BAB VII
TRANSFORMASI LAPLACE 1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:
L {F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
= f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingg (
) makaL{F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
=
p st
p e F t dt
Lim
0
) (
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa
nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t), G(t), Y(t)
dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang
bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t
N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk
setiap s >
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1 1,
s s > 0
2. t 1 ,
2
s s > 0
3. t2
3
2
s , s > 0
4. tn
n = 0,1,2,3,….
1
!
n s
n
, s > 0
5. eat
, 1
a
s s > 0
6. sin at
,
2 2 a s
a
s > 0
7. cos at ,
2 2 a s
s
s > 0
8. sinh at ,
2 2 a s
a
s > a
9. cosh at ,
2 2 a s
s
s > a
Contoh
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
=
0
) 1 ( dt e st
=
p st
p e dt
Lim
0
=
p st
p se
0
1
lim
=
0
1 1 lim
se se
=
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace-ny f(s)
ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP
untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah
1) Sifat linear
Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah
fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing f1(s)
dan f2(s), maka:
L{c1F1(t)+cF2(t)} = c1 f1(s) + c2 f(s)
Bukti:
L{c1F1(t)+cF2(t)} =
0
2 2 1
1 ( ) ( )}
{c F t c F t dt e st
=
0
2 1 0
1
1F(t)dt e c F (t)dt c
e st st
=
0
2 0
2 1
1 e F(t)dt c e F (t)dt
c st
p st
= c1f1(s)c2f2(s)
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
s s
1 3 1
2
= s s
3 5
2
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4 2 5 4 2
2 2
s
=
4 10 4 12
2 2 s s
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi
berikut ini.
a. F(t) = 2t2 e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t
c. F(t) = (sin t – cos t)2
d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat
F
(t
)}
= f(s-a)Bukti
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{eat
F
(t
)}
=
0
) (t dt F e e st at
=
pt a
s F t dt
e
0
)
( ( )
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s)
2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a)
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =
a
t
a
t
a
t
F
,0
),
(
maka
L{G(t)} = eas f(s) Bukti
L{G(t)} = e stG t dt
0
) (
=
a
a st
stG t dt e G t dt e
0
) ( )
(
=
a
a st
st dt e F t a dt
e
0
) ( )
0 (
=
a
stF t a dt
e ( )
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
a
stF t a dt
e ( ) =
0
)
( F(u)du e s u a
= e
0
) (u du F e su as
= eas f(s)
4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
a s f a
1
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( maka
L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
Sehinga L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
=
0
) (
a du u F e a
s u
=
du u F e
a
a s u
) ( 1
=
a s f a
1
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{F’(t)} = e stF t dt
0
) ( '
=
0
) (t dF e st
=
p st st
e d t F t F e
0 0
) ( ) ( )
(
= -F(0) + s
0 st e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 f(s) sF(0) F'(s) Bukti
L{F”(t)} =
0
)
(
"
t
dt
F
=
0
)) ( ' (F t d e st
=
0
) ( ) ( ' ) (
' st
stF t F t d e
e e
=
0
) ( ' )
(
' t s F t e dt F
e st st
=
e stF'(t) s[sf(s) F(0)]
= s2 ( ) (0) '(0)
F sF
s
f
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s) maka
L{F(n)
(
t
)}
= sn f(s) sn1F(0) sn2F'(0) ... sF(n2)(0) F(n1)(0)6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
s s f du u
F( ) ( )
1
0
7. Perkalian dengan tn
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn
F
(t
)}
= (-1) f(s)ds d
n n
n = (-1)f(n)(s)
Bukti.
Karena f(s) = e stF t dt
0
)
( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds df
= f’(s) = ds
d
dt t F e st
0
) (
= e F t dt s
st ( ) 0
=
0
) (t dt F te st
= -
0
)} ( {tF t dt e st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - f'(s)
ds df
8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
0
) ( )
(
du u f t
t F
Bukti:
Misal G(t) = t
t F( )
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}
ds d
atau f(s) = -ds dg
.
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) =
-ds dg.
g(s) = -
s
du u f( )
=
s
du u f( )
Jadi L
t t F( )
s
du u f( )
9. Transformasi fungsi periodic
11. Teorema harga awal
12. Teorema harga akhir
13. Perluasan dari teorema harga awal
14. Perluasan dari teorema harga akhir
3. Transformasi Laplace Invers
3.1 Definisi
3.2 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
3.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
4. Penggunaan Transformasi Laplace
4.1 Persamaan Differensial (PD)
4.2 PD Biasa dengan Koefisien Konstan
4.3 PD Biasa dengan Koefisien Variabel
4.4 PD Simultan
