matematika wajib ATURAN SEGITIGA K e l a s Kurikulum 2013

(1)

matematika wajib

ATURAN SEGITIGA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami aturan sinus dan kosinus, serta pembuktiannya.

2. Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus dalam pemecahan masalah matematika maupun masalah nyata.

3. Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan luas segitiga.

4. Dapat menyelesaikan masalah matematika maupun masalah nyata yang berkaitan dengan luas segitiga.

X

K

e

l

a

s

LUAS SEG ITIGA A TURAN SINUS ATURAN KOSINUS_b 2 = a2 + c2 – 2ac . cos B c2 = a 2 + b 2 – 2a b co s C B A C a ? ? b c L=12ac sinB L bc =1 2 sinA L=1ab 2 sinC cos C= + 2 2 2 2 a b c ab − cos B= + 2 2 2 2 a c b ac − a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A} cos A= + 2 2 2 2 b c a bc − a b c

sin A=sin B=sin C

Kurikulum 2013

(2)

2

A. Aturan Sinus

Untuk sembarang segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku aturan sinus berikut.

a b c

sinA=sinB=sinC

Pembuktian:

Perhatikan segitiga sembarang ABC dengan sisi AB = c, sisi BC = a, dan sisi AC = b. Pada sisi AB, ditarik garis tinggi h seperti gambar berikut.

C

A c D B

h

b a

Pada segitiga ADC, berlaku: sinA= → = ⋅h sinA

b h b

Pada segitiga BDC, berlaku: sinB= → = ⋅h sinB

a h a

Dengan proses substitusi, akan didapatkan:

b a b a ⋅ = ⋅ = sin sin sin sin A B B A

Jika proses yang sama dilanjutkan dengan menggunakan garis tinggi pada AC, akan didapatkan aturan sinus yang melibatkan semua sisi dan sudut. Syarat penggunaan aturan ini adalah soal harus melibatkan dua pasang sudut-sisi yang saling berhadapan, dengan salah satunya tidak diketahui.

(3)

3 Contoh Soal 1

Perhatikan gambar berikut!

A B

7 cm 8 cm

10 cm C

Jika nilai sin C = 1

3, nilai dari sin A dan sin B adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan aturan sinus berlaku: AB C AC B B B sin sin sin sin = = = 10 1 3 8 4 15

Kemudian dengan menggunakan aturan yang sama, diperoleh: AB C BC A A A sin sin sin sin = = = 10 1 3 7 7 30

Jadi, nilai sin A = 7

30 dan sin B = 4 15.

(4)

4

55°

44 m

56 m

Contoh Soal 2

Menara Pisa awalnya dibangun dengan tinggi 56 meter. Oleh karena rentannya tanah pada fondasi, maka terjadi kemiringan. Jika pada jarak 44 meter dari dasar menara diperoleh sudut elevasi sebesar 55°, berapakah derajat kemiringan menara Pisa dari posisi awalnya?

(soal aplikasi aturan sinus pada buku

“Algebra and Trigonometry edisi ketiga”

yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:

Persoalan aplikasi trigonometri di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut.

44 meter A B 55o x 56 met er C

Dengan menggunakan aturan sinus, akan didapatkan persamaan berikut. AB C AC B C C C sin sin sin sin sin sin sin , = = ° = ⋅ ° = = 44 56 55 44 55 56 0 6436 4 C 00 06, ° ≈40°

Dengan demikian, besar sudut A = 180° – (B + C) atau ∠A = 85°. Jadi, besar derajat kemiringannya adalah x = 90° – A = 5°.

(5)

5 _{Contoh Soal 3}

25,5o 1 mil

20,5o

Pada saat yang sama, sebuah balon udara terlihat oleh 2 orang teman yang terpisah sejauh 1 mil tepat di hadapan balon. Jika sudut elevasi dari dua orang ini berturut-turut adalah 20,5° dan 25,5°, berapakah tinggi balon udara pada saat itu? (soal aplikasi aturan sinus pada buku “Algebra

and Trigonometry edisi ketiga”

yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:

20,5o _25,5o

D A 1 mil B

x

C

Oleh karena besar ∠ABC = 180° – 25,5° = 154,5°, maka besar ∠ACB =180° – (20,5° + 154,5°) = 5°.

Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC, didapatkan persamaan berikut. AB C BC A BC BC BC sin sin sin sin , sin , sin = °= ° = ° ° ≈ 1 5 20 5 20 5 5 4

(6)

6

Perhatikan segitiga BDC! sin CBD sin CBD mil = = ⋅ = ⋅ ° ≈ x x x x BC BC 4 25 5 1 7 sin , ,

Jadi, ketinggian balon pada saat itu mendekati 1,7 mil.

B. Aturan Kosinus

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku aturan kosinus berikut.

a b c bc b a c ac c a b ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ c A c B c C os os os Pembuktian:

Perhatikan segitiga berikut!

A c b _a h D C B Pada segitiga siku-siku ADC, berlaku:

h2_{= b}2_{– AD}2 _{.... (1)}

Pada segitiga siku-siku BDC, berlaku: h2_{= a}2_{– BD}2 _{.... (2)}

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

b2_{– AD}2_{= a}2_{– BD}2

Oleh karena BD = c – AD, maka:

b a c b a c c a b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − − = − + ⋅ ⋅ − = + − ⋅ ⋅ AD AD AD AD AD AD ( )

(7)

7

Pada segitiga ADC berlaku AD = b.cos A, sehingga persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2.b.c.cos A.}

Dengan cara yang sama, akan diperoleh aturan-aturan kosinus lainnya.

Contoh Soal 4

A B C 10 cm 5 cm 30°

Panjang sisi BC pada gambar tersebut adalah ....

Pembahasan: A B C a b = 10 cm c = 5 cm 30°

Dengan menggunakan aturan kosinus, didapatkan:

BC2 2 2 2 A 2 2 2 2 2 10 5 2 10 5 30 125 100 1 = = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = − ⋅ a b b c a a c cos cos 22 3 125 50 3 5 5 2 3 a a = − = − cm

(8)

8 Contoh Soal 5

Pada suatu segitiga ABC diketahui a = 8, b = 6, dan c = 7. Tentukan besar masing-masing sudutnya!

Pembahasan:

Sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

a b b c b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 7 8 2 6 7 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ c cos cos c cos cos A A A A A A A = = ≈ ° − 0 25 0 25 76 1 , cos ( , )

Sudut B juga dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

b a c a c a c b a c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 7 6 2 8 7 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ cos cos cos cos B B B BB B B = = ≈ ° − 0 6875 0 6875 47 1 , cos ( , )

Sudut C cukup ditentukan dengan menggunakan sifat segitiga berikut.

_C _{A B} C C = ° − + = ° − ° + ° = ° 180 180 76 47 57 ( ) ( )

(9)

9 Contoh Soal 6

Sinus sudut terbesar pada segitiga PQR yang memiliki ukuran sisi PQ = 6, QR = 4, dan PR = 8 adalah ....

Pembahasan:

Diketahui sisi PQ = r = 6, QR = p = 4, dan PR = q = 8.

Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terbesar. Oleh karena itu, sudut yang dicari nilai sinusnya adalah ∠Q, dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:

q p p r p r q p r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 8 2 4 6 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ r cos cos cos cos Q Q Q Q Q = −1 4 6 4 8 P R Q

Oleh karena yang dicari adalah nilai sinusnya, maka tidak perlu mengetahui besaran sudutnya. Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:

sin cos sin sin Q Q Q Q = − = − = 1 1 1 16 1 4 15 2

Jadi, sinus sudut terbesarnya adalah 1 4 15 .

C. Aplikasi Aturan Kosinus

Contoh Soal 7

Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan jurusan tiga angka 102° dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232°. Jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam, hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam! (Soal pada buku pegangan Matematika kurikulum 2013 Semester 1)

(10)

10

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut! utara

A M

102° 232°

jarak kapal A dan B

B

Oleh karena kecepatan A 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 90 km. Oleh karena kecepatan B 45 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 135 km. Di lain pihak, besaran ∠AMB 232 102= ° − ° =130 . ° Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

AB AM BM AM BM M AB AB 2 2 2 2 2 2 2 90 135 2 90 135 130 20 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = cos cos 44 8, km

Jadi, jarak kedua kapal tersebut adalah 204,8 km.

Contoh Soal 8

Lapangan Baseball berbentuk persegi dengan panjang setiap sisinya 90 kaki. Jika tempat pelempar bola (pitcher) terletak 60,5 kaki dari tempat pemukul (home plate), maka berapa jauh jarak dari pelempar bola ke basis ketiga (third base)? (Contoh soal pada buku Algebra and Trigonometry edisi ketiga Cynthia Young)

(11)

11

basis kedua home plate tempat pelempar bola ? ? 60,5 kaki 90 kaki 45° 90 kaki 90 kaki 90 kaki basis pertama basis ketiga Pembahasan:

basis kedua home plate tempat pelempar bola ? ? 60,5 kaki 90 kaki 45o 90 kaki 90 kaki 90 kaki basis pertama basis ketiga A B C

Pada segitiga ABC, berlaku: BC AB AC AB AC BC BC 2 2 2 2 2 2 2 45 90 60 5 2 90 60 5 1 2 2 64 = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ cos , , kkaki

(12)

12 Contoh Soal 9

Sebuah satelit (S) pada orbit

T

R

C S

horison lingkaran di sekitar Bumi terlihat

dari stasiun pengawasan T (lihat gambar). Jika jarak TS yang ditentukan dengan radar adalah 1.034 mil dan sudut elevasi di atas ufuk adalah 32,4°, berapakah jarak satelit dari pusat bumi (C)

pada saat terlihat? (Jari-jari bumi adalah 3.964 mil). (Soal di buku College Algebra with

Trigonometry 9th ed. - R. Barnett, et. al., McGraw-Hill, 2011) Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut!

T R S horison C 32,4o

Diketahui ST = c = 1034 mil, CT = c = 3964 mil, CS = t, dan besar sudut STC:

∠ = ° + ° ∠ = ° STC STC 90 32 4 122 4 , ,

Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

t c s c s t 2 2 2 2 2 2 2 1034 3964 2 1034 3964 122 4 = + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° cos STC cos , tt ≈ 4601 62, mil

(13)

13

D. Luas Segitiga

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku rumus luas segitiga berikut.

Luas ABC∆ = ×1 ⋅ = × ⋅ = × ⋅ 2 1 2 1 2

ab sinC bc sinA ac sinB

Pembuktian:

A c b _a h D C B

Luas segitiga di atas (L) dapat dinyatakan dengan rumus berikut.

L L = × × = × × 1 2 1 2 AB CD c h

Pada segitiga ADC, berlaku: sinA= → =h sinA

b h b

Nilai h kamu substitusikan ke rumus luas, sehingga akan didapatkan: L=1c b⋅ ⋅ 2 sin A (terbukti).

Dengan cara yang sama dan dengan menggunakan aturan sinus, akan diperoleh rumus luas segitiga yang lainnya.

(14)

14 Contoh Soal 10

B 10 14 60o A C

Luas segitiga tersebut adalah ....

Pembahasan: B a = 10 c = 14 60o A C L a c L L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° = 1 2 1 2 10 14 60 35 3 sin sin B satuanluas

Jadi, luas segitiga di atas adalah 35 3 satuan luas.

Contoh Soal 11

Suatu segitiga ABC memiliki panjang sisi AB= 2cm BC, = 3cm, dan AC = 5 cm. Luas segitiga ABC adalah ....

(15)

15

Pembahasan:

A B C c = AB= 2 cmcm BC, = 3cm, a = AB= 2cm BC, = 3 cmcm, b = AC = 5 cm

Misalnya kamu hendak menggunakan rumus L= ⋅ ⋅ ⋅1 b c

2 sin A.

Nilai b dan c sudah diketahui, namun nilai sin A belum. Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh: a b c b c b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 3 2 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ =

( )

+

( )

−

( )

⋅ cos cos cos A A A 55 2 5 2 3 2 10 2 10 ⋅ = + − = cos cos A A

Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh: sin sin A A = −   _ = = 1 2 10 6 10 1 5 15 2

Dengan demikian, luas segitiga ABC adalah sebagai berikut:

L b c L L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 5 2 1 5 15 1 2 6 sin A cm2

(16)

16

Jadi, luas segitiga ABC adalah 1 2 6

2

cm .

Contoh Soal 12

Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki × 25 kaki memiliki bentuk seperti balok terbuka dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya. Jika dua bagian dari atap membentuk sudut 50° dan 33° dengan bidang datar sebagaimana dalam gambar, tentukan luas dari segitiga yang terbentuk tersebut! (Soal pada buku

Algebra and Trigonometry, edisi ketiga, Cynthia Young) x 50° a b 15 kaki 25 k aki 33° Pembahasan:

Perhatikan segitiga yang terbentuk pada atap tersebut!

A B a b 33° 50° c = 15 kaki C

(17)

17

Besar sudut C dapat ditentukan sebagai berikut. C C = ° − ° + ° = ° 180 33 50 97 ( )

Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh: c b b b b sin sin sin sin sin sin C= B °= ° = × ° ° ≈ 15 97 50 15 50 97 12 kaki

Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah sebagai berikut:

L b c L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ 1 2 1 2 12 15 33 49 2 sin sin A L kaki