PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL TINGKAT SMK
TOPIK 1 BARISAN DAN DERET
OLEH
GEDE DENY WILYARTA (0048) SMK NEGERI BALI MANDARA
TOPIK 1
BARISAN DAN DERET Menjelaskan tentang:
a. Pembuktian mengenai rumus dari jumlah n suku pertama deret geometri (Sn) adalah :
Sn=a
(
1−rn
)
1−r atau Sn=
a
(
rn−1)
r−1Jika
u
1, u
2, u
3,
…
, u
n adalah barisan geometri makau
1+
u
2+
u
3+…+
u
n adalah deret geometri dimana un=arn−1 adalah suku ke-n dari deret tersebut.b. Contoh penggunaan rumus berupa soal dan pembahasan sesuai dengan topik barisan dan deret di atas.
Pembahasan: a. Pembuktian
Misalkan sebuah deret
a, ar , ar
2,ar
3,
…
,ar
n, dengan
−
1
>
r
>
1
dana, ar , ar
2,ar
3,
…
,ar
n, dengan
−
1
<
x
<
1
. Dengan a adalah suku pertama, r adalah rasio dan un adalah suku terakhir barisan tersebut, jadi kita dapatmenuliskannya seperti berikut.
Sn=a+ar+ar2+ar3+…+arn−1
Sn=a
(
1+r+r2+r3+…+rn−1) [
dengan pemfaktoran]
Untuk membuktikan rumus tersebut kita perlu membentuk persamaan lain seperti berikut.
r.Sn=r.a
(
1+r+r2+r3+…+rn−1)
r.Sn=a
(
r. 1+r.r+r.r2+r.r3+…+r.rn−1)
[
sifat distributif bilangan riil]
r.Sn=a
(
r+r2+r3+r4+…+rn)
Untuk -1 > r > 1
r.Sn− Sn=a
(
r+r2+3+r4+…+rn)−
a(
1+r+r2+r3+…rn−1)
Sn(r−1)=a
(
r+r2+3+r4+…+rn)−
a(
1+r+r2+r3+…rn−1)
Sn(r−1)=a
(
(
r+r2+3+r4+…+rn)−(
1+r+r2+r3+…rn−1)
)
Sn(r−1)=a
(−
1+r−r+r2−r2+r3−r3+…+rn)
Sn(r−1)=a
(
rn−1−1) [
dengan pemfaktoran]
Sn=a
(
rn−1−1
)
r−1
[
pindahkan rn−1
−1 ke ruas kanan
]
Untuk -1 < r < 1Kita kurangkan Sn dengan r.Sn
Sn−r.Sn=a
(
1+r+r2+r3+…rn−1)
−a(
r+r2+3+r4+…+rn)
Sn(1−r)=a
(
1+r+r2+r3+…rn−1)−
a(
r+r2+3+r4+…+rn)
Sn(1−r)=a
(
(
1+r+r2+r3+…rn−1)−
(
r+r2+3+r4+…+rn)
)
Sn(1−r)=a
(
1−r+r−r2+r2−r3+r3−…−rn)
Sn(1−r)=a(
1−rn) [
dengan pemfaktoran]
Sn=a(
1−rn
)
1−r
[
pindahkan 1−r ke ruas kanan]
(Terbukti). b. Contoh Soal
1. Seorang anak memiliki kebiasaan ketika melihat tali ia akan memotongnya menjadi 3 bagian yang sama panjang, lalu 1 bagian dari 3 bagian tersebut akan dibagi lagi menjadi 3, dan begitu seterusnya. Pada suatu hari ia menemukan sehelai tali lalu ia memotongnya tanpa menghitung berapa panjang tali mula-mula. Apabila diketahui ia memotong sebanyak 363 kali dan diketahui panjang potongan kecil tali pada akhir pemotongan adalah 7 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?
2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter. Setelah menyentuh lantai
bola akan memantul
1
2 kali dari ketinggian bola itu sebelumnya.
Berapakah panjang lintasan gerak bola tersebut tepat pada pantulan ke-10?
Jawab:
Panjang tali awal sebelum dipotong adalah a
Untuk memotong menjadi 3 bagian sama panjang itu membutuhkan 3 kali pemotongan (pemotongan tahap pertama)
Untuk memotong ketiga bagian tali yang sama panjang itu membutuhkan 9 kali pemotongan (pemotongan tahap kedua)
Maka kita dapat pola banyaknya pemotongan yang anak itu lakukan yaitu
3, 9,27
,
81
,
243
,
dst.a
=
3
r
=
u
nu
n−1=
9
3
=
3
S
n=
363
S
n=
a
(
r
n
−
1
)
r
−
1
=
3
(
3
n−
1
)
3
−
1
363
=
3
n+1
−
3
2
726
=
3
n+1−
3
3
n+1=
726
+
3
3
n+1=
729
n
+
1
=
3log 729
n
+
1
=
6
n
=
6
−
1
n
=
5
Maka pemotongannya terjadi dalam 5 tahap yaitu
3, 9,27
,
81
,
243
. Tahap kelima akan membuat tali tersebut menjadi 243 bagian sama panjang. Karena panjang potongan tali pada akhir pemotongan yaitu 7 cm maka panjang tali mula-mula adalah243
×
7
=
1501
cm
.Deret lintasan gerak bola jatuh adalah panjang lintasannya adalah sebagai berikut.
