Catatan Kuliah Sistem Geometri docx

Catatan Kuliah

Sistem Geometri

Dosen : Dr. Endang Mulyana, M.Pd.

Raden Muhammad Hadi

Matematika C – 2011

1106608

Jurusan Pendidikan Matematika ­ Prodi Matematika

Catatan Kuliah Semester 4

Dari Pertemuan 1 – Pertemuan 7

Tahun Perkuliahan 2012/2013

Pendahuluan

Catatan Kuliah Sistem Geometri dibuat berdasarkan mata kuliah Sistem Geometri yang diampu oleh Dosen saya yaitu Dr. Endang Mulyana, M.Pd di Jurusan Pendidikan Matematika Prodi Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pendidikan Indonesia. Pembuatan catatan kuliah ini dimaksud untuk selain dapat digunakan sebagai suplemen/pelengkap dalam mata kuliah ini, ataupun referensi kecil juga dimaksudkan sebagai Management Knowledge yang berguna sehingga dapat dimanfaatkan tidak hanya untuk diri pribadi juga untuk mereka yang ingin mempelajari dan mengetahui mengenai sistem geometri. Dalam catatan kuliah terdapat beberapa ilustrasi dan teorema yang pembuktiannya diperoleh baik dari dosen, saya sendiri maupun dari buku referensi wajib pada mata kuliah ini, yaitu buku Elementary Geometry from an Advanced Standpoints karya Edwin E. Moise.

Kritik, koreksi maupun pendapat mengenai catatan kuliah ini sangat diharapkan oleh penulis dan dapat dikirim melalui email maupun komentar di blog penulis yang dapat dilihat di akhir catatan ini. Penulis berharap catatan kuliah ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Penulis

Bandung, 07 April 2013

Pertemuan – 1

Beberapa peta konsep

Sistem

Objek Langsung

Konsep Fakta

(Aksioma/Pos

Prinsip/Teo

rema/Dalil Prosedur

 Istilah  Model/Ilust

rasi

 Notasi/Sim bol

 Istilah Terdefisini/

Struktur

Titik, Garis, Bidang (Istilah Tidak

S himpunan semesta titik

L P

Bukti :

Dua garis saling berpotongan tepat di satu titik.

Bentuk eksplisit : Jika terdapat dua garis yang saling berpotongan, maka

Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titik. Jika sesuatu itu bidang, maka sesuatu itu himpunan titik.

Aksioma 2

Jika A dan B dua titik sebarang, maka terdapat tepat 1 garis yang melalui kedua titik tersebut.

Aksioma 3

Jika sesuatu itu bidang, maka dibutuhkan minimal 3 titik yang tidak kolinear yang masing-masing terhubung oleh sebuah garis.

Aksioma 4

Jika dua bidang (yang berbeda) saling berpotongan, maka perpotongannya adalah sebuah garis.

Aksioma 5

Jika A, B terdapat pada L dan L himpunan bagian dari P, maka garis L

sehingga L₁≠ L₂ dan terbukti karena n

(

L₁∩ L₂

)

≤1 dan n

(

L₁∩ L₂

)

≥1 , maka n

(

L1∩ L2

)

=1 . Q.E.D

Soal : Buktikan!

1) Jika sebuah garis memotong sebuah bidang yang tidak memuat garis itu, maka perpotongannya sebuah titik.

2) Jika sebuah titik terletak diluar sebuah garis, maka terdapat tepat sebuah bidang yang memuat titik dan garis itu.

3) Jika dua garis berpotongan, maka gabungannya terletak pada satu bidang.

Jawab :

1) Perhatikan ilustrasi berikut

L adalah garis yang memotong bidang E , tapi L bukan bagian dari E , sehingga L∩ E merupakan sebuah titik yaitu

P , dan akan dibuktikan bahwa L∩ E tidak mengandung titik lain, misalnya Q .

Misalkan Q terdapat pada L∩ E , sehingga L∩ E={P , Q} . Berdasarkan aksioma insidensi 1 maka dari titik P dan Q dapat ditarik sebuah garis L= ´PQ . Berdasarkan aksioma insidensi 5, maka garis _PQ´ _{∈E yangmana merupakan kontradiksi karena L} dari awal bukan bagian dari E . Q.E.D

2) Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan A , B∈l dan C∉l , maka dapat disimpulkan bahwa ketiga titik tersebut tidak ko-linear (tidak terletak dalam satu garis). Maka dengan menggunakan aksioma insidensi 3, dapat ditarik garis

Dari ilustrasi dapat dilihat bahwa l , g , t∈E . Karena A , B∈l , A , C∈g dan B ,C∈t maka A , B , C∈E . Q.E.D

3) Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan terdapat garis l dan g yang saling berpotongan di satu titik sehingga l∩ g=B . Ambil sebarang titik A∈g dan C∈l sedemikian sehingga g={A , B} dan l={C , B} . Karena A , B , C

adalah titik-titik yang tidak ko-linear maka berdasarkan aksioma 3 dapat dibentuk sebuah bidang E sebagaimana pada ilustrasi berikut

Karena l , g∈E dan A , B∈g , C , B∈l maka gabungan dari

l∪g=E . Q.E.D

Diskusi:

1) Diketahui 5 titik yang berbeda dengan tidak ada 3 titik yang segaris dan tidak ada 4 titik yang sebidang.

a. Berapa banyak garis yang memuat dua dari kelima titik itu? b. Berapa banyak bidang yang memuat tiga dari kelima titik itu? 2) Diketahui n titik yang berbeda dengan tidak ada tiga titik yang

segaris dan tidak ada 4 titik yang sebidang

Pertemuan – 2

Beberapa peta konsep

Cara Berfikir Geometri

Pengenalan Analisis Pengelomp

okan (Deduktif Informal)

Deduktif Formal

Rigor/Keaku ratan

Jarak Ukuran ruas

garis Lintasan terpendek

 A ≠ B , ada jarak A−B dalam bilangan real.

 A=B , jarak A−B=0∈R

Jika A dan B dua titik sebarang maka jarak dari A ke B ditulis

d(A , B)

Jika A=B , d(A , B)=0

Jika d(P , Q)=0⟹P=Q

Bukti:

Tunjukkan kalau postulat 2, 3 dan postulat 4 merupakan konsekuensi dari postulat 5!

Jawab : Buktinya hampir sama dengan bukti teorema diatas. Teorema :

Jika f adalah sistem koordinat untuk garis L dan g(A)=−f (A) maka g adalah sistem koordinat untuk L .

Postulat Jarak

Postulat 0

Jika S himpunan titik dan R himpunan bilangan real, maka jarak adalah pemetaan

Pertemuan – 3

Beberapa peta konsep

Keantaraan

Misal A , B , C 3 titik berbeda. B diantara A dan

C dinotasikan dengan A−B−C jika dan hanya jika ...

A , B , C ko-linear d(A , B)+d(B ,C)=d(A , B)

Bentuk Pernyataan II

Sifat

Ex : Jika ∆ ABC≅∆ PQR , maka ...

Syarat

Set Theory of Betweenness and Congruence

Misalkan pada suatu garis l terdapat titik A dan B . Perhatikan ilustrasi berikut:

Dari ilustrasi diatas dapat diambil beberapa jenis himpunan garis, diantaranya ruas garis dan sinar :

1) Ruas garis

Ruas garis _AB´ _{={A , B}∪{P∨A−P−B}}

2) Sinar

Sinar ⃗_AB={A , B}∪{P|A−P−B−⋯−n}atauAB´ ∪{Q∨A−B−Q}

Konsep Kongruensi

Misal terdapat ruas garis _AB´ _{dan PQ}´ _{, maka AB}´ _{= ´PQ artinya} AB⊂PQ dan PQ⊂AB .

Konsep Kongruensi Ruas Garis

Ruas garis _AB´ _{dikatakan kongruen dengan PQ}´ _{jika dan hanya jika}

AB=PQ atau

´

AB≅_PQ´ _{⟺d(A , B)=d(P , Q)} Sudut

Sudut adalah gabungan 2 sinar yang titik pangkalnya berimpit. Dalam himpunan dinotasikan sebagai ∠ABC=⃗BA∪⃗_BC

Misal terdapat sinar ⃗_QR∪⃗_{QP sedemikian sehingga membentuk sudut}

∠PQR . Ukuran sudut didefenisikan sebagai jarak ter-minimal titik P

menuju R . Ukuran sudut dinotasikan sebagai m∠PQR . Terdapat 2 kriteria ukuran sudut:

1) Ukuran sudut merupakan pemetaan himpunan sudut ke bilangan real atau f:Himp . sudut → R

2) Ukuran sudut f:(∠ABC)>0° atau 0°<(∠ABC)<180°

Postulat

Jika D pada interior ∠ABC , maka

Pertemuan – 4

Soal:

Jika _AB´ _{suatu ruas garis, maka terdapat tepat satu titik tengah,} buktikan!

Bukti:

Perhatikan ilustrasi berikut!

1) Misalkan L adalah garis yang memuat _AB´ _{, maka terdapat} sistem koordinat f pada garis L sehingga f(A)=0 dan

f(B)=x>0

2) +¿⟹y=

x

2

∀x∈R¿

, misal f−1(y)=c , f(c)=x

f(AC)=f(C)−f(A)=x

Jika terdapat 2 garis yang berpotongan, maka gabungannya terletak pada satu bidang, buktikan!

Bukti:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Misalkan l dan t berpotongan di C , maka terdapat A∈l dan

B∈t sehingga A , B , C tidak kolinear. Menurut aksioma insidensi 3, jika terdapat 3 titik yang tidak kolinear, maka dari 3 titik tersebut dapat ditarik garis yang menghubungkan 3 titik tersebut sehingga membentuk sebuah bidang α sedemikian sehingga A , B , C∈α . Dari sini dapat disimpulkan bahwa gabungan 2 garis yang berpotongan terletak pada 1 bidang. Q.E.D

Pertemuan – 5

Beberapa peta konsep

Half-Plane (Setengah Bidang)

Perhatikan ilustrasi berikut.

terpisah dan konveks di masing-masing daerahnya yaitu H₁ dan H₂

atau dapat dinotasikan dengan teori himpunan:

E−L=H₁∪H₂ dengan H₁∩ H₂=∅

Bidang H₁ didefinisikan sebagai berikut:

H1={Q∨ ´PQ∩ L=∅}

Sedangkan bidang H₂ didefinisikan sebagai berikut:

H2={Q∨ ´PQ∩ L ≠∅, Q∉L}

Bukti: Gunakan kontradiksi, andaikan L tidak memotong di salah satu sisi. Maka A dan B berada di sisi yang sama dari L dan B dan C juga berada di sisi yang sama dari L sehingga A dan C berada dalam sisi yang sama dari L . Ini merupakan kemustahilan karena E terdapat diantara A dan C sehingga A−E−C sehingga seharusnya

A dan C tidak berada di sisi yang sama. Q.E.D

Teorema 2: Himpunan H₁ dan H₂ tidak kosong kedua-duanya.

Bukti: Gunakan kontradiksi. Misalkan kedua-duanya kosong, maka H₁∪L∪H₂=L , padahal L memisahkan bidang E menjadi half-plane yang saling disjoint. Maka haruslah H₁∪L∪H₂=E . Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa kedua-duanya kosong, maka haruslah H₁ dan H₂ tidak kosong kedua-duanya. Q.E.D

Bukti: Gunakan kontradiksi, misalkan salah satu dari half-plane kosong yaitu H₁ , maka H₁∪L∪H₂=H₂ . Hak ini kontradiksi karena seharusnya gabungan dari ketiganya merupakan bidang yang tidak berbatas E , sedangkan H₂ memiliki batas di L . Maka haruslah H₁∪L∪H₂=E . Q.E.D

Teorema 4: H₁ paling sedikit mengandung 2 titik.

Bukti: Dengan menggunakan definisi bahwa L membagi bidang E menjadi half-plane yang saling disjoint dan konveks di masing-masing daerahnya, maka cukup dengan mengambil sebarang titik A dan B sehingga

´

AB∈H1 . Q.E.D

Teorema 5: H₁ paling tidak mengandung 3 titik yang tidak kolinear.

Bukti: Tanpa mengurangi generalisasi dengan menggunakan aksioma insidensi 3, maka dapat diambil sebarang titik A , B , C∈H₁ sehingga dapat dibentuk bidang α∈H₁ . Q.E.D

Pertemuan – 6

Beberapa peta konsep

Soal:

Diketahui ∆ ABC sama kaki, _AB´ _≅AC´ _{, buktikan ∠B≅∠C !} Bukti:

Perhatikan ilustrasi berikut:

Perhatikan bahwa

∆ ABC≅∆ ACB

´ AB≅AC´

∠A≅∠A(sifat refleksif)

´

BC≅CB´ (sifat refleksif)

Berdasarkan definisi sisi-sudut-sisi ∆ ABC≅∆ ACB sehingga ∠B≅∠C . Q.E.D

Soal:

Diketahui ∆ ABC⟺∆ PQR , ∠A≅∠P , AB´ ≅PQ´ , ∠B≅∠Q . Buktikan bahwa ∆ ABC≅∆ PQR !

´

AB≅CD´ ⟺_AB´ _{= ´CD}

∠ABC≅∠PQR⟺m∠ABC=m∠PQR

∆ ABC≅∆ PQR⟺…

∆ ABC⟺∆ PQR

Korespondensi 1-1

∠A≅∠P , ∠B≅∠Q ,∠C≅∠R

´

Bukti: definisi kekongruenan sisi-sudut-sisi diperoleh bahwa _AB´ _≅PQ´ _{, dan}

Pertemuan 7

Ketidaksamaan Geometri

1) Sebarang sudut luar dari suatu segitiga lebih besar daripada setiap sudut yang berjauhan dari sudut luar itu.

Bukti:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Diketahui ∆ ABC dengan ∠ACD merupakan sudut luar, akan dibuktikan (1) ∠ACD>∠ABC dan (2) ∠ACD>∠BAC . Dengan menggunakan menggunakan pemahaman mengenai sudut bersuplemen, kita akan membuktikan kedua pernyataan tersebut. Perhatikan ilustrasi berikut!

m∠DAC+m∠DAB=180° sebab pada _CB´ _{dipadang sudut yang}

berukuran 180° . ∠DAC dan ∠DAB disebut sebagai pasangan linear. Maka ∠DAC dan ∠DAB saling bersuplemen jika dan hanya jika m∠DAC+m∠DAB=180° .

∠ACD>∠ACB . Dengan cara yang analog dengan cara memperoleh ∠ACD>∠ACB , maka terbukti bahwa ∠ACD>∠ABC dan ∠ACD>∠BAC . Q.E.D

2) Teorema akibat : Melalui suatu titik diluar suatu garis yang diketahui dibuat hanya satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang diketahui.

Bukti:

Andaikan ada 2 garis yang melalui P tegak lurus garis L , yaitu pada PA dan PC . Perhatikan ∆ PAC , ∠PCD adalah sudut luar

∆ PAC . Menurut teorema sebelumnya, ∠PCD>∠PAC , bertentangan dengan m∠PAC=m∠PCD=90° , akibatnya pengandaian salah, seharusnya ∠PCD≅∠PAC sehingga satu-satunya garis yang tegak lurus terhadap garis L hanyalah PA atau PC . Q.E.D

3) Jika dari sebuah segitiga diketahui dua sisinya tidak kongruen, maka sudut-sudut dihadapan sisi itu tidak kongruen. Sudut yang lebih besar terletak dihadapan sisi yang lebih panjang.

Bukti: 4) Jika dari sebuah segitiga diketahui dua sudutnya tidak kongruen, maka sisi-sisi dihadapan sudut itu tidak kongruen sehingga sisi yang lebih panjang terletak dihadapan sudut yang lebih besar.

Bukti:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Diketahui ∆ ABC dengan ∠B<∠C . Akan dibuktikan _AC´ _{< ´AB .}  Jika _AC´ _≅AB´ _{, maka dengan teorema segitiga sama kaki didapat}

 Jika _AC´ _{> ´AB , maka dengan teorema 3 didapat bahwa ∠B>∠C ,} dan ini juga tidak sesuai dengan hipotesis,

Maka kemungkinan besar bahwa _AC´ _{< ´AB , yang sesuai dengan} hipotesis. Q.E.D

5) Segmen terpendek yang menghubungkan sebuah titik ke sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus dengan garis itu.

Bukti:

6) Teorema Ketidaksamaan Segitiga. Dalam sembarang segitiga, jumlah sembarang dua sisi lebih besar daripada sisi yang ketiga.

Bukti:

Dengan mengaplikasikan teorema 5 pada ∆ ADC diperoleh ´

CD> ´AC …(4)

Q.E.D

7) Dari dua segitiga yang diketahui, jika 2 sisi segitiga pertama kongruen dengan berturut-turut dua sisi segitiga kedua dan sudut yang diapitnya lebih besar daripada sudut yang diapit oleh 2 segitiga yang kedua, maka sisi dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga yang kedua.

8) Teorema Sisi-Sudut-Sisi. Diketahui korespondensi diantara dua segitiga. Jika dua sudut dan sebuah sisi yang berkorespondensi dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka korespondensi itu merupakan sebuah korespondensi.

9) Teorema Hipotenusa-sisi siku-siku. Diketahui korespondensi diantar dua segitiga siku-siku. Jika hipotenusa dan sebuah sisi siku-siku yang pertama berkorespondensi dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka korespondensi itu merupakan sebuah korespondensi. Bukti:

Diketahui ∆ ABC dan ∆≝¿ sedemikian sehingga

m∠A=m∠D=90° , _AB´ _≅DE´ _{dan BC}´ _≅EF´ _{. Akan dibuktikan} ∆ ABC≅∆≝¿ .

Misal G titik pada F-D-G dan _DG´ _≅AC´ _{. Dengan menggunakan postulat} sudut yang saling bersuplemen diperoleh ∠EDG adalah sudut siku-siku dan ∠EDG≅∠BAC . Dengan teorema Sisi-Sudut-Sisi diperoleh ∆ ABC≅∆ DEG . Hal ini menyebabkan _EG´ _≅BC´ _{sehingga EG}´ _≅EF´ _. Dengan teorema segitiga sama kaki, diperoleh ∠F≅∠G . Dengan teorema Sisi-Sudut-Sudut diperoleh ∆ DEG≅∆≝¿ sehingga

∆ ABC≅∆≝¿ . Q.E.D

Biodata Penulis

Nama : Raden Muhammad Hadi

Nickname : hadimaster, master, Hadi

Contact Person via blog dan e-mail