TUGAS AKHIR – SM141501
DESAIN LINEAR QUADRATIC GAUSSIAN (LQG) UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT TEMPUR
MAYA VATIKASARI NRP 06111440000030 Dosen Pembimbing Dr. Dra. Mardlijah, MT.
DEPARTEMEN MATEMATIKA
Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2018
ii
FINAL PROJECT – SM141501
DESIGN LINEAR QUDRATIC GAUSSIAN (LQG) FOR LONGITUDINAL MOTION OF AIRCRAFT
MAYA VATIKASARI NRP 06111440000030 Supervisor
Dr. Dra. Mardlijah, MT.
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics, Computing, and Data Sciences Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2017
iv
v
LEMBAR PENGESAHAN
DESAIN LINEAR QUADRATIC GAUSSIN (LQG) UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT TEMPUR
DESIGN LINEAR QUADRATIC GAUSSIN (LQG) FORLONGITUDINAL MOTION OF AIRCRAFT
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Pada Bidang Studi Matematika Terapan Program Studi S-1 Departemen Matematika Fakultas Matematika, Komputasi, Dan Sains Data
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Oleh:
MAYA VATIKASARI NRP. 06111440000030
Menyetujui, Dosen Pembimbing
Dr. Dra. Mardlijah, MT.
NIP. 19670114 199102 2 001 Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika FMKSD ITS
Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT.
NIP. 19700831 199403 1 003
vi
vii
DESAIN LINEAR QUADRATIC GAUSSIAN (LQG) UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT TEMPUR
Abstrak
Pesawat tempur merupakan pesawat militer yang memiliki mission task, misalnya membidik sasaran/target, sehingga umumnya didesain dengan ukuran yang relatif lebih kecil, cepat, dan lincah. Misi tersebut membuat pesawat memiliki manuver yang tinggi sehingga membuat sistem pesawat memiliki kestabilan yang rendah. Oleh karena itu, dibutuhkan perancangan kendali LQG agar pesawat dapat bergerak stabil dan mengikuti setpoint yang diberikan. Kendali LQG dipilih karena mampu memperbaiki kesalahan keluaran pada sistem stokastik. Pada tugas akhir ini, kendali LQG diterapkan pada gerak longitudinal pesawat atau gerak pitch. Hasil simulasi menunjukkan bahwa penerapan kendali LQG pada sistem menghasilkan overshoot sebesar 5.8 % pada waktu 1.8 𝑠𝑠 dengan waktu stabil hingga 0.4 𝑠𝑠.
Kata Kunci : Gerak Longitudinal, Pitch, LQG, Pesawat Tempur.
Nama Mahasiswa : Maya Vatikasari
NRP : 06111440000030
Departemen : Matematika
Dosen Pembimbing : Dr. Dra. Mardlijah, MT.
viii
ix
DESIGN LINEAR QUDRATIC GAUSSIAN (LQG) FOR LONGITUDINAL MOTION OF AIRCRAFT
Abstract
Aircraft fighter is a military aircraft that has mission task, for example aiming the target. Hence it is generally designed with relatively smaller size, faster, and agile. This mission caused the aircraft to have a high maneuver that makes its system has low stability. Therefore, it is necessary to design LQG control that makes the aircraft to move stable and follow the setpoint. The LQG control was chosen because it can reduce the output error on the stochastic system. In this final project, LQG control was applied to longitudinal motion or pitch motion of plane. Simulation result shows that LQG control to the system produced of 5.8 % at 1.8 𝑠𝑠 with settling time up to 0.4 𝑠𝑠.
Keyword : Longitudinal Motion, Pitch, LQG, Aircraft Fighter.
Name of Student : Maya Vatikasari
NRP : 06111440000030
Department : Mathematics
Supervisor : Dr. Dra. Mardlijah, MT.
x
xi
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena dengan ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul :
“DESAIN LINEAR QUADRATIC GAUSSIAN (LQG) UNTUK
GERAK LONGITUDINAL PESAWAT TEMPUR”yang merupakan salah satu persyaratan akademis dalam menyelesaikan Program Sarjana Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Tugas Akhir ini dapat diselesaikan dengan baik berkat kerja sama, bantuan, dan dukungan dari banyak pihak. Sehubungan dengan hal tersebut, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bpk. Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Kepala Departemen Matematika ITS.
2. Bpk. Drs. Sentot Didik Surjanto, M.Si. selaku Dosen Wali yang telah memberikan arahan akademik selama penulis menempuh pendidikan di Departemen Matematika ITS.
3. Prof. Dr. Dra. Mardlijah, MT selaku Dosen Pembimbing yang telah membimbing penulis dalam mengerjakan Tugas Akhir ini sehingga dapat terselesaikan dengan baik.
4. Dr. Hariyanto, M.Si., Drs. Mohammad Setijo Winarko, M.Si., Sunarsini, S.Si, M.Si., dan Tahiyatul Asfihani, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberi masukan untu kesempurnaan Tugas Akhir penulis.
5. Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi S1 Departemen Matematika ITS.
6. Drs. Iis Herisman, M.Si selaku Sekretaris Program Studi S1 Departemen Matematika ITS.
7. Seluruh jajaran dosen dan staf Departemen Matematika ITS.
8. Keluarga tercinta yang senantiasa memberikan dukungan
dan do'a yang tak terhingga.
xii
9. Riska, Agil, dan Via yang selalu memberikan dukungan satu sama lain dan saling menyemangati untuk menyelesaikan Tugas Akhir.
10. Teman-teman angkatan 2014 yang telah berjuang bersama-sama dan saling memberikan dukungan.
11. Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu- persatu, terima kasih telah membantu sampai terselesaikannya Tugas Akhir ini.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Akhir kata, semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.
Surabaya, Juli 2018
Penulis
xiii DAFTAR ISI
TUGAS AKHIR – SM141501 ... i
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR... xv
DAFTAR TABEL ...xvii
DAFTAR SIMBOL ... xix
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan... 4
1.5 Manfaat ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1 Penelitian Terdahulu... 5
2.2 Sistem Sumbu Pesawat ... 6
2.3 Control Surface ... 8
Transformasi Sumbu Pesawat ... 9
Persamaan Kinematika Pesawat ... 14
2.5.1 Persamaan Kinematika Translasi ... 14
2.5.2 Persamaan Kinematika Sudut Terbang ... 15
Penurunan Persamaan Gerak Pesawat ... 15
2.6.1 Gerak Translasi ... 16
2.6.2 Gerak Rotasi ... 19
2.6.3 Linierisasi ... 22
Sifat-Sifat Sistem ... 32
Kendali LQG ... 34
Kendali LQG dengan Aksi Integral ... 37
BAB III METODE PENELITIAN ... 39
Analisis Sifat Sistem Gerak Longitudnal Pesawat39 Perancangan Kendali LQG ... 39
Simulasi dan Penarikan Kesimpulan ... 39
Penyusunan Laporan ... 40
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 43
xiv
4.1 Persamaan Keadaan Gerak Longitudinal ... 43
4.2 Analisis Sifat Sistem ... 45
4.3 Perancangan Kendali LQG ... 49
4.4 Simulasi dengan Simulink MATLAB ... 51
4.4.1 Simulasi Sistem Awal (Real Plant) ... 52
4.4.2 Simulasi Sistem dengan Kendali LQG ... 53
4.4.3 Simulasi Sistem dengan Kendali LQG dengan Aksi Integral ... 55
4.5 Simulasi Gerak Longitudinal dengan Tracking Setpoint ... 58
4.6 Analisis Hasil Simulasi ... 59
BAB V PENUTUP ... 63
Kesimpulan... 63
Saran ... 64
DAFTAR PUSTAKA ... 65
LAMPIRAN A ... 67
LAMPIRAN B ... 71
LAMPIRAN C ... 73
BIODATA PENULIS ... 77
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Struktur Pesawat Terbang ... 7
Gambar 2.2 Control Surface ... 8
Gambar 2.3 Gaya pada Pesawat Akibat Gravitasi Bumi ... 18
Gambar 2.4 Representasi Simulink Knedali LQG ... 36
Gambar 2.5 Representasi Kendali LQG dengan Aksi Integral .... 38
Gambar 3.1 Flowchart Penyusunan Penelitian ... 42
Gambar 4.1 Diagram Blok Sistem Linier ... 45
Gambar 4.2 Diagram Blok Sistem Awal ... 52
Gambar 4.3 Representasi dari Subsystem ... 52
Gambar 4.4 Hasil Simulasi Sistem Awal ... 53
Gambar 4.5 Diagram Blok Sistem dengan Kendali LQG ... 54
Gambar 4.6 Hasil Simulasi Kendali LQG ... 55
Gambar 4.7 Diagram Blok Kendali LQG ... 56
Gambar 4.8 Hasil Simulasi Kendali LQG dengan Aksi Integral . 57 Gambar 4.9 Setpoint untuk Uji Tracking... 58
Gambar 4.10 Hasil Uji Tracking Setpoint ... 59
Gambar 4.11 Representasi Gangguan Sistem ... 60
Gambar 4.12 Representasi Gangguan Pengukuran ... 60
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Komponen arah gaya, momen, dan kecepatan sumbu
(x,y,z) ... 7
Tabel 2. Karakteristik Respon Sistem ... 57
xviii
xix DAFTAR SIMBOL
𝑃𝑃 : Kecepatan sudut pada sumbu x 𝑄𝑄 : Kecepatan sudut pada sumbu y 𝑅𝑅 : Kecepatan sudut pada sumbu z 𝑋𝑋 : Gaya pada sumbu x
𝑌𝑌 : Gaya pada sumbu y 𝑍𝑍 : Gaya pada sumbu z 𝐿𝐿 : Momen rolling 𝑀𝑀 : Momen pitching 𝑁𝑁 : Momen yawing 𝜑𝜑 : Sudut roll 𝜃𝜃 : Sudut pitch 𝜓𝜓 : Sudut yaw 𝛿𝛿
𝑒𝑒: Defleksi elevator
𝑢𝑢 : Kecepatan searah sumbu x 𝑣𝑣 : Kecepatan searah sumbu y 𝑤𝑤 : Kecepatan searah sumbu z 𝒙𝒙 : Variabel keadaan
𝐴𝐴 : Matriks keadaan 𝐵𝐵 : Matriks masukan 𝐺𝐺 : Matriks gangguan 𝐶𝐶 : Matriks keluaran
𝝃𝝃 : Variabel gangguan sistem 𝒏𝒏 : Variabel gangguan keluaran 𝑢𝑢
𝑐𝑐: Vektor control
𝑅𝑅
𝑐𝑐: Kovarians gangguan keluaran 𝑄𝑄
𝑐𝑐: Kovarians gangguan sistem 𝑃𝑃
𝑐𝑐: Solusi ARE untuk gain Kalman 𝐾𝐾
𝑓𝑓: Gain Kalman
𝑅𝑅
𝑏𝑏: Matriks bobot masukan sistem
𝑄𝑄
𝑏𝑏: Matriks bobot variable keadaan
𝑃𝑃
𝑏𝑏: Solusi ARE untuk gain Regulator
xx 𝐾𝐾 : Gain Regulator 𝐾𝐾
𝑖𝑖: Gain Integrator 𝑟𝑟 : Referensi setpoint
𝜀𝜀 : Error referensi dan variable estimasi yang diamati 𝜆𝜆 : Nilai eigen
𝑀𝑀
𝑐𝑐: Matriks keterkendalian 𝑀𝑀
0: Matriks kekontrolan
𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽: Matriks rotasi terhadap sumbu x
𝑹𝑹
𝒚𝒚,𝚯𝚯: Matriks rotasi terhadap sumbu y
𝑹𝑹
𝒛𝒛,𝚿𝚿: Matriks rotasi terhadap sumbu z
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang menjadi latar belakang dalam penyusunan Tugas Akhir. Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusan masalah.
Selanjutnya dipaparkan juga batasan masalah untuk memperoleh tujuan serta manfaat dari penulisan ini.
1.1 Latar Belakang
Sudah semestinya wilayah udara memiliki benteng pertahanan yang kuat demi mencapai kedaulatan negara. TNI AU (Tentara Nasional Indonesia Angkatan Udara) dibentuk guna memperkuat wilayah pertahanan udara. Modal awal TNI AU adalah pesawat-pesawat hasil rampasan dari tentara Jepang seperti jenis Cureng, Nishikoren, serta Hayabusha [1]. Pesawat-pesawat inilah yang merupakan cikal bakal berdirinya TNI AU.
Pesawat tempur merupakan pesawat militer yang digunakan untuk berperang diudara yang umumnya berbentuk ramping, dapat bergerak lincah, membawa canon (senapan mesin) serta rudal dan bom, berkecepatan tinggi, dilengkapi dengan perlengkapan avionik yang lebih banyak daripada pesawat sipil/penumpang seperti radar yang mampu mendeteksi lawan dalam jarak jauh serta mengunci sasaran lawan [2]. Berbeda dengan pesawat komersil, pergerakan pesawat tempur sangatlah bebas, seperti berguling bahkan berputar-putar. Pesawat tempur dirancang untuk memiliki tugas misi, sehingga pesawat ini didesain dengan ukuran yang relatif lebih kecil, cepat, dan lincah [2].
Dalam melakukan tugas misinya, yaitu membidik sasaran/target, dibutuhkan kecepatan dan akurasi yang tepat.
Pesawat tempur memiliki manuver yang tinggi agar dapat bergerak
bebas di udara dan tepat mencapai sasarannya. Akibat dari
manuver pesawat yang tinggi ini menyebabkan sistem pesawat
memiliki kestabilan yang rendah [3]. Oleh karena itu, dibutuhkan sistem kendali agar pesawat dapat bergerak stabil di udara dengan kecepatan tinggi.
Pada tahun 2015 terdapat penelitian yang membahas mengenai perancangan kendali pada gerak pesawat dengan mengikutsertakan gangguan yang bersifat stokastik [4]. Penelitian tersebut menggunakan metode yang sama yaitu LQG pada sistem yang bersifat stabil dengan hasil yang menyatakan bahwa simulasi step dan uji tracking keluaran sudut pitch selalu mengikuti setpoint yang diberikan. Penelitian tersebut yang menjadi acuan penulis untuk menerapkan metode LQG pada sistem gerak longitudinal pesawat tempur yang analisis sifat sistemnya menunjukkan bahwa tidak stabil [3] dengan variabel state meliputi kecepatan pada laju sudut pitch, kecepatan pada sumbu x, kecepatan pada sumbu z, dan sudut pitch, serta input pada sistem berupa defleksi elevator. Model gerak longitudinal yang digunakan penulis merupakan model yang sama dengan yang digunakan saat melakukan kerja praktek di PT.
DI (Dirgantara Indonesia).
Ada tiga gerak utama dalam pergerakan pesawat, yaitu pitching, rolling, dan yawing [5]. Dalam tugas akhir ini, gerakan yang ingin dikendalikan adalah gerakan pitching. Pitching adalah gerak naik-turunnya hidung pesawat yang membuat gerakan mendong4ak dan menukik pada pesawat. Surface control pada gerak pitch disebut elevator. Elevator terletak di horizontal stabilizer pada bagian ekor pesawat. Ketika elevator terdefleksi kebawah, bagian ekor akan terangkat, sehingga menghasilkan nose-down membuat pesawat cenderung bergerak kebawah.
Sebaliknya, ketika elevator terdefleksi keatas, ekor akan bergerak kebawah, sehingga menghasilkan nose-up dan membuat pesawat bergerak keatas [5].
Pada tugas akhir ini, dilakukan desain sistem kendali untuk
gerak longitudinal. Sistem kendali yang di desain dapat membuat
keluaran sudut pitch sesuai dengan setpoint yang diberikan serta
3
pesawat memiliki kestabilan terbang, yaitu bahwa sistem pesawat atau keluaran sistem yaitu sudut 𝜃𝜃 dapat selalu bergerak mengikuti setpoint yang diberikan. Metode yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode Linear Quadratic Gaussian (LQG). Metode LQG adalah teknik kendali modern yang diimplementasikan dalam bentuk ruang dan waktu (statespace) yang digunakan untuk merancang dinamik optimal regulator [6]. Metode ini mengikutsertakan gain regulator serta estimator Kalman Filter.
Estimator yang diikutsertakan merupakan estimator optimal yang digunakan untuk mengatasi gangguan sistem yang bersifat stokastik. Perancangan kendali LQG pada pesawat tempur akan memiliki karakteritik respon sistem sesuai dengan yang diharapkan.
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang diatas diperoleh rumusan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana analisis sifat sistem dari gerak longitudinal pada pesawat tempur?
2. Bagaimana merancang sistem kendali LQG pada gerak longitudinal pesawat tempur?
3. Bagaimana hasil simulasi dari sistem kendali LQG pada gerak longitudinal pesawat tempur?
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Model dinamika pesawat tempur diturunkan dalam gerak longitudinal dalam bentuk persamaan keadaan (state space).
2. Matriks 𝐴𝐴 dan matriks 𝐵𝐵 diperoleh dari perusahaan yang memproduksi pesawat tempur dengan nilai sebagai berikut : 𝐴𝐴 = �
−0.1733
−32. .3385 169.0020
0.9996
0.0003
−0.0177
−0.0468 0
0.0009
−0.1039
−0.2849 0
−9.5647 0
−1.8386 0
� dan
𝐵𝐵 = �
0.8666
−0.5784 4.5895
0
�
3. Pergerakan pesawat dengan kecepatan 335 knots.
4. Estimator LQG yang digunakan adalah estimator Kalman Filter.
5. Variabel yang dikendalikan adalah sudut pitch.
1.4 Tujuan
Tujuan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Untuk mengetahui analisis sifat sistem dari gerak longitudinal pada pesawat tempur.
2. Untuk merancang sistem kendali LQG pada gerak longitudinal pesawat tempur.
3. Untuk mengetahui hasil simulasi dari sistem kendali LQG pada gerak longitudinal pesawat tempur.
1.5 Manfaat
Adapun manfaat dari tugas akhir ini yaitu :
1. Penelitian tugas akhir ini dapat memberikan kontribusi pada bidang ilmu sistem kendali optimal pada pesawat.
2. Hasil simulasi dapat dijadikan referensi untuk diimplementasikan ke perangkat keras (hardware) sistem kendali pada pesawat tempur.
3. Menambah wawasan bahwa ilmu Matematika dapat
diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
5 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan ditunjukkan beberapa penelitian yang relevan dengan tema yang diambil. Selanjutnya diuraikan tentang sistem kendali permukaan (control surface) dan sistem sumbu pesawat yang digunakan dalam analisis gerak. Selain itu dijelaskan pula penurunan model matematika pesawat dalam bentuk persamaan keadaan serta teori kendali optimal yaitu LQG.
2.1 Penelitian Terdahulu
Penelitian terdahulu yang digunakan dalam proposal Tugas Akhir ini adalah beberapa penelitian yang relevan dengan tema yang diambil, diantaraya adalah penelitian dari Heri Purnawan pada tahun 2015 [7] mengenai desain LQR pada pesawat LSU-05 dengan kecepatan cruise sebesar 27,78 𝑚𝑚/𝑠𝑠. Pada penelitian ini, variabel yang dikendalikan adalah sudut pitch dan sudut roll, yaitu pada gerak longitudinal dan gerak lateral. Hasil simulasi pada penelitian tersebut menyatakan bahwa pengendali dapat mengatasi gangguan internal berupa perubahan parameter dan gangguan eksternal berdasarkan sinyal square dan sinyal impuls. Gangguan yang diikutsertakan adalah gangguan yang bersifat deterministik yaitu gangguan yang sudah diinisialisasi atau diketahui besar nilainya dan bersifat tetap. Namun, gangguan yang ada pada kondisi riil atau pada saat pesawat terbang melayang di udara adalah random atau gangguan yang bersifat stokastik.
Pada tahun 2016, Shaffiani Nurul Fajar melakukan
penelitian terhadap gerak longitudinal pesawat LSU-05 dengan
menggunaan metode LQG [4]. Penggunaan LQG
mengikutsertakan estimator Kalman Filter untuk mengestimasi
kesalahan keluaran yang terjadi akibat gangguan yang bersifat
stokastik. Penelitian ini menggunakan variabel state dan variabel
input yang sama dengan penelitian Heri Purnawan. Variabel state yang digunakan meliputi kecepatan linier, sudut serang, laju sudut pitch, dan sudut pitch, serta input pada sistem berupa defleksi elevator dan defleksi throttle. Analisis sistem awal pada penelitian tersebut menyatakan bahwa sistem stabil, terkendali, dan teramati serta dari hasil simulasi menyatakan bahwa keluaran sudut pitch selalu mengikuti setpoint yang diberikan, sehingga LQG dapat diterapkan pada sistem pesawat LSU-05.
Selain itu, terdapat penelitian yang dilakukan oleh Jisha Shaji dan Aswin R. B. pada tahun 2015 [8] yang membahas mengenai kontrol pitch dengan menggunakan metode LQR dan LQG. Variabel state pada penelitian ini meliputi sudut serang, laju sudut pitch, dan sudut pitch, serta input dari sistem berupa defleksi elevator. Hasil simulasi menunjukkan bahwa penggunaan metode LQR memberikan hasil performansi lebih baik pada sistem tanpa noise tetapi pada sistem dengan noise kontrol LQG memiliki kemampuan lebih baik dalam mengendalikan sudut pitch pada sistem pesawat terbang.
Oleh karena itu, berdasarkan beberapa penelitian sebelumnya, penulis menerapkan metode LQG pada gerak longitudinal pesawat tempur untuk mengetahui hasil keluaran sudut pitch. Sebelum dilakukan penerapan metode, akan dijelaskan mengenai sistem sumbu pesawat.
2.2 Sistem Sumbu Pesawat
Sistem sumbu pesawat merupakan sistem sumbu badan
pesawat terhadap bumi [9]. Terdapat 3 bagian sistem sumbu
pesawat, yaitu 𝑋𝑋
𝐵𝐵, 𝑌𝑌
𝐵𝐵, dan 𝑍𝑍
𝐵𝐵. Sumbu 𝑋𝑋
𝐵𝐵adalah sumbu yang
terletak sepanjang sumbu longitudinal pesawat dan bernilai positif
apabila mengarah ke depan. Sumbu 𝑌𝑌
𝐵𝐵adalah sumbu yang tegak
lurus pada bidang simetri dan bernilai positif ke arah kanan. Sumbu
𝑍𝑍
𝐵𝐵adalah sumbu yang terletak pada bidang simetri tegak pesawat
7
dan bernilai positif apabila mengarah ke bawah. Sistem sumbu pesawat dapat dilihat pada Gambar 2.1 [9].
Gerak translasi pada pesawat diberikan oleh komponen kecepatan yaitu 𝑈𝑈, 𝑉𝑉, dan 𝑊𝑊 pada arah 𝑋𝑋
𝐵𝐵, 𝑌𝑌
𝐵𝐵, dan 𝑍𝑍
𝐵𝐵. Gerak rotasi pada pesawat diberikan oleh komponen kecepatan sudut 𝑃𝑃, 𝑄𝑄, dan 𝑅𝑅. Kecepatan rotasi ini menyebabkan momen 𝐿𝐿, 𝑀𝑀, dan 𝑁𝑁, serta momen inersia 𝐼𝐼
𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝐼𝐼
𝑦𝑦𝑦𝑦, dan 𝐼𝐼
𝑧𝑧𝑧𝑧pada sumbu 𝑋𝑋
𝐵𝐵, 𝑌𝑌
𝐵𝐵, dan 𝑍𝑍
𝐵𝐵. Gerak rotasi sepanjang sumbu 𝑋𝑋
𝐵𝐵disebut dengan gerak roll, sepanjang sumbu 𝑌𝑌
𝐵𝐵disebut dengan gerak pitch, dan sepanjang sumbu 𝑍𝑍
𝐵𝐵disebut dengan gerak yaw. Perubahan gerak sudut pada pesawat diberikan oleh komponen 𝜙𝜙 (sudut roll), 𝜃𝜃 (sudut pitch), dan 𝜓𝜓 (sudut yaw). Berikut adalah tabel dari komponen-komponen gerak pesawat :
Tabel 1. Komponen arah gaya, momen, dan kecepatan sumbu (x,y,z)
Properties Roll 𝑥𝑥
𝑏𝑏Pitch 𝑦𝑦
𝑏𝑏Yaw 𝑧𝑧
𝑏𝑏Kecepatan Sudut 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝑅𝑅
Gambar 2.1 Struktur Pesawat Terbang
Kecepatan
Translasi 𝑈𝑈 𝑉𝑉 𝑊𝑊
Gaya Aerodynamic 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑍𝑍
Momen
Aerodynamic 𝐿𝐿 𝑀𝑀 𝑁𝑁
Momen Inersia 𝐼𝐼
𝑥𝑥𝑥𝑥𝐼𝐼
𝑦𝑦𝑦𝑦𝐼𝐼
𝑧𝑧𝑧𝑧Inersia Produk 𝐼𝐼
𝑦𝑦𝑧𝑧𝐼𝐼
𝑥𝑥𝑧𝑧𝐼𝐼
𝑥𝑥𝑦𝑦Perubahan Sudut 𝜙𝜙 𝜃𝜃 𝜓𝜓
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai control surface yang ada pada pesawat.
2.3
Control SurfaceSetiap pesawat memiliki control surface atau sistem kendali permukaan yang digunakan untuk menghasilkan gaya dan momen yang dibutuhkan untuk menghasilkan percepatan yang membuat pesawat terbang dengan tujuan yang ditentukan [9]. Pada umumnya, system kendali permukaan pada pesawat terdiri dari:
aileron, elevator, dan rudder. Posisi pada masing-masing komponen tersebut ditampilkan pada Gambar 2.2 [9].
Aileron merupakan kendali utama pada gerakan mengguling (rolling) dan terletak pada masing-masing sayap pesawat. Ketika pesawat berguling ke kanan, maka akan menyebabkan aileron sebelah kiri turun dan aileron sebelah kiri naik sehingga
Gambar 2.2 Control Surface
9
menyebabkan gaya angkat pada sayap kiri akan bertambah sedangkan gaya angkat pada sayap kanan berkurang, begitu juga sebaliknya apabila pesawat berguling ke arah kiri. Elevator merupakan kendali utama pada gerakan angguk (pitching) dan terletak pada horizontal stabilizer pesawat. Ketika pesawat akan melakukan pitch down, maka elevator akan turun kebawah. Hal ini menyebabkan gaya angkat pada ekor pesawat akan bertambah dan menyebabkan ekor pesawat naik serta hidung pesawat bergerak turun sehingga terjadi gerakan pitch down, begitu juga sebaliknya untuk gerakan pitch up . Rudder merupakan kendali utama pada gerakan menggeleng atau menggerakan hidung pesawat ke kanan dan ke kiri serta terletak pada vertical stabilizer pesawat. Jika pesawat akan berbelok ke kiri maka defleksi rudder akan mengarah ke kiri sehingga menyebabkan ekor pesawat bergerak ke kanan dan hidung pesawat bergerak ke kiri, begitu juga sebaliknya apabila pesawat akan bergerak ke kanan.
Transformasi Sumbu Pesawat
Transformasi sumbu dilakukan untuk mengetahui
kedudukan pesawat terhadap bumi. Transformasi dilakukan
dengan menggunakan metodde Euler angle (rotasi kekanan
bernilai positif) [9]. Barisan rotasi yang digunakan dalam dinamika
pesawat terbang adalah 3-2-1 atau 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 dimana transformasi
dilakukan dimulai dari sumbu 𝑧𝑧, kemudian sumbu 𝑦𝑦, dan yang
terakhir sumbu 𝑥𝑥.
1. Rotasi terhadap sumbu 𝑍𝑍
𝐵𝐵, bernilai positif jika hidung pesawat bergerak ke kanan (yaw Ψ).
Grafik hitam merupakan sumbu bumi, grafik merah merupakan sumbu pesawat menggeleng ke kanan atau melakukan gerak yaw sebesar Ψ. 𝐵𝐵 merupakan proyeksi badan pesawat terhadap sumbu bumi dan disumsikan 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′′= 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′. Kemudian didapat :
𝑋𝑋
𝐵𝐵′′′= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′′= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾
dengan 𝑟𝑟 berada di sepanjang garis 𝐵𝐵.
𝑋𝑋
𝐵𝐵′′= 𝑟𝑟 cos(𝐾𝐾 + Ψ)
= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 cos Ψ − 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 sin Ψ
= 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′′cos Ψ − 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′′sin Ψ (2.1) 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′= 𝑟𝑟 sin(𝐾𝐾 + Ψ)
= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 cos Ψ + 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 sin Ψ
= 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′′cos Ψ + 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′′sin Ψ (2.2) Jika persamaan (2.1) dan (2.2) dituliskan kembali dalam bentuk matriks, maka menjadi :
�𝑋𝑋 𝑌𝑌
𝐵𝐵𝐵𝐵′′′′� = �cos Ψ − sin Ψ sin Ψ cos Ψ � � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′′�
11
�𝑋𝑋 𝑌𝑌
𝐵𝐵𝐵𝐵′′′′′′� = � cos Ψ sin Ψ
− sin Ψ cos Ψ� � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′�
dengan menambahkan 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′′= 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′maka dapat dituliskan kembali menjadi :
� 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′′� = � cos Ψ sin Ψ 0
− sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1 � � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′�
Sehingga hasil matriks rotasi terhadap sumbu 𝑍𝑍
𝐵𝐵adalah sebagai berikut :
𝑹𝑹
𝒛𝒛,𝚿𝚿= � cos Ψ sin Ψ 0
− sin Ψ cos Ψ 0
0 0 1 �
2. Rotasi terahadap sumbu 𝑌𝑌
𝐵𝐵, bernilai positif jika hidung pesawat bergerak ke atas (pitch Θ).
Grafik hitam merupakan sumbu bumi, grafik merah merupakan
sumbu pesawat mendongak ke atas atau melakukan gerak pitch
sebesar Θ. 𝐵𝐵 merupakan proyeksi badan pesawat terhadap sumbu bumi dan disumsikan 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′= 𝑌𝑌
𝐵𝐵′. Kemudian didapat :
𝑋𝑋
𝐵𝐵′′= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾
dengan 𝑟𝑟 berada di sepanjang garis 𝐵𝐵.
𝑋𝑋
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 sin(𝐾𝐾 + Θ)
= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 cos Θ + 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 sin Θ
= 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′cos Θ − 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′sin Θ (2.3) 𝑍𝑍
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 cos(𝐾𝐾 + Θ)
= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 cos Θ − 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 sin Θ
= 𝑍𝑍
𝐵𝐵′′cos Θ − 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′sin Θ (2.4) Jika persamaan (2.3) dan (2.4) dituliskan kembali dalam bentuk matriks, maka menjadi :
�𝑋𝑋 𝑍𝑍
𝐵𝐵𝐵𝐵′′� = � cos Θ sin Θ
−sin Θ cos Θ� � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′�
�𝑋𝑋 𝑍𝑍
𝐵𝐵𝐵𝐵′′′′� = �cos Θ − sin Θ sin Θ cos Θ � � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′𝑍𝑍
𝐵𝐵′�
dengan menambahkan 𝑌𝑌
𝐵𝐵′′= 𝑌𝑌
𝐵𝐵′maka dapat dituliskan kembali menjadi :
� 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′� = � cos Θ 0 − sin Θ
0 1 0
sin Θ 0 cos Θ � � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′�
Sehingga hasil matriks rotasi terhadap sumbu 𝑌𝑌
𝐵𝐵adalah sebagai berikut :
𝑹𝑹
𝒀𝒀,𝚯𝚯= � cos Θ 0 − sin Θ
0 1 0
sin Θ 0 cos Θ �
13
3. Rotas terhadap sumbu 𝑋𝑋
𝐵𝐵, bernilai positif jika sayap kanan pesawat bergerak ke bawah (roll Φ).
Grafik hitam merupakan sumbu bumi, grafik merah merupakan sumbu pesawat mendongak ke atas atau melakukan gerak pitch sebesar Θ. 𝐵𝐵 merupakan proyeksi badan pesawat terhadap sumbu bumi dan disumsikan 𝑋𝑋
𝐵𝐵′= 𝑋𝑋
𝐵𝐵. Kemudian didapat :
𝑌𝑌
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 𝑍𝑍
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾
dengan 𝑟𝑟 berada di sepanjang garis 𝐵𝐵.
𝑌𝑌
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 cos(𝐾𝐾 + Φ)
= 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 cos Φ − 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 sin Φ
= 𝑌𝑌
𝐵𝐵′cos Φ − 𝑍𝑍
𝐵𝐵′sin ΘΦ (2.5) 𝑍𝑍
𝐵𝐵′= 𝑟𝑟 sin(𝐾𝐾 + Φ)
= 𝑟𝑟 sin 𝐾𝐾 cos Φ + 𝑟𝑟 cos 𝐾𝐾 sin Φ
= 𝑍𝑍
𝐵𝐵′cos Φ + 𝑌𝑌
𝐵𝐵′sin Φ (2.6) Jika persamaan (2.5) dan (2.6) dituliskan kembali dalam bentuk matriks, maka menjadi :
�𝑌𝑌 𝑍𝑍
𝐵𝐵𝐵𝐵� = �cos Φ − sin Φ sin Φ cos Φ � � 𝑌𝑌
𝐵𝐵′𝑍𝑍
𝐵𝐵′�
�𝑌𝑌 𝑍𝑍
𝐵𝐵𝐵𝐵′′� = � cos Φ sin Φ
− sin Φ cos Φ� � 𝑌𝑌
𝐵𝐵𝑍𝑍
𝐵𝐵�
dengan menambahkan 𝑋𝑋
𝐵𝐵′= 𝑋𝑋
𝐵𝐵maka dapat dituliskan kembali menjadi :
� 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′� = � 1 0 0 0 cos Φ sin Φ 0 − sin Φ cos Φ � � 𝑋𝑋
𝐵𝐵′′𝑌𝑌
𝐵𝐵′′𝑍𝑍
𝐵𝐵′′�
Sehingga hasil matriks rotasi terhadap sumbu 𝑌𝑌
𝐵𝐵adalah sebagai berikut :
𝑹𝑹
𝑿𝑿,𝚽𝚽= � 1 0 0
0 cos Φ sin Φ 0 − sin Φ cos Φ � Persamaan Kinematika Pesawat
Persamaan kinematika pesawat dibagi menjadi dua, yaitu terhadap translasi dan sudut terbang.
2.5.1 Persamaan Kinematika Translasi
Sudut Euler digunakan untuk mengetahui kedudukan pesawat terhadap bumi yang disajikan pada persamaan berikut [10]:
� 𝑋𝑋̇
𝐸𝐸𝑌𝑌̇
𝐸𝐸𝑍𝑍̇
𝐸𝐸� = 𝑹𝑹
𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒏𝒏� 𝑈𝑈
𝑊𝑊 𝑉𝑉 � = 𝑹𝑹
𝒛𝒛,𝚿𝚿𝑹𝑹
𝒚𝒚,𝚯𝚯𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽� 𝑈𝑈 𝑊𝑊 𝑉𝑉 �
dengan 𝑹𝑹
𝒛𝒛,𝚿𝚿adalah matriks rotasi terhadap sumbu Z, 𝑹𝑹
𝒚𝒚,𝚯𝚯adalah matriks rotasi terhadap sumbu Y, dan 𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽adalah matriks rotasi terhadap sumbu X. Selanjutnya, diuraikan menjadi :
� 𝑋𝑋̇𝐸𝐸
𝑌𝑌̇𝐸𝐸 𝑍𝑍̇𝐸𝐸
� = �cos 𝜓𝜓 sin 𝜓𝜓 0
− sin 𝜓𝜓 cos 𝜓𝜓 0
0 0 1� �cos 𝜃𝜃 0 −sin 𝜃𝜃
0 1 0
sin 𝜃𝜃 0 cos 𝜃𝜃� �
1 0 0
0 cos𝜙𝜙 sin 𝜙𝜙 0 − sin 𝜙𝜙 cos𝜙𝜙� �𝑈𝑈
𝑊𝑊𝑉𝑉�
15
�𝑋𝑋̇𝐸𝐸
𝑌𝑌̇𝐸𝐸
𝑍𝑍̇𝐸𝐸
� =
⎣⎢
⎢⎢
⎡ cos 𝜓𝜓 cos 𝜃𝜃 �cos 𝜓𝜓 sin 𝜃𝜃 sin 𝜙𝜙
+ sin 𝜓𝜓 cos 𝜙𝜙 � �−cos 𝜓𝜓 sin 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙 + sin 𝜓𝜓 sin 𝜙𝜙 �
−sin 𝜓𝜓 cos 𝜃𝜃 �sin 𝜓𝜓 sin 𝜃𝜃 sin 𝜙𝜙− cos 𝜓𝜓 cos 𝜙𝜙 � �sin 𝜓𝜓 sin 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙+ cos 𝜓𝜓 sin 𝜙𝜙 � sin 𝜃𝜃 −cos 𝜃𝜃 sin 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙 ⎦⎥⎥⎥⎤
�𝑈𝑈 𝑊𝑊𝑉𝑉�
2.5.2 Persamaan Kinematika Sudut Terbang
Untuk keperluan attitude pesawat dibutuhkan pengembagan persamaan untuk mentransformasikan sudut Euler (𝜙𝜙, 𝜃𝜃, 𝜓𝜓) pada sistem sumbu bumi ke dalam kecepatan sudut (𝑃𝑃, 𝑄𝑄, 𝑅𝑅) pada sistem sumbu badan pesawat. Hubungan sudut pergerakan Euler dan kecepatan angular pesawat ditunjukkan pada Gambar 2.3 [10].
Diberikan persamaan sebagai berikut :
� 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝑅𝑅 � = � Φ̇
0 0 � + 𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽𝑻𝑻� 0
Θ̇ 0 � + 𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽𝑻𝑻𝑹𝑹
𝒚𝒚,𝚯𝚯𝑻𝑻� 𝟎𝟎 𝚿𝚿̇ 𝟎𝟎 �
dimana 𝑹𝑹
𝒙𝒙,𝚽𝚽𝑻𝑻adalah matriks hasil transformasi terhadap sumbu-x dan 𝑹𝑹
𝒛𝒛,𝚯𝚯𝑻𝑻adalah matriks hasil transformasi sumbu-z. Kemudian dapat dituliskan menjadi :
𝑃𝑃 = Φ̇ − Ψ̇ sin 𝜃𝜃 (2.7)
𝑄𝑄 = Θ̇ cos Φ + Ψ̇ cos 𝜃𝜃̇ sin Φ (2.8) 𝑅𝑅 = −Θ̇ sin Φ + Ψ̇ cos 𝜃𝜃 cos Φ (2.9) dengan 𝜙𝜙, 𝜃𝜃, dan 𝜓𝜓 dirujuk sebagai sudut Euler serta 𝑃𝑃, 𝑄𝑄, dan 𝑅𝑅 sebagai kecepata sudut pesawat dengan satuan 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 .
Penurunan Persamaan Gerak Pesawat
Untuk memudahkan dalam proses penurunan persamaan keadaan, diberikan beberapa asumsi [9], antara lain :
• Pesawat adalah benda kaku yang terbang.
• Jarak antara tiap titik pada pesawat tidak berubah saat terbang.
• Kecepatan terbang pesawat adalah konstan.
2.6.1 Gerak Translasi
Gerak translasi pada pesawat adalah gerak yang searah pada sumbu 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, dan z. Persamaan gerak translasi diperoleh melalui penurunan Hukum II Newton :
� 𝑭𝑭 = 𝑚𝑚 𝑟𝑟 (2.10)
dimana :
∑ 𝐹𝐹 : resultan gaya yang bekerja pada pesawat (𝑁𝑁) 𝑚𝑚 : massa dari elemen pesawat (𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑟𝑟 : percepatan translasi (𝑚𝑚/𝑠𝑠
2) dengan,
� 𝑭𝑭 = 𝐹𝐹 + 𝐹𝐹
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑦𝑦dan 𝑟𝑟 =
𝑑𝑑𝑔𝑔𝑑𝑑𝒗𝒗
𝑻𝑻, sehingga :
� 𝑭𝑭 = 𝑚𝑚 𝒃𝒃 𝒃𝒃𝒅𝒅 (𝒗𝒗
𝑻𝑻)
𝑬𝑬dimana :
(𝒗𝒗
𝑻𝑻)
𝑬𝑬: kecepatan translasi pesawat terhadap bumi (𝑚𝑚/𝑠𝑠
2) Representasi rata-rata perubahan 𝒗𝒗
𝑻𝑻relative terhadap sistem sumbu bumi diberikan dalam persamaan berikut :
𝒃𝒃
𝒃𝒃𝒅𝒅 (𝒗𝒗
𝑻𝑻)
𝑬𝑬= 𝒃𝒃
𝒃𝒃𝒅𝒅 𝒗𝒗
𝑻𝑻|
𝑩𝑩+ 𝝎𝝎 × 𝒗𝒗
𝑻𝑻Persamaan (2.10) berubah menjadi :
� 𝑭𝑭 = 𝑚𝑚 � 𝒃𝒃
𝒃𝒃𝒅𝒅 𝒗𝒗
𝑻𝑻|
𝑩𝑩+ 𝝎𝝎 × 𝒗𝒗
𝑻𝑻� (2.11)
17
dimana :
𝝎𝝎 : kecepatan anguler pesawat �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � �
(𝒗𝒗
𝑻𝑻)
𝑩𝑩: kecepatan translasi pesawat terhadap sumbu badan (𝑚𝑚/𝑠𝑠
2)
Jika kecepatan translasi dan anguer pesawat diketahui sebagai berikut :
𝒗𝒗
𝑇𝑇= 𝒃𝒃𝑈𝑈 + 𝒋𝒋𝑉𝑉 + 𝒌𝒌𝑊𝑊
𝝎𝝎 = 𝒃𝒃𝑃𝑃 + 𝒋𝒋𝑄𝑄 + 𝒌𝒌𝑅𝑅 (2.12) dengan 𝒃𝒃, 𝒋𝒋, 𝒌𝒌 mempresentasikan vektor pada sumbu 𝑋𝑋
𝐵𝐵, 𝑌𝑌
𝐵𝐵, dan 𝑍𝑍
𝐵𝐵, maka :
𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑑𝑑 𝒗𝒗
𝑻𝑻|
𝑩𝑩= 𝒃𝒃𝑈𝑈̇ + 𝒋𝒋𝑉𝑉̇ + 𝒌𝒌𝑊𝑊̇ (2.13) dan operasi perkalian silang menghasilkan :
𝝎𝝎 × 𝒗𝒗
𝑻𝑻= � 𝒃𝒃 𝒋𝒋 𝒌𝒌 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝑅𝑅 𝑈𝑈 𝑉𝑉 𝑊𝑊 �
= 𝒃𝒃(𝑄𝑄 𝑊𝑊 − 𝑉𝑉 𝑅𝑅) + 𝒋𝒋(𝑈𝑈 𝑅𝑅 − 𝑃𝑃 𝑊𝑊) + 𝒌𝒌(𝑃𝑃 𝑉𝑉 − 𝑈𝑈 𝑄𝑄) (2.14) Subtitusi Persamaan (2.13) dan Persamaan (2.14) ke dalam Persamaan (2.11), sehingga diperoleh :
� 𝑭𝑭 = 𝑚𝑚 �𝒃𝒃�𝑈𝑈̇ + 𝑄𝑄 𝑊𝑊 − 𝑉𝑉 𝑅𝑅� + 𝒋𝒋�𝑉𝑉̇ + 𝑈𝑈 𝑅𝑅 − 𝑃𝑃 𝑊𝑊�
+ 𝒌𝒌�𝑊𝑊̇ + 𝑃𝑃 𝑉𝑉 − 𝑈𝑈 𝑄𝑄�� (2.15)
Pada Persamaan (8) dapat dituliskan kembali resultan gaya pada masing-masing sumbu sebagai berikut :
𝑭𝑭
𝒙𝒙= 𝑚𝑚�𝑈𝑈̇ + 𝑄𝑄 𝑊𝑊 − 𝑉𝑉 𝑅𝑅�
𝑭𝑭
𝒚𝒚= 𝑚𝑚�𝑉𝑉̇ + 𝑈𝑈 𝑅𝑅 − 𝑃𝑃 𝑊𝑊�
Gambar 2.4 menunjukkan gaya yang terjadi pada pesawat akibat gravitasi bumi dan disajikan pada persamaan berikut :
(𝑭𝑭
𝒙𝒙)
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑦𝑦= −𝑚𝑚 𝑘𝑘 sin Θ
�𝑭𝑭
𝒚𝒚�
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑦𝑦= 𝑚𝑚 𝑘𝑘 cos Θ sin Φ (2.17)
(𝑭𝑭
𝒛𝒛)
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑦𝑦= 𝑚𝑚 𝑘𝑘 cos Θ cos Φ
dari Persamaan (2.16) dan (2.17), diperoleh : 𝑭𝑭
𝒛𝒛= 𝑚𝑚�𝑊𝑊̇ + 𝑃𝑃 𝑉𝑉 − 𝑈𝑈 𝑄𝑄�
(2.16)
𝑚𝑚 𝑘𝑘 cos 𝜙𝜙 𝑚𝑚 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙
𝑌𝑌
𝑍𝑍 𝜙𝜙
𝜙𝜙 𝜙𝜙
𝑚𝑚 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃 sin 𝜙𝜙 𝑍𝑍
𝑋𝑋 𝜃𝜃
𝜃𝜃 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃
