bab iipd tingkat 1 derajat 12

BAB II

PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU

Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan differensial tingkat satu

derajat satu adalah persamaan yang memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu (

dx dy

). Secara umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 

dx dy

) , (

) , (

y x N

y x M 

 dx dy

= F(x,y)

 F(x,y, dx dy

) = 0.

Bentuk umum di atas mengakibatkan jenis persamaan differensial

tingkat satu derajat satu bervariasi. Untuk lebih memudahkan dalam

menentukan primitif atau selesaiaan umum persamaan, maka

persamaan differensial tingkat satu derajat satu dikelompokkan

menjadi:

1) persamaan differensial variabel terpisah (persamaan separable),

2) persamaan yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah,

3) persamaan differensial homogen,

6) persamaan differensial tidak eksak, dan

7) persamaan differensial yang berbentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0.

Jenis dan macam masing-masing persamaan differensial

mempunyai spesifikasi yang berbeda-beda. Prinsip utama yang

digunakan adalah sedapat mungkin memisahkan dan mengelompokkan

masing-masing koefisien differensial. Khusus untuk persamaan yang

tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema)

akan sangat membantu.

Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan differensial

tingkat satu derajat satu.

2.1 Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable)

Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai

bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai

persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut

dapat dinyatakan dengan f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan kata lain

masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan

variabel yang sejenis.

Contoh:

1. x dx + 2 y dy = 0

2. y2 _{dx – x dy = 0}

 x dx

- _y2

3. y’ = y _{1 2x}2

 _{1 2x}2 dx - y dy

= 0

4. x dx – sin y dy = 0

Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy

berpasangan dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan

selesaian umum persamaan cukup dengan mengintegralkan masing

masing bagian.

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini!

Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:

1. x dx + 2 y dy = 0



_

x dx +

_

2y dy = C



2 1

x2 _{+ y}2 _{= C}

 x2 _{+ 2y}2 _{= C (primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD)}

2.

y dx

- 3

x dy

= 0

 x dx – 3y dy = 0



_

x dx -



3y dy = C



2 1

x2 _-

2 3

y2 _{= C}

 x2 _{– 3y}2 _{= C}

 3 x dx

+ 2dy_y = 0



_

3 x dx

+

_

2dy_y = C

 3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C

 Ln │x3_y2 _{│= C}  x3_y2 _{= C}

4. x dx + 2 y dy = 0



_

x dx +

_

2 y dy = C



2 1

x2 _{+ y}2 _{= C}

 _x2 + 2y2 = C

5. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y(



) = 1



_

sin x dx +

_

(1-y) dy = C

 _{- cos x + y -}

2 1

y2 _{= C}

 _{- 2 cos x + 2y - y}2 _{= C}

Karena y(



) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus

persamaan adalah -2 cos x + 2y – y2 _{= 3}

Latihan soal

1. y2 _{dx – x dy = 0}

2. (1+2y) dx – (4-x) dy = 0

3. cos y dx + (1+e-x_{) dy = 0}

4. dx + (1-x2_{) cot y dy = 0}

5.

3 1

dx dy

= 1-sec x

6. (1-x2_{)y’ = 2}

7. (1+2y) dx - (4-x) dy = 0

8. xdy – ydx = 0 dengan y(1) = 1

9. (1-x) dx – 2y2 _{dy = 0 dengan y(0) = 1}

10. y’= x3_{(1-y) dengan y(0) = 3}

11.

dx dy

= 2x cos2_{y dengan y(0) =}

4 

12. y’ = 2x3_e-2y _{dengan y(1) = 0}

Catatan

Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable

terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable

sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat

dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x) dx + g(y) dy = 0.

2.2 Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah

Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y)

direduksi menjadi persamaan differensial variable terpisah jika bentuk

umum

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 _f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0



) (

) (

2 1

x f

x f

dx +

) (

) (

1 2

y g

y g

dy = 0

 _{F(x) dx + G(y) dy = 0.}

Untuk selanjutnya bentuk pembagian _{( )}1 _{( )}

2

2 x g x

f disebut faktor

integrasi. Selesaian umum persamaan differensial yang dapat direduksi

menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara

mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis

dikelompokkan dengan differensialnya.

Contoh:

Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini:

1. 2(y+3) dx – xy dy = 0

 2 x dx

- _yydy_3= 0



_

2 x dx

-

_

_yydy_3= C



_

2 x dx

-

_

( 1- _y3_3) dy = C



_

2 x dx

-

_

1 dy +

_

_y3_3 dy = C

 x2_(y+3)3 _{= e}(C + y) _{= ce}y  x2_(y+3)3 _{= ce}y

2.

dx dy

=

) 3 (

4



y x

y

 x(y-3) dy = 4y dx  4y dx - x(y-3) dy = 0

 4 x dx

- y_y3dy = 0



_

x dx

4 -

_

y_y 3dy = C

 4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C  x4_y3 _{= e}c+y _{= ce}y

3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0

dx x y 1)(1 )

(  

 - xy dy = 0

 x

x 

1

dx - _yy_1dy = 0



x dx

- dx – dy + _ydy_1= 0



_

x dx

-

_

dx –

_

dy +

_

_ydy_1= C

Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0_{. Diperleh c = -1 sehingga}

diperoleh selesaian khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1_.

Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini:

1. dx + (1-x2_{) cotg y dy = 0}

2. cos y dx + (1+e-x_{) sin y dy = 0}

3. xy dx + (1+x2_{) dy = 0}

4. x2_{(y-4) dx + y(x}2_{-1) dy = 0}

5. dx dy

=

y x y

x x

2 2

4

 

6. dx dy

= 3

1

xy

7. y-1 _{+ y’ e}cos x _{sin dx = 0}

8. x dx dy

= 1_3yy2

9. y’ = 2₂

1 x y Sec



10. y’ = y(2+sin x)

11. dx dy

= 8x2_e-3y _{dengan y(1) = 0}

12. dx dy

= 3 2₂ 4 ₁ 2

  

y x x

dengan y(0) = -1

Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y)

dy= 0 disebut persamaan differensial homogen jika M(x,y) dan N(x,y)

fungsi homogen berderajat sama.

Definisi:

1. F(x,y) disebut fungsi homogen jika F(x,y) = G( _yx ) atau F(x,y)

= H( x y

)

2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat F(tx,ty) = tn _F(x,y).

Contoh:

1. F(x,y) = _yx_{ x} adalah fungsi homogen, karena

F(x,y) =

x x x y x

x



= ₁

1



x

y = H( x y

)

2. F(x,y) = x + y

= 1 + x y

= x_y + 1

3. F(x,y) = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat

dinyatakan dengan bentuk G( _yx ) atau H( x y

)

Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H( x y

) atau G( _yx )

5. F(x,y) = y sin x, bukan fungsi homogen.

6. F(x,y) = ₁ x2  y, bukan fungsi homogen.

7. F(x,y) = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:

F(tx,ty) = (tx) + ty

, fungsi homogen berderajat 0, karena

F(x,y) =

10. F(x,y) = sin (x+y) bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty)



tn

F(x,y)

Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 diketahui sebagai persamaan

differensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan

dengan cara menyatakan M(x,y) dan dan N(x,y) dalam bentuk M( x y

)

atau M( _yx ). Demikian pula untuk N(x,y). Dengan kata lain M(x,y) dan

N(x,y) dibagi dengan koefisien differensial yang berpangkat tertinggi.

Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi

yu = x atau xv = y. Jika yang digunakan transformasi yu = x maka dx =

ydu + udy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv = y maka dy

= xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy (tidak keduanya) disubstitusikan

dalam persamaan differensial semula sehingga,

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 M( _yx )dx + N( x_y )dy = 0 atau M( x y

) dx + N( x y

)dy = 0.

Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka

 M( x y

) dx + N(

x y

)(xdv + vdx) = 0.

 M(v) dx + N(v)(xdv + vdx) = 0.

Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial

variabelnya dipisahkan dan dengan mengintergralkan masing-masing

bagian didapat selesaian umum persamaan yang dicari.

Perhatikan contoh berikut:

Tentukan selesaian umum persamaan:

1. (y2 _{– x}2_{) dx + xy dy = 0}

Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena

M(x,y) dan N(x,y) adalah persamaan homogen yang berderajat

sama yaitu dua.

 ( ₂2

x

y _{- 1) dx +}

2

x xy

dy = 0

Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh

 (v2 _{– 1)dx + v(xdv + vdx) = 0}

 (v2 _{+ v}2 _{– 1)dx + vxdv = 0}

 x dx

+

1 2 2



v vdv

= 0



_

x dx

+

_

1 2 2



v vdv

= C

 Ln │x│+ ¼ Ln │(2v2 _{– 1)│= ln C}  (x4_(2v2_{-1)) = C}

 (x4₍

2 2 2

2

x x

y  _{) = C}

 2x2_y2 _{– x}4 _{= C}

2. (3x – 2y)

dx dy

Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena

M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.

 _{(3x – 2y)dy – 3ydx = 0}

 (3 _yx – 2)dy – 3dx = 0

Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu

 (3u – 2)dy – 3(udy + ydu) = 0  (3u – 2 – 3u)dy – 3ydu = 0

 ₂

y dy

+ 3 du = 0



_

2 dy_y +

_

3 du = C

 2 Ln │y│+ 3u = C  Ln y2 _{= C-3u}  y2 _{= e}c-3y/x

Karena y(1) = 1 maka 12 _{= e}c-3(1)/(1) _{didapat C = 3 sehingga selesaiannya}

dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu y2 _{= e}3-3y/x

Latihan soal

1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan

derajatnya.

a. f(x,y) = x + 2y

b. f(x,y) = ex/y

c. f(x,y) = xy

y x

3

d. f(x,y) = sin(x+y) + cos2_(xy)

e. f(x,y) = xy – y2 _{+ 3x}2

f. f(x,y) = _x2 _y2 x



g. f(x,y) = x + y cosx.

2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini.

a. (xy + y2_{) dx – x}2 _{dy = 0 dengan y(2) = 1}

b. dx dy

= x2₃_xyy2

c. (2x-5y) dx + (4x-y) dy = 0, dengan y(1) = 1

d. (x-y) dx + x dy = 0, dengan y(0) = 0

e. (x3_+y3_{) dx – 3xy}2 _{dy = 0}

f. x dy – y dx - x2 _ y2dy= 0

g. dx dy

= x y

- tgn x y

h. y’ =

) 3

( _x2 _y2

xy

 dengan y(2) = 1

jawab : 2x2_{- y}2 _{= cy}6 _{karena y(2) = 1 maka C = 7.}

i. y’ =

y x

y x

  2 2

dengan y(1) = 3

j. dt dx

= _x2 _t2

xt



k. y2 _{dx + (x}2 _–y2_{) dy = 0 dengan y(2) = 0}

Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y)

dy = 0, disebut persamaan differensial linear tidak homogen jika M(x,y)

dan N(x,y) adalah fungsi linear. Sehingga berbentuk (ax+by+c) dx + (px

+ qy + r ) dy = 0.

Contoh :

1. (x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0

2. (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0

3. (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0

4. (3x + 2y + 1) dx – ( 3x+2y-1) dy = 0

Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan differensial tidak

homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan

menjadi 3 jenis yaitu:

a. Bentuk

p a

=

q b

=

r c

=  (parameter), sehingga

a = p, b = q, dan c = r

Contoh

(x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0

b. Bentuk

p a

=

q b

=  (parameter) 

r c

Sehingga a = p, b = q

Contoh

(x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0

c. Bentuk selain di atas.

(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0

(3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0

Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum

persamaan differensial linear tidak homogen harus menyesuaikan

dengan bentuknya.

a. Bentuk

p a

=

q b

=

r c

= .

Karena

p a

=

q b

=

r c

= , maka diperoleh

a = p, b = q, dan c = r. Sehingga persamaan semula

(ax + by + c) dx + (px +qy + r) dy = 0

 (px+ qy + r)dx + (px + qy + r) dy = 0

 (px + qy + r ) dx + (px + qy + r) dy = 0

 dx + dy = 0





dx +



dy = C

 x + y = C (persamaan linear)

b. Bentuk

p a

=

q b

= .

Persamaan bentuk

p a

=

q b

=  _{dapat diselesaikan dengan cara}

Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendifferensialkan masing

variabel, sehingga diperoleh:

d(ax) + d(by) = d(u)

 _{a dx + b dy = du}

 _{a dx = du – b dy}

dx =

a bdy du

, atau

 a dx + b dy = du

 b dy = du – a dx

dy =

b adx du

Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px + qy

= v, diperoleh bentuk

dx =

p qdy dv

, atau

dy =

q pdx dv

Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke

persamaan differensial semula.

(ax + by + c) dx + (px + qy + r)dy = 0

(u +c) dx + (



1

u + r) dy = 0

 (u+c) (

a bdy du

) + (



1

Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke

persamaan differensial dengan variable terpisah (PD separable).

Contoh:

1. Tentukan primitif dari (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0 dengan y(0) =

0

Jawab

Dari persamaan (x+y+1) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0, diperoleh

a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga =

2 1

.

Selanjutnya gunakan transformasi

x + y = u atau 2x + 2y = v.

Jika transformasi yang digunakan x + y = u. maka diperoleh

(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.

Selanjutnya bentuk transformasi x + y = u didefferensialkan

dx + dy = du dan diperoleh dx = du – dy atau dy = du – dx.

Cara I

(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.

 (u+1) (du – dy) + (2u + 3) dy = 0

 (u+1) du + (2u +3 – u – 1) dy = 0

 (u+1) du + (u +2) dy = 0 (direduksi menjadi PD Separable)

 dy +

2 1

 

u u

du = 0



_

dy +

_

1 du -

_

2 1



 _{y + u - Ln} │u + 2│= C

 _{y + (x+y) - Ln │x + y + 2│= C}

 x + 2y – C = Ln │x + y + 2 │

 e(x+2y-c) _{= (x+y+2)}

Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan e(x+2y-ln ₂) ₌

(x+y+2)

Cara II

(u+1) dx + (2u + 3) (du – dx) = 0.

 (u+1 – 2u -3) dx + ( 2u + 3) du = 0

 (-u -2 ) dx + ( 2u + 3) du = 0

 (u+1) du + (u +2) dy = 0

 du +

1 2

 

u u

dy = 0



_

du +

_

1 dy +

_

1 1



u dy = 0

 (x+y) + y + Ln │x + y + 1 │= C

 x + 2y – C = Ln │x + y + 1 │

 (x+y+1) = e x + 2y – C

Karena y(0) = 0 maka didapat c = ln 2.

4. (3x+2y+1) dx - (3x+2y-1) dy = 0 (jenis 2)

Jawab

Transformasikan 3x + 2y = u, sehingga 3 dx + 2 dy = u dan

dx =

3 2dy du

, atau dy =

2 3dx du

(u+1) dx – (u-1) dy = 0

Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan

diperoleh

(u+1) (

3 2dy du

) – (u-1) dy = 0

 (u+1) (du – 2dy) – 3(u-1) dy = 0 dstnya.  (u+1) du – (2u+2+3u-3) dy = 0



) 1 5 (

) 1 (

  u u

du – dy = 0



_

5 1

du +

25 6

du u



₅ 5_{ 1} -

_

dy _{= C}

 1/5 u + 6/25 Ln │5u -1│- y = C

 1/5 (3x+3y) + 6/25 Ln │5(3x+3y) -1 │ - y = C

Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1

dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi ax + by

+ c = u dan

px + qy + r = v.

Selanjutnya differensialkan kedua bentuk transformasi di atas

sehingga diperoleh

d(ax) + d(by) + d(c) = d(u) dan d(px) + d(qy) + d(r) = d(v)

 a dx + b dy = du dan p dx + q dy = dv. Eleminasikan dx dan dy

a dx + b dy = du x p

p dx + q dy = dv x a, sehingga

ap dx + bp dy = p du

ap dx + aq dy = a dv

-(bp-aq) dy = p du – a dv

dy =

aq bp

adv pdu

 

Dengan cara yang sama diperoleh

dx =

bp aq

bdv qdu

 

Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu:

(ax + by + c) dx + (px +qy + r ) dy = 0

 u

bp aq

bdv qdu

 

+ v

aq bp

adv pdu

 

= 0

Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda

differensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan differensial

homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode

PD homogen.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3)

dy = 0

Transformasikan

(3y-7x+7) = u dan (7y-3x+3) = v

Dengan mendifferensialkan masing-masing peubah, diperoleh:

3 dy – 7 dx = du dan 7 dy – 3 dx = dv.

Elimasikan dx dan dy berurutan

3 dy – 7 dx = du x 3

7 dy – 3 dx = dv x 7, didapat

9 dy – 21 dx = 3 du

49 dy – 21 dx = 7 dv

--- -

-40 dy = 3 du – 7 dv

dy =

40 3 7dv du

Dengan cara yang sama diperoleh

dx =

40 7 3dv du

Substitusikan kepersaman semula, sehingga diperoleh

(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0

u (

40 7 3dv du

) + v (

40 3 7dv du

) = 0

 40u(3dv-7du) + 40v(7dv-3du) = 0 (PD homogen)

 (3u + 7v) dv – (7u + 3v) du = 0

(3

Persamaan di atas adalah PD yang dapat direduksi ke persamaan

3 dx +2 dy = dv

--- -

-4 dy = du – dv

dy = ¼ (dv-du) dan dx = dx = 1/6 ( du+dv).

Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh

( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0

 u (1/6)(du+dv) – v(1/4)(dv-du) = 0  4u(du+dv) – 6v(dv-du)

 (4u + 6v) du + (4u -6v) dv = 0

Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh

2.5 Persamaan Differensial Eksak (PDE)

Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx +

N(x,y)dy = 0 disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika

memenuhi syarat:

Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan

2. dx - _a2_{ x}2 _{dy = 0 --- PD yang dapat direduksi ke PD}

Separable

3. (x+y+1) dx - (x-y+3) dy = 0 ---> PD Tidak homogen

Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) =

C.

Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh:

d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y)

0 =

x y x F



 ( , )

dx + F_(x_y,y) dy.

Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan

0 =

x y x F



 ( , )

dx + F_(x_y,y) dy

x y x F



 ( , )

= M(x,y) dan F_(x_y,y) = N(x,y)

Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan

selesaian persamaan differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat

dilakukan dengan dua cara.

Cara I

x y x F



 ( , )

= M(x,y) dan F x_y y   ( , )

= N(x,y)

x

Substitusikan G(y) dalam F(x,y) =

_

x

y x

M( , )_{dx + G(y) yang merupakan}

selesaian umum persamaan differensial

Cara II

Dari kesamaan di atas di peroleh

_x

Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) =

_

y

N(x,y) dy + F(x) yang

merupakan selesaian umumnya.

Contoh

1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:

(2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0.

Berarti persamaan di atas adalah eksak.

Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y)

= C dapat digunakan kesamaan

= 3xy + 2y2 _{+ 5y + F(x)}

x y x F



 ( , )

= M(x,y).

 x( 

3xy + 2y2 _{+ 5y + F(x)) = (2x +3y +4)}

 3y + F’(x) = 2x + 3y + 4  F’(x) = 2x + 4

 F(x) = x2 _{+ 4x + C}

Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 _{+ 5y + x}2 _{+ 4x + C}

2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0

Jawab

M(x,y) = x + y Cos x



M_(_yx,y)= Cos x dan

N(x,y) = sin x



x y x N



 ( , )

= Cos x

Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak.

Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C.

Untuk mendapatkan F(x,y) = C digunakan kesamaan

x y x F



 ( , )

= M(x,y) dan F_(x_y,y) = N(x,y)

x y x F



 ( , ) = x + y Cos x

_

F(x,y) =



(x + y Cos x) dx

=

2 1

x2 _{+ y Sin x + G(y)}

y y x F

  ( , )

 __y (

2

1 _x2 _{+ y Sin x + G(y) ) = sin x}

 Sin x + G’(y) = sin x  g’(y) = 0

 g(y) = C

Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) =

2 1

x2 _{+ y Sin x + C}

 x2 _{+ 2y Sin x = C} Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak

1. (3x+2y) dx + (2x+y) dy = 0

2. (y2 _{+ 3) dx + (2xy-4) dy = 0}

3. (6xy + 2y2 _{– 5) dx + (3x}2_{+4xy-6) dy = 0}

4. 2x_y 1 dx + 2 2

y x x

dy = 0

5. (cos x cos y + y)y’ + tgn x = sin x sin y

6. (5xy + 4y2 _{+ 1) dx + (x}2_{+2xy) dy = 0}

7. x dx + y dy = (x2_+y2_{) dx}

8. l(y2 _-

) (x y x

y

 +2) dx + (x y

1

+ 2y(x+1))dy = 0

9. 2(x2 _{+ xy) dx + (x}2_+y2_{) dy = 0}

10. ( 2

1

x + 2

1

y ) dx + ( 3

1 4

y x

) dy = 0

B. Tentukan selesaian umum persamaan 1-10 di atas, jika diketahui

2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak (PDtE)

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial tingkat

satu derajat satu disebut persamaan differensial tidak eksak jika dan

hanya jika:

y y x M

  ( , )



x y x N

  ( , )

.

Persamaan differenial tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan

primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan

tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan

differensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan differensial eksak.

Faktor integral persamaan differensial tidak eksak dinyatakan dengan 

(x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak

eksak ditulis dalam bentuk:

 _{(x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]}

  (x,y)M(x,y) dx +  (x,y)N(x,y) dy = 0 (PD eksak)

 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 - PD tingkat satu derajat satu Dengan M(x,y) =  _{(x,y)M(x,y) dan N(x,y) =}  _(x,y)N(x,y)

Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan differensial

tingkat satu berupa persamaan differensial eksak yang memenuhi sifat

x y x N y

y x M

   

 ( , ) ( , )

dengan

Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan differensial eksak,

sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode

persamaan differensial eksak.

Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena  _{(x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0] persamaan eksak, maka:}

dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:

c. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial

homogen dengan

x M(x,y) + y N(x,y)



0, maka faktor integral  (x,y) =

) , ( )

, (

1

y x yN y x

xM 

d. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis y f(xy) dx + x g(xy)dy = 0

dengan

f(xy)



g(xy) maka  (x,y) = _xy[f(xy)1 _g(xy)]

 = ( , ) ( , ) 1

y x yN y x

xM 

e. Seringkali faktor integral  (x,y) dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali

suku-suku persamaannya. Dengan mengenal kelompok suku-suku

tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan differensial

eksak.

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan differensial berikut dengan

terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya.

1. (x2 _{+ y}2 _{+ x) dx + xy dy = 0}

M(x,y) = x2 _{+ y}2 _{+ x}

_

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial

eksak yaitu x{(x2 _{+ y}2 _{+ x) dx + xy dy = 0}}

(x3 _{+ xy}2 _{+ x}2_{) dx + (x}2_{y) dy = 0}

Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian

umumnya

Selanjutnya dicari  (x,y) sebagai faktor integrasi

Karena

) , (

) , ( )

, (

y x N

x y x N y

y x M

    

= 2_y = -g(y)

Maka  (x,y) = eg(y)dy ₌

4

1

y

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial

eksak yaitu 4

1

y (2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian

umumnya

x2_ey ₊ y x2

+ _y3

x

= C

Latihan

Tentukan faktor integral dan selesaiaan umum persamaan

a. (x4 _{+ y}4_{) dx – xy}3 _{dy = 0}

b. y(x-2y) dx – x2 _{dy = 0}

c. x dy – y dx = x2_ex _dx

d. y2 _{dy + y dx – x dy = 0}

e. 3x2_y2 _{dx + 4(x}3_{y-3) dy = 0}

2.7 Persamaan Bentuk y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0

Persamaan y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0, juga disebut persamaan

differensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x,y) dx +

Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy =

z, sehingga y = x z

. Dengan menurunkan masing-masing variable

diperoleh

dy = _x2

zdx xdz

.

Substitusikan bentuk dy = _x2

zdx xdz

ke persamaan semula

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 M(x, x z

)dx + N(x, x z

)( _x2

zdx xdz

) = 0

 M(x,z) dx + N(x,z) dz = 0

Bentuk terakhir merupakan persamaan yang dapat dipisahkan

variabel-variabelnya.

Contoh.

Tentukan selesaian umum persamaan

1. (xy2_{+y) dx + (x+x}2_y+x3_y2_{) dy = 0}

Jawab

(xy2_{+y) dx + (x+x}2_y+x3_y2_{) dy = 0}

 y(xy+1) dx + x(1+xy+x2_y2_{)dy = 0}

Transformasikan y = x z

, dengan menurunkan masing-masing

variable diperoleh dy = _x2

zdx xdz

.

Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan

2x2_y2 _{Ln │y │- 2xy - 1 = Cx}2_y2

Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan

1. y(xy+1)dx + x(1+xy + x2_y2_{) dy = 0}

2. (y-xy2_{) dx – (x +x}2_{y) dy = 0}

3. (1-xy+x2_y2_{) dx + (x}3_{y – x}2_{) dy = 0 dengan y(1) = 0}

4. y(1+2xy) dx + x(1-xy) dy = 0 dengan y(0) = 0

5. y(1-xy) dx + x (xy + 3) dy = 0

2.8 Trayektori Ortogonal

Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva

atau dari sebaliknya dengan sudut tetap



disebut trayektori



dari

persamaan differensial yang diketahui. Jika besar sudut



= 90o _maka

disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut





90º maka

diebut trayektori isogonal.

Integral kurva dari persamaan f(x,y, ₁y_'_ytgn_'tgn_ ) = 0 adalah trayektori

isogonal dengan sudut tetap



dari persamaan differensial f(x,y,y’) =

0

b. Trayektori Ortogonal

Jika



= 90º _{maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral}

kurva dari persamaan differensial f(x,y, '

1

y ) = 0 adalah trayektori orthogonal dari persamaan f(x,y,y’) = 0.

Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan

diferencial f(r, ,r2



d dr

) = 0 adalah trayektori ortogonal dari integral

kurva f(r, ,



d dr

)

Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka

beberapa langkah yang ditempuh adalah.

1. Tentukan persamaan differensial dari persamaan keluarga kurva

yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat

parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.

2. Tentukan persamaan differensial dari trayektorinya.

a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian dx dy

b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap



maka

lakukan penggantian dx dy

dengan

 

tgn dx dy

tgn dx dy

 

1

pada

persamaan differensialnya.

c. Bila trayektori



= 45º maka lakukan penggantian dx dy

dengan

dx dy dx dy

 

1 1

pada persamaan differensialnya.

d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan

penggantian



d dr

dengan –r2



d dr

.

3. Selesaikan persamaan differensial baru tersebut dengan metode

yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang

diminta.

Contoh

Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x2 _{+ 2y}2 _{= C, C}



Real.

Jawab

d(x2 _{) + d( 2y}2 _{) = d(C)}

2x dx + 4y dy = 0

 2x + 4y dx dy

= 0.

Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dx dy

dengan

- _dydx , sehingga

2x + 4y dx dy

= 0.

 2x + 4y       

dy dx

= 0

 2x dy – 4y dx = 0

 2 dy_y – 4 x dx

= 0

 2

_

dy_y – 4

_

x dx

= C

 _{2 Ln y}│- 4 Ln │x│= C

 Ln 4 2 x y

= C

 y2 _{= Cx}4

Latihan

1. Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva

a. x2 _{+ y}2 _{– 2Cx = 0}

b. y2 _{+ 3x}2 _{– Cx = 0}

d. (x2 _{+ y}2₎2 _{= Cxy}

e. y = x – 1 + Ce-x

f. r = C Cos 

g. y2 ₌ x C

x  2

2. Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap



= 45º dari

persamaan keluarga kurva

a. x2 _{+ y}2 _{= 2C(x+y)}

b. x2 _{+ y}2 _{= C}2

2.9 Soal-soal

A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian

umum persamaan differensial di bawah ini.

1. y’ = (x_y1)

2. y’ + y = 2x + 1

3. (2xy – y + 2x) dx + (x2- x) dy = 0

4. y’ =

1 1

2 2

  y x

5. (_xyy_1+ x2) dx + _xyxdx_1= 0

6. (2x sin xy + x2y cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0

7. y’ = xy2 + 2xy

9. y’ =

y y x x_ 2_ 2

10. (2x+y+1) dx + (x+3y+2)dy = 0

B. Tentukan selesain masalah nilai awal

1. y’ = (1+y2) tgn x dengan y(0) = 3

2. b. dx dy

= 2x cos2y dengan y(0) =

4 

3. (x2 + 3y2) dx – 2xy dy = 0 dengan y(2) = 6

4. (2xy – 3) dx + (x2+4y) dy = 0 dengan y(1) = 2

5. ( 2

3

x y



) dx + ( 2 2 ₁

xy y 

) dy = 0

C. Tentukan M(x,y) dan A sedemikian sehingga persamaan berikut

eksak.

1. (x3 _{+ xy}2_{) dx + M(x,y) dy = 0}

2. ( 2 2

1

y

x + _y3

x

) dx + M(x,y) dy = 0

3. (x2_{+3xy) dx + (Ax}2 _{+ 4y) dy = 0}

4. ( 3 _x2

y x Ay

 ) dx + (

x x

1 1

2  ) dy = 0

5. ( 2 2

1 1

y

x  ) dx + ( 3

1

y ax

D. Tentukan Faktor integrasi persamaan di bawah ini dan tentukan

selesaiannya

1. x dy + y dx = (x2 _{+ y}2_{) dx}

2. (2y-3x) dx + x dy = 0

3. (x-y2_{) dx + 2xy dy = 0}

4. x dy + y dx = 3x2 _(x2 _{+ y}2_{) dx}

5. y dx – x dy + ln x dx = 0

6. (3x2_+y2_{) dx – 2 xy dy = 0}

7. (x+y) dx – (x-y) dy = 0