Metode Numerik Roosenberg

(1)

Metode Numerik Roosenberg

Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Prodi S1 Pendikan Matematika UMT email: [email protected]

(2)

Metode Numerik Roosenberg

Algoritma Roosenberg

Contoh Penyelesaian Masalah Optimisasi dengan Roosenberg

Penyelesaian Dengan Analitik

(3)

Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x1, x2} ∈ R2 _yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X )

I Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial ,Stepest Descent,Hook and Jeeve, Arah Konjugasi atau atau Newton 2

I Tentu saja setiap metode numerik memilki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektivitas pencarian O (Big Oh)yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula

(4)

(5)

(6)

Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:

I Diberikan fungsi Z = F (x1, x2) dan akan ditentukan nilai X = {x1.x2} yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x1, x2) tersebut

I Ambil sembarang titik awal X1 = {x1, x2} ∈ R2

I Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi

I Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)

I Cari λk dengan cara λk = minZ (Xk+ λkdk)

I nilai Xk+1 ditentukan dengan Xk+1 = Xk + dk

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

I nilai Xk+1 ditentukan dengan Xk+1 = Xk+ dk

(13)

I nilai Xk+1 ditentukan dengan Xk+1 = Xk+ dk

(14)

lanjutan

I Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial dengan dk = (1, 0) untuk arah ganjil dan d2k = (0, 1) untuk arah genap, dalam metode Roosenberg ini d2k+1= _||bbk_k_|| untuk k ganjil dan d2k= ||bbkk|| untuk k genap

(15)

lanjutan

I Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial dengan dk = (1, 0) untuk arah ganjil dan d2k = (0, 1) untuk arah genap, dalam metode Roosenberg ini d2k+1= _||bbk_k_|| untuk k ganjil dan d2k= ||bbkk|| untuk k genap

(16)

Contoh Penggunaan Roosenberg

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimalkan

Z (x1, x2) = 2x₁2+ x₂2− 3x1− x2 dengan menggunakan metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan = 0.01

Solusi

I Ambil sembarang titik awal X1 = {0, 1} ∈ R2

I Arah pencarian d1= (1, 0) dan d2 = (0, 1) serta = 0.01

I nilai λ1 dapat dicari sebagai berikut λ1= min Z X1+ λ1d1

= min Z ((0, 1) + λ1(1, 0)) = min Z (λ1, 1)

(17)

Solusi

= min Z ((0, 1) + λ1(1, 0)) = min Z (λ1, 1)

(18)

Solusi

= min Z ((0, 1) + λ1(1, 0)) = min Z (λ1, 1)

(19)

lanjutan

I Derivatifkan Z (0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ1 = 3₄. Berdasarkan hal tersebut

X2= X1+ λ1d1= 3

4, 1

I karena norm ||X2− X1|| = 3₄ > 0.01 = ,maka iterasi dilanjutkan

I Dengan cara serupa diperoleh λ2= −1₂ dan X3 = {3₄,1₂} dengan norm ||X3− X2|| = 1₂ > 0.01 = , jadi iterasi dilanjutkan

(20)

lanjutan

X2= X1+ λ1d1= 3

4, 1

I Dengan cara serupa diperoleh λ2= −1₂ dan X3 = {3₄,1₂} dengan norm ||X3− X2|| = 1₂ > 0.01 = , jadi iterasi dilanjutkan

(21)

lanjutan

X2= X1+ λ1d1= 3

4, 1

I Dengan cara serupa diperoleh λ2= −1₂ dan X3= {3₄,1₂} dengan norm ||X3− X2|| = 1₂ > 0.01 = , jadi iterasi dilanjutkan

(22)

lanjutan

I Untuk mencari X4, diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d2k+1= ||bbkk||) dan apabila dicari nilai d4

diperoleh nilai d4= (√2 13,

3 √

13) . Hal ini dapat dicek dengan d2k = ||bbkk||

I Dengan demikian nilai X4 adalah X4= (3₄,1₂)

I Dengan norm ||X4− X3|| = 0 < 0.01 = , iterasi stop.

I Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X4= {3₄,1₂}

I Catatan

Perlu diperhatikan bahwa, karena norm

||X4− X3|| = 0 < 0.01 = hal ini mengindikasikan kesalahan perhitungan numerik eror = 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.

(23)

lanjutan

3 √

I Catatan

(24)

lanjutan

3 √

I Catatan

(25)

lanjutan

3 √

I Catatan

(26)

lanjutan

3 √

I Catatan

(27)

Diketahu Z (x1, x2) = 2x₁2+ x₂2− 3x1− x2 dan akan ditentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimumkan fungsi Z = F (x1, x2) tersebut

Solusi ∂Z ∂x1 = 4x1− 3; ∂Z ∂x2 = 2x2− 1 Karena ∂Z_X

1 = 0 dan juga kerena

∂Z X2 = 0, maka diperoleh x1 = 3 4 dan x2 = 1₂ lebih lanjut ∂2_Z ∂x12 = 4; ∂2_Z ∂x22 = 2

(28)

Diketahu Z (x1, x2) = 2x₁2+ x₂2− 3x1− x2 dan akan ditentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimumkan fungsi Z = F (x1, x2) tersebut Solusi ∂Z ∂x1 = 4x1− 3; ∂Z ∂x2 = 2x2− 1 Karena ∂Z_X

(29)

(30)

(31)

(32)

lanjutan karena ∂_∂x2Z2 1 = 4 > 0 dan ∂2_Z ∂x2 1( ∂2_Z ∂x2 1) − ( ∂2_Z ∂x1∂x2) 2 _{= 8 > 0, maka} terbukti bahwa titik {3₄,1₂} merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = {x1, x2} dalam soal ini. Q.E.D

(33)

Sekilas Tentang Penulis

Rukmono Budi Utomo lahir di Tangerang, 26 September 1991 dan merupakan anak ke-2 dari 2 bersaudara. Penulis menamatkan sekolah antara lain:

I S1 Matematika Undip (2013)

I S2 Matematika UGM (2015)

Saat ini penulis merupakan dosen di prodi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang (UMT) sekaligus

mahasiswa program Doktoral Matematika ITB. Kontak : 085741511571, email:[email protected]