Regresi Logistik
4.1 INTERPRETING THE LOGISTIC REGRESSION MODEL 4.2 INFERENCE FOR LOGISTIC REGRESSION
Model regresi logistik menggunakan peubah
j l b ik k t ik t k ti t k
penjelas, baik kategorik atau kontinu, untuk memprediksi peluang dari hasil yang spesifik.
Dengan kata lain regresi logistik dirancang untuk Dengan kata lain, regresi logistik dirancang untuk menggambarkan peluang yang terkait dengan nilai‐ nilai peubah respon.
• β>0 maka kurva akan naik β<0 k k k t • β<0 maka kurva akan turun • Jika β= 0 maka nilai π (x) tetap pada berapapun nilai x kurva akan menjadi garis horisontal • X Æ Peubah penjelas kuantitatif • Y Æ Peubah respon biner 4.1 INTERPRETING THE LOGISTIC REGRESSION MODEL • π(x) Æ peluang sukses peubah X • Model Logit (log odds)
Interpretasi β
• Odds akan meningkat secara multiplikatif b β t k ti k ik 1 it sebesar eβuntuk setiap kenaikan 1 unit x • eβÆ rasio odds ) ( ) 1 ( x X odds x X odds RasioOdds = + = = Interpretasi l f f ililogit akan meningkat sebesarβ untuk
setiap kenaikan 1 cm x
alternatif Not familiar
What Is an Odds Ratio?
An odds ratio indicates how much more likely An odds ratio indicates how much more likely, with respect to odds, a certain event occurs in one group relative to its occurrence in another group.
Example: How p much more likely are females y to purchase 100 dollars or more in products compared to males?
4.1.1 Linear Approximation Interpretations β→ 0, kurva datar horizontal β = 0 , Y bebas terhadap X Β > 0, kurva π(x) membentuk fkp sebaran logistik Kemiringan curam terjadi pada x yang π (x) = 0,50. Nilai x tersebut berhubungan dengan p arameter regresi logistik dengan x =‐α / β. nilai x ini disebut tingkat median efektif (EL50). Ini merupakan tingkat di mana masing‐masing Hasil memiliki kesempatan 50%.
4.1.2 Horseshoe Crabs: Viewing and Smoothing a Binary Outcome
The study investigated factors that affect whether the female crab had any other males, called satellites, residing nearby her. The response outcome for each female crab is her number of satellites. An explanatory variable thought possibly to affect
ilustrasi
crab is her number of satellites. An explanatory variable thought possibly to affect this was the female crab’s shell width, which is a summary of her size. In the sample, this shell width had a mean of 26.3 cm and a standard deviation of 2.1 cm.
Y indicate whether a female crab has any satellites (other males who could mate
with her). That is, Y = 1 if a female crab has at least one satellite, and Y = 0 if she
has no satellite.We first use the female crab’s width (in cm) as the sole predictor.
• Suatu penelitian mengenai faktor‐faktor yang
mempengaruhi banyaknya satellite yang
ilustrasi
mempengaruhi banyaknya satellite yang dipunyai kepiting betina (Y) • Y= 1 jika kepiting betina memiliki paling tidak 1 satellite Y=0 jika tidak memiliki satellite. • X= lebar cangkang kepiting betina (dalam cm)• Data yang belum dikelompokkan
Syntax SAS
Data crab; input width sat; d li datalines; 28.3 1 26.0 1 25.6 0 . . . 24.54.5 00 ;proc logistic data=crab descending;
model sat=width/expb;
Output
At the minimum width in this sample of 21.0 cm, the estimated probability is exp(−12.351 + 0.497(21.0))/[1 + exp(−12.351 + 0.497(21.0))] = 0.129 At the maximum width of 33.5 cm, the estimated probability equals exp(−12.351 + 0.497(33.5))/[1 + exp(−12.351 + 0.497(33.5))] = 0.987 • lebar minimum x= 21 cm, = 0.129 • lebar maksimum x= 33.5 cm = 0.987Interpretasi Output
• Dugaan π(x) =0.5 saat
• Dugaan odds =
Æ kepiting betina yang memiliki lebar 1 cm
8 . 24 497 . 0 / 351 . 12 ˆ / ˆ = = − = α β x
( )
ˆ exp(
0.497)
1.64 exp β = = Æ kepiting betina yang memiliki lebar 1 cm lebih besar, memiliki kecenderungan 1.64 kali mempunyai satelit • Pada mean sampel lebar 26,3 cm, π (x) = 0,674. • (Bab 4.1.1), perubahan kenaikan peluang pada titik mean ( )[1 ˆ( )] 0.497 (0.674) (0.326) = 0.11 ˆ ˆπ x −π x = β • Untuk kepiting betina dengan lebar badan dekat lebar rata‐rata, peluang kenaikan satelit pada tingkat 0,11 per 1 cm peningkatan lebar.• tingkat dugaan perubahan terbesar pada nilai x (24 8) di mana π (x) • tingkat dugaan perubahan terbesar pada nilai x (24,8) di mana π (x)
= 0,50; peluang diperkirakan meningkat pada tingkat (0,497) (0,50) (0,50) = 0,12 per 1 cm peningkatan lebar
Berbeda dengan model peluang linier, model regresi logistik
memungkinkan laju perubahan memungkinkan laju perubahan bervariasi sebagaimana perubahan x
Regression Fit
• Model paling sederhana untuk interpretasi d l h d l l ( ) β adalah model peluang π(x) = α + βx. • Menggunakan pendekatan OLS (software GLM dengan asumsi respon normal dengan fungsi penghubung identitas) menghasilkan modelProc GLM
proc genmod data=crab; model sat=width/ dist = nor link = identity link = identity lrci; run; 4.1.3 Horseshoe Crabs: Interpreting the Logistic Regression Fit • π(x) adalah peluang kepiting betina memiliki satelit dengan lebar badan x cm • Dugaan peluang (adanya) satelit akan meningkat 0.092 untuk setiap peningkatan 1 cm lebar badan kepiting• Interpretasi Æ lebih sederhana, namun tidak
sesuai untuk nilai ekstrim
Mi lk d h i i l b b d
• Misalkan pada contoh ini lebar badan
maksimal 33.5 cm. Dugaan peluangnya= −1.766 + 0.092(33.5) = 1.3.
Grouping
Untuk mendapatkan gambar dengan bentuk yang lebih jelas, dilakukan pengelompokan untuk lebar badan kepiting betina sbb: Lalu hitung rataan contoh di masing‐masing kategori Figure 4.2 contains eight dots representing the sample proportions of female crabs having satellites plotted against the mean widths for the eightOdds
Odds sukses Odds sukses (respon =1)( )
2.07 674 . 0 1 674 . 0 ; 674 . 0 ˆ ; 3 . 26 = − = = = x odds x π 773 0 However, this is a 64% increase;( )
3.40 773 1 773 . 0 ; 773 . 0 ˆ ; 3 . 27 = − = = = x odds x π 64 . 1 07 . 2 4 . 3 3 . 26 3 . 27 = = RasioOdds4.1.5 Logistic Regression with Retrospective Studies
• Regresi logistik juga dapat digunakan pada data hasil studi restrospektif Æ Peubah X yang acak (bukan peubah Y)
• Dapat digunakan bila salah satu respon kategori
jarang terjadi, dan sebuah studi prospektif mungkin jarang terjadi, dan sebuah studi prospektif mungkin memiliki terlalu sedikit kasus untuk untuk dapat menduga pengaruh dari prediktor dengan baik.
Retros
pective
YÆ1(kasus) dan 0(kontrol)X Æ diamatiCase‐control
Odds Ratio
Inferensia Regresi Logistik
4.2 INFERENCE FOR LOGISTIC REGRESSION
• 4.2.1 Binary Data can be Grouped or Ungrouped
Data crab grup
data crab2; input width y n; cards; 22 69 5 14 22.69 5 14 23.84 4 14 24.78 17 28 25.84 21 39 26.79 15 22 27.74 20 24 28 67 15 18 28.67 15 18 30.41 14 14 ; proc logistic data=crab2; model y/n=width/influence stb expb; output out=predict p=pi_hat lower=LCL upper=LCL; run;confidence interval for effect
A large‐sample Wald confidence interval for the t β i th l i ti i d l parameter β in the logistic regression model, logit[π(x)] = α + βx, is( )
SE
z
2ˆ
αβ
±
Ilustrasi data kepiting
• Selang kepercayaan 95% untuk β adalah 0.497± 1.96(0.102) = [0.298, 0.697] • Selang kepercayaan berdasarkan likelihood ratio = (0.308, 0.709). • Interval likelihood ratio untuk pengaruh pada odds setiap kenaikan 1 cm lebar cangkang = (e308, e709)= (1.36, 2.03). • Berarti setiap kenaikan 1 cm lebar cangkang, akan menaikkan odds satellite paling sedikit 1.36 kali dan paling banyak 2 kaliHypothesis Testing about Effect of X
• Test for parameter model (β).• Simultanious test ÆG‐test
• Partial test Æ Wald‐test
Uji Simultan
Statistik uji‐G adalah uji rasio kemungkinan (likelihood ratio test) yang digunakan untuk menguji peranan variabel penjelas di dalam model secara bersama‐sama (Hosmer & Lemeshow, 1989). Rumus umum uji‐G untuk menguji hipotesis :
H0 : β1 = β2 = … = βk = 0
H1 : minimal ada satu β yang tidak sama dengan 0β y g g adalah Statistik G ini, secara teoritis mengikuti sebaran χ2dengan derajat bebas k. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = bebas peubah dengan likelihood bebas peubah pa likelihood G 2ln tan
Partial Test
Sementara itu, uji Wald digunakan untuk menguji parameter βi secara parsial. Hipotesis yang diuji adalah: H0 : βi = 0 H1 : βi ≠ 0 Formula statistik Wald adalah: Secara teori, statistik Z ini mengikuti sebaran normal baku jika H0 benar.) ˆ ( ˆ i i SE Z β β = normal baku jika H0 benar. Atau menggunakan statistik uji yang mengikuti sebaran dengan db=1
Uji Hipotesi Data Kepiting
• Hipotesis Æ H0: β= 0 vs H1: β ≠ 0 • Statistik Uji : Z= 0.497/0.102 = 4.9.(This shows strong evidence of a positive effect of width on the (This shows strong evidence of a positive effect of width on the presence of satellites (P <0.0001))
• The equivalent chi‐squared statistic, z2= 23.9, has df = 1.
• Software reports that the maximized log likelihoods equal L0 =
−112.88 under H0: β = 0 and L1 = −97.23 for the full model. The lik lih d ti t ti ti l 2(L0 L1) 31 3 ith df 1 likelihood‐ratio statistic equals −2(L0 − L1) = 31.3, with df = 1.
• This also provides extremely strong evidence of a width effect (P < 0.0001).
Confidence Intervals for Probabilities
• We illustrate by estimating the probability of a satellite for female crabs of width x = 26.5, which is near the mean width. • The logistic regression fit yields πˆ = exp(−12.351 + 0.497(26.5))/[1 + exp(−12.351 + 0.497(26.5))] = 0.695 • From software, a 95% confidence interval for the true probability is (0.61, 0.77). Kenapa menggunakan model untuk menduga peluang??X=26,5 cm 6 kepiting, 4 memiliki satelit Binom p= 4/6=0.67 SK 95% untuk π(x) : (0.22, 0.96) R lit i li t d I Reality is more complicated. In practice, any model will not exactly represent the true relationship between π(x) and x.
Ilustrasi
Menggunakan SAS Data CHD; input age $ CHD @@; cards; <=55 1 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 <=55 0 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 1 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0 <=55 1 >55 1 >55 0 >55 0 >55 0proc freq data=CHD;
tables age; tables CHD;
tables age*CHD/nopercent nocol norow expected chisq;
run;
proc logistic data=CHD;
class age; class age;
model chd=age/expb;
run;
![Ilustrasi data kepiting • Selang kepercayaan 95% untuk β adalah 0.497± 1.96(0.102) = [0.298, 0.697] • Selang kepercayaan berdasarkan likelihood ratio = (0.308, 0.709)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/4617070.3373039/18.892.176.721.160.611/ilustrasi-kepiting-selang-kepercayaan-selang-kepercayaan-berdasarkan-likelihood.webp)
