MODUL 1 GEJALA TRANSIEN

1.1 MODUL 1

GEJALA TRANSIEN

Pendahuluan 1. Deskripsi Singkat

Bab ini akan membahas tentang kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi.

2. Manfaat

Memahami gejala transien pada elemen pasif kapasitor dan induktor. 3. Relevansi Topik

Bab Rangkaian Gejala Transien ini merupakan bagian awal sebelum membahas analisis rangkaian orde satu RL dan RC.

4. Kompetensi Khusus

Memahami kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi.

5. Topik yang Dibahas

Elemen penyimpan energi, pengertian gejala transien, serta periode transien dan rangkaian steady state.

Penyajian

1.1 Elemen penyimpan energi

Elemen penyimpan energi merupakan elemen yang menyimpan muatan listrik dalam elemen-elemennya.

a. Kapasitor (C)

Kapasitor merupakan elemen yang memerlukan arus sebanding dengan turunan waktu tegangan diantara kutub – kutubnya.

Secara fisis, terdapat dua lempeng sejajar, yang satu bermuatan positif dan yang lain bermuatan negatif seperti gambar 1.1.

dima Kons Nilai dari Satua ditul berm Pada muat arus d d i= Kala perge C i= ana : C d = jarak ε = konst A = luas stanta dielek i konstanta o r _ε ε ε = di an dari kapa iskan sebaga macam-maca a saat diberi tan q berpin positif maka dt dq ………… au muatan t erakan sumb dV dt dV C → = Tabe d A C=

ε

…… antar lempe tanta dielektr lempengan ktrik (ε) untu diatas meru imana εo ada asitor/kapasi ai berikut : m. i tegangan V dah, jika mu a : ……… tersebut din ber positif : dt C 1 = …… el 1.1 Konstan Gamba ……… engan rik uk beberapa j upakan perm alah permitiv itansi disebu V C q= • . B V, maka ad uatan positif ……… nyatakan seb ……… nta dielektrik be ar 1.2 Model fis ……… jenis bahan mitivitas rela vitas ruang h ut : Volt Coulom Bentuk dari da arus i ya f (q+) diangg ……… bagai arah ……… eberapa jenis b sik kapasitor …………. (1 sebagai beri atif, εr, yang hampa (=8,8 Farad mb = , kapasitor se ang mengali gap searah d ….……… (2) arus positif ………… (3) bahan 1.2 ) kut : g diperoleh 5 x 10-1_). atau dapat endiri dapat ir sehingga engan arah ) f dari arah )

1.3

∫

=

∫

→ =

∫

idt C V dt i C dV 1 1 ……….(4)

dan simbol untuk kapasitor adalah :

dengan V

q C= .

i. Energi yang tersimpan dalam kapasitor

Untuk menghitung energi yang tersimpan dalam kapasitor dapat menggunakan persamaan berikut :

∫

∞ − = t c Vidt W dimana dt dV C i=

∫

∞ − • = t dt dt dV C V

∫

∞ − • = tV CdV ) ( ) ( 2 2 1 V t V t CV dV V C −∞ ∞ − = =

_∫

………. (5)

pada saat t = t, V(t) = Vo karena kapasitor sudah diisi, sedangkan pada

saat t = -∞, V(-∞) = 0 karena kapasitor belum diisi. ii. Kapasitor hubungan seri-paralel

ƒ Hubungan seri

Dapat dilihat pada gambar berikut ini :

menurut aturan Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) :

n V V V V V = ₁+ ₂+ ₃+...+ ……… (6) Gambar 1.3 Simbol untuk kapasitor

1.4

∫

= i dt C V ₁ 1 1 1 _,

∫

= i dt C V ₂ 2 2 1 _{, …,}

∫

= i dt C V _n n n 1 _{………. (7)} karena i₁=i₂ =...=i_n, maka

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = t t n _o dt i C C C V 1 1 ... 1 2 1 ……… (8)

Apabila i adalah variabel peubah terhadap dt dV , maka

∫

+ = idt V_o C

V 1 , dimana Vo = harga awal dari kapasitor.

Jadi, _⎟⎟

∫

+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = t t o n _o V dt i C C C V 1 1 ... 1 2 1 ………….…..….. (9) bila hanya diwakili satu kapasitor maka

∫

+ = o s V dt i C V 1 ……… (10) dimana n s C C C C 1 ... 1 1 1 2 1 + + + = ………..………. (11) ƒ Hubungan paralel

Dapat dilihat pada gambar 1.6 berikut ini :

menurut aturan Kirchhoff’s Current Law (KCL) :

n I I I I I = ₁+ ₂+ ₃+...+ ………..………. (12) dt dV C I₁ = ₁ 1, dt dV C I₂ = ₂ 2 , …, dt dV C I n n n = ……….…. (13)

Gambar 1.5 Rangkaian ekivalen dari hubungan seri kapasitor

1.5 karena V1=V2 =...=Vn, maka dt dV C dt dV C dt dV C I = ₁ + ₂ +...+ _n

(

)

dt dV C C C + + + _n = _{1 2} ... ………..… (14)

bila hanya diwakili satu kapasitor maka

dt dV C I= _p ………..….. (15) dimana C_p =C₁+C₂+...+C_n………...….. (16) b. Induktor (L)

Induktor merupakan elemen yang membutuhkan tegangan sebanding dengan turunan waktu atau kecepatan perubahan arus yang mengalir didalamnya.

Bentuk fisis dari induktor berupa lilitan kawat seperti gambar 1.8 :

dalam bentuk persamaan dapat dituliskan :

dt di L

V = , dengan satuan Henry (H), dimana arus i yang melewati L berubah terhadap waktu t. Persamaan dari L sebagai berikut :

d A N L o 45 , 0 2 + = l

µ

………..…. (17) dimana : N = jumlah lilitan,

A = luas penampang ℓ = panjang lilitan

Gambar 1.7 Rangkaian ekivalen dari hubungan paralel kapasitor

1.6 d = diameter kawat

µo = 4πx10-7

Menurut hukum Faraday : “perubahan fluks menyebabkan perubahan tegangan induksi pada setiap lilitan yang sebanding dengan turunan fluks”. Hal ini dapat dilihat pada gambar 1.9 :

dimana dt d N V =

φ

.

Fluks Φ(t) berhubungan dengan arus i dalam kumparan yang mengandung N lilitan. Jadi, N(Φ) mendekati L.i, berikut persamaannya :

i L N

φ

≈ • , sehingga dt di L V =

∫

∫

= → = Vdt L di Vdt L di 1 1 o I Vdt L

i= 1

∫

+ dengan Io = harga awal dari induktor.

i. Hubungan seri induktor

Hubungan seri induktor dapat dilihat pada gambar berikut :

menurut KVL : n V V V V V = ₁+ ₂+ ₃+...+ dt di L dt di L dt di L n n + + + = 2 ... 2 1 1 dimana I =I₁ =I₂=...I_{n sehingga :}

(

)

dt di L L L V = ₁+ ₂+...+ _n ……….…..……. (18) Gambar 1.9 Model induktor menurut hukum Faraday

1.7 atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen seperti gambar berikut :

dimana dt di L V = _s ………..…. (19) dengan Ls =L1+L2+...+Ln ………...…. (20)

ii. Hubungan paralel induktor

Hubungan paralel induktor dapat dilihat pada gambar 1.12 :

menurut KCL : n I I I I I = ₁+ ₂+ ₃+...+ n V V V₁ = ₂ =...= o I dt V L I =

∫

₁ + 1 1 1 . . . o n n n V dt I L I = 1

∫

+ , sehingga

∫

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = t t o n o I dt V L L L I 1 1 ... 1 2 1 ……….…… (21)

atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen sebagai berikut : Gambar 1.11 Rangkaian ekivalen untuk hubungan seri induktor

Gambar 1.12 Hubungan paralel untuk induktor

1.8 dimana _o p I Vdt L I = 1

∫

+ ………..….. (22) dengan n p L L L L 1 ... 1 1 1 2 1 + + + = ……….. (23)

c. Hubungan antara tegangan V dan arus I pada elemen R, L dan C 1. Resistor (R)

Simbol rangkaian dari resistor seperti gambar 1.14 :

dimana V =i•Rdan R V i= 2. Induktor (L)

Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :

dimana dt di L V = dan _o t t V dt V L i o + = 1

_∫

3. Kapasitor (C)

Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :

dimana _o t t I dt i C V o + = 1

_∫

dan dt dV C i= . Contoh soal 1.1 :

Tentukan arus i untuk kapasitor 1mF apabila tegangan yang melewatinya menghasilkan gelombang seperti gambar 1.17 :

Gambar 1.14 Simbol rangkaian resistor

Gambar 1.15 Simbol rangkaian induktor

1.9 Penyelesaian : pada : t ≤ 0 , V = 0 0 < t ≤ 1, V = 10t 1 < t ≤ 2, V = (20-10t) t > 2, V = 0

diketahui C = 1 mF = 10-3 F dan menurut persamaan

dt dV C i= pada : t ≤ 0 maka i = 0 A 0 < t ≤ 1 maka i = 10-2 _A 1 < t ≤ 2 maka i = -10-2 A t > 2 maka i = 0

sehingga hasilnya ditunjukkan gambar 1.18 :

1.2 Pengertian gejala transien

Gejala transien/rangkaian transien mempelajari tentang suatu rangkaian yang dikenakan ke suatu sumber tegangan (secara tiba-tiba). Akan ditinjau pengaruh yang terjadi pada saat awal suatu rangkaian diberi rangsangan dan hubungan pengaruh tersebut dengan tanggapan terpaksa (forced response) dan tanggapan alamiah (natural response).

Gambar 1.17 Bentuk gelombang tegangan dari kapasitor untuk contoh soal 1.1

1.10 Kapan saja sebuah rangkaian diubah dari satu keadaan (kondisi) ke keadaan lainnya, entah karena perubahan sumber terpasang atau perubahan dalam elemen-elemen rangkaian, terdapat suatu periode peralihan (transisi/transien) selama mana arus-arus cabang dan tegangan-tegangan elemen berubah dari nilai semula menjadi nilai yang baru. Periode ini disebut ‘peralihan’ (transien). Setelah peralihan berlaku, keadaan rangkaian disebut ‘menjadi tunak’ atau ‘keadaan mantap’ (steady state). Sekarang, persamaan diferensial linear yang menjelaskan rangkaian akan mempunyai dua bagian penyelesaian. Pemecahan persamaan diferensial menggambarkan respons rangkaian, dan ini dikenal dengan berbagai nama seperti berikut :

- Respons tanpa sumber dikenal sebagai respons alami, respons transien, respons bebas, atau fungsi komplementer.

- Respons rangkaian yang dikenakan suatu sumber bebas, sebagian respons menggambarkan sifat sumber khusus yang dipakai, bagian respons ini dinamai respons paksaan atau solusi khusus.

- Komplemen antara respons rangkaian tanpa sumber dan respons rangkaian dengan sumber disebut respons lengkap.

- Jadi, respons lengkap = respons alami + respons paksaan

- Sebagai catatan, fungsi komplementer berhubungan dengan peralihan, dan solusi khusus berhubungan dengan keadaan tunak.

1.3 Periode transien dan Rangkaian Steady State

a) Keadaan C dan L pada saat mula-mula dan saat setelah lama sekali (t=0+ dan t=∞)

Induktor (L) dan kapasitor (C) adalah elemen-elemen pasif yang mampu menyimpan dan memberikan energi yang terbatas jumlahnya.

ƒ Induktor

Jenis elemen rangkaian ini memerlukan tegangan antara kutub-kutubnya yang adalah sebanding dengan kecepatan perubahan arus yang melaluinya terhadap waktu. Secara kuantitatif dapat dituliskan,

dt di L

1.11 Konstanta pembanding L adalah induktansi. Induktansi melawan perubahan arus. Dari persamaan (25) memperlihatkan bahwa tidak ada tegangan melintasi sebuah induktor yang menyangkut arus konstan, tak peduli berapa besar arus tersebut. Karena itu, kita dapat memandang sebuah induktor sebagai sebuah ‘hubungan pendek bagi dc’.

Kalau digambarkan apa yang sudah dibahas di atas tentang induktor : - pada saat t=0, saklar S ditutup.

Sifat dari L selalu menentang akibat yang menimbulkannya.

- pada saat t=0+_{, L dinyatakan sebagai open circuit (hubungan}

terbuka).

- setelah cukup lama (t=∞), L dinyatakan sebagai short circuit (hubungan singkat).

ƒ Kapasitor

Jenis elemen rangkaian ini memerlukan arus yang melaluinya sebanding dengan turunan waktu tegangan antara kutub-kutubnya. Secara kuantitatif dapat dituliskan,

Gambar 1.19 Rangkaian induktor untuk t = 0

Gambar 1.20 Rangkaian induktor untuk t = 0+

1.12 dt

dV C

i= Ampere ……… (25)

Konstanta pembanding C adalah kapasitansi (menyatakan sifat penyimpanan muatan dalam elemen itu). Kapasitansi menentang perubahan tegangan. Sebuah tegangan konstan yang melalui kapasitor memerlukan arus nol melalui kapasitor tersebut. Jadi, kapasitor adalah ‘rangkaian terbuka bagi dc’. Kalau digambarkan hal-hal tentang kapasitor di atas :

- pada saat t=0, saklar S ditutup. Tegangan E mulai mengisi kapasitor.

- pada saat t=0+, C dinyatakan sebagai short circuit.

- Setelah cukup lama (t=∞), C dinyatakan sebagai short circuit.

Contoh soal 1.2 :

Induktansi dibangkitkan oleh suatu sumber arus sempurna seperti berikut. Gambar 1.22 Rangkaian kapasitor untuk t = 0

Gambar 1.23 Rangkaian kapasitor untuk t = 0+

Gambar 1.24 Rangkaian kapasitor untuk t = ∞

1.13 Bentuk gelombang arus sebagai fungsi waktu seperti berikut :

Gambarkan bentuk gelombang tegangan V sebagai fungsi waktu ! Penyelesaian :

- Bentuk gelombang tegangan :

dt di L

V = volt.

b) Kondisi awal pada L dan C ƒ Induktor

- Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2.

- Pada saat saklar di titik 1, keadaan L seperti berikut. Io merupakan

kondisi awal dari L.

Gambar 1.26 Bentuk gelombang arus dari induktor untuk contoh soal 1.2

Gambar 1.27 Hasil bentuk gelombang tegangan dari induktor

Gambar 1.28 Rangkaian induktor untuk kondisi awal

1.14 - Pada saat t=0+ (saklar sudah berada di titik 2), Io merupakan

kondisi awal dari L dan L dinyatakan open circuit.

- Pada saat t=∞, kondisi awal Io makin berkurang sehingga akhirnya

Io=0 dan L digambarkan short circuit.

ƒ Kapasitor

- Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2.

- Pada saat saklar di titik 1, keadaan C seperti berikut. Eo merupakan

kondisi wal dari C.

- Pada saat t=0+ (saklar sudah berada di titik 2), Eo merupakan

kondisi awal dari C dan C dinyatakan short circuit. Gambar 1.30 Rangkaian induktor saat t = 0+

Gambar 1.31 Rangkaian induktor saat t = ∞

Gambar 1.33 Rangkaian kapasitor saat saklar di titik 1 Gambar 1.32 Rangkaian kapasitor untuk kondisi awal

1.15 - Pada saat t=∞, kondisi awal Eo makin berkurang sehingga akhirnya

Eo=0 dan C digambarkan open circuit.

Contoh soal 1.3 :

Pada saat t=0, saklar S ditutup. Pada saat t=0+, kapasitor 4F menjadi short circuit dan induktor 3H menjadi open circuit. Pada saat t=∞, kapasitor 4F menjadi open circuit dan induktor 3H menjadi short circuit.

Tentukan : arus i pada masing-masing loop pada saat t=0 dan t=∞ !

Penyelesaian :

- Pada saat t=0+, rangkaian menjadi seperti berikut :

i4 = 0A, Voc = 10v

Gambar 1.34Rangkaian kapasitor saat t = 0+

Gambar 1.35 Rangkaian kapasitor saat t = ∞

Gambar 1.36 Rangkaian untuk contoh soal 1.3

1.16 Ω = + × = 1 2 2 2 2 p R Rs = Rp + 1Ω = 2Ω s oc R V i₁= = 5A, 5 2 2 2 2 2 2 1 2 = ₊ ×i = ₊ × i = 2,5A, _{3 1} 2 2 2 i i × + = = 2,5A

- Pada saat t=∞, rangkaian menjadi seperti berikut :

atau dapat disederhanakan seperti berikut :

untuk mencari I1 dan I2, gunakan persamaan berikut :

3I1 – 2I2 = 10

-2I1 + 2I2 = 0

dengan menggunakan metode determinan kita peroleh I1 dan I2 :

A I 10 2 20 2 2 2 3 2 0 2 10 1 = = − − − = dan I 10A 2 20 2 2 2 3 0 2 10 3 2 = = − − − =

i3 = I1 – I2 = 10 – 10 = 0A; i1 = I1 = 10A; i2 = 0A; i4 = i1 = 10A.

Latihan

1. Turunkan rumus untuk rangkaian ekivalen dari rangkaian seri kapasitor berikut ini !

Gambar 1.38 Rangkaian untuk contoh soal 3 saat t = ∞

2 3 4 R D k t P T 2 2. Turunka berikut i 3. Jelaskan dan t = ∞ 4. Jelaskan 0+ dan t Rangkuman Dua elemen keduanya di terjadi dua p Penutup Test format 1. Dalam

( )

₀+ _, v_C 2. Terdapat an rumus un ni ! n kondisi ind ∞ ! n kondisi kap = ∞ ! n n pasif pen iberi eksitas periode yaitu tif rangkaian

( )

₀+ _,

(

dv i_{C C} t bentuk gel ntuk rangka duktor dalam pasitor dalam nyimpan ene si berupa su u periode tran berikut

)

( )

₀+ _, da dt lombang aru ian ekivalen m suatu rangk m suatu rang ergi adalah umber tegang nsien dan ste

ini nilai

(

di dt

)

(

0 an _C us dari suatu n dari rangk kaian dengan gkaian deng kapasitor d gan atau sum eady state ( a

( )

⎩ ⎨ ⎧ = c 6 12V t v

)

+ 0 . induktor sep kaian parale n tegangan u gan tegangan dan indukto mber arus, m atau keadaan ≥ < 0 , os 0 , t t t V . perti berikut 1.17 el induktor untuk t = 0+ n untuk t = or. Apabila maka akan n mantap ). Tentukan t :

1.18 Gambarkan bentuk gelombang daya sesaat P sebagai fungsi waktu !

3. Terdapat rangkaian seperti berikut :

Tentukan tegangan eL pada saat t = 0 dan t = ∞ !

Umpan Balik

Cocokan jawaban anda dengan Kunci Jawaban. Hitunglah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Modul 1.

Rumus :

% 100

3 ×

= Jumlah jawabananda yangbenar Penguasaan

Tingkat

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 90 – 100 % = baik sekali

80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang

Tindak Lanjut

Bila anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan ke materi selanjutnya. Tetapi bila tingkat penguasaan anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi modul 1, terutama bagian yang belum anda kuasai.

Kunci jawaban 1. Jawabannya :

( )

( )

(

)

( )

(

di dt

)

( )

A dtk dan dtk V dt dv A i V v C C C C 1 0 , 3 0 , 4 3 0 , 9 0 = − = − = = + + + +

1.19 2. Bentuk gelombang daya sesaat P sebagai fungsi waktu :