Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

(1)

AKAR PERSAMAAN NON

LINEAR

Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :

0 2 + + = c bx ax ac b b ± 2 − 4 − Solusi : a ac b b x 2 4 12 − ± − =

Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh : 0 3 ) (x = e 3+2 − x = f x x

(2)

Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode

b b k b b k sebagai berikut : sebagai berikut : 1. GRAFIS 2. BISECTION 2. BISECTION 3. REGULA FALSI 4 SECANT 4. SECANT 5. NEWTON RHAPSON

6 ITERASI FIXED POINT

(3)

1 GRAFIS

1. GRAFIS

Merupakan metode mencari akar Merupakan metode mencari akar

dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan

yang bersangkutan C t h

Contoh :

Y = 2x2 _{– 3x -2}

(4)

Jawab:

¾Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f( ) x f(x) -1.40 6.12 -1.20 4.48 f(x) 8.00 -1.00 3.00 -0.80 1.68 -0.60 0.52 -0.40 -0.48 2.00 4.00 6.00 f(x ) -0.20 -1.32 0.00 -2.00 0.20 -2.52 0.60 -3.08 _-4.00 -2.00 0.00 f 0.90 -3.08 1.20 -2.72 1.50 -2.00 1.80 -0.92 2 10 0 2 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 X 2.10 0.52 2.40 2.32 2.70 4.48

(5)

2 BISECTION

2. BISECTION

• Metode ini melakukan pengamatan • Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x yang mempunyai perbedaan nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.

• Taksiran akar diperhalus dengan • Taksiran akar diperhalus dengan

cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut

(6)

F(x) x x1 x4 _x5 x x2 x3

(7)

Algoritma :

1) Pilih x) ₁₁ bawah dan x₂₂ puncak taksiran untuk p akar, sehingga perubahan fungsi mencakup

seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan : memastikan : 0 ) ( ). (x₁ f x₂ < f

2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :

2 1 x x + 2 2 1 x _r =

(8)

3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :

interval mana akar berbeda :

* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval

bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2

* Jik f( 1) f( 2) 0 k b d d b i

* Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali kelangkah 2

kelangkah 2

* Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan

dihentikan, atau bisa juga :

ε < ) ( ). (x₁ f x₂ f

(9)

Contoh : Contoh :

Carilah akar persamaan dari :

001 0 0 3 3 ) ( 3 2 d f (x) = x3 + x2 −3x −3 = 0, dengan ε = 0,001 f Penyelesaian: Hitung nilai f (x)

pada interval antara 2 titik

untuk x=1, ₍ = ₁₎ = ₍₁₎3 + ₍₁₎2 − ₃₍₁₎ − ₃ = −₄

x f

(10)

Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan

t d d i f i t 1 d 2 k

tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik

perpotongan antar sumbu x dan fungsi

p p g g

merupakan akar-akar persamaan.

hitung nilai _x _r , kemudian hitung fungsi ₍ ₎

r x f 5 1 2 1 2 1 + x + x 5 , 1 2 2 2 1 = = = x_r 875 1 3 ) 5 1 ( 3 ) 5 1 ( ) 5 1 ( ) 5 1 (x 3 + 2 f (x_r = 1,5) = (1,5) + (1,5) − 3(1,5) − 3 = −1,875 f

Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

(11)

Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x)

Tabel hasil perhitungan:

1 1.5 -1.875 2 1.75 0.171875 3 1.625 -0.943359 4 1.6875 -0.409424 5 1.71875 -0.124786 6 1 734375 0 02203 6 1.734375 0.02203 7 1.726563 -0.051755 8 1.730469 -0.014957 9 1 732422 0 003513 9 1.732422 0.003513 10 1.731445 -0.005728 11 1.731934 -0.001109 12 1 732178 0 001201 12 1.732178 0.001201 13 1.732056 4.6E-05

(12)

HOME WORK

• Y = Sin X + 3x +2 • Y = Sin X + 3x +2 • Y = X3 _{+ 2x}2 _{-x +2}

(13)

3. Metode Regula Falsi

(I t

l

i Li i )

(I t

l

i Li i )

(Interpolasi Linier)

• Kekurangan metode bisection adalah • Kekurangan metode bisection adalah

membagi dua selang diantara x₁

dengan x₂ menjadi dua bagian yang dengan x₂ menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x₁) dan f(x₂)

diabaikan Misalnya jika f(x₁) lebih diabaikan. Misalnya, jika f(x₁) lebih dekat ke nol daripada f(x₂),

kemungkinan besar akar akan lebih kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x₁ daripada ke x₂.

(14)

y f(x₂) x₁ x₂ x f(x₁)

(15)

Algoritma :

1) Pilih x₁ bawah dan x₂ (puncak) untuk taksiran akar,

sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x₁) . f(x₂) < 0

2. Taksir akar x_r, ditentukan oleh:

) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 2 x f x f x x x f x x_r − − − =

a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar :

b) Jika , maka akar berada pada bagian interval bawah maka kembali ke langkah 2

0 ) ( ). (x₁ f x_r < f

interval bawah, maka , kembali ke langkah 2. c) Jika maka akar berada pada bagian

interval atas, maka , kembali ke langkah 2.

r x x₂ = 0 ) ( ). (x₁ f x_r > f r x x₁ =

d) Jika , akar setara x_r maka hentikan perhitungan. 0 ) ( ). (x₁ f x_r = f

(16)

Contoh:

1 ) (x = x6 − x − f dit t k x1 =1 00001 . 0 ∈= ditentukan ; x₂ =1.2

subtitusikan pada persamaan ; subtitusikan pada persamaan ;

78598 0 1 2 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( = 6 − − = f 1 1 1 ) 1 ( = 6 − x₁ − = − f 78598 , 0 1 2 , 1 ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( = − − = f maka nilai ₁_,₁₁₁₉₈ )) 1 ( 78598 , 0 ( ) 1 2 , 1 ( 78598 , 0 2 , 1 = − − − − = r x )) ( , ( 22146 , 0 1 11198 , 1 11198 , 1 ) 1198 , 1 ( = 6 − − = − f

(17)

Tabel hasil perhitungan:

N f( ) No. x f(x) 1 1 -1 2 1 2 0 785984 2 1.2 0.785984 3 1.111983 -0.221429 4 1.131329 -0.034641 5 1.134228 -0.005099 6 1.134652 -0.000744 7 1 134714 0 000108 7 1.134714 -0.000108 8 1.134723 -1.58E-05

(18)

4 4 Metode Secant

Metode Secant

4. 4. Metode Secant

Metode Secant

• Metode ini memerlukan dua taksiran awal Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak

digolongkan sebagai metode pengurung. • Persamaan yang dipakai metode secant

adalah ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 − − + ₋ − − = n n n n n n n x f x f x x x f x x

(19)

y f(x₁) f(x₂) x₁ x₂ x x₃

(20)

Algoritma :

• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran (p ) akar.

• Taksir akar x_n+1, ditentukan oleh:

) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 − + − − − = n n n n n n n x f x f x x x f x x

• Perhitungan dihentikan jika f(x _n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan ) ( ) ( _n f _n₋₁ f

(21)

Contoh:

6 1 1 1 1 ) 1 ( 6 f 0 1 ) (x = x6 − x − = f

Ditentukan taksiran awalnya adalah : X1 1 _f ₍₁₎ =₁6 −₁−₁= −₁ 61 1 2 2 ) 2 ( = 6 − − = f X1 = 1 X2 = 2

016129

1 )

1

2 (

61

2 −

−

=

x

1 ,

016129

)

1 (

61

2

1

=

−

=

+ n

x

(22)

Tabel hasil perhitungan:

N f( )

Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x) 1 1 -1 2 2 61 3 1.016129 -0.915368 4 1.030675 -0.831921 5 1.175689 0.465227 6 1.123679 -0.110633 7 1.133671 -0.010806 8 1.134753 0.000294 9 1.134724 -7.48E-07

(23)

5 Metode Newton Rhapson

5. Metode Newton Rhapson

• Metode ini paling banyak digunakan • Metode ini paling banyak digunakan

dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan Jika perkiraan dari akar persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah x_i, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (x_i f(x_i) Titik

dibuat dari titik (x_i, f(x_i). Titik

dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya

memotong sumbu x biasanya

memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar

(24)

y

x x₁

(25)

Algoritma :

• Tentukan nilai x₁ sebagai terkaan • Tentukan nilai x₁ sebagai terkaan

awal

• Buat taksiran untuk x dengan • Buat taksiran untuk x_1+n dengan

persamaan : ) (x f ) ( ) ( ' 1 n n n n x f x f x x ₊ = −

• Perhitungan dihentikan jika f(x _n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukany g

(26)

Contoh :

0

1 )

(

x

6

x

f

(

x

)

=

x

−

x

−

1 =

0 f

Ditentukan taksiran awal x₁ = 2

61

1

2

2 )

2 (

=

6

−

=

f

5 '

Ditentukan taksiran awal x₁ 2

0

1

6 )

(

5 '

= x

−

=

x

f

'

₍

₂

₎

=

₆

₍

₂

₎

5

−

₁

=

₁₉₁

f

680628

,

1

61

2

=

−

=

x

,

191

2

(27)

Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x) f'(x) 1 2 61 191 2 1.680628 19.85294 79.44695 3 1.430739 6.146795 34.97107 4 1.254971 1.651657 17.67754 5 1.161538 0.29431 11.68584 6 1.136353 0.016826 10.36889 7 1 134731 6 57E-05 10 28795 7 1.134731 6.57E-05 10.28795

(28)

6. 6. Metode Iterasi Fixed

Metode Iterasi Fixed

Poi t

Point

• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x)

menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang

digunakan adalah dalam bentuk persamaan; x_n+1= g(x_n)

(29)

Algoritma :

• Tentukan nilai taksiran awal x • Tentukan nilai taksiran awal x_n

• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan

dengan mempergunakan persamaan;

X ( )

X_n+1=g(x_n)

• Perhitungan dihentikan jika;

ε

≤ − + n n x x ₁

(30)

Contoh:

X2 _{- 3x + 1 = 0} Tabel Hasil Perhitungan X 3x 1 0 3x = x2 _{+ 1} _No. _Xn _{Іxn - x n+1І} 1 2 -X = 1/3 (x2 ₊₁₎ ε = 0,001 1 2 -2 1.6667 0.3333 3 1.2593 0.4074 4 0 8619 0 3973 , Ditentukan x₀ = 2 4 0.8619 0.3973 5 0.5810 0.2809 6 0.4458 0.1351 7 0 3996 0 0462 X= 1/3(22+1) = 1,667 Іx₁ – x₀І= 1,667 – 2 = 0,333 7 0.3996 0.0462 8 0.3866 0.0130 9 0.3831 0.0034 10 0 3823 0 0009 1 0 , , ₁₀ _0.3823 _0.0009