bab 5 persamaan diferensial tingkat n

BAB V

PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami cara menentukan akar-akar persamaan karakteristik dan

mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan

diferensial tingkat tinggi

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi homogen dengan koefisien konstan

2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers

fungsi operator,

3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode

) (

1

D

F sebagai jumlah n pecahan parsial,

4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi

paramater,

5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode

koefisien tak tentu, dan

6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral

khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.

Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum

tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen

dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen

dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan

koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan

koefisien variabel.

5.1 Bentuk Umum

Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan

diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi

dinyatakan dalam bentuk:

) ( ... ₁

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P _{n n}

n n n

n n

n n

n

o    _     

 

 



Dengan P_o 0, P₁,P₂,P_3,...P_n1,P_n adalah fungsi atau konstanta.

karena Dy dx dy

 , D y

dx y

d 2

2 2

 , D y

dx y

d 3

3 3

 ,..., D y dx

y

d n

n n

1 1

1

 



 , dan D y

dx y

d n

n n



maka persamaan

) ( ... 1

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P n n n

n n

n n

n n

n

o    _     

 

 



dapat dinyatakan dalam bentuk:

) ( ... ₁

3 3 2 2 1

1D y PD y PD y P Dy P y Q x

P y D

P n n n n _{n n}

o        

 



 (P_oDn P₁Dn1 P₂Dn2 P₃Dn3 ...P_n1DP_n)yQ(x)  F(D) y = Q(x)

Persamaan yang berbentuk F(D)yQ(x) dengan Q(x)0, maka bentuk

umumnya menjadi

0 ) ...

( 1

3 3 2 2 1

1      

PD  PD  PD  P D P y

D

P n n

n n

n n

o .

Pada kasus Q(x)0 maka F(D)yQ(x)disebut persamaan diferensial linear

homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x)0maka F(D)yQ(x)disebut

Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat

dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan

pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan

koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear

tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3

disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien

konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak

homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah

persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel,

sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak

homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel.

5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi

Misal y  y₁(x) adalah selesaian persamaan

) ( ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P _{n n q n}

n n

n n

n n

n

o         

 

 



Maka y c₁y₁(x) juga selesaian persamaan di atas. dimana c adalah sebarang ₁

konstanta.

Misal y  y₂(x) adalah selesaian persamaan

) ( ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P n n q n

n n

n n

n n

n

o    _     

 

 



Maka yc₂y₂(x) juga selesaian persamaan di atas. dimana c adalah sebarang ₂

konstanta.

Misal y  y₁(x) y₂(x) adalah selesaian persamaan

) ( ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P _{n n q n}

n n

n n

n n

n

o         

 

 



Maka y c₁y₁(x)c₂y₂(x) juga selesaian persamaan di atas.

Dengan asumsi yang sama, misal y  y₁(x) y₂(x)...y_n1(x) y_n(x) adalah

) ( ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P n n q n

n n

n n

n n

n

o    _     

 

 



, maka

) ( )

( ...

) ( )

( 2 2 1 1

1

1y x c y x c y x c y x

c

y    n n  n n juga selesaian persamaan

diferensial tingkat tinggi. .

Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut

) ( ),

( ...,

) ( ),

( ),

( _{2 3 1}

1 x y y x y y x y y x dan y y x

y

y      _n  _n

disebut bebas liner jika persamaan c₁y₁c₂y₂ c₃y₃...c_n1y_n1 c_ny_n 0

dimana c_i adalah konstanta dan terjadi hanya apabila

0 ... ₁

3 2

1 c c cn cn 

c .

Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu

jika diterminan matrik ordo (nxn yang masing-masing sukunya adalah selesaian )

dimaksud sampai turunan ke (n1)0.

Dengan kata lain yc1y1(x)c2y2(x)...cn1yn1(x)cnyn(x) adalah

primitif. Jika R(x) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan

diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan:

) ( ) ( )

( ...

) ( )

( 2 2 1 1

1

1y x c y x c y x c y x R x

c

y    n n  n n 

Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear

tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi:

1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan

2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan

3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel

4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel.

1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan

Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V, bahwa persamaan

diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan

dalam bentuk umum:

0 ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1      

  

 

 



y P dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P _{n n q n}

n n

n n

n n

Atau

0

... 1

1 3

3 2 2 1

1      

 

 



 _{y PD y PD y P D y P y}

D P y D

P n _n

n n

n n

n

o

atau

0 ) ...

(P_oDn P₁Dn1 P₂Dn2 P₃Dn3  P_n1DP_n y

Atau

F(D) y = 0

dengan Po 0, P1,P2,P3,...Pn1,Pn adalah konstan.

dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.

Selanjutnya jika F(D)dapat difaktorkan, maka F(D)dapat dinyatakan

dalam bentuk (Dm₁)(Dm₂)(Dm₃)...(Dm_n)0. Sebaliknya jika

) (D

F tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai F(D)0.

Bentuk (Dm₁)(Dm₂)(Dm₃)...(Dm_n)0 dinamakan persamaan

karakteristik dengan mm₁,m₂,m₃,...,m_n disebut akar-akar persaman karakteristik.

Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena

akar-akarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial.

Persamaan karakteristik f(m)0setelah ditentukan akar-akarnya, untuk

menentukan selesaian umum persaamaan

0 ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1      

  

 

 



y P dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P n n q n

n n

n n

n n

n

o ditentukan

dengan _y_ciemix _dimana i

m akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.

Karena m1,m2,m3,...,mn adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis

akar-akarnya adalah bilangan nyata (real) dan tidak nyata (imajiner).

Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:

A. Andaikan m1 m2 m3 ....mn1 mn bilanganreal(R),

maka primitif persamaan diferensialnya

x m n x m n x

m x

m x

m _{n n}

e c e

c e

c e c e c

y      

 1

3 2

1

1 3

2

1 ...

sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta

Jika _y _cemx _{c e}mx _{c e}mx  _{cn e}mnx _cnemnx

 1

3 2

1

1 3

2

1 ... adalah selesaian

maka _y _cemx _y _{c e}mx _y_{c e}mx _y_{cn e}mnx _y_cnemnx

 ,

,..., ,

, 2 3 1

1

1 3

2 1

juga selesaian dari persamaan.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini:

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial

0 6 5

2 2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk



D2 5D6



y0

Sehingga persamaan karakteristik

0 6 5

2   

D D

0 ) 3 )( 2

(   

 D D

akar-akarnya m₁ 2 dan mm₂ 3, keduanya berberda.

Primitif persamaan di atas adalah x x

e c e c

y 3

2 2 1



 _



Karena y c₁e2x c₂e3xadalah selesaian

Maka yc₁e2x dan y c₂e3x juga selesaian

2. Tentukan selesaian persamaan diferensial

0 21 11

2 ₂

2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk



2D2 11D21



y0

Sehingga persamaan karakteristik

0 21 11

2 2    D D

0 ) 7 )( 3 2

(   

 D D

akar-akarnya persamaan karakteristik

2 3

1 

berberda.

Primitif persamaan di atas adalah y ce x c2e 7x 2

3 1



 

Karena y ce2x c₂e 7x 3

1





 adalah selesaian

Maka y ce x dan y c2e 7x 2

3 1





 juga selesaian persamaan. 3. Tentukan selesaian persaamaan

0 6

4 ₂

2 3 3 4

4

   

dx dy dx

y d dx

y d dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk



4 4 3  2 6



0

y D D D

D , sehingga persamaan karakteristiknya adalah:



D3 4D2 D6



0

D

0 ) 3 )( 2 )( 1

(    

 D D D D

Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya

3 2

, 1 ,

0 _{2 3 4}

1  m  m  danm 

m .

Karena m₁ m₂ m₃ m₄ danbilanganreal (R)

Sehingga selesaian persamaan



4 4 3 2 6



0

y D D D

D adalah

.

3 4 2

3 1

2 0

1

x x

x x

e

c

e

c

e

c

e

c

y









.

3 4 2

3 2

1

x x

x

e

c

e

c

e

c

c

y











Karena

y



c

₁



c

₂

e

x



c

₃

e

2x



c

₄

e

3x

.

Maka

. ,

,

, _{2 3} 2 ₄ 3

1

x x

x

e c y e c y e c y c

y    juga selesaian.

4. Tentukan selesaian persamaan

0 2

2 2

3 3

 



dx dy dx

y d dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk



D2 D2



0

D

0 ) 2 )( 1

(   

 D D D

Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya

2 ,

1 ,

0 _{2 3}

1  m  m 

m

Karena m1 m2 m3 danbilanganreal(R)

Sehingga selesaian persamaan



D3 D2 2D



y0 adalah

.

2 3 1 2 0

1

x x

x

e

c

e

c

e

c

y









.

2 3 2

1

x x

e

c

e

c

c

y











Karena

y



c

₁



c

₂

e

x



c

₃

e

2x

.

Maka

.

,

,

_{2 3} 2

1

x x

e

c

y

e

c

y

c

y









juga selesaian.

B. Andaikan m₁ m₂ m₃ ....m_n1 m_n mbilanganreal(R),

maka primitif persamaan diferensialnya

mx n n n

n x c x e

c x

c x c c

y( ₁  ₂  ₃ 2 ... _1 2  1)

dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang dan m kali

hubungan diantaranya.

Karena

mx n n n

n x c x e

c x

c x c c

y( ₁  ₂  ₃ 2 ... _1 2  1)

mx n n mx n n mx

mx mx

e x c e x c e

x c xe c e c

y ₁  ₂  ₃ 2 ... _1 2  1



Maka

mx n n mx

n n mx

mx mx

e x c y e x c y e

x c y xe c y e c

y 1 2 1

2 3 2

1 , , ,... ,

 

 

 

 

Juga selesaian persamaan yang akar-akar persamaan karakteristiknya

memenuhi

) ( .... ₁

3 2

1 m m m m m bilanganreal R

Perhatikan contoh berikut ini

1. Tentukan selesaian persamaan

0 4 4

2 2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk

0 ) 4 4

(D2  D y 

0 ) 2 )( 2

(   

 D D

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah:

0 ) 2 )( 2

(D D  sehingga akar persamaan karakteristiknya

2

2

1 m 

m

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m₁ m₂

Sehingga selesaian persamaan di atas adalah

x

e x c c

y( ₁ ₂ ) 2

Karena

x

e x c c

y( 1 2 ) 2

x x

xe c e c

y 2 2

2

1 

 

Maka yc₁e2x dan yc₂xe2x juga selesaian

2. Tentukan selesaian persamaan

0 9 6

2 2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk



D2 6D9



y0



3



3



0

 D D y

Sehingga persamaan karakteristik



D3)(D3



0

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

x

e x c c

y( ₁ ₂ ) 3

Karena x

e x c c

y 3

2

1 )

(  

 selesaian maka x

x

xe c y dan e

c

y ₁ 3  ₂ 3 juga selesaian persamaan.

3. Tentukan selesaian persamaan

0 16 24

9 ₂

2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk

0 16 24

9D2y Dy y

0 16 24

9 2   

 D y Dy y

Sehingga persamaan karakteristik

0 16 24

9 2   

D D

0 ) 4 3 )( 4 3

(   

 D D

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik

3 4

2

1 m 

m

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

x

e x c c

y 3

4 2

1 )

(  



Karena y c c x e 3x 4 2

1 )

(  

 selesaian maka y ce x dan y c xe 3x 4 2 3

4 1

 



 juga

selesaian persamaan.

4. Tentukan selesaian persamaan

0 8

12

6 ₂

2 3

3 4

4 5

5

 

 

dx y d dx

y d dx

y d dx

y d

Jawab

Bentuk lain persamaan di atas adalah



D5y6D4 12D38D2y



0



3 6 2 12 8



0

2    



3 6 2 12 8



0

2    

D D D D y

Sehingga persamaan karakteristik persamaan di atas adalah



3 6 2 12 8



0

2    

D D

D

D

0 ) 2 )( 2 )( 2 (

2    

D D D D

0 ) 2

( 3

2  

D D

Dan diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya m₁ m₂ 0

dan m₃ m₄ m₅ 2Sehingga selesaian umum persamaan diferensial

di atas adalah





x x

e x c x c c e x c c

y ₁  ₂ 0 ( ₃  ₄  ₅ 2) 2





x

e x c x c c x c c

y ₁  ₂ ( ₃  ₄  ₅ 2) 2

Karena





x

e x c x c c x c c

y 1  2 ( 3  4  5 2) 2 selesaian persamaan, maka:

x x

x

e x c y dan xe

c y e c y x c y c

y 5 2 2

2 4 2

3 2

1 ,  ,  ,  , 



juga selesaian persamaan.

C. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan karakteristik

dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:

n

n m

m m

m m

m₁  ₂  ₃  ₄ .... _1 

maka primitifnya

mx n x m mx

mx

e c e

e x c x c c e c

y ₍   2₎ _... n1 

4 3 2 1

Perhatikan contoh berikut

1 Tentukan selesaian persamaan

0 4 11 9 ₂

2

3 3

4 4

  



 y

dx dy dx

y d dx

y d dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

0 4 11 9 ₂

2

3 3

4 4

  



 y

dx dy dx

y d dx

y d dx

0 4 11 9 2

3

4     

D y D y D y Dy y

0 ) 4 11 9

( 4 3 2   

 D D D D y

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

0 4 11 9 2

3

4     

D D

D D

0 4 11 9 2

3

4    

D D D D

0 ) 4 )( 1 )( 1 )( 1

(     

 D D D D

Akar persamaan karakteristik m₁ m₂ m₃ 1danm₄ 4

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah





x x

e c e x c x c c

y ₁  ₂  ₃ 2   ₄ 4

Karena y 



c₁c₂xc₃x2



ex c₄e4x

selesaian persamaan, maka

x x

x x

e c y dan e x c y xe c y e c

y 4

4 2

3 2

2 2

1 ,  ,  , 

   

juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui

2. Tentukan selesaian persamaan

0 8 12

6 ₂

2

3 3

4 4

  



dx dy dx

y d dx

y d dx

y d

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

0 8 12

6 ₂

2

3 3

4 4

  



dx dy dx

y d dx

y d dx

y d

0 8 12

6 3 2

4    

D y D y D y Dy

0 ) 8 12 6

( 4 3 2  

 D D D D y

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

0 8 12

6 3 2

4    

D D D

D

0 ) 8 12 6

( 3 2  

D D D D

0 ) 2 )( 2 )( 2

(    

D D D D

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah

selesaian persamaan, maka

x

juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui.

D. Jika akar persamaan karakteristik tidak real (imajiner) dan misal

akar-akarnya dinyatakan dalam bentuk

bi

sehingga

)

1. Tentukan selesaian persamaan

0 5 2

2 2

 

 y

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 5 2

2   

D D

Sehingga akar-akarnya adalah

2 4 2

2 . 1

i m  

Atau m_1..2 12i

Dengan kata lain m_1. 12i atau m_1. 12i

Sehingga selesaian persamaan di atas adalah:

) 2 sin 2

cos

(c₁ x c₂ x e

y x 

2. Tentukan selesaian umum persammaan



D2 1)(D2 D1





D3



y0

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik



2 1)( 2  1





3



0

D D D D

Dan diperoleh akar-akarnya

i m12 0 ,

2 3 1

34

i

m    , m5 3

Selesaian umum persamaan

x x

x

e c x

c x c e x c x c e

y 3 4 5 3

2 1 2

1 0

) 2

3 sin 2

3 cos ( )

sin cos

(      



E Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real, maka

selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3, dan 4 di atas.

Perhatikan contoh-contoh berikut:

0 ) 4

(D4  D2 y

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 ) 4

( 4  2  y D D

0 ) 4 ( 4  2 

 D D

0 ) 4 ( 2

2  

 D D

akar-akarnya adalah m₁ m₂ 0, dan m_3.4 02i

Sehingga diperoleh selesaian umum (D4 4D2)y0adalah

) 2 sin 2

cos ( )

(c₁ c₂x e0 e0 c₃ x c₄ x

y  x x 

2. Tentukan selesaian persamaan



D2



(D2)(D2 16)y0 Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik



D2



(D2)(D2 16)0`

Sehingga akar-akar persamaan karakteristik

i m

m

m₁ 2, ₃ 2, _3.4 04

Dan primitifnya adalah

) 4 sin 4

cos ( )

(c₁ c₂x e2 e0 c₃ x c₄ x

y  x x 

2) Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan

koefisien konstan adalah

) ( ... 1

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P n n n

n n

n n

n n

n

o    _     

 

 



Dengan P_o 0, P₁,P₂,P_3,...P_n1,P_n adalah konstanta dan Q(x)0

karena Dy dx dy

 , D y

dx y

d 2

2 2

 , D y

dx y

d 3

3 3

 ,..., D y dx

y

d n

n n

1 1

1

 



 , dan D y

dx y

d n

n n



)

dapat dinyatakan dalam bentuk:

)

umumnya menjadi

)

Selesaian persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan

dinyatakan dalam bentuk:

)

y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).

Dengan demikian untuk menentukan selesaian

)

Untuk menentukan y( p), dapat dilakukan beberapa cara yaitu:

a) menggunakan metode invers fungsi operator,

b) metode ) (

1

D

c) metode variasi paramater,

d) metode koefisien tak tentu, dan

e) metode integral khusus dimana Q(x)0mempunyai bentuk yang sangat

spesifik.

Metode Invers Fungsi Operator

Misal F(D)yQ(x)adalah persamaan diferensial linear tidak homogen dengan

koefisien konstan, maka selesaiannya Y  y(c) y(p)

setelah ditentukan

y

(c

)

selanjutnya

)

(

)

(

D

y

Q

x

F



) (

) (

D F

x Q y 



Misal F(D)(Dm₁)(Dm₂)(Dm₃)....(Dm_n1)(Dm_n) maka

) )...(

)( )(

(

) (

3 2

1 D m D m D mn

m D

x Q y

 

 



misal ( )

) (

1

x Q m D u

n



 --- (persamaan diferensial linear)

u m D v

n )

( 1

1

 

 --- (persamaan diferensial linear)

...

t m D z

) (

1

1 

 --- (persamaan diferensial linear) yang selesaiannya

telah dijelaskan pada bab III

Misal

(

)

)

(

1

x

Q

m

D

u

n







D



m

_n



u



Q

(x

)



Jika

m

₁



m

₂



m

₃



...



m

_n1



m

_n



bilangan

real

maka y P emx em m x em m x Q x e mnx

 

dx n









 



 ... ( )

)

Jika m₁ m₂ m₃ ....m_n1m_nbilangan real

maka mx mx

 

n

dx e x Q e

P

y( ) 1

 

... ( ) 

Perhatikan beberapa contoh berikut ini

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial

x

e y dx dy dx

y

d 4

2 2

10 2

3  



Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 2 3

2   

D D

0 ) 2 )( 1

(   

 D D

Sehingga akar-akarnya nyata yaitu m₁ 1,m₂ 2

Dan fungsi komplemennya x x

e c e c c

y 2

2 1

)

(  

Selesaian khususnya

) ( ) (

1 )

( Q x

D F p

y 

x

e D

D p

y 10 4

) 2 )( 1 (

1 )

(

   

 











 (2 1) 4 2 2

10 )

(p e e e e dx

y x x x x

 



 y(p) ex ex 10e2xdx.dx







y

(

p

)

e

x

e

x

5

e

2x

dx







y

(

p

)

5

e

x

e

3x

dx

x x

e e p

y 3

3 1 5 )

( 

      

x e p

y 4

3 5 )

( 

Sehingga selesaian persamaan y e x

2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial

1

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0

Selesaian khususnya



  



 

 _{y p e}x _ex _{x x e}x _{x dx} ) 3 2 ( )

4 3 ( )

( 2







 _{  }  _{ }



 

 y(p) ex e x(x2 3x 4) e x(2x 3 e x2dx)



 _{  }  _{ }  

 y(p) ex e x(x2 3x 4) e x(2x 3) 2e x)dx



    



 _{y p e}x _ex _{x x x dx} ) 2 3 2 4 3 ( )

( 2



 



 _{y p e}x _ex _{x x dx} ) 9 5 ( )

( 2



_{ } 

 

 y(p) ex (x2 5x 9)d(e x)



e x x e x



dx e

p

y  x x   



x 

 _{( )}  ₍ 2 _{5 9)}  _{(2 5}



e x x



e x e dx

e p

y   x x    x  



x

 ( ) ( 2 5 9 (2 5) 2



e x x x



dx

e p

y( ) x x( 25 92 52)

 



( 7 16



)

(  2 

 _{y p e}x _ex _{x x}



7 16



)

(  2 

 y p x x

Sehingga selesaian persamaan 3 ₂ 3 2 1

2 3

3

    

 y x x

dx dy dx

y d dx

y d

adalah

) ( ) (c y p y

Y  

16 7 )

( )

(c  c1c2xc3x2 e x2  x

y x

3. Tentukan selesaian persamaan diferensial

x

e dx dy dx

y d dx

y

d 2

2 2 3

3

4

4  



Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 4 4 2

3   

D D D

0 ) 4 4

( 2   

D D D

0 ) 2 )( 2

(   

 D D D

Dan fungsi komplemennya y(c)c₁(c₂ c₃x)e2x

Selesaian khususnya

)

Sehingga selesaian persamaan e x dx

Metode Penjumlahan n Pecahan Parsial.

)

dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu

)

dan masing-masing merupakan persamaan diferensial linear tingkat 1 yang



 _



 _



 _{ }





1. Tentukan selesaian persamaan

2

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0

Fungsi komplemennya adalah x x

e

Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan

n pecahan parsial.

)

Diperoleh

3 2 1 ) (p   y

3 1 ) (p  y

Sehingga selesaian persamaan ₂ 4 3 2

2

 

 y

dx dy dx

y d

adalah

) ( ) (c y p y

Y  

3 1

3 2

1  

 x x

e c e c Y

2. Tentukan selesaian persamaan

x

e y dx dy dx

y

d 3

2 2

2

3  



Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 2 3

2   

D D

Sehingga akar-akarnya adalah m₁ 1atau m₂ 2

Fungsi komplemennya adalah y(c)c1ex c2e2x

Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan

n pecahan parsial.

) ( 2 3 1 )

( ₂ Q x

D D p y

  

x

e D D p

y . 3

) 2 )( 1 (

1 )

(

  

x

e D

B D

A p

y 2

2 1

)

( 

  

 

   

x

e D

D

D B D

A p

y ₂ 3

2 3

) 1 ( ) 2 ( )

( 

  

 



 

 

Diperoleh A1,B1

Sehingga

x

e D D

p

y 3

3 1 1 1 )

( 

  

 



 _





Sehingga selesaian persamaan y e x dx

3. Tentukan selesaian persamaan

)

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0

Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan

n pecahan parsial.

Diperoleh

Metode Variasi Parameter

Selesaiannya

Y



y

(

c

)



y

(

p

)

Fungsi komplemen

)

Diperoleh hubungan dasar

)

dengan mengganti C dengan fungsi x yang tidak diketahui, yaitu L .

Metode ini terdiri dari cara untuk menentukan L sedemikian sehingga

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:

1.

Tentukan selesaian persamaan

x e y D

D x

sin )

2

( 2  

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 2

2  

D

D atau D(D2)0 dengan akar-akar nyata dan berbeda yaitu

2 ,

0 2

1  m 

m sehingga fungsi kompelennya adalah

x

e c c c

y( ) ₁ ₂ 2 . Untuk menentukan y(p) selanjutnya dibentuk hubungan

x

e L L p

y( ) ₁ ₂ 2 dengan menurunkan Dy2L₂e2x (L₁' L₂'e2x) dan

misal '2 2 0

'

1  

x

e L

L ...(1)

Karena Dy2L₂e2x, D2y4L₂e2x 2L'₂e2x dengan memilih

x e x Q e

L x ( ) xsin

2 '₂ 2   ...(2)

Dari (2) diperoleh

Jadi (sin cos )

4 1 sin

2 1

2 '

2 e xdanL e x x

L  x  x 

Dari (1) karena L₁' L₂'e2x maka L e x x ex exsin x

2 1 sin

2 1

'

1  

  

  

 

Didapat (sin cos ) 4

1

1 e x x

L  x 

Selesaian persamaan (D2 2D)yexsinxadalah

)

(

)

(

c

y

p

y

Y





=c1 c2e2x ex x ex x e x x e xcosx e2x

4 1 sin 4 1 cos

4 1 sin 4 1

   



_{ }

 



  

= c c e x ex x sin 2 1

2 2

1 

2. Tentukan selesaman persamaan

x y

D

D ) csc

( 3  

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

x y

D

D ) csc

( 3   adalah (D3 D)0atau D(D2 1)0 dengan

akar-akar nyata dan tidak nyata yaitu 0 dan i sehingga fungsi kompelennya

adalah

x c x c c c

y( ) 1  2cos  3sin . Selanjutnya dibentuk hubungan

x L x L L p

y( ) ₁  ₂cos  ₃sin dengan menurunkan diperoleh

) sin cos

( cos

sin ₃ '₁ '₂ '₃

2 x L x L L x L x

L

Dy      dan dengan

memisalkan L'₁L'₂cosxL'₃sinx0...(1)

KarenaDy L₂sinxL₃cosx dan

 



 L x L x

y

D2 ₂ cos ₃sin (L'₂sinxL₃' cosx)

dengan memisalkan L'₂sinxL'₃cosx0...(2)

maka

) sin cos

( ) cos sin

( '3

' 2 3

2 3

x L x L x

L x L y

D     

Dengan memisalkan L cosx L' sinx Q(x) cscx

3 '

2   

 ...(3)

Dari (1) dan (3)

Diperoleh L'₁L'₂cosxL'₃sinxL'₁(L'₂cosxL₃' sinx)0

atau L cscxdan L1 lncscx cotx

'

1   

dari (2) dan (3)

diperoleh L'₃ 1dan L'₂ cotx

sehingga L3 xdan L2 lnsinx

Selesaian persamaan di atas adalah

)

(

)

(

c

y

p

y

Y





=c₁c₂cosxc₃sinxlncscxcotx cosxlnsinx xsin x

3. Tentukan selesaian persamaan

x x

x e y x

D2 6 9)  3  (

Persamaan karakteristiknya adalah

0 ) 3 )( 3 ( 0 9 6

2      

D D

atau D

D dengan akar-akar nyata dan sama

yaitu

m

₁



m

₂



3

, sehingga fungsi komplemen





x

e x c c c

y( ) ₁ ₂ 3 Selanjutnya dibentuk hubungan

x

e x L L p

y( )( 1 2 ) 3 dengan menurunkan diperoleh

) (

3 ) 3

( L₁ L₂ e3x L₂xe3x L₁'e3x L'₂xe3x

Dy    

Dengan memisalkan L'₁e3x L'₂xe3x 0...(1)

Maka x x x x

xe L e

x L L xe

L e

L L y

D ' 3

2 3 ' 2 ' 1 3

2 3 2 1 2

3 ) 3

( 9

) 6 9

(     



Dengan memisalkan (3L'₁L'₂x)e3x 3L'₂xe3x e3xx2

Dari (1) dan (2) diperoleh

2 ' 2 1

' 1



 _



 x dan L x

L sehingga 1 ln 2 1



  

 x danL x

L

Selesaian persamaan di atas adalah

)

(

)

(

c

y

p

y

Y





=



c₁c₂x



e3x+(ln x x1x)e3x

=





x

e x c

c 3

2 1

x x

e x

e3 3

ln 



Metode Koefisien tak Tentu

Yang dimaksud dengan metode koefisien tak tentu adalah membuat hubungan

dasar y Ar₁(x)Br₂(x)Cr₃(x)....Gr_n(x)

Dimana r₁(x),r₂(x),r₃(x),...r_n(x)adalah suku-suku Q dan fungsi-fungsi ini

muncul dari suku-suku Q dengan menurunkannya dan A, B, C, ....G adalah

konstanta.

Misal persamaannya f(D)yx3 maka y Ax3Bx2 CxD

Misal persamaannya f(D)yex e3x maka y Aex Be3x

Misal persamaannya f(D)ysinax maka y  AsinaxBcosax

Misal persamaannya f(D)ysecx maka metode ini tidak dapat digunakan

Selanjutnya substitusikan y kedalam f(D)y maka koefiesien A,B,C,...

diperoleh dari menyelesaikan identintas.

Perhatikan contoh berikut:

1. Tentukan selesaian persamaan

x e y D

D 2 ) xsin

( 2  

Jawab

Selesaian persamaan

Y



y

(

c

)



y

(

p

)

Fungsi komplemennya x e c c c

y( ) 1 2 karena persamaan karakteristiknya

adalah (D2 2D)0atau D(D2)0

y(p) = AexsinxBexcosx

dengan menurunkan diperoleh

x e B A x e B A

Dy(  ) xsin (  ) xcos

x Ae x Be y

D2 2 xsin 2 xcos sehingga

x e y D

D 2 ) xsin

( 2  

x e x Be x

Aexsin 2 xcos ) xsin

2

(  



Diperoleh -2A=1 dan -2B=0 sehingga selesaian persamaan

2. Tentukan selesaian persamaan

x y

dx dy dx

y d

sin 5 4

2 2

  

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 ) 5 4

(D2  D 

Sehingga diperoleh

2 20 16 4

2 . 1

   

m

2 2 4

2 . 1

i m   

Fungsi komplemen y(c)



c₁cosxc₂sinx



e2x

Selanjutnya ditentukan integral khususnya

x D

D p

y sin

5 4 1 )

( ₂

  

x D

p

y sin

5 4 1

1 )

(

    

x D

p

y sin

4 4

1 ) (

  

x D

D D p

y sin

1 1 1 1 4 1 ) (

    

x D

D p

y sin

1 1 4 1 )

( ₂

  



x D

p

y sin

1 1

) 1 ( 4 1 ) (



 

 

x D

p

y ( 1)sin 8

1 )

(  



) sin (cos 8 1 )

(p x x

y  



Selesaian persamaan y x dx

dy dx

y d

sin 5 4

2 2

 



)

(

)

(

c

y

p

y

Y





x x

e x c x c

Y x sin

8 1 cos 8 1 )

sin cos

( ₁  ₂ 2  

 

3. Tentukan selesaian persamaan

1 2

2 2

2

   

 y x x

dx dy dx

y d

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 1

2   

D D

2

Fungsi komplemen



Selanjutnya ditentukan integral khususnya

)

Selesaian persamaan ₂ 2 2 1

2

Metode Integral Khusus Q(x) Berbentuk Sangat Spesifik.

Integral khusus persamaan diferensial f(D)y Q(x)dengan koefisien konstan

dinyatakan dengan ( ) )

Untuk bentuk-bentuk tertentu Q(x) dapat dipandang sebagai bentuk khusus,

3. Jika n

Diperoleh dengan mengembangkan

)

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian persamaan

2

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0

Integral khususnya adalah

) 2 )( 3 )( 1 (

9 4

) 1 ( 1

6 6

) 1 ( 3

1 )

( 4 2

   



 x x

e e

p y

2 3 4 6 18 ) (

2 4

 

 e x e x

p y

Selesaian persamaan (D3 2D2 5D6)y(e3x 3)2 adalah

)

(

)

(

c

y

p

y

Y





2 3 4 6 18

2 4

2 3 3 2

1     

 x x  x e x e x e

c e c e c Y

2. Tentukan selesaian persamaan



D2 4



ysin3x

Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 ) 4 ( 2  

D

Sehingga diperoleh

2 16 10 0

2 . 1

 

m

i m1.2 02

Fungsi komplemen





x

e x c

x c

c

y 0

2

1cos2 sin2

)

(  

Selanjutnya ditentukan integral khususnya

x D

p

y sin3

4 1 )

( ₂

 

x p

y sin3

4 ) 3 (

1 )

( ₂

   

x p

y sin3

5 1 ) ( 



Selesaian persamaan y x dx

dy dx

y d

sin 5 4

2 2

 



)

(

)

(

c

y

p

y

x x

c x c

Y sin3

5 1 ) 2 sin 2

cos

( ₁  ₂ 



3. Tentukan selesaian persamaan



D4 10D2 9



ysin(2x3) Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

0 ) 9 )( 1 (

0 9 10

2 2

2 4

  



  

D D

D D

Diperoleh akar-akarnya tidak nyata dan berbeda yatu

i

m_1.2  dan m_3.4 3i

Persamaan komplemennya adalah



c x c x

 

c x c x



c

y( ) 1cos  2sin  3cos3  4sin3

Integral khususnya

) 3 2 cos( ) 3 )( 1 (

1 )

( _{2 2} 

 

 x

D D

p y

) 3 2 cos( ) 5 )( 3 (

1 )

( 



 x

p y

) 3 2 cos( 15

1 )

(p  x

y

Selesaian persamaan



D4 10D2 9



ysin(2x3) adalah

)

(

)

(

c

y

p

y

Y







 



cos



2 3



15 1 3 sin 3

cos sin

cos _{2 3 4}

1     

 c x c x c x c x x

Y

Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien variabel

adalah

) ( ...

3 3 3 2 2 2 1 1

1 P y Q x

dx dy P dx

y d P dx

y d P dx

y d P dx

y d

P _{n n q n}

n n

n n

n n

n

o         

 

 

