Hampiran turunan menggunakan metoda numerik

Hampiran turunan menggunakan metoda numerik

Kie Van Ivanky Saputra

Tujuan

1 _{mengerti apa itu dari turunan numerik,}

2 _{mengerti fungsi dari turunan numerik,}

3 mengerti bagaimana menurunkan formula untuk turunan numerik,

4 mengerti bagaimana memperkirakan eror yang terjadi untuk setiap

formula turunan numerik,

Turunan Numerik

Definisi turunan yaitu:

f0(x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x )

h . (1)

Contoh, bila f (x ) = x2, maka, f0(x ) = lim h→0 f (x + h) − f (x ) h = limh→0 (x + h)2− x2 h = 2x . (2)

Namun, pada kenyataannya, turunan sebuah fungsi tidaklah semudah yang kita bayangkan, contoh,

f (x ) = 2x, f (x ) = arcsin x . (3)

Untuk itu digunakanlah metoda numerik dimana turunan dihampiri dengan sebuah metoda numerik.

Turunan Numerik

Definisi turunan yaitu:

f0(x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x )

h . (1)

Contoh, bila f (x ) = x2, maka, f0(x ) = lim h→0 f (x + h) − f (x ) h = limh→0 (x + h)2− x2 h = 2x . (2)

Namun, pada kenyataannya, turunan sebuah fungsi tidaklah semudah yang kita bayangkan, contoh,

f (x ) = 2x, f (x ) = arcsin x . (3)

Untuk itu digunakanlah metoda numerik dimana turunan dihampiri dengan sebuah metoda numerik.

Turunan Numerik

Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi.

Sebagai contoh, turunan numerik BUKAN untuk menjawab soal di bawah ini:

Contoh

Carilah turunan pertama dan kedua dari f (x ) = 2x.

Tapi, turunan numerik digunakan untuk menjawab soal seperti di bawah ini:

Contoh

Diberikan sebuah fungsi f (x ) = 2x. Hitunglah f0(1) dan f00(1). Jadi, turunan numerik digunakan untuk mencari nilai sebuah turunan, bukan untuk mencari ekspresi dari turunan.

Turunan Numerik

Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi. Sebagai contoh, turunan numerik BUKAN untuk menjawab soal di bawah ini:

Contoh

Carilah turunan pertama dan kedua dari f (x ) = 2x.

Tapi, turunan numerik digunakan untuk menjawab soal seperti di bawah ini:

Contoh

Diberikan sebuah fungsi f (x ) = 2x. Hitunglah f0(1) dan f00(1). Jadi, turunan numerik digunakan untuk mencari nilai sebuah turunan, bukan untuk mencari ekspresi dari turunan.

Turunan Numerik

Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi. Sebagai contoh, turunan numerik BUKAN untuk menjawab soal di bawah ini:

Contoh

Carilah turunan pertama dan kedua dari f (x ) = 2x.

Tapi, turunan numerik digunakan untuk menjawab soal seperti di bawah ini:

Contoh

Diberikan sebuah fungsi f (x ) = 2x. Hitunglah f0(1) dan f00(1). Jadi, turunan numerik digunakan untuk mencari nilai sebuah turunan, bukan untuk mencari ekspresi dari turunan.

Hampiran turunan pertama dengan beda maju

Deret Taylor: f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2_{+ . . . . (4)}

Karena tujuan kita adalah mencari turunan dari sebuah fungsi, maka persamaan di atas menjadi:

f0(x ) = 1 h  f (x + h) − f (x ) −f 00_{(x )} 2! h 2_{− . . .}  . (5)

Teorema Taylor mengatakan bahwa ada konstanta c dimana x ≤ c ≤ x + h sehingga

f0(x ) = f (x + h) − f (x )

h −

f00(c)

2! h. (6)

Inilah yang dinamakan hampiran beda maju untuk turunan pertama (forward difference approximation)

Hampiran turunan pertama dengan beda maju

Deret Taylor: f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2_{+ . . . . (4)}

Karena tujuan kita adalah mencari turunan dari sebuah fungsi, maka persamaan di atas menjadi:

f0(x ) = 1 h  f (x + h) − f (x ) −f 00_{(x )} 2! h 2_{− . . .}  . (5)

Teorema Taylor mengatakan bahwa ada konstanta c dimana x ≤ c ≤ x + h sehingga

f0(x ) = f (x + h) − f (x )

h −

f00(c)

2! h. (6)

Inilah yang dinamakan hampiran beda maju untuk turunan pertama (forward difference approximation)

Hampiran turunan pertama dengan beda maju

Deret Taylor: f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2_{+ . . . . (4)}

Karena tujuan kita adalah mencari turunan dari sebuah fungsi, maka persamaan di atas menjadi:

f0(x ) = 1 h  f (x + h) − f (x ) −f 00_{(x )} 2! h 2_{− . . .}  . (5)

Teorema Taylor mengatakan bahwa ada konstanta c dimana x ≤ c ≤ x + h sehingga

f0(x ) = f (x + h) − f (x )

h −

f00(c)

2! h. (6)

Inilah yang dinamakan hampiran beda maju untuk turunan pertama (forward difference approximation)

Contoh

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3. Hitunglah f0(1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25.

Jawab: Tanpa turunan numerik, f0(x ) = 3x2, sehingga f0(1) = 3.

Lalu, kita coba selesaikan dgn turunan numerik untuk kasus h = 1. Maka,

f0(1) = f (1 + 1) − f (1)

1 = f (2) − f (1) = 8 − 1 = 7. (7)

Errornya adalah 7 − 3 = 4. Untuk kasus h = 0.5 dan kasus h = 0.25. f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1) 0.5 = f (1.5) − f (1) 0.5 = (3.375−1)/0.5 = 4.75, (8) dan f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1) 0.25 = f (1.25) − f (1) 0.5 = (1.953125−1)/0.25 = 3.8125. (9) Semakin kecil h, semakin kecil errornya (orde 1).

Contoh

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3. Hitunglah f0(1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25.

Jawab: Tanpa turunan numerik, f0(x ) = 3x2, sehingga f0(1) = 3. Lalu, kita coba selesaikan dgn turunan numerik untuk kasus h = 1. Maka,

f0(1) = f (1 + 1) − f (1)

1 = f (2) − f (1) = 8 − 1 = 7. (7)

Errornya adalah 7 − 3 = 4.

Untuk kasus h = 0.5 dan kasus h = 0.25. f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1) 0.5 = f (1.5) − f (1) 0.5 = (3.375−1)/0.5 = 4.75, (8) dan f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1) 0.25 = f (1.25) − f (1) 0.5 = (1.953125−1)/0.25 = 3.8125. (9) Semakin kecil h, semakin kecil errornya (orde 1).

Contoh

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3. Hitunglah f0(1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25.

Jawab: Tanpa turunan numerik, f0(x ) = 3x2, sehingga f0(1) = 3. Lalu, kita coba selesaikan dgn turunan numerik untuk kasus h = 1. Maka,

f0(1) = f (1 + 1) − f (1)

1 = f (2) − f (1) = 8 − 1 = 7. (7)

Errornya adalah 7 − 3 = 4. Untuk kasus h = 0.5 dan kasus h = 0.25. f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1) 0.5 = f (1.5) − f (1) 0.5 = (3.375−1)/0.5 = 4.75, (8) dan f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1) 0.25 = f (1.25) − f (1) 0.5 = (1.953125−1)/0.25 = 3.8125. (9)

Hampiran turunan pertama dengan beda pusat

f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (10)}

Deret Taylor dari f (x − h),

f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (11)}

Persamaan 10 dikurangkan dengan persamaan 11, f (x + h) − f (x − h) = 2f0(x )h + 2f 000_{(x )} 3! h 3_{+ . . . , (12)} atau, f0(x ) = f (x + h) − f (x − h) 2h − f000(c) 3! h 2_{. (13)}

Hampiran turunan pertama dengan beda pusat

f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (10)}

Deret Taylor dari f (x − h),

f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (11)}

Persamaan 10 dikurangkan dengan persamaan 11, f (x + h) − f (x − h) = 2f0(x )h + 2f 000_{(x )} 3! h 3_{+ . . . , (12)} atau, f0(x ) = f (x + h) − f (x − h) 2h − f000(c) 3! h 2_{. (13)}

Hampiran turunan pertama dengan beda pusat

f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (10)}

Deret Taylor dari f (x − h),

f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . . (11)}

Persamaan 10 dikurangkan dengan persamaan 11, f (x + h) − f (x − h) = 2f0(x )h + 2f 000_{(x )} 3! h 3_{+ . . . , (12)} atau, f0(x ) = f (x + h) − f (x − h) 2h − f000(c) 3! h 2_{. (13)}

Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat

Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2_{. Artinya,}

semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya.

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3, carilah f0(1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25.

Jawab: Berturut-turut adalah f0(1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f0(1) = f (1 + 1) − f (1 − 1) 2(1) = f (2) − f (0) 2 = (8 − 0)/2 = 4, f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) 2(0.5) = f (1.5) − f (0.5) 1 = 1.625, f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) 2(0.25) = f (1.25) − f (0.75) 0.5 = 3.0625,

Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat

Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2_{. Artinya,}

semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya.

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3, carilah f0(1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25.

Jawab: Berturut-turut adalah f0(1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f0(1) = f (1 + 1) − f (1 − 1) 2(1) = f (2) − f (0) 2 = (8 − 0)/2 = 4, f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) 2(0.5) = f (1.5) − f (0.5) 1 = 1.625, f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) 2(0.25) = f (1.25) − f (0.75) 0.5 = 3.0625,

Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat

Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2_{. Artinya,}

semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya.

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3, carilah f0(1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25.

Jawab: Berturut-turut adalah f0(1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f0(1) = f (1 + 1) − f (1 − 1) 2(1) = f (2) − f (0) 2 = (8 − 0)/2 = 4, f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) 2(0.5) = f (1.5) − f (0.5) 1 = 1.625, f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) 2(0.25) = f (1.25) − f (0.75) 0.5 = 3.0625,

Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat

Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2_{. Artinya,}

semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya.

Contoh

Diberikan fungsi f (x ) = x3, carilah f0(1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25.

Jawab: Berturut-turut adalah f0(1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f0(1) = f (1 + 1) − f (1 − 1) 2(1) = f (2) − f (0) 2 = (8 − 0)/2 = 4, f0(1) = f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) 2(0.5) = f (1.5) − f (0.5) 1 = 1.625, f0(1) = f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) 2(0.25) = f (1.25) − f (0.75) 0.5 = 3.0625,

Turunan kedua

Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . ,} f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . .}

Bila dijumlahkan, maka diperoleh,

f (x + h) + f (x − h) = 2f (x ) + h2f00(x ) + 2 1 4!h

4_f(4)_{(x ) + . . .}

 , atau dapat ditulis,

f00(x ) = 1

h2(f (x + h) − 2f (x ) + f (x − h)) + E ,

dengan E adalah error yang adalah:

E = −2 1 4!h 2_f(4)_{(x ) +} 1 6!h 4_f(6)_{(x ) + . . .} 

Turunan kedua

Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . ,} f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . .}

Bila dijumlahkan, maka diperoleh,

f (x + h) + f (x − h) = 2f (x ) + h2f00(x ) + 2 1 4!h

4_f(4)_{(x ) + . . .}

 , atau dapat ditulis,

f00(x ) = 1

h2(f (x + h) − 2f (x ) + f (x − h)) + E ,

dengan E adalah error yang adalah:

E = −2 1 4!h 2_f(4)_{(x ) +} 1 6!h 4_f(6)_{(x ) + . . .} 

Turunan kedua

Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f (x + h) = f (x ) + f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₊f000(x ) 3! h 3_{+ . . . ,} f (x − h) = f (x ) − f0(x )h +f 00_{(x )} 2! h 2₋f000(x ) 3! h 3_{+ . . . .}

Bila dijumlahkan, maka diperoleh,

f (x + h) + f (x − h) = 2f (x ) + h2f00(x ) + 2 1 4!h

4_f(4)_{(x ) + . . .}

 , atau dapat ditulis,

f00(x ) = 1

h2(f (x + h) − 2f (x ) + f (x − h)) + E ,

dengan E adalah error yang adalah:

E = −2 1 4!h 2_f(4)_{(x ) +} 1 6!h 4_f(6)_{(x ) + . . .}