Multiple Signal Classification
TUGAS AKHIR
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memeperoleh Gelar Sarjana Teknik
Program Studi Teknik Elektro
Oleh :
Nama :Nugroho Dipo Arogyo NIM :015114017
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
MULTIPLE SIGNAL CALSSIFICATION
FINAL PROJECT
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree
In Electrical Engineering Study Program
By:
Name : Nugroho Dipo Arogyo Student Number : 015114017
ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING
FACULTY OF ENGINEERING SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA 2007
LEMBAR PERSETUJUAN
TUGAS AKHIR
MULTIPLE SIGNAL CLASSIFICATION
Oleh :
NUGROHO DIPO AROGYO NIM : 015114017
Telah disetujui oleh :
Pembimbing
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, atas berkat kesabaran dan ketekunan yang diberikan kepada penulis sehingga akhirnya dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik.
Dalam proses penulisan tugas akhir ini penulis ingin mengucapakan terima kasih kepada beberapa orang yang telah membantu dalam proses penyelesaian tugas akhir ini. Kepada :
1. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik.
2. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing, karena atas bimbingan, dukungan, saran dan kesabaran untuk penulis dari awal sampai tugas akhir ini bisa selesai.
3. Bapak Ir. Th. Prima Ari Setyani MT, Martanto, S.T., M.T., dan Ir. Iswanjono, M.T., selaku penguji yang telah bersedia memberikan kritik dan saran.
4. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.
5. Papah, Mamah, Amak, serta semua keluarga tercinta yang telah memberikan kecerewetanya, doa serta dukungan secara moril maupun materiil.
6. Cie-cie tercinta, Irene atas dukungan, cinta, bantuan yang sangat berguna. 7. Temen-temen DSP yang laen Tyok, Lambe, Oscar, thank’s...atas kerja
8. Buat satu orang temen lagi, Jekson Sianipus eh Sianipar, thank’s so much atas bantuannya.
9. Teman-teman elektro: angkatan 99, 2000 2001, dan 2002, 2003 baik yang sudah lulus ataupun masih berjuang untuk meluluskan diri dari belenggu kebosanan (udah 5 taon lebih di Teknik Elektro Sadar^-^), yang selalu berbagi ilmu, pengalaman kuliah dan saran dalam memilih dosen .
10. Dan seluruh pihak yang telah ambil bagian dalam proses penulisan tugas akhir ini yang terlalu banyak jika disebutkan satu-persatu.
11. Buat diriku sendiri, great job bro!!!!!!!!!!!!!!!
12. Ups, satu lagi hampir lupa ^_^ piss…., buat Kartika Arum Sari, you are the only reason for me to do all of this things, without you I don’t know what I’m gonna be….thanks for everythings….I love you so much.
Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.
Yogyakarta, 29 Juli 2007
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
“Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain,
kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.”
Yogyakarta, 29 Juli 2007
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya tulis ini kepada :
Iesu Christe il salvatore,
Mom & Dad,
Irene kakakku tercinta,
Keluarga besarku yang kucinta,
Tika tersayang,
Almamatårku Teknik Elektro USD, dan
Untuk diriku sendiri.
HALAMAN MOTTO
Jangan pernah menunggu sebuah kesempatan, tapi buatlah
kesempatan itu ada dan datang padamu.
Jangan pernah menyerah walaupun sudah tidak ada harapan.
Intisari
Pada sistem komunikasi yang menggunakan teknik penyebaran sinyal ke semua arah, sinyal sering terganggu oleh interferensi dari sinyal-sinyal lain. Masalah tersebut dapat mengganggu kelancaran dan kejernihan sinyal yang akan dipancarkan sehingga sulit untuk didapatkan keaslian sinyalnya.
Pendugaan frekuensi, melalui algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification) adalah salah satu cara yang dapat mengatasi masalah-masalah interferensi tersebut. Simulasi diproses dengan menggunakan fungsi MUSIC, dengan tiga sinyal masukan yang kemudian disampling datanya.
Tugas Akhir ini akan mendeskripsikan hasil simulasi dengan menggunakan Matlab. Grafik yang akan ditampilkan adalah sinyal asli dari ding.wav, model sinyal dari algoritma MUSIC dan model sinyal dari model AR (Yule-Walker, Burg, Covarian, Modifikasi Covarian).
Abstract
In the communication system using spreading signal technique to all direction, the signal always be bothered by interference to another signals. This problem quiet disturbing because it can be bothering signal, and finally the basic signal can’t be found.
Frequency estimation with MUSIC (Multiple Signal Classification) algorithm is a way to solve that problem. The simulation processes using MUSIC function, with three signal input and then the data will be sampled.
This final project describing the result using Matlab. The output which will be shown is the basic signal from ding.wav, modeling signal from MUSIC algorithm and modeling signal from AR method (Yule-Walker, Burg, Covarian, Modifikasi Covarian).
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSETUJUAN ... iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi
HALAMAN MOTTO ... vii
INTISARI ... viii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR TABEL ... xvii
BAB I. PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan dan Manfaat ... 2
1.3 Batasan Masalah ... 2
1.4 Sistematika Penulisan ... 2
BAB II. DASAR TEORI ... 4
2.1.1 Metoda AR Yule-Walker ... 6
2.1.2 Metoda Burg ... 7
2.1.3 Metoda Covariance ... 8
2.1.4 Metoda Modified Covariance ... 8
2.2 Moving Average Spectrum Estimation ... 9
2.3 Autoregresive Moving Average Spectrum Estimation ... 10 2.4 Frequency Estimation ... 10
2.4.1 Metoda Pisarenko ... 11
2.4.2 Algoritma MUSIC ... 12
BAB III. PERANCANGAN ... 14
3.1 Konfigurasi ... 15
3.2 Diagram flow proses kerja pendugaan frekuensi ... 15
3.2.1 Sinyal Masukan ... 15
3.2.2 Pemodelan sinyal algoritma MUSIC ... 16
3.2.3 Pemodelan Sinyal lain ... 17
3.3 Rancangan Layout ... 19
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 20
4.1 Tampilan Utama Program ... 20
4.2 Proses Simulasi ... 25
4.3.1 Hasil simulasi dengan algoritma MUSIC ... 29
4.3.2 Hasil simulasi dengan metoda AR ... 35
4.3.3 Pendugaan frekuensi ... 37
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN ... 42
5.1 Kesimpulan ... 42
5.2 Saran ... 42 DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
NO. GAMBAR
2.1 Klasifikasi model dan metode estimasi spectrum ... 5
3.1 Diagram flow perencanaan proses simulasi ... 14
3.2 Proses penjumlahan dan penyamplingan data ... 16
3.3 Blok diagram proses simulasi dengan algoritma MUSIC ... 17
3.4 Pemodelan sinyal lain sebagai pembanding ... 18
3.5 Rancangan layout program ... 19
4.1 Tampilan halaman pembuka program ... 20
4.2 Tampilan program utama ... 21
4.3 Tampilan program utama dengan menu bar file ... 23
4.4 Tampilan program utama dengan menu bar help_topic ... 23
4.5 Tampilan program utama dengan menu bar help_MUSIC ... 24
4.6 Tampilan program utama dengan menu bar About_MUSIC ... 24
4.7 Tampilan program simulasi yang siap dijalankan ... 25
4.8 Tampilan messege box yang muncul bila terjadi kekosongan masukan atau masukan yang tidak lengkap ... 26
4.9 Tampilan program dengan data sampling antara 1000 hingga 2000 ... 27
4.10 Tampilan program dengan kesalahan sampling data ... 28
4.11 Tampilan sinyal asli dan sinyal spektrum ... 29
4.13 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 5 dan p=3 ... 31
4.14 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 8 dan p=7... 31
4.15 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 10 dan p=5 ... 32
4.16 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 15 dan p=10 ... 32
4.17 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 15 dan p=14 ... 33
4.18 Bentuk sinyal asli dan bentuk spectrum sinyal dari sinyal windows battery critical ... 34
4.19 Bentuk sinyal asli dan pemodelan sinyal untuk tiga jenis sinyal yang sama Hasil simulasi metoda pembanding ... 34 4.20 Grafik spektrum sinyal asli ... 36
4.21 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 5 dan p = 1 ... 37
4.22 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 5 dan p = 3 ... 37
4.23 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 8 dan p = 7 ... 38
4.24 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 10 dan p = 5 ... 38
4.25 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 15 dan p =10 ... 39
4.26 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 15 dan p =14 ... 39
4.27 Grafik spektrum sinyal asli dengan tiga masukan yang sama ... 40
DAFTAR TABEL
NO TABEL
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada sistem komunikasi yang menggunakan teknik penyebaran sinyal ke semua arah, sinyal sering terganggu oleh interferensi dari sinyal-sinyal lain. Masalah tersebut dapat mengganggu kelancaran dan kejernihan sinyal yang akan dipancarkan sehingga sulit untuk didapatkan keaslian sinyalnya.
Berbagai macam cara telah dikembangkan untuk mendapatkan keaslian sinyal tersebut. Salah satu cara telah dikemukakan oleh Pisarenko pada tahun 1973, yaitu metode Pisarenko Harmonic Decomposition [1]. Teori ini masih mempunyai kesulitan dalam pemakaiannya, karena sinyal yang dihasilkan akan terbagi menjadi dua, yaitu antara sinyal yang asli dan yang palsu sehingga akan sulit untuk dibedakan. Selain teori dari Pisarenko juga ada metoda lain yaitu MUSIC (Multiple Signal Classification) method.
Pada perkembangannya teknik pendugaan frekuensi suatu sinyal dengan metoda MUSIC (Multiple Signal Classification) yang dianggap paling sesuai untuk mengatasi masalah interferensi. MUSIC adalah sebuah metoda yang berfungsi sebagai pendugaan sebuah sinyal frekuensi [2].
Metoda MUSIC merupakan penyempurnaan dari metode Pisarenko. Seperti halnya metoda Pisarenko, dalam metoda MUSIC terdapat juga masalah. Yang pertama, error pada saat pendugaan sinyal frekuensi yang mungkin akan muncul sehingga sulit untuk memisahkan sinyal yang asli dan yang palsu. Yang
kedua, ketika jarak sumber bertambah jauh, pendugaan sinyal frekuensi akan menjadi sulit untuk dilakukan [3]. Mengingat pentingnya pemahaman akan interferensi terhadap sinyal, maka penulis membuat program simulasi sebagai tugas akhir.
1.2
Tujuan dan Manfaat
Tujuan yang akan dicapai adalah menghasilkan sebuah pemodelan sinyal untuk visualisasi metoda MUSIC.
Manfaat yang bisa didapatkan dari pembuatan Tugas Akhir ini adalah agar dapat membantu pembaca untuk dapat lebih mengerti dan dapat lebih memahami proses pendugaan frekuensi sinyal jamak dengan menggunakan metoda MUSIC.
1.3
Batasan Masalah
Batasan masalah pada tugas akhir ini adalah :
1. Masukan menggunakan sinyal dalam bentuk file dengan format WAV . 2. Metoda yang digunakan adalah metoda MUSIC.
3. Perangkat lunak, yang digunakan untuk mensimulasi adalah MATLAB.
1.4
Sistematika Penulisan
Penulisan tugas akhir ini, akan disusun beberapa bab dengan sistematika penulisan sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang, tujuan dan manfaat, batasan masalah dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi dasar teori yang melandasi penyusunan dan pengerjaan tugas akhir.
BAB III PERANCANGAN
Bab ini berisi tentang perancangan program simulasi MUSIC serta perancangan layout untuk GUI (Graphic User Interface).
BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi tentang analisa dan pembahasan dari hasil simulasi yang telah dijalankan.
BAB V KESIMPULAN
Bab ini berisi tentang kesimpulan sebagai hasil akhir dari pembuatan tugas akhir ini.
BAB II
DASAR TEORI
Pendugaan frekuensi dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, diantaranya dengan menggunakan metoda parametrik. Metode parametrik adalah metode yang didasarkan pada pemodelan urutan data y(n) sebagai keluaran. Metoda parametrik dapat melakukan pendugaan frekuensi dengan akurat. Tetapi keakuratan tersebut tergantung dari besarnya frekuensi yang akan diduga. Pendekatan yang digunakan untuk pendugaan frekuensi pada metoda parametrik ini berbeda dengan metoda nonparametrik, karena dalam estimasi power spectrum, deretan data masukan tidak dapat diamati. Jika data yang teramati dianggap sebagai proses acak, maka deretan data masukan juga dianggap sebagai proses acak. Hal tersebut dapat dilakukan karena Power Spectral Density (PSD) menyediakan pengukuran untuk pendistribusian daya rata-rata dari proses pendugaan yang berlangsung secara acak.
Dari ketiga model di atas, model AR adalah model yang paling banyak digunakan, karena model AR cocok dapat menggambarkan spektra dengan puncak yang sempit. Alasan lainnya adalah karena model AR mempunyai persamaan linear yang sangat sederhana untuk parameter-parameter AR. Model MA membutuhkan koefisien yang lebih banyak untuk menggambarkan spektra yang sempit, sehingga jarang digunakan sebagai model untuk estimasi power spectrum. Dengan kombinasi pole dan zero, model ARMA mempunyai parameter model yang paling efisien untuk menggambarkan spektrum dari proses acak.
Proses ARMA dan MA dapat diwakili dengan model AR dengan orde tak terhingga.
Melalui pendekatan parametrik ini pendugaan spektrum dapat dilakukan lebih mudah. Pendekatan parametrik terdiri dari beberapa metoda. Metoda-metoda tersebut antara lain adalah autoregressive (AR), moving-average (MA), ARMA (kombinasi AR dan MA) dan harmonik (complex exponential in noise) [4]. Gambar 2.1 menunjukan klasifikasi model dan metode estimasi spektrum.
2.1
Autoregresive Spectrum Estimation
Pada frekuensi tertentu metoda AR (autoregresive) mampu dapat menjabarkan spektral dengan data PSD (Power Spectral Density) yang besar. Kebanyakan dari aplikasi, data yang dipakai cenderung memiliki maksimal spektrum. Jika proses acak yang akan di evaluasi terbatas pada interval tertentu, maka autokorelasi dari keluarannyanya juga harus diestimasi, dan parameter yang ditentukan berdasarkan estémasi autokorelasi juga merupakan parameter estimasi. Beberapa model metoda AR yang akan digunakan sebagai pemodelan sinyal dari hasil pendugaan frekuensi dengan metoda MUSIC yaitu:
1. metoda Yule-Walker (autocorrelation method) 2. metoda Burg
3. metoda covarian
4. metoda modifikasi covarian
Metoda AR dapat dirumuskan sebgai berikut:
2 1 / 2
)
(
1
1
)
(
∑
= −+
∈
=
p k f jkf p p s AR se
k
a
f
f
P
π)
)
(2.1)2.1.1 Metoda AR Yule-Walker
Pendugaan spectral pada Yule-Walker memperhitungkan parameter-parameter AR (autoregresive). Dalam metode Yule–Walker, autokorelasi dari data yang teramati diestimasi untuk mendapatkan parameter model AR. Metode
Yule-Walker (autokorelasi) ini selalu menghasilkan model yang stabil. Metode autokorelasi menggunakan data ter-window untuk menghitung estimasi autokorelasi, sehingga ada efek yang perlu diperhatikan dalam estimasi spectrum [12]. Efek akibat data ter-window ini akan semakin signifikan untuk data yang pendek, sehingga metode autokorelasi jarang digunakan jika data yang dievaluasi jumlahnya sedikit. Spectral line splitting atau pemisahan puncak spektral tunggal menjadi dua atau lebih puncak spektral dapat muncul jika data overmodeled atau orde model p terlalu besar. Kelebihan yang sangat terlihat dari metoda ini adalah menghasilkan keluaran yang bagus tanpa sporiuous peak.
2.1.2 Metoda Burg
Metoda Burg berdasarkan pada minimisasi forward error dan backward error dalam suatu linear predictor. Perbedaan yang terlihat dengan metoda pendugaan AR yang lain adalah pada metoda Burg perhitungan fungsi autocorrelation tidak digunakan.
Jadi berbeda dengan metode AR yang lain, metode Burg tidak melakukan perhitungan autokorelasi tetapi langsung melakukan perhitungan estimasi koefisien refleksi. Metode Burg mempunyai beberapa kelebihan, antara lain:
1. Menghasilkan råsolusi frekuensi yang tinggi. Untuk data yang pendek, metode ini menghasilkan estimasi spektrum yang mendekati nilai sebenarnya.
2. Menghasilkan model AR yang stabil. 3. Membutuhkan perhitungan yang efisien.
Metode ini juga mempunyai beberapa kekurangan, antara lain:
1. Untuk model orde tinggi, data yang panjang dan S/N yang tinggi, metode ini menghasilkan spectral line splitting (spektrum mempunyai puncak lebih dari satu pada spasi yang berdekatan) dan puncak semu (spurious peaks).
2. Untuk sinyal sinusoidal dengan noise, metode ini berpotensi menghasilkan pergeseran fasa, terutama untuk data yang pendek.
2.1.3 Metoda Covariance
Pendekatan lain dari metoda AR (autoregresive) adalah covariance method. Rumus yang dipakai dimetoda ini bukanlah Toeplitz. Oleh karena itu metoda covariance memiliki keuntungan yang lebih dibanding dari metoda Y-W (metoda auôocorrelation). Dalam metode covariance tidak akan terjadi efek window. Sehingga untuk data yang pendek, metode ini menghasilkan estimasi spektrum dengan resolusi yang lebih tinggi dari metode autokorelasi. Metode ini menghasilkan model yang tidak stabil dan pergeseran frekuensi untuk estimasi sinyal sinusoida dengan noise.
2.1.4 Metoda Modified Covariance
Metoda ini sama dengan metoda covariance, perbedaanya pada saat penyelesaian aotukorelasi menggunakan cara yang berbeda. Persaamaan tersebut terletak pada tidak adanya data yang ditampilkan pada window dan juga matrik
autocorrelationnya bukanlah Toeplits. Metoda ini berfungsi untuk meminimalkan prediksi eror forward dan backward.
Metode ini juga sering disebut metode unwindowed data least-square. Meskipun hampir sama dengan metode Burg, tapi karakteristik kinerja dari metode ini lebih baik daripada metode Burg. Semua kekurangan yang ada pada metode Burg (adanya spectral line splitting dan spurious peaks) dapat diatasi dengan metode ini. Kekurangan dari metode ini adalah bahwa estimasi parameter model AR menghasilkan model yang tidak cukup stabil dibanding metode Burg, tetapi lebih stabil dibanding metode autokorelasi dan covariance. Dalam estimasi spketrum, kekurangan ini bukan merupakan masalah serius.
2.2
Moving Average Spectrum Estimation
Dalam metoda pendugaan spektrum moving average (MA), spektrumnya dapat diduga dengan menggunakan dua pendekatan, yaitu:
1. Pendekatan pertama adalah keuntungan yang menyatakan bahwa rangakaian autocorrelation dari proses moving average panjangnya terbatas. Pendekatan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut,
∑
− = −=
q q k jkw X jw MAe
r
k
e
P
(
)
)
(
)
)
(2.2)2. Pendekatan kedua dengan menduga parameter-parameter moving average melalui rumus berikut,
2
)
(
)
(
∑
− = −=
q q k jkw X jw MAe
r
k
e
P
)
)
(2.3)2.3
Autoregresive Moving Average Spectrum Estimation
Didalam statistika, metoda Autoregresive Moving Average (ARMA) juga disebut sebagai Box-Jenkins Model. Fungsi dari metoda ARMA ini secara khusus digunakan untuk menampilkan data time series [7]. Metoda ini terdiri dari dua metoda yaitu metoda autoregresive (AR) dan metoda moving average (MA).
∑
∑
= − = − + = q k jkw p q k jkw q jw ARMA e k a e k b e P 1 2 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ) ) (2.4)2.4
Frequency Estimation
Frequency Estimation adalah sebuah proses pendugaan komponen-komponen frekuensi yang didalamnya terdapat kandungan noise. Metoda-metoda yang dipakai dalam pendugaan frekuensi ini semuanya berdasarkan pada eigendecomposition autocorrelation matri [8]. Eigendecompotition of correlation matrix ini terdiri dari dua bagian yaitu noise subspace dan signal subspace. Untuk pendugaan sebuah frekuensi, hal yang dilakukan pertama kali adalah mengidentifikasikan subspace-nya terlebih dahulu. Setelah subspace tersebut teridentifikasi, baru kemudian komponen-komponen frekuensinya dapat ditemukan dari subspace yang telah teridetifikasi tersebut. Metoda yang sering digunakan pada pendugaan frekuensi ini adalah metoda pisarenko, MUSIC (multiple signal classification), metoda eigenvector dan algoritma norm minimum.
2.4.1 Metoda Pisarenko
Berdasarkan pada teorema Carthedory Pada tahun 1973, V. Pisarenko meneliti tentang masalah pendugaan frekuensi pada sinyal-sinyal komplek didalam white noise (sinyal acak dengan Power Spectral Density rata). Teknik ini disebut sebagai Pisarenko Harmonic Decomposition. Kegunaan dari metoda ini dibatasi karena metoda ini memiliki sensitivitas terhadap gangguan. Tabel 1. adalah tabel pendugaan frekuensi menurut metoda pisarenko [1]:
Tabel Pendugaan Frekuensi oleh Pisarenko
1. Dinyatakan bahwa sebuah proses terdiri dari p comples exponential didalam white noise, temukan minimum eigenvalue
min
λ
dan hubungan eigenvector Vmin dari autocorrelation matrikx
R (p+1)*(p+1).
2. Atur daya white noise agar sama dengan minimum eigenvalue,
2 min σw
λ = , dan juga atur frekuensi-nya agar sama dengan
∑
= − = p k k z k v z v 0 min min( ) ( )atau sama dengan lokasi dari puncak maksimum pada fungsi pendugaan frekuensi 2 min ^ 1 ) ( V e e p H jw PHD =
3. Sumilasikan daya complex exponential-nya dengan menyelesaikan rumus linear (2.4)
Pisarenko Harmonic Decomposition disebut juga sebagai metoda pisarenko. Metoda pisarenko digunakan untuk pendugaan frekuensi. Dalam metoda ini pisarenko mengasumsikan bahwa didalam sebuah sinyal terdapat complex exponential yang terkandung dalam white noise.
Seperti yang telah dituliskan pada tabel 2.2, metoda Pisarenko menduga salah satu frekuensi complex exponential dari akar-akar eigenfilter
( )
zVmin ataupun dari lokasi puncak maksimum pada fungsi pendugaan frekuensi
) (
^
jw PHD e
p , dan kemudian diselesaikan dengan rumus linear PK untuk daya complex exponential-nya. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) 2 1 2 1 p p p jw p jw p jw p jw jw jw jw jw jw e V e V e V e V e V e V e V e V e V L L L M M L L L L L L p P P P M M 2 1 = − − − 2 2 2 2 1 w p w w
σ
λ
σ
λ
σ
λ
M M (2.4)Meskipun teori Pisarenko ini terkenal baik, tetapi teori tersebut tidak dapat digunakan dalam praktik. Salah satu alasannya adalah teori ini membutuhkan diketahuinya nilai complex exponential.
2.4.2
Algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification)
Algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification) adalah sebuah metoda untuk pendugaan frekuensi. Multiple signal classification (MUSIC), dicetuskan oleh Schmidt, sebagai pembuktian dari metoda Pisarenko. Dalam algoritma
MUSIC, untuk pendugaan frekuensi kita harus menjumlahkan beberapa buah sinyal. Sampling data tersebut dilakukan karena untuk setiap jenis file memiiki dimensi matrik yang berbeda-beda. Dari setiap sinyal akan akan diambil sampel datanya yang kemudian digunakan sebagai masukan dalam proses kalisfikasinya. Dalam algoritma MUSIC, jumlah p complex exponential yang digunakan haruslah sama dengan atau lebih dari satu. Banyaknya jumlah tersebut sangatlah berpengaruh dalam pencapaian hasil. Apabila jumlah p complex exponential banyak, maka hasil simulasi akan mengalami ambiguity. Ambiguity ini akan memberikan efek bayangan pada hasil akhir dari pendugaan frekuensi. Efek tersebut dinamakan sebagai spurious peaks. Spurious peaks adalah sebuah puncak semu yang menyerupai puncak aslinya. Spurious peaks ini dapat memicu munculnya spectral line splitting. Hal tersebut terjadi apabila jumlah p complex exponetial semakin besar dan demensi matriknya juga terlalu besar.
BAB III
PERANCANGAN SIMULASI PROGRAM
Perancangan simulasi program untuk klasifikasi sinyal jamak ini diberi judul MUSIC (Multiple Signal Classification), dibuat berdasarkan pada dasar teori yang telah dijelaskan pada bab II. Tahapan-tahapan yang harus dilalui dalam pelaksanaan simulasi adalah:
1. menentukan sinyal masukan 2. simulasi dan pemodelan sinyal 3. penampilan output
Gambar 3.1 menunjukkan proses perencanaan simulasi. Mulai
Keluaran Pemodelan sinyal
Sinyal masukan
Selesai
3.1
Konfigurasi
Pendugaan sinyal ini dibuat dengan menggunakan program MATLAB. Tujuannya adalah untuk menghasilkan sebuah simulasi yang dijalankan untuk dimodelkan berdasarkan metode yang telah ditentukan. Simulasi ini diaplikasikan pada sebuah PC dengan kekuatan processor Pentium(R) 4 CPU 2.26GHz dengan kekuatan RAM 256 MB. Pada saat akan menjalankan program, hal-hal yang perlu diperhatikan adalah:
1. Semua file .wav yang akan dievaluasi harus berada pada directory/path yang sama dengan .m file dari program simulasi ini.
2. Semua program yang terlibat dalam simulasi, yaitu music1.m, help_topic.m, help_music.m, aboutMUSIC.m dan simulasi_2.m, harus berada pada directory/path yang sama.
3.2
Diagram Flow Proses Kerja Pendugaan Frekuensi
3.2.1 Sinyal masukan
Gambar 3.2 menunjukkan pengambilan masukan sinyal. Masukan dari pengguna haruslah bertipe .*wav. Apabila sinyal yang dimasukan bukan bertipe .*wav, maka program tidak akan menampilkan sinyal masukan tersebut. Program akan mengeluarkan peringatan apabila jumlah masukan belum lengkap atau masih kosong. Setelah checking tipe file dilakukan, proses selesai dan dapat dilanjutkan ke proses berikutnya. Gambar 3.2 menunjukkan pengambilan sinyal masukan.
3.2.2 Proses simulasi dengan algoritma MUSIC
Setelah sinyal masukan siap untuk diproses, sinyal tersebut akan diidentifikasikan sebagai sinyal x(n) dan dijumlahkan. Proses simulasi dijalankan berdasarkan fungsi algoritma MUSIC, dan keluaran sinyal tersebut hasilnya akan ditunjukan dalam bentuk grafik. Keluaran proses simulasi tersebut sudah dalam bentuk model. Model sinyal hasil simulasi dengan algoritma MUSIC akan
Mulai Masukan x(n) Masukan x(n) Masukan x(n) Data sampel x(n) =1000 Data sampel x(n) =1000 Data sampel x(n) =1000 ∑ = x(n)
Keluaran Sinyal asli
Keluaran spektrum Sinyal asli
Mulai
Gambar 3.2 Proses penjumlahan dan penyamplingan data.
dibandingakan dengan model sinyal hasil simulasi metode-metode AR. Gambar 3.4 menunjukan jalannya proses simulasi dengan algoritma MUSIC.
3.2.3 Pemodelan sinyal lain
Setelah pemodelan sinyal dengan aloritma MUSIC selesai, dilanjutkan dengan pemodelan sinyal lain sebagai pembanding. Pemodelan sinyal ini menggunakan model AR (Yule-Walker, Burg, Covarian, dan Modifikasi Covarian). Karena sebagai pembanding, maka pemodelan ini mengambil masukan
Mulai Masukan x(n) Masukan x(n) Masukan x(n) Data sampel x(n) =1000 Data sampel x(n) =1000 Data sampel x(n) =1000 ∑ = x(n)
Masukan variable M dan p
Keluaran
Mulai
sinyal yang sama dengan sinyal yang dipakai pada proses simulasi dengan algoritma MUSIC. Setelah sinyal masukan ada, kemudian dilakukan pemilihan jumlah orde dan sampling data. Gambar 3.5 menujukan proses pemodelan sebagai hasil dari pendugaan frekuensi.
3.3
Rancangan Layout
Gambar 3.6 adalah Layout program rancangan secara visual sebagai implementasi simulasi program untuk klasifikasi sinyal jamak. Layout pada Gambar 3.5 menggunakan beberapa komponen oleh MATLAB GUI untuk menampilkan proses simulasi. Komponen-komponennya adalah:
1. Static text
2. List box 3. Axes 4. Pushbutton 5. Edit text 6. Radio Button
Bab IV
Hasil dan pembahasan
Pada bab ini, penulis akan menjelaskan hasil dari program simulasi MUSIC (Multiple Signal Classification) yang telah selesai dibuat serta membandingakan dengan metoda yang telah ditentukan.
4.1
Tampilan Utama Program
Saat program dijalankan, halaman pembuka akan ditampilkan. Tampilan pada halaman pembuka adalah judul program dan identitas pembuat. Tampilan tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Halaman pembuka mempunyai dua button yaitu button Next > dan button Exit >. Fungsi dari button Next > digunakan jika pengguna ingin melanjutkan atau membuka halaman kedua yang berisi program utama yaitu program simulasi. Jika pengguna berubah pikiran untuk tidak melanjutkan program ini, maka pengguna dapat langsung menekan button Exit >. Setelah pengguna menekan button Next >, maka tampilan program utama akan muncul seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.2.
Halaman program utama, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.2, terdiri dari beberapa bagian yaitu:
1. Signal Input yang berfungsi untuk mengambil masukan sinyal. Gambar 4.2 Tampilan program utama.
2. Signal Modeling, yang terdiri dari pemodelan sinyal dengan metoda MUSIC.
3. Alternative Signal Modeling, berisikan metoda-metoda sinyal pembanding diantaranya adalah metoda Y-W (Yule-Walker), metoda Burg, metoda Covarian dan metoda Modifikasi Covarian.
4. Ploting Function yang berisikan button shift untuk menggeser grafik keluaran, reset untuk mengulang program dari awal, grid, dan zoom out-zoom in.
5. Axes, untuk penampil grafik ada dua bagian yaitu axes yang pertama untuk keluaran sinyal asli dan spektrumnya dan axes kedua untuk grafik keluaran model algoritma MUSIC.
Pada tampilan bagian atas program utama terdapat menu program yang berisi submenu. Terdapat tiga sub menu yaitu file, help dan about. Sub menu file berisi open, yang berfungsi untuk menampilkan hasil-hasil simulasi yang telah disimpan, save yang berfungsi untuk menyimpan hasil simulasi dan exit yang berfungsi untuk keluar dari program. Tampilan tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.3. Selain sub menu file, terdapat sub menu help. Sub menu ini terbagi menjadi dua, yaitu help_MUSIC yang berfungsi untuk menuntun pengguna bagaimana cara memakai program simulasi ini dan help_topic yang berisi dasar teori dari program simulasi MUSIC. Tampilan sub menu help_topic dan help_MUSIC dapat dilihat pada Gambar 4.4 dan Gambar 4.5.
Gambar 4.3 Tampilan program utama dengan menu bar file.
Sub menu terakhir yang terdapat pada tampilan program utama MUSIC adalah about. About berisi keterangan pembuat program simulasi ini. Tampilan tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.6.
Gambar 4.5 Tampilan program utama dengan menu bar help_MUSIC.
4.2
Proses Simulasi
Sub bab ini akan menjelaskan cara kerja program dan hasilnya. Program simulasi ini akan bekerja apabila mendapatkan masukan yang telah ditentukan. Masukan dapat diambil dari button “add” yang telah disediakan oleh pembuat program. Hasil dari simulasi dapat dilihat dalam bentuk grafik. Hasil simulasi ini dapat dikatakan baik apabila tampilan pada grafik menunjukan tidak adanya spectral line splitting dan spurious poeaks. Akan tetapi meskipun hasil simulasi tersebut dikatakan baik bukan berarti hasil simulasi tersebut sama sekali tidak mengandung noise. Hasil dari simulasi dengan algoritma MUSIC sangatlah relatif, hasilnya bergantung dari beberapa hal, seperti jumlah masukan, jenis masukan dan jumlah variabel dimensi matrik M dan compelx exponential p. Gambar 4.7 menunjukan program simulasi yang telah siap dijalankan.
Jenis file yang digunakan pada program simulasi ini adalah file existensi .*wav. Apabila pengguna memasukan tipe file dengan jenis yang lain, maka secara otomatis file tersebut tidak akan ditampilkan.
Jumlah file yang harus dimasukan adalah tiga file. Secara otomatis, program juga menampilkan jumlah data hasil proses sampling yang ada pada file tersebut. Penampilan jumlah data tersebut akan diperlukan saat pengguna akan menjalankan program ini. Messege box peringatan muncul secara otomatis apabila pada kotak input terjadi kekosongan atau tidak lengkap pada saat eksekusi program. Gambar 4.8 dibawah ini menunjukan messege box yang akan muncul apabila kotak masukan masih kosong ataupun tidak lengkap.
Gambar 4.8 Tampilan messege box yang muncul bila terjadi kekosongan masukan atau masukan yang tidak lengkap.
Setelah memberikan masukan sesuai dengan ketentuan, selanjutnya pengguna membatasi jumlah data yang akan diolah. Data yang harus dimasukan oleh pengguna berjumlah 1000 atau misalnya antara range 1000 hingga 2000. Hal ini dilakukan untuk menghindari banyaknya noise yang mungkin terjadi apabila jumlah data yang akan disimulasi sebanyak data aslinya. Semakin sedikit jumlah data yang disimiluasikan, maka akan semakin sedikit (atau bahkan tidak ada) noise yang mungkin akan terjadi. Apabila dalam pembatasan jumlah data, pengguna memasukan range yang salah, maka program simulasi ini akan mengeluarkan pesan agar memberikan range data sampel yang benar. Gambar 4.9 dibawah ini menunjukan tampilan program dengan pembatasan jumlah data.
Gambar 4.9 Tampilan program dengan data sampling antara 3000 hingga 4000.
Setelah pengisian masukan dan pembatasan jumlah data telah dilakukan dengan benar, maka pengguna dapat melihat bentuk sinyal asli dan bentuk sinyal spektrum dari jumlah ketiga sinyal tersebut. Gambar 4.10 dibawah ini menunjukkan pesan kesalahan pada saat pembatasan jumlah data.
4.3 Hasil simulasi
Pada sub bab ini akan ditampilkan seluruh hasil dari simulasi berikut pembahasannya. Hasil simulasi dari kelima metoda divisualisasikan dalam bentuk grafik. Kelima metoda tersebut disimulasikan dengan nilai data sampling yang sama, yaitu sebanyak 3000.
Sebelum melihat hasil simulasi, akan ditampilkan terlebih dahulu bentuk sinyal asli dan bentuk spektrum sinyal. Tampilan tersebut akan diperlihatkan pada gambar 4.11.
4.3.1 Hasil simulasi menggunakan algoritma MUSIC
Hasil simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 4.11 menunjukan grafik hasil dari proses simulasi dan sinyal aslinya. Simulasi sinyal mengunakan file windows XP battery critical .wav, windows XP critical soap.wav, windows XP exclamination .wav dengan jumlah data sample sebanyak 3000. Dimensi matrik untuk pendugaan frekuensi ini harus lebih besar dari jumlah p complex exponential. Grafik hasil simulasi pada Gambar 4.12, Gambar 4.13, dan Gambar
4.14, Gambar 4.15, Gambar 4.16 dan Gambar 4.17 memperlihatkan hasil simulasi dengan berberapa variasi jumlah M dan p. Jenis sinyal yang digunakan adalah windows XP battery critical, windows XP critical soap, dan windows XP exclamination.
Data pada gambar 4.12 disimulasikan dengan jumlah M = 5 dan p = 1. Grafik pada gambar 4.12 memperlihatkan gambar yang mulus tanpa adanya spurious peaks dan spectral line splitting. Grafik tersebut menghasilkan puncak maksimum pada 95.5 dB.
Pada Gambar 4.13 meperlihatkan hasil yang berbeda dengan Gambar 4.12. Dengan jumlah M = 5 dan p = 3, simulasi tersebut menghasilkan spurious peak. Puncak maksimum yang dihasilkan mendekati 117 dB.
Gambar 4.13 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 5 dan p=3.
Gambar 4.15 Hasil simulasi algoritma MUSIC dengan jumlah M = 10 dan p=5.
Untuk Gambar 4.14, dengan jumlah M = 8 dan p = 7 menghasilkan dua puncak maksimum yang sama. Dengan selisih antara jumlah M dan p yang sedikit, simulasi ini menghasilkan beberapa sepctral line splitting.
Gambar 4.15 menunjukkan hasil simulasi dengan jumlah M = 10 dan p = 5. Pada simulasi ini tidak tampak adanya spectral line splitting tetapi kembali menghasilkan spurious peaks seperti pada hasil simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 4.13.
Gambar 4.16 menunjukkan hasil simulasi dengan jumlah M = 15 dan p = 10. Seperti pada Gambar 4.13 dan Gambar 4.15, hasil simulasi ini juga menghasilkan spurious peaks, bahkan spurious peaks yang dihasilkan pada simulasi ini cenderung meningkat.
Hasil simulasi terakhir dengan jumlah M = 15 dan p = 14, ditunjukan pada gambar 4.17. Seperti pada hasil simulasi yang diperlihatkan pada Gambar 4.14, simulasi ini juga memperlihatkan adanya spectral line splitting yang jumlahnya lebih banyak dari hasi simulasi pada Gambar 4.14.
Gambar 4.18 adalah bentuk sinyal asli dan bentuk spektrum dari tiga sinyal yang sama yaitu windows battery critical.wav. Gambar 4.19 adalah pemodelan sinyal dari ketiga sinyal tersebut.
Gambar 4.18 Bentuk sinyal asli dan bentuk spectrum sinyal dari sinyal windows battery critical.
Simulasi pada Gambar 4.19 disimulasikan dengan jumlah M = 5 dan p = 3. Dari hasil simulasi tersebut dapat dilihat perbedaan yang cukup sigfnifikan dibandingkan dengan hasil simulasi pada Gambar 4.13. Pada saat menggunakan tiga sinyal yang berbeda bentuk pemodelan sinyal menghasilkan grafik dengan puncak maksimum 130 dB. Hasil tersebut juga memperlihatkan spurious peak yang relatif lebih kecil dari hasil simulasi pada Gambar 4.13.
4.3.2 Hasil simulasi dengan metoda AR (Yule-Walker, Burg,
Covarian, Modifikasi Covarian).
Gambar 4.20 menunjukkan hasil simulasi dengan metoda Yule-Walker, Burg, Covarian, Modifikasi Covarian. Simulasi tersebut dihasilkan dengan jumlah sample data sebanyak 2000 data.
Gambar 4.19 Bentuk sinyal asli dan pemodelan sinyal untuk tiga jenis sinyal yang sama.
Jumlah orde yang digunakan pada simulasi metoda pembanding ini adalah 5 dan file yang dievaluasi adalah windows battery critical.wav. Hasil simulasi tersebut menunjukan bahwa metoda Y-W menghasilkan grafik yang berbeda dengan metoda AR yang lainnya. Apabila dibandingkan dengan hasil simulasi dengan aloritma MUSIC pada Gambar 4.19, puncak maksimum hasil yang dicapai dengan metoda AR ini jauh lebih rendah, yaitu pada 0 dB. Frekuensi yang dihasilkan adalah 0.1 Hz. Hal ini disebabkan karena pada simulasi dengan algoritma MUSIC menggunkan tiga sinyal masukan sedangkan pada simulasi dengan metoda AR hanya menggunakan satu sinyal masukan. Jadi hasil yang dicapai pada simulasi dengan algoritma MUSIC berlipat hingga tiga kali sehingga menghasilkan puncak maksimum dan frekuensi yang jauh lebih besar dari hasil simulasi dengan metoda AR.
4.3.3 Pendugaan frekuensi
Dari hasil simulasi yang telah dijelaskan diatas, kita dapat melihat berbagai macam bentuk pemodelan dengan barbagai variasi. Pada sub bab ini kita akan membahas berapa besar frekuensi yang dihasilkan dari pendugaan frekuensi (dengan masukan yang berbeda) yang telah didapat dari hasil simulasi diatas. Gambar 4.21 menunjukkan grafik spketrum pada gambar 4.11 yang diperbesar.
Puncak maksimum pada grafik spektrum sinyal asli tersebut pada 10.4 dB. Frekuensi yang dihasilkan adalah 59 Hz. Gambar 4.22 menunjukkan grafik pemodelan sinyal pada Gambar 4.12 yang diperbesar.
Gambar 4.21 Grafik spektrum sinyal asli.
Puncak maksimum grafik pemodelan sinyal pada Gambar 4.22 adalah 95.5 dB. Frekuensi yang dihasilkan pada simulasi tersebut adalah 55 Hz. Gambar 4.23 menunjukkan grafik pemodelan sinyal Gambar 4.13 yang diperbesar.
Puncak maksimum grafik pemodelan sinyal pada Gambar 4.22 adalah pada titik 117 dB. Frekuensi yang dihasilkan adalah 54 Hz. Gambar 4.24 menunjukkan grafik pemodelan sinyal Gambar 4.14 yang diperbesar.
Pada pemodelan sinyal yang diperlihatkan Gambar 4.24 menghasilkan dua puncak maksimum yang sama besar. Hal ini yang disebut sebgai spectral line splitting dimana terdapat dua puncak maksimum yang sama besar sehingga susah
Gambar 4.23 Grafik pemodelan sinyal dengan M = 5 dan p = 3.
untuk membedakan mana sinyal yang asli dan mana sinyal yang palsu. Hal ini disebabkan karena kecilnya jarak antara dimensi matrik dan compelx exponential. Pendugaan frekuensi pada pemodelan sinyal ini tidak bisa dilakukan. Gambar 4.25 menunjukkan grafik pemodelan sinyal pada Gambar 4.15 yang diperbesar.
Pemodelan sinyal yang diperlihatkan pada Gambar 4.25 menghasilkan spurious peaks. Grafik ini memperlihatkan puncak maksimum yang terbagai menjadi tiga. Puncak maksimum yang dihasilkan adalah 145 dB. Frekuensi yang dihasilkan adalah 56 hz. Gambar 4.26 menunjukkan pemodelan sinyal pada Gambar 4.16 yang diperbesar.
Pemodelan sinyal yang diperlihatkan Gambar 4.26 menghasilkan tiga puncak. Dua puncak yang sama disebut spectral line splitting dan satu puncak yang lain disebut spurious peaks. Seperti pada gambar 4.24, pendugaan frekuensi pada pemodelan sinyal ini juga tidak bisa dilakukan karena muncul dua puncak maksimum yang sama besar. Gambar 4.27 menunjukkan pemodelan sinyal pada Gambar 4.17 yang diperbesar.
Gambar 4.26 menghasilkan dua puncak maksimum yang hampir sama besar, sehingga pendugaan frekuensi masih bisa dilakukan. Pncak maksimumnya adalah 178 dB dan frekuensi yang dihasilkan adalah 53 Hz. Gambar 4.28 menunjukkan grafik spektrum sinyal asli pada gambar 4.18 yang diperbesar, dengan tiga masukan yang sama yaitu windows XP battery critical.
Puncak maksimum yang dihasilkan dari grafik tersebut hampir sama dengan spektrum sinyal asli dengan tiga masukan yang berbeda, yaitu 11 dB. Frekuensi yang dihasilkan adalah 13 Hz, berbeda jauh dibanding dengna spektrum sinyal asli dengan tiga masukan yang berbeda (59 Hz). Gambar 4.29
menunjukkan pemodelan sinyal dengan tiga masukan yang sama, dengan M = 5 dan p = 3.
Gambar 4.28 Grafik spektrum sinyal asli dengan tiga masukan yang sama.
Gambar 4.29 Grafik pemodelan sinyal (tiga masukan yang sama) dengan M = 5 dan p = 3.
Bab V
Kesimpulan dan Saran
5.1
Kesimpulan
Dari hasil simulasi dengan metoda AR dan algoritma MUSIC, dapat disimpulkan bahwa :
1. Simulasi dengan jumlah M dan p yang kecil dapat menghasilkan pemodelan sinyal tanpa spectral line splitting dan spurious peaks.
2. Semakin besar jumlah M dan p, maka semakin besar pula magnitude yang dihasilkan dan jumlah spurious peaks pun semakin banyak.
3. Jika jarak antara jumlah M dan p sempit, akan menghasilkan spectral line splitting.
4. Hasil simulasi antara satu sinyal dan tiga buah sinyal menghasilkan pemodelan sinyal yang hampir sama dalam bentuk tetapi memiliki perbedaan yang sangat jauh pada puncak maksimumnya.
5. Jumlah nilai M = 10 dan p = 5 adalah pemodelan sinyal yang paling ideal, karena menghasilkan frekuensi, yaitu 56 hz, yang mendekati dari sinyal aslinya (59 Hz).
5.2
Saran
Untuk pengembangan selanjutnya dapat disarankan untuk memakai metode root MUSIC dan RAP MUSIC sebagai alternative selain menggunakan algoritma MUSIC.
Daftar Pustaka
[1] Pisarenko, V. F. (1973) ”The Retrieval of Harmonics from a Covariance Fucntion,” Geophys. J. R. Astron. Soc., vol. 33, pp. 347-366.
[2] Schmidt, R.O, "Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation," IEEE Trans. Antennas Propagation, Vol. AP-34 (March 1986), pp. 276-280.
[3] Mosher, J.C.; Leahy, R.M., "Source localization using recursively applied and projected (RAP) MUSIC", IEEE Transactions on Signal Processing, Volume: 47 2 , Feb. 1999, Page(s): 332 -340.
[4] Cadzow, J. A. (1982). “Spectral Estimation: An Overdetermined Rational Model Equation Approach,” Proc. IEEE, vol. 70, pp. 907-938, September. [5] http://en.wikipedia.org/wiki/Autocovariance_matrix
[6] Cadzow, J. A (1981). “Autoragresive-Moving Average Spectral Estimation: A Model Equation Error Procedure,“IEEE Trans. Geosciene Remote Sensing, vol GE-19, pp. 24-28. January.
[7] Cadzow, J. A. (1979). “ARMA Spectral Estimation: An Efficient Closed-form Procedure,” Proc. RADC Spectrum Estimation Worksop, pp. 81-97, Rome N.Y., October.
[8] http://www-rohan.sdsu.edu/doc/matlab/toolbox/signal/spectr9a.html [9] Stoica, P., and R.L. Moses, Introduction to Spectral Analysis,
[10] Marple, S.L. Digital Spectral Analysis, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1987, pp. 373-378.
[11] http://www-scf.usc.edu/~esen/reports/Report3.htm
[12] NN.Forelas07: Spectrum Estimation (2). 2003.
www.signal.uu.se/courses/CoursesDis/SignalbeHandlingIT/forelas0
7.pdf
[13] Proakis, John G. and Monolakis, Dimitris G. Introduction to Digital Signal Processing. New York: Macmillan Publishing Company. 1988.
