−3 δ m h MNp f y MN=δ +δ +φ l /2=[82.6+152.7+(4.92−1.10)×15×3/2]×10−3=321.3×10−3 δ m h GVp f y GV=δ +δ +φ l /2=[82.6+152.7+(8.58−1.10)×15×3/2]×10−3=403.6×10−3 δ m h GÇp f y GÇ=δ +δ +φ l /2=[82.6+152.7+(8.80−1.10)×15×3/2]×10−3=431.1×10−3 δ Zekai Celep 78

Statik itme eğrisi

GÇMN GÇ Akma R R R R E E GV E E 0 100 200 300 400 500 100 200 300 δ (mm) P (kN) Elas tik z emin Riji t zem in Akma MN GV Zekai Celep 79 Örnek 5:

Perdeli çerçeve sistemde statik itme eğrisi

004 .

0 =

cu

ε

_y

=

0 .

0021

MPa

f

_c

=

25

f_y=420MPa

GPa

E

_s

=

200

. , , ,

GPa

E

c

=

30

, , , , , , . 0 My φ_y Eğilme momenti M φ_u Eğrilik φ 500mm b=300mm 50 50 Kolon kesiti 6φ20 1.50m 0.30 0.30 Perdenin kesiti (Uç donatısı 4φ14) 0. 20 3V 2V V

Perdeli çerçeve yapı

perd e 3m 3m 3m çer çev e rijit kirişler Zekai Celep 80

Betonarme taşıyıcı sistemlerde kapasite tasarımı ilkesi

Kolon kesiti için:

kNm M My= u=166 φy=6.16radyan/mm mm radyan u=71.43 / φ

(

_E _I

)

₀_.₄ ₃₀ ₁₀3 ₀_.₃₀ ₀_.₅₀3_/₁₂ ₃₇_.₅₀ ₁₀3_kNm2 kolon c = × × × × = × m radyan x d y y= ₋ =1.85×10−3 / ε φ Nmm jd F M My= u= s =258.30×1.20=309.96 m radyan x cu u ₀_.₀₇₂ 55.56 10 / 004 . 0 ₌ _× −3 = =ε φ

Perde kesiti için:

0 My φ_y Eğilme momenti M φ u Eğrilik φ

(21)

Zekai Celep 81 Betonarme taşıyıcı sistemlerde kapasite tasarımı ilkesi

X_i Etkileşim kuvvetlerinin hesabı: Perde İki k olon EI_p 2EIc h h h 3V 2V V X2 X3 X1 X2 X3 X1 δ2 δ3 δ1 3 3 2 1 1 / 12 2 ) ( 6 h EI X X X V c × + + − = δ 2 ₃3 1 2 / 12 2 ) ( 5 h EI X X V c × + − + =δ δ 3 3 2 1 3 / 12 2 3 h EI X V c × − + + =δ δ δ p p p EI h X EI h X EI h X 6 8 6 5 3 3 3 3 2 3 1 1= + + δ p p p EI h X EI h X EI h X 6 28 3 8 6 5 1 3 2 3 3 3 2= + + δ p p p EI h X EI h X EI h X 3 27 6 28 6 8 1 3 2 3 3 3 3= + + δ Zekai Celep 82

Kolonlarda ve perdede dış kuvvetler ve kesit etkileri

Perde Kolon EI_p EI_c 1.745V 0.135V 0.785V 1.730V 2.569V 0.491V 0.491V 1.239V 3.808V 1.745V 1.880V 1.096V 1.096V 3.808V 4.557Vh 4.557Vh 0.748Vh 0.491Vh E ğil me mome nti K esme kuv vet i K esme kuv vet i Zekai Celep 83

kNm V 166 5 . 1 880 . 1 × = kN V=58.85 kNm V 310 0 . 3 557 . 4 × = kN V=22.68 m EI h V c kolon 3 3 3 3 1 1.49 10 10 50 . 37 12 3 68 . 22 096 . 1 12 − × = × × × × = = δ m EI h V c kolon 3 3 3 3 3 1 2 4.05 10 10 50 . 37 12 3 68 . 22 880 . 1 10 49 . 1 12 − − ₌ _× × × × × + × = + =δ δ m EI h V c kolon 3 3 3 3 3 2 3 6.42 10 10 50 . 37 12 3 68 . 22 745 . 1 10 05 . 4 12 − − ₌ _× × × × × + × = + =δ δ kN V Vtaban=(2×1.096+3.808) =2×24.85+86.36=136.06 İkinci kat kolon kesitinin mafsallaşması:

Perde mesnet kesitinin mafsallaşması: Kat yerdeğiştirmeleri:

Zekai Celep 84

Yietkileşim kuvvetlerinin hesabı:

Perde Kolon EIc 39.58kN 3.06kN 17.79kN 39.23kN 58.26kN 11.13kN 24.85kN 86.36kN 310kNm h h h 3Q 2Q Q Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 δ2y δ3y δ1y Perde Kolonlar EI_p 2EIc

Birinci adım sonu Yük artımı mafsal plastik mafsal EIp c y (6Q ₂Y₁₂Y_EIY)h 3 3 2 1 1 _× − − − = δ y c y y Q Y _EIY h 1 3 3 2 1 2 δ (5 ₂ ₁₂ ) 2δ δ = × − − + = y c y y y _EI h Y Q 3 3 3 2 1 3 ₂ ₁₂ 2 ) 3 ( _δ δ δ δ = × − + + = 3Y3+2Y2+Y1=0

(22)

Zekai Celep 85 Betonarme taşıyıcı sistemlerde kapasite tasarımı ilkesi

Statik itme eğrisi

Perde Kolon EI_c 39.58kN 3.06kN 17.79kN 39.23kN 58.26kN 11.13kN 24.85kN 86.36kN 310kNm 2.333Q Perde Kolon _EI p EI

Birinci adım sonu Yük artımı

mafsal plastik mafsal EI_p c Kesm e kuvv et i E ğilme moment i 2.333Q 1.667Q 2Q Q 2.333kN 1.333kN 1.667Qh 1.333Qh

Kolonlarda ve perdede dış kuvvetler ve kesit etkileri

Zekai Celep 86

kNm Q)1.5 166 333 . 2 667 . 22 880 . 1 ( × + = Q=29.162kN m m EI h Q m c 3 3 3 3 3 3 1 (1.49 4.08) 10 10 50 . 37 12 3 162 . 29 333 . 2 10 49 . 1 12 333 . 2 10 49 . 1 − − = + × − × × × × + × = + × = δ m 3 3 3 2=4.05×10− +2×4.08×10− =12.21×10− δ m 3 3 3 3=6.42×10− +3×4.08×10− =18.67×10− δ

İkinci kat kolonunun iki ucunda plastik mafsal oluşturan yük değeri:

Kat yerdeğiştirmeleri:

Perde mesnetinde plastik mafsal dönmesi ve toplam kesme kuvveti:

radyan p perde =4.08/3000=1.36×10−3

θ

kN Vtaban=2×92.89+125.25=311.04 Zekai Celep 87

Wi etkileşim kuvvetlerinin hesabı:

Perde Kolon EI_c 107.62+3.07=110.69kN 0.02kN 14.73kN 105.43kN 82.17kN 63.23kN 95.96kN 124.37kN 310kNm h h h 3R 2R R W₂ W₃ W₁ W₂ W₃ W₁ δ_2w δ_3w δ1w Perde Kolonlar EI p 2EI_c

Üçüncü adım sonu Yük artımı

mafsal plastik mafsal

EI

p

Zekai Celep 88

K e sme kuv veti E ğ ilm e mo me nti Perde Kolon _EI p EI Yük artımı mafsal c 3R 2R 2.333kN 3Rh 8Rh Perde Kolon EI_c 110.69kN 0.00kN 14.73kN 105.43kN 82.17kN 63.23kN 95.96kN 124.37kN 310kNm Üçüncü adımın sonu plastik mafsal EI_p 7R 7R 13R 8R