MATEMATIKA WAJIB. Kelas XII Semester 1. Sebuah Modul Belajar. Absari Nur Khasanah, S.Pd Anisa Amalia, S.Si M. Aziz Angga Pratama, M.

MATEMATIKA WAJIB Kelas XII Semester 1 Sebuah Modul Belajar. Absari Nur Khasanah, S.Pd Anisa Amalia, S.Si M. Aziz Angga Pratama, M.Sc. SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta.

Kata Pengantar Alhamdulillah, puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena atas berkah, rahmat serta karunia-Nya, penusunan modul belajar Matematika Wajib Kelas XII Semester 1 dapat diselesaikan. Modul belajar ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar mengajar mata pelajaran Matematika Wajib kelas XII di SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta. Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran matematika, pembaca diharapkan dapat memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, serta mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Pembaca juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikan gagasan dengan berbagai perangkatmatematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan. Akhirnya, kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Demikian pula modul ini pastilah tak luput dari kekurangan-kekurangan. Oleh karena itu berbagai macam perbaikan termasuk saran dan kritik dari pembaca sangat kami harapkan demi kesempurnaan buku ini.. Yogyakarta, 2020. Penulis. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 2.

Daftar Isi Halaman Judul ................................................................................................................................... Kata Pengantar .................................................................................................................................. Daftar Isi .............................................................................................................................................. Pendahuluan ...................................................................................................................................... Deskripsi ......................................................................................................................................... Petunjuk ........................................................................................................................................... 1 2 3 4 4 5. Bab I Dimensi Tiga ........................................................................................................................... Rencana Belajar Siswa .............................................................................................................. Kegiatan Belajar 1 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 2 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 3 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 4 ....................................................................................................................... Bab II Statistika .................................................................................................................................. Rencana Belajar Siswa .............................................................................................................. Kegiatan Belajar 1 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 2 ........................................................................................................................ 6 7 8 15 21 27 31 32 33 40. Kegiatan Belajar 3 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 4 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 5 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 6 ....................................................................................................................... Bab III Aturan Pencacahan ............................................................................................................ Rencana Belajar Siswa .............................................................................................................. Kegiatan Belajar 1 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 2 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 3 ........................................................................................................................ 47 52 56 63 72 73 74 80 84. Kegiatan Belajar 4 ....................................................................................................................... Kegiatan Belajar 5 ....................................................................................................................... Penutup ................................................................................................................................................ Daftar Pustaka .................................................................................................................................... 88 92 94 97. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 3.

Pendahuluan DESKRIPSI Perubahan global, perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi serta seni dan budaya, berpengaruh pada perkembangan dan perubahan kehidupan bermasyarakat, berbangsa, dan bernegara di Indonesia. Hal tersebut menuntut perlunya perbaikan sistem pendidikan nasional termasuk penyempurnaan kurikulum. Kurikulum merupakan seperangkat rencana dan pengaturan mengenai tujuan, isi, dan bahan pelajaran serta cara yang digunakan sebagai pedoman penyelenggaraan kegiatan pembelajaran untuk mencapai tujuan pendidikan tertentu. Oleh karena itu, kurikulum disusun dan dikembangkan oleh satuan pendidikan dengan mengacu pada Standar Isi (SI) dan Standar Kompetensi Lulusan (SKL). Kurikulum yang dikembangkan oleh satuan pendidikan disebut dengan Kurikulus Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Komponen dari KTSP antara lain salah satunya adalah Rencana Pelaksanaan Pembelajaran. Komponen tersebut harus dibuat oleh guru dan memerlukan sumber/media pembelajaran. Modul ini sebagai salah satu sumber/media pembelajaran mempunyai peranan yang penting dalam meningkatkan sumber daya manusia khususnya siswa SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta. Modul Matematika Wajib di semester 1 terdiri dari 3 Bab, yaitu:  Bab I Dimensi Tiga  Bab II Statistika  Bab III Aturan Pencacahan Setiap bab ini dimulai dari uraian materi yang diselingi dengan motivasi, contoh-contoh soal, Latihan soal, serta tes formatif untuk mengukur ketercapaian setiap kompetensi dasar atau setiap modulnya. Ketika Ananda sudah tuntas belajar Bab I, Ananda bisa melanjutkan untuk belajar Modul II begitu seterusnya.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 4.

Petunjuk Keberhasilan belajar tergantung dari kedisiplinan dan ketekunan Ananda dalam memahami Langkah-langkah belajarnya. Belajar dengan modul ini dilakukan secara mandiri atau kelompok, baik di sekolah maupun di luar sekolah. Dalam modul ini semua materi dijelaskan secara rinci dan merupakan sumber belajar. Untuk memperoleh prestasi belajar secara maksimal, maka Langkah-langkah yang perlu dilaksanakan dalam menggunakan modul ini antara lain : 1. Sebelum belajar, Ananda berdo’a terlebih dahulu. 2. Bacalah dan pahami materi yang ada pada setiap kegiatan belajar. Bila ada materi yang belum jelas, Ananda dapat bertanya kepada teman atau guru. 3. Kerjakan Tes Formatif terhadap materi yang dibahas dalam setiap kegiatan belajar. 4. Jika belum menguasai materi yang diharapkan, ulangi lagi kegiatan belajar pada materi tersebut atau bertanyalah kepada guru. Selamat belajar Ananda, semoga Allah selalu menganugerahkan pehamaman yang baik sehingga Ananda dapat menguasai materi dalam modul ini dengan baik.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 5.

BAB I Dimensi Tiga. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 6.

Rencana Belajar Siswa (KD dan IPK) Berikut Kompetensi Dasar (KD) serta Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) dari pembelajaran Bab I Dimensi Tiga. Kompetensi Dasar (KD) 3. 1.. Mendeskripsikan. jarak. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) 3.1.1.. dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang.. 3.1.2.. bidang). Menentukan jarak dua titik dalam ruang.. 3.1.3.. Menentukan jarak titik ke garis.. 3.1.4.. Menentukan jarak titik ke bidang.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 7.

Kegiatan Belajar 1 (Kedudukan Titik). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran mandiri, peserta didik dapat menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung. Peserta didik dapat menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah kedudukan titik terhadap garis dan kedudukan titik terhadap bidang.. Materi Titik merupakan unsur terkecil dari dimensi tiga atau bangun ruang. Sedangkan kumpulan beberapa titik akan membentuk suatu garis. Perpotongan dua garis atau lebih akan membentuk suatu bidang. Kedudukan titik meliputi : 1) Titik Terletak pada Garis Contoh: Titik A dan Garis AB. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 8.

2) Titik Terletak di Luar Garis Contoh: Titik C dan garis AB. 3) Titik Terletak pada Bidang Contoh: Titik A dan bidang ABCD. 4) Titik Terletak di luar Bidang Titik E dan bidang ABCD. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 9.

Kedudukan dua garis meliputi : 1.) Berimpit Garis g berimpit dengan garis h jika setiap titik di garis g juga terletak di garis h.. 𝑔=ℎ 𝛼. 2.) Berpotongan Garis g dan h berpotongan jika keduanya memiliki tepat satu titik persekutuan. ℎ. 𝑔. 𝛼. 3.) Sejajar Garis g dan h sejajar jika keduanya tak mempunyai titik persekutuan.. ℎ 𝑔 𝛼. 4.) Bersilangan Garis g dan h bersilangan jika keduanya tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan terletak di dua bidang yang berbeda. ℎ. 𝑔 𝛼. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 10.

Kedudukan garis terhadap bidang meliputi : 1) Garis terletak pada bidang Garis g terletak padang bidang 𝛼 jika setidaknya dua titik pada garis g terletak di bidang 𝛼.. 𝑔 𝛼. 2) Garis sejajar bidang Garis g sejajar bidang 𝛼, jika : a.) Garis g tidak terletak padang bidang 𝛼, atau b.) Garis g dan bidang 𝛼 tidak memiliki titik persekutuan, atau c.) Garis g sejajar dengan sebuah garis pada bidang 𝛼. 𝑔. 𝛼. 3) Garis menembus bidang Garis g menembus bidang 𝛼 jika garis g dan bidang 𝛼 hanya memiliki satu titik persekutuan. 𝑔. 𝛼. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 11.

Tes Formatif Petunjuk : Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1) Pada kubus ABCD.EFGH, segitiga AFH dan segitiga BDG adalah dua segitiga yang …. A. Saling berhadapan B. Berpotongan C. Bersilangan D. Sejajar E. Sebangun 2) Pada kubus ABCD.EFGH, rusuk yang sejajar dengan bidang diagonal ABGH adalah rusuk …. A. AB dan GH B. AB dan CD C. EF dan GH D. GH dan CD E. CD dan EF 3) Pada kubus ABCD.EFGH, bidang diagonal yang memuat diagonal ruang EC dan HB adalah bidang diagonal … A. ACGE B. BDHF C. ABGH D. CDEF E. BCHE 4) Pada kubus ABCD.EFGH, bidang-bidang diagonal yang dilewati segitiga BEG adalah …. A. bidang diagonal ACGE, ABGH, dan BDHF B. bidang diagonal ACGE, BCHE, dan ADGF C. bidang diagonal ABGH, BCHE, dan CDEF D. bidang diagonal ACGE, ABGH, dan BCHE E. bidang diagonal BDHF, ADGF, dan CDEF. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 12.

5) Pada kubus ABCD.EFGH, pasangan garis di bawah ini yang saling bersilangan tegak lurus adalah …. A. BH dengan DE B. DF dengan AC C. CF dengan BE D. BD dengan AE E. AC dengan HG 6) Prisma tegak PQRS.TUVW dengan alas PQRS merupakan segi empat sembarang. Bidang di bawah ini yang tegak lurus dengan PT adalah …. A. PQUT B. PQRS C. QRVU D. PSWT E. RSWV 7) T.ABCD adalah limas beraturan. Titik K terletak pada pertengahan TA dan L terletak pada pertengahan TE. Titik E adalah pertengahan diagonal AC dan BD. Garis yang sejajar KL adalah … A. AD B. AC C. AB D. TC E. TD 8) Garis-garis yang bersilangan pada kubus ABCD.EFGH adalah … A. DG dengan BG B. DF dengan BH C. AB dengan BD D. EG dengan AC E. EG dengan BC. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 13.

9) Pada sebuah balok PQRS.TUVW, pernyataan yang benar adalah … A. PQ bersilangan dengan SV B. PU bersilangan dengan TQ C. SQ sejajar dengan TV D. QV sejajar dengan ST E. TQ tegak lurus TR 10)Pada balok ABCD.EFGH, kedudukan garis DF terhadap bidang ACH adalah …. A. sejajar B. berimpit C. menembus D. bersilangan E. bersinggungan. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 14.

Kegiatan Belajar 2 (Jarak Dua Titik). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran mandiri, peserta didik dapat menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung. Peserta didik dapat menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah jarak antara dua titik dalam ruang.. Materi Jarak Dua Titik 1.) Jarak titik ke titik Jika diketahui titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan titik 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) maka, jarak kedua titik yaitu 𝐴𝐵 = √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 Contoh 1 : Diketahui titik A(2, 3) dan titik B(-3, 2). Tentukan jarak antara titik A dan B. Penyelesaian : Jarak antara dua titik dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak dua titik yaitu 𝐴𝐵 = √(2 − (−3))2 + (3 − 2)2 = √52 + 12 = √26 Jadi, jarak titik A dan B adalah √26. Contoh 2 : Dalam limas segiempat beraturan T.ABCD, AB = 8 cm dan tinggi 4√6 cm, P dan R masing-masing merupakan titik tengah BC dan TC. Hitunglah : a. Jarak A ke R b. Jarak P ke R. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 15.

Penyelesaian : T. R D. C P. Q A. B. a. Perhatikan ∆𝐴𝑇𝐶 𝐴𝐶 = √𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = √82 + 82 = 8√2 cm 𝐴𝑇 =. √𝑇𝑄 2. +. 𝐴𝑄 2. 2 1 2 √ = (4√6) + ( . 8√2) 2. = √96 + 32 = √128 = 8√2 cm Oleh karena CT = AC = AT maka ∆𝐴𝑇𝐶 samasisi. AR adalah garis tinggi dari segitiga ATC dengan CR = RT. 1 𝐴𝑅 = √𝐴𝐶 2 − 𝐶𝑅 2 = √𝐴𝐶 2 − ( 𝐶𝑇)2 2 = √128 − (4√2)2 = √128 − 32 = √96 = 4√6 cm Jadi, jarak A ke R adalah 4√6 cm.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 16.

b. Lihat segitiga TBC di bawah ini. T. R. C. B P. TB = TC = 8√2 cm BC = 8 cm OLeh karena R titik tengah TCdan P titik tengah BC, BT//PR maka segitiga TBC sebangun dengan segitiga RPC. TC : PC = TB : PR 1 𝑇𝐵. 𝑅𝐶 8√2. 2 . 8√2 1 ↔ 𝑃𝑅 = = = . 8. √2 = 4√2 𝑇𝐶 2 8√2 Jadi, jarak P ke R adalah 4√2 cm.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 17.

Tes Formatif Petunjuk : Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1) Diketahui sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 4 cm. Panjang diagonal sisi kubus tersebut adalah …. A. 4 cm B. 4√2 cm C. 4√3 cm D. 8 cm E. 8√2 cm 2) Sebuah balok berukuran 8cm x 6 cm x 6 cm. panjang salah satu diagonal bidang pada balok tersebut adalah … A. 6√3 cm B. 8√2 cm C. 9 cm D. 9√2 cm E. 10 cm 3) Panjang AG pada balok ABCD.EFGH yang panjang rusuk-rusuknya 10 cm, 5 cm, dan 5 cm adalah …. A. 5√2 cm B. 5√3 cm C. 10 cm D. 5√5 cm E. 5√6 cm 4) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=6 cm, BC=8 cm, dan CG= 15 cm. jarak antara titik A dan titik D adalah …. A. 17 cm B. 15 cm C. 10 cm D. 8 cm E. 6 cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 18.

5) Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm, jarak titik R dan titik T adalah …. A. 5 cm B. 5√2 cm C. 5√3 cm D. 10 cm E. 10√3 cm 6) Diketahui bidang empat beraturan A.BCD mempunyai panjang rusuk 4 cm. Jika S merupakan titik tengah garis BC, jarak titik A dan titik S adalah … A. 2 cm B. 2√3 cm C. 4 cm D. 4√3 cm E. 8 cm 7) Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 8 cm dan rusuk tegak 4√6 cm. Jika P pada garis AC dengan AP : AC = 3 : 4, panjang garis TP adalah …. A. 8 cm B. C. D. E.. 6√2 cm 4√6 cm 10 cm 12 cm. 8) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB, Eh, dan CG berturut-turut 5 cm, 4 cm, dan 3 cm. Jarak antara titik B dan titik H adalah …. A. 5 cm B. 5√2 cm C. 5√3 cm D. 10 𝑐𝑚 E. 12 cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 19.

9) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik U merupakan titik tengah BC dan titik V merupakan titik tengah GH. Jarak titik U dan titik V adalah …. A. 2 cm B. √6 cm C. 4 cm D. 2√6 cm E. 6 cm 10)Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 2a. Titik A adalah titik potong garis TV dan garis UW. Titik B adalah titik potong garis UR dan garis QV. Jarak antara titik A dan titik B adalah …. A. B.. 1 2 3 4. 𝑎√2 𝑎√2. C. 𝑎√2 D.. 3 2. 𝑎√2. E. 2𝑎√2. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 20.

Kegiatan Belajar 3 (Jarak Titik ke Garis). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran mandiri, peserta didik dapat menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung. Peserta didik dapat menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah jarak titik ke garis dalam ruang.. Materi Jarak antara titik A dan garis 𝑘 adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik A yang tegak lurus terhadap garis 𝑘. 𝑘. A 𝑙. Ruas garis 𝑙 yang tegak lurus terhadap garis 𝑘 menunjukkan jarak antara titik A dan garis 𝑘. Contoh 1: Diberikan kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Jika panjang rusuk kubus adalah 2 cm, berapa jarak titik A ke diagonal bidang EB? H G E. F D. A. C B. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 21.

Penyelesaian : H. Jarak titik A ke diagonal bidang EB ditunjukkan oleh garis AT. Panjang 𝐸𝐵 = √22 + 22 = √8 = 2√2 (rumus phytagoras). G F. E. D. T. 𝐴𝑇 = √22 − (√2)2 = √4 − 2 = √2. C. Jadi, jarak titik A ke garis EB adalah √2 cm. B. A. Contoh 2 : T.ABC adalah limas segitiga dengan TA tegak lurus ABC. Panjang TA = 8 cm, AB = AC = 10 cm, dan BC = 12 cm. Hitunglah : a.. Jarak T dengan BC. b.. Jika P tengah-tengah BC, hitung jarak titik A ke garis TP. Penyelesaian : T Q. 8. C. 10. 6 P. A 6. 10. B. a. Jarak T dengan BC adalah TP. 𝐴𝑃2 = 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑃2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64 Sehingga panjang AP = 8 cm. 𝑇𝑃2 = 𝐴𝑃2 + 𝑇𝐴2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 128 𝑇𝑃 = √128 = 8√2 Jadi, jarak T dengan BC adalah 8√2 cm.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 22.

b. Jarak titik A ke garis TP adalah AQ. Segitiga TAP siku-siku samakaki dengan TA = AP, berarti : 1. 1. 𝑃𝑄 = 2 𝑃𝑇 = 2 . 8√2 = 4√2 cm 𝐴𝑄 = √𝐴𝑃2 − 𝑃𝑄 2 = √64 − 32 = √32 = 4√2 Jadi, jarak A ke garis TP adalah 4√2 cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 23.

Tes Formatif Petunjuk : Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 15 cm. Jika M pada pertengahan EG, jarak E ke garis AM adalah …. A. 5√2 cm B. 5√3 cm C. 6√2 cm D. 6√3 cm E. 6√6 cm 2) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jika M titik tengah EH, jarak titik M ke AG adalah …. A. 5√6 cm B. C. A. B.. 5√5 cm 5√3 cm 5√2 cm 5 cm. 3) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah …. A. √6 cm B. 7√2 cm C. 7√6 cm D. 10√2 cm E. 10√6 cm 4) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik K ke garis BC adalah …. A. 4√6 cm B. 6√3 cm C. 5√6 cm D. 6√5 cm E. 9√2 cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 24.

5) Pada limas segi empat tegak T.ABCD, diketahui AB=Bc=CD=DA=10 cm. Jika TE = 8 cm adalah tinggi limas, jarak titik B dengan TE adalah …. A. 4 cm B. 5 cm C. 4√2 cm D. 5√2 cm E. 4√3 cm 6) Diketahui T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah …. A. 6 cm B. 6√2 cm C. 6√6 cm D. 8 cm E. 8√6 cm 7) Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB=10 cm dan tinggi limas =16 cm. Jika titik P merupakan titik tengah garis TB, maka jarak titik P ke diagonal BD adalah …. A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm E. 10 cm 8) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=6 cm, BC=8 cm, dan BF=24 cm. Jarak titik C terhadap garis AG adalah …. A. B. C. D. E.. 100 13 110 13 111 13 120 13 125 13. cm cm cm cm cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 25.

9) Diketahui balok ABCD. EFGH dengan panjang AB=4 cm, BC=6 cm, dan AE=12 cm. Jika titik K di tengah garis AB, maka jarak titik K ke garis diagonal AC adalah …. A. B. C. D. E.. 1 13 2 13 3 13 5 13 6 13. √13 cm √13 cm √13 cm √13 cm √13 cm. 10)Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=3 cm, BC=4 cm, dan CG=12 cm. Jarak titik C ke garis diagonal HB adalah …. A. B. C. D. E.. 11 13 12 13 15 13 20 13 21 13. cm cm cm cm cm. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 26.

Kegiatan Belajar 4 (Jarak Titik ke Bidang). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran mandiri, peserta didik dapat menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung. Peserta didik dapat menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah jarak titik ke bidang dalam ruang.. Materi Untuk memahami jarak titik ke bidang, silahkan Ananda perhatikan contoh berikut : Contoh 1 : Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti pada gambar. Berapa jarak titik B ke bidang AFGD? Penyelesaian : H. G. F. E F. 4√2. T. 4. D. C B. A. 4. A. B. Jarak titik B ke bidang AFGD ditunjukkan oleh ruas garis BT. Panjang AT = 2√2 cm. 2. Panjang BT = √42 − (2√2) = √16 − 8 = √8 = 2√2 Jadi, jarak titik B ke bidang AFGD adalah 2√2 cm.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 27.

Tes Formatif Petunjuk : Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Jarak titik A dengan bidang BFHD adalah …. A. 1 cm B. √2 cm C. √3 cm D. 2 cm E. 2√2 cm 2) Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah …. A. √3 cm B. 2√3 cm C. 3√3 cm D. 4√3 cm E. 6√3 cm 3) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Jarak titik F ke bidang BEG adalah …. A. 4√3 cm B. 3√3 cm C. 2√3 cm D. 3 cm E. 2 cm 4) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik A dan bidang CFH adalah …. A. B. C. D.. 10 3 10 3 20 3 20 3. √2 cm 3 cm √2 cm √3 cm. E. 10√2 cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 28.

5) Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk adalah 9 cm, maka jarak antara titik puncak T dengan bidang alas adalah …. A. 11√3 cm B. 2√3 cm C. 2√6 cm D. 3√6 cm E. 9√6 cm 6) Limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 8√2 cm dan rusuk tegak TA = 17 cm. Jarak antara titik T ke alas ABCD adalah …. A. 15 cm B. 18,8 cm C. 22,5 cm D. 23,3 cm E. 30 cm 7) Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 8 cm dan rusuk tegak 16 cm. jika titik P terletak di tengah garis AD maka jarak titikP ke bidang TBD adalah …. A. B. C. D. E.. 2√2 cm 3√2 cm 4√2 cm 5√2 cm 6√2 cm. 8) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 5 cm, BC = 12 cm, dan AE = 26 cm. Jarak titik B dengan bidang ACGE adalah …. A. B. C. D. E.. 57 13 58 13 59 13 60 13 61 13. cm cm cm cm cm. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 29.

9) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB= 4 cm, BC=8 cm, dan AE=10 cm. Jarak titik e dengan bidang BDF adalah …. A. B. C. D. E.. 3 5 4 5 6 5 7 5 8 5. √5 cm √5 cm √5 cm √5 cm √5 cm. 10)Diketahui balok PQRS.TUVW dengan panjang PQ=6 cm, QR=8 cm, dan PT=10 cm. Jarak titik P dengan bidang QSWU adalah …. A. B.. 24 5 22 5. cm cm. C. 5√2 cm D. 5√3 cm E. 6 cm. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 30.

BAB II STATISTIKA. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 31.

Rencana Belajar Siswa (KD dan IPK) Berikut Kompetensi Dasar (KD) serta Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) dari pembelajaran Bab II Statistika. Kompetensi Dasar (KD) 3. 2.. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK). Menentukan dan menganalisis ukuran. pemusatan. 3.2.1.. dan. dan penyebaran data yang disajikan dalam. penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi. Mengidentifikasi fakta pada ukuran pemusatan bentuk tabel distribusi dan histogram. 3.2.2.. frekuensi dan histogram. Menentukan. ukuran. pemusatan. dan. penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram 3.2.3.. Menganalisis. ukuran. pemusatan. dan. penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram 4.2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan data. hasil. pencacahan distribusi histogram. dengan. 4.2.1.. penyajian. pengukuran. dan. dalam. tabel. frekuensi. dan. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian. data. hasil. pengukuran. dan. pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram 4.2.2.. Menyajikan berkaitan. penyelesaian dengan. masalah. penyajian. data. yang hasil. pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 32.

Kegiatan Belajar 1 (Tabel Distribusi Frekuensi). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran mandiri, peserta didik dapat menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung. Peserta didik dapat menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah tabel distribusi frekuensi.. Materi Proses sebelum menyajikan data adalah mengumpulkan data. Supaya anda dapat memahami tentang pengumpulan data, ada baiknya dibahas terlebih dahulu tenatng jenis-jenis data serta populasi dan sampel. 1) Data Kuantitatif dan Kualitatif Data dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu data kuantitatif dan data kualitatif. a) Data kuantitatif adalah data yang berupa bilangan, nilainya bisa berubahubah atau bersifat varibel. Data kuantitatif terbagi atas 2 bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.  Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang. Contoh : pegawai di sebuah perusahaan terdiri atas 160 laki-laki dan 70 perempuan.  Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh : suhu badan penderita demam itu adalah 40𝑜 . b) Data kualitatif adalah data yang hukan merupakan bilangan, tetapi berupa ciri-ciri, sifat, keadaan, atau gambaran dari kualitas objek yang diteliti.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 33.

Golongan data ini disebut atribut. Contoh : data mengenai kualitas suatu produk, yaitu baik, sedang, dan kurang. 2) Populasi dan Sampel Populasi adalah jumlah keseluruhan dari satuan-satuan atau individu-individu yang karakteristiknya hendak diteliti. Sampel adalah sebagian dari populasi yang karakteristiknya hendak diteliti. Cara memperoleh data : a) Penelitian langsung ke lapangan, misalnya data yang diperoleh dari penelitian di laboratorium dan wawancara langsung dengan para pelajar. b) Pengambilan data dari pihak lain, misalkan data yang diperoleh dari suatu lembaga atau pihak yang telah memiliki data. Setelah anda melakukan pengumpulan data sampel dan populasi yang anda pilih, anda perlu menyajikannya dalam bentuk tertentu supaya data tersebut mudah dibaca, dipahami, dan dianalisis oleh orang yang berkepentingan. Pertama biasanya data disajikan dalam bentuk tabel, kemudian barulah dikonversi ke bentuk diagram. Penyajian data dalam bentuk tabel atau daftar akan lebih menjelaskan permasalahan daripada data yang disajikan dalam bentuk naskah. Secara garis besar tabel (daftar) yang dikenal ada dua macam, yaitu tabel distribusi frekuensi data tunggal, dan tabel distribusi frekuensi data berkelompok. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI DATA TUNGGAL Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Disebut tabel distribusi frekuensi tunggal karena datanya adalah data tunggal, yaitu data yang tidak dinyatakan dalam bentuk interval. Sedangkan data berkelompok (majemuk) adalah data dalam bentuk interval. Data dapat disajikan dengan suatu tabel distribusi frekuensi tunggal yang terdiri atas tiga kolom. Judul kolom ke-1 adalah hasil yang diamati, judul kolom ke-2 adalah turus (tally), dan judul kolom ke-3 adalah frekuensi, yang menyatakan jumlah kejadian dari hasil yang diamati.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 34.

Contoh 1. Nilai-nilai yang diberikan untuk suatu tugas Fisika Kelas XII kepada 20 siswa adalah sebagai berikut. 6 7 5 7 7 8 7 6 9 7 4 10 6 8 9 9 5 6 4 8 Data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi menjadi : Nilai. Turus. Frekuensi. 4. ||. 2. 5. ||. 2. 6. ||||. 4. 7. ||||. 5. 8. |||. 3. 9. |||. 3. 10. |. 1. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI DATA BERKELOMPOK Data kelompok adalah data yang datum-datumnya disajikan dalam bentuk interval (selang). Jika banyak datum suatu data cukup besar, misalnya datum 𝑛 > 40 maka menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi tunggal tidaklah efisien. Umumnya data yang banyak datumnya besar disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok. Bagaimanakah penyajian data yang banyak datumnya besar ke bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok ? Berikut contohnya.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 35.

Contoh 2. Sebuah supermarket meneliti umur pengunjungnya selama seminggu. Hasil pencatatan umur dari 100 pengunjung dalam seminggu adalah sebagai berikut. 20 16 51 70 18 41 31 60 13 19. 22 32 60 61 19 37 15 62 17 20. 23 15 30 25 22 35 14 33 39 21. 30 41 17 26 18 36 12 41 35 28. 35 33 28 28 18 35 19 47 42 38. 40 25 31 29 17 34 24 29 55 33. 31 26 42 30 16 64 26 28 56 42. 20 24 30 33 15 30 29 30 57 32. 15 28 46 16 20 40 33 31 43 34. 45 55 48 17 27 42 46 28 41 21. Data tersebut dapat diubah menjadi tabel distribusi frekuensi data kelompok sebagai berikut : Umur Turus (tally) Frekuensi 11-18 IIIII IIIII IIIII II 17 19-26 IIIII IIIII IIIII IIII 19 27-34 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII 29 35-42 IIIII IIIII IIIII III 18 43-50 IIIII I 6 51-58 IIIII 5 59-66 IIIII 5 67-74 I 1 Catatan : 1.. 2.. Mencari Tepi kelas pada interval Tepi Bawah. = Batas Bawah – 0,5. Tepi Atas. = Batas Atas + 0,5. Mencari Nilai Tengah pada interval Nilai Tengah. = (Batas Bawah + Batas Atas)/2. Contoh : Misalkan interval kelas 67 – 74 , maka Batas Bawah = 67 dan Batas Atas = 74, sehingga : 1.. Tepi Bawah. = Batas Bawah – 0,5. = 67 – 0,5 = 66,5. 2.. Tepi Atas. = Batas Atas + 0,5. = 74 + 0,5 = 74,5. 3.. Nilai Tengah. = (Batas Bawah + Batas Atas)/2 = (67 + 74)/2 = 141/2= 70,5.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 36.

Tes Formatif Pilihlah jawaban yang paling tepat. (untuk soal no. 1 sd 5) Perhatikan tabel berikut Berat Badan (kg). Frekuensi. 41 − 45. 3. 46 − 50. 7. 51 − 55. 9. 56 − 60. 15. 61 − 65. 10. 66 − 70. 6. 1. Frekuensi dari kelas dengan batas bawahnya 41 kg adalah …. A. 3 B. 7 C. 9 D. 10 E. 15 2. Tepi atas kelas ke-4 dari data di atas adalah …. A. 59 kg B. 59,5 kg C. 60 kg D. 60,5 kg E. 61 kg 3. Batas atas kelas yang berfrekuensi 7 dari data di atas adalah …. A. 49 kg B. 49,5 kg C. 50 kg D. 50,5 kg E. 60 kg. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 37.

4. Titik tengah kelas dengan tepi bawahnya 60,5 dari data di atas adalah …. A. 62,5 kg B. 63 kg C. 63,25 kg D. 63,5 kg E. 64 kg 5. Panjang kelas dari data di atas adalah …. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 (Untuk soal no 6 s.d. 10) Diketahui data tinggi badan siswa kelas XII IPA 1 sebagai berikut. 156, 162, 163, 157, 155, 156, 157, 162, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 168, 170, 155, 157, 159, 164, 155, 162, 164, 164, 167, 166, 170, 157, 162, 158, 164, 158, 167, 157, 158, 161 Akan dibuat tabel distribusi frekuensi sebanyak 6 kelas. 6. Jangkauan dari data di atas adalah …. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 E. 17 7. Panjang kelas dari data di atas adalah …. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 38.

8. Jika batas bawah kelas ke-1 = 155, batas atas kelas ke-5 adalah …. A. 165 B. 166 C. 167 D. 168 E. 169 9. Frekuensi pada kelas ke-3 adalah …. A.. 6. B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 10. Rentang nilai pada kelas ke-2 adalah …. A. 157-159 B. 157-160 C. 158-160 D. 158-161 E. 159-161. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 39.

Kegiatan Belajar 2 (Histogram, Poligon, dan Ogif). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran secara mandiri , peserta didik dapat berfikir kritis. dalam. menentukan dan menganalisis data yang disajikan dalam bentuk histogram, poligon maupun ogif, serta kreatif dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram serta memiliki sikap disiplin dan kerjasama.. Materi Pada materi sebelumnya, ananda sudah mempelajari tentang cara mengubah data dari bentuk tabel distribusi frekuensi data tunggal menjadi bentuk diagram, ataupun sebaliknya serta menganalisis data dari sebuah diagram yang disediakan. Selanjutnya pada materi kali ini, anda akan diminta untuk mempelajari tentang grafik. Data yang telah dikelompokkan ke dalam beberapa kelas menjadi distribusi frekuensi, selanjutnya dapat disajikan dalam bentuk grafik. Tujuan dari penyajian grafik tersebut adalah untuk memudahkan dalam penyampaian suatu data dalam bentuk gambar. Grafik-grafik yang menyajikan suatu data digunakan untuk mendeskripsikan suatu data dengan lebih mudah dan untuk menganalisis lebih lanjut. Berikut diberikan 3 macam grafik yang biasanya digunakan dalam penyajian data berkelompok. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram adalah penyajian distribusi frekuensi menggunakan gambar yang berbentuk diagram batang tegak. Pada histogram, antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak sehingga antar satu batang dan batang lainnya berimpit. Sumbu tegak pada histogram menyatakan frekuensi dan sumbu mendatar menyatakan kelas-kelas interval. Dalam hal ini, batas kelas interval adalah tepi bawah dan tepi atas. Tepi bawah berkaitan dengan batas bawah dan tepi atas berkaitan dengan batas atas sebagai berikut. Untuk data yang berupa bilangan bulat, maka:. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 40.

Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Tepi atas = batas atas + 0,5. Untuk data yang berupa bilangan decimal dengan ketelitian satu tempat decimal, maka Tepi bawah = batas bawah – 0,05 Tepi atas = batas atas + 0,05. Demikian seterusnya. Jika pada setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan dihubungkan dengan suatu garis, maka akan terbentuk suatu diagram garis yang dibuat poligon frekuensi. Untuk memahami histogram dan poligon frekuensi pelajarilah contoh soal berikut. Contoh 1. Membuat histogram dan poligon frekuensi Buatlah histogram dan poligon frekuensi dari tebal berikut Umur (tahun). Frekuensi. 11-20. 24. 21-30. 28. 31-40. 23. 41-50. 14. 51-60. 7. 61-70. 4. Penyelesaian : Lengkapi data pada tabel di atas dengan data tepi bawah dan tepi atas. Kelas 11-20 : tepi bawah = 11 - 0,5 = 10,5 dan tepi atas = 20 + 0,5 = 20,5 Kelas 21-30 : tepi bawah = 21 - 0,5 = 20,5 dan tepi atas = 30 + 0,5 =30,5 Demikian seterusnya, dan hasilnya ditunjukkan pada kolom ke – 3 dan kolom ke – 4 pada tabel berikut.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 41.

Umur (tahun). Frekuensi. Tepi Bawah. Tepi Atas. 11-20. 24. 10,5. 20,5. 21-30. 28. 20,5. 30,5. 31-40. 23. 30,5. 40,5. 41-50. 14. 40,5. 50,5. 51-60. 7. 50,5. 60,5. 61-70. 4. 60,5. 70,5. Dari tabel di atas dapat dibuat histogram dengan sumbu mendatar menampilkan kelaskelas interval umur dan sumbu tegak menampilkan frekuensi, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Histogram. 30 25. Frekuensi. 20 15 10 5 0 10,5. 20,5 30,5 Umur(tahun). 40,5. 50,5. 60,5. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 70,5. 42.

Poligon. 30 25. Frekuensi. 20 15 10 5 0 15,5. 25,5. 35,5. 45,5. 55,5. 65,5. Umur (tahun). Ogif Ogif adalah kurva mulus yang diperoleh berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif. Ada dua macam ogive : a. Ogive posistif yaitu grafik/kurva yang dibuat berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. b. Ogive negatif yaitu grafik/ kurva yang dibuat berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Contoh 2 : Berikut diberikan data berat badan anak di suatu kelas Berat Badan. Frekuensi. 30 - 34. 5. 35 - 39. 7. 40 - 44. 12. 45 - 49. 9. 50 - 54. 4. 55 - 59. 3. Gambarlah Ogive positif dan ogive negative.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 43.

Penyelesaian :. Berat Badan. Frekuensi. Frekuensi. Frekuensi. kumulatif kurang. kumulatif lebih. dari. dari. 30 - 34. 5. < 34,5. 5. > 29,5. 40. 35 - 39. 7. < 39,5. 12. > 34,5. 35. 40 - 44. 12. < 44,5. 14. > 39,5. 28. 45 - 49. 9. < 49,5. 33. > 44,5. 16. 50 - 54. 4. < 54,5. 37. > 49,5. 7. 55 - 59. 3. < 59,5. 40. > 54,5. 3. Total. 40. Ogif Positif. Frekuensi kumulatif kurang dari. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 34,5. 39,5. 44,5. 49,5. 54,5. 59,5. Berat Badan Kurang dari. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 44.

Ogif Negatif. Frekuensi Kumulatif Lebih dari. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 29,5. 34,5. 39,5. 44,5. 49,5. 54,5. Berat Badan lebih dari. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 45.

Tes Formatif Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur. 1) Histogram berikut menunjukkan daftar nilai ulangan harian Bahasa Inggris yang diperoleh siswa kelas X. 25 23 20. Frekuensi. 18 15 10 7 5. 5 3. 1. 0 64,5. 69,5. 74,5. 79,5. 84,5. 89,5. 94,5. Nilai. a) Buatlah tabel distribusi frekuensi berdasarkan histogram tersebut. b) Tentukan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah pada histogram tersebut c) Buatlah polygon frekuensi berdasarkan histogram tersebut. 2) Ogif berikut menunjukkan distribusi frekuensi dari berat badan siswa kelas XII dalam kilogram. 50. Frekuensi. 40 30 20 10 0 49,5. 54,5. 59,5. 64,5. 69,5. 74,5. 79,5. 84,5. Berat badan (kg). a) Buatlah tabel distribusi frekuensi berdasarkan ogif di atas. b) Tentukan jumlah siswa dengan berat badan minimal 60 kg.. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 46.

Kegiatan Belajar 3 (Mean). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran secara mandiri , peserta didik dapat berfikir kritis dalam menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan data (mean) yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram, serta kreatif dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram serta memiliki sikap disiplin dan kerjasama.. Materi Pada materi sebelumnya, kita telah membahas tentang penyajian data hasil survey dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, tabel distribusi frekuensi kumulatif serta melukis sketsa histogram, poligon frekuensi, maupun ogive. Selanjutnya kita akan menganalisa dan menghitung ukuran pemusatan (frekuensi sentral) yang meliputi mean (rata-rata hitung), median, dan modus. Namun dalam kegiatan pembelajaran ini kita akan membahas tentang mean (rata-rata hitung) terlebih dulu. Mean atau Rata-rata hitung didefinisikan sebagai jumlah seluruh datum dibagi dengan banyak datum. a) Mean (rata-rata hitung) untuk data tunggal Misalkan data memiliki n datum : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 . Rataan hitungnya adalah 𝑥̅ =. 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 +...+𝑥𝑛 𝑛. 1. atau 𝑥̅ = 𝑛 ∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 47.

Jika nilai data 𝑥𝑖 muncul dengan frekuensi tertentu, rata-rata hitung data : 𝑥̅ =. ∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖. dengan : 𝑓𝑖 =frekuensi nilai data ke-𝑖 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 b) Mean (rata-rata hitung) untuk data berkelompok Penghitungan rata-rata hitung atau mean dengan notasi 𝑥̅ pada tabel distribusi frekuensi dapat dilakukan dengan rumus sigma (cara umum) berikut ini : Rata-rata dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data. Rumus rata-rata untuk data kelompok : 𝑥̅ =. ∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + 𝑓3 𝑥3 + … + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = ∑ 𝑓𝑖 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + … + 𝑓𝑛. Keterangan : 𝑥̅ : rata-rata 𝑓𝑖 : frekuensi per kelas 𝑥𝑖 : nilai tengah dari interval kelas 𝑛 : banyak data 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 Langkah-langkah menghitung mean data berkelompok dengan rumus sigma adalah sebagai berikut :  Langkah 1. Mentukan nilai tengah setiap kelas  Langkah 2. Mentukan 𝑓𝑖 𝑥𝑖 , yaitu frekuensi dikalikan nilai tengah untuk setiap kelas  Langkah 3. Menghitung mean dengan rumus sigma. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 48.

Contoh. 1.. Dari. delapan. kali. tes. Matematika,. Elda. memperoleh. nilai. 68, 76, 88, 90, 80, 94, 92, dan 96. Carilah rata-rata nilai Elda tersebut. Berapa banyak nilai yang di bawah rata-rata ? Jawab : 𝑥̅ =. 68 + 76 + 88 + 90 + 80 + 94 + 92 + 96 684 = = 85,5 8 8. Rata-rata nilai Elda adalah 85,5. Nilai yang di bawah rata-rata adalah 68,76, dan 80. Jadi, ada 3 nilai Elda yang di bawah rata-rata. Contoh 2. Pada tabel berikut ini diperlihatkan kecepatan dalam km/jam dari 120 kendaraan yang melewati jalan tol. Kecepatan. Banyak. kendaraan. kendaraan. (km/jam). (frekuensi). 60 − 64. 20. 65 − 69. 32. 70 − 74. 40. 75 − 79. 16. 80 − 84. 12. Tentukan rata-rata kecepatan dari 120 kendaraan yang melewati jalan tol. Jawab : Untuk menentukan rata-rata, Langkah 1. Mencari nilai tengah pada setiap interval, misal pada interval 60 – 64 , maka nilai tengahnya adalah 65+69 2. 60+64 2. = 62, pada interval 65 – 69 nilai tengahnya. = 67. Begitu seterusnya.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 49.

Langkah 2. Menentukan hasil dari nilai tengah dikali dengan frekuensinya (perhatikan tabel berikut) Kecepatan. Nilai tengah. Banyak. kendaraan. (𝒙𝒊 ). kendaraan. (km/jam). 𝒙𝒊 . 𝒇𝒊. (frekuensi). 60 − 64. 62. 20. 1240. 65 − 69. 67. 32. 2144. 70 − 74. 72. 42. 3024. 75 − 79. 77. 16. 1232. 80 − 84. 82. 10. 820. 120. 8460. Jumlah Langkah3. Menentukan mean. ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖 8460 𝑥̅ = = = 70,5 𝑛 120 Jadi rata-rata kecepatan dari 120 kendaraan yang melewati jalan tol adalah 70,5 km/jam.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 50.

Tes Formatif Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur. 1. Rata-rata dari data 4,5,3,6,2,5, 𝑎, 6 adalah 5. Tentukan selisih 𝑎 dengan datum terkecil. 2. Perhatikan tabel berikut. Nilai. 51-55. 56-60. 61-65. 66-70. 71-75. 76-80. 81-85. Frekuensi. 2. 4. 5. 8. 12. 6. 3. a. Tentukan rata-rata data pada tabel di atas. b. Siswa yang dinyatakan lulus jika nilai ujiannya minimal 0,25 lebih rendah dari nilai rata-rata. Tentukan banyaknya siswa yang lulus. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 51.

Kegiatan Belajar 4 (Modus). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran secara mandiri, peserta didik dapat berfikir kritis dalam menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram, serta kreatif dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram serta memiliki sikap disiplin dan kerjasama.. Materi Modus adalah datum yang terjadi paling sering muncul atau datum yang memiliki frekuensi paling besar. (a) Modus data tunggal. Untuk statistik data tunggal, modus adalah datum yang paling sering terjadi atau datum dengan frekuensi terbesar. (b) Modus data kelompok. Untuk statistik data berkelompok, dapat ditaksir modus dari tabel distribusi frekuensi data berkelompok. Apakah untuk menentukan. modus. dari. data. berkelompok. anda. harus. selalu. menerjemahkan tabel distribusi frekuensi kelompok ke histogram ? tentu saja tidak. Dari histogram anda dapat menurunkan rumus modus untuk data berkelompok. Dengan menggunakan rumus modus ini, Anda bisa langsung menghitung modus tanpa perlu menggambar histogram.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 52.

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝑡𝑏 + (. 𝑑1 )𝑝 𝑑1 + 𝑑2. Keterangan : 𝑡𝑏 : tepi bawah kelas modus (kelas interval dengan frekuensi terbesar) 𝑑1 : selisih antara frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sebelum kelas modus 𝑑2 : selisih antara frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sesudah kelas modus 𝑝 : panjang kelas interval pada kelas modus Contoh 1. Perhatikan data berikut ini Kelas. Frekuensi. 38-46. 1. 47-55. 5. 56-64. 7. 65-73. 12. 74-82. 25. 83-91. 22. 92-100. 8. Dari data tersebut, hitunglah nilai modus. Penyelesaian : Dari tabel di atas, kelas yang frekuensinya paling banyak terletak pada interval 7482 (kelas ke-5). Dipeoleh : 𝑡𝑏 = 74 − 0,5 = 73,5 𝑑1 = 25 − 12 = 13 𝑑2 = 25 − 22 = 3 𝑝 = 82 − 74 + 1 = 9. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 53.

Sehingga modus dari data berkelompok tersebut adalah 𝑑1 +𝑑2. 𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + (. 𝑑1. = 73,5 + (. ).𝑝. 13+3. 16. 13. ).9. = 73,5 + 13 . 9 = 73,5 +. 144 13. = 73,5 + 7,31 = 80,81. Jadi, modus dari data tersebut adalah 80,81.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 54.

Tes Formatif Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur. 1. Perhatikan tabel tinggi badan berikut. Tinggi badan (cm). Frekuensi. 143-147. 3. 148-152. 8. 153-157. 10. 158-162. 4. 163-167. 9. 168-172. 6. Tentukan modus dari data tinggi badan di atas. 2. Data waktu yang dicapai peserta dalam lomba lari 400 m disajikan dalam diagram berikut. 14. Banyak peserta. 12 10 8 6 4 2 0 70-73. 74-77. 78-81. 82-85. 86-89. Waktu (detik). Tentukan modus dari data waktu yang dicapai peserta dalam lomba lari 400 m. ===== SELAMAT BERFIKIR ====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 55.

Kegiatan Belajar 5 (Median dan Kuartil). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran Discovery Learning dan Problem Based Learning , peserta didik dapat berfikir kritis dalam menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram, serta kreatif. dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan. penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram serta memiliki sikap disiplin dan kerjasama.. Materi Median dari data yang telah diurutkan besarnya dari terkecil ke terbesar (disebut statistic terurut) adalah datum yang membagi data yang telah terurut menjadi dua bagian sama banyak. Median yang dibahas adalah median data kelompok. Nilai pasti dari median untuk data berkelompok tidak dapat diperoleh. Hal ini dikarenakan nilai pasti dari data yang dikelompokkan memang tidak diketahui. Dengan demikian, anda hanya dapat menaksir median untuk data berkelompok. Untuk menaksir median anggaplah bahwa data dalam setiap kelas didistribusikan secara merata pada seluruh kelas. Secara umum interpolasi memberikan taksiran median untuk data berkelompok, seperti berikut ini. 1 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘 𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 + (2 ).𝑝 𝑓𝑚𝑒 Keterangan : 𝑀𝑒 : median 𝑛 : banyak datum statistic terurut 𝑡𝑏 : tepi bawah kelas median 𝑓𝑚𝑒 : frekuensi kelas median 𝐹𝑘𝑘 : frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median 𝑝 : panjang interval kelas median. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 56.

Contoh 1. Perhatikan tabel berikut. Nilai. Frekuensi. 11 − 20. 3. 21 − 30. 6. 31 − 40. 8. 41 − 50. 12. 51 − 60. 6. 61 − 70. 5. Nilai ulangan Bahasa inggris yang diikuti oleh 40 siswa disajikan pada tabel di atas. Median dari data tersebut adalah … Jawab : Nilai. Frekuensi. Fkk. 11 − 20. 3. 3. 21 − 30. 6. 9. 31 − 40. 8. 17. 41 − 50. 12. 29. 51 − 60. 6. 35. 61 − 70. 5. 40. Letak median : 𝑥𝑛 = 𝑥40 = 𝑥40 = 𝑥20 (kelas ke-4) 2. 2. 2. Diperoleh : 𝑡𝑏 = 41 − 0,5 = 40,5 𝑓𝑘𝑘4 = 17 𝑓𝑚𝑒 = 12 𝑝 = 50 − 41 + 1 = 10. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 57.

Median : 1. 𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 + (2. 𝑛−𝐹𝑘𝑘 𝑓𝑚𝑒 1. 𝑀𝑒 = 40,5 + (2. ).𝑝. .40−17. 20−17. 12. 12. 3. ) . 10 = 40,5 + (. ) . 10. 30. 𝑀𝑒 = 40,5 + 12 . 10 = 40,5 + 12 = 40,5 + 2,5 = 43 Jadi, median dari data di atas adalah 43. Kuartil Titik data yang membagi statistic terurut menjadi empat kelompok sama banyak disebut kuartil. Ada tiga macam kuartil, yaitu kuartil bawah atau kuartil kesatu (𝑄1 ), kuartil kedua atau median (𝑄2 ), dan kuartil atas atau kuartil ketiga (𝑄3 ). Oleh karena 𝑄1 , 𝑄2 , dan 𝑄3 berkaitan dengan letak dalam statistic terurut, kuartil termasuk ukuran letak data. Bagaimana menentukan kuartil untuk data berkelompok ? untuk data berbentuk tabel distribusi frekuensi, kuartil akan membagi luas histogram menjadi empat bagian yang sama. Oleh karena itu, kuartil dituliskan sebagai 𝑄𝑘 = 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒 − (. 𝑘𝑛 ) 4. Dengan 𝑘 = 1,2,3 (𝑘 = 1 untuk 𝑄1, 𝑘 = 2 untuk 𝑄2 , 𝑘 = 3 untuk 𝑄3 ) Seperti yang telah dipelajari pada median data berkelompok, kuartil dapat ditaksir dengan metode rumus, yaitu : 𝑘𝑛 −𝐹 𝑄𝑘 = 𝑡𝑏 + [ 4 ]𝑝 𝑓 Dengan 𝑘 = 1,2,3 (𝑘 = 1 untuk 𝑄1, 𝑘 = 2 untuk 𝑄2 , 𝑘 = 3 untuk 𝑄3 ) 𝑛 = jumlah frekuensi = ∑ 𝑓𝑖 𝑡𝑝 = tepi bawah kelas tempat 𝑄𝑘 berada 𝑝 = panjang kelas tempat 𝑄𝑘 berada 𝑓 = frekuensi kelas tempat 𝑄𝑘 berada 𝐹 = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas 𝑄𝑘. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 58.

Untuk lebih memahami cara menghitung kuartil data berkelompok dengan rumus di atas, pelajari contoh soal berikut. Contoh 2. Tentukan kuartil bawah, kuartil kedua, dan kuartil atas dari data berat badan sekelompok siswa yang disajikan pada tabel berikut. Berat Badan (kg). Frekuensi. 31-36. 4. 37-42. 6. 43-48. 9. 49-54. 14. 55-60. 10. 61-66. 5. 67-72. 2. Penyelesaian : Karena menghitung kuartil 𝑄𝑘 dengan rumus melibatkan tepi bawah kelas 𝑡𝑏 , dan frekuensi kumulatif 𝐹𝑘 , maka tambahkan dua kolom ini seperti tampak pada tabel di bawah ini. Berat Badan. Tepi Kelas. (kg). Frekuensi. Frekuensi Kumulatif. (𝑓). (𝐹𝑘 ). 31-36. 30,5-36,5. 4. 4. 37-42. 36,5-42,5. 6. 10. 43-48. 42,5-48,5. 9. 19. 49-54. 48,5-54,5. 14. 33. 55-60. 54,4-60,5. 10. 43. 61-66. 60,5-66,5. 5. 48. 67-72. 66,5-72,5. 2. 50. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 59.

a) Menghitung kuartil bawah (𝑄1 ) 𝑛 = ∑ 𝑓 = 50 𝑘𝑛. 𝑄𝑘 =datum ke− ( 4 ) 𝑄1 = 𝑥(1×50) = 𝑥12,5 (datum ke-12,5) 4. pada tabel di atas tampak bahwa 𝑥12,5 ada pada interval tepi kelas : 42,5-48,5 dengan : 𝑓 = 9, 𝐹 sebelum 𝑄1 = 10, 𝑡𝑏 = 42,5 𝑝 = 48,5 − 42,5 = 6 𝑘𝑛 − 𝐹𝑘 𝑄𝑘 = 𝑡𝑏 + [ 4 ]𝑝 𝑓 𝑄1 = 42,5 + [. 12,5 − 10 2,5 15 ] 6 = 42,5 + [ ] 6 = 42,5 + = 42,5 + 1,67 9 9 9 = 44,17. Jadi kuartil bawahnya adalah 44,17 b) Menghitung kuartil ke-2 (𝑄2 ) 𝑛 = ∑ 𝑓 = 50 𝑄2 = 𝑥(2×50) = 𝑥25 (datum ke-25) 4. pada tabel di atas tampak bahwa 𝑥25 ada pada interval tepi kelas : 48,5-54,5 dengan : 𝑓 = 14, 𝐹 sebelum 𝑄2 = 19, 𝑡𝑏 = 48,5 𝑝 = 54,5 − 48,5 = 6 𝑄1 = 48,5 + [. 25 − 19 6 36 ] 6 = 48,5 + [ ] 6 = 48,5 + = 48,5 + 2,57 = 51,07 14 14 14. Jadi kuartil bawahnya adalah 51,07. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 60.

c) Menghitung kuartil atas (𝑄3 ) 𝑛 = ∑ 𝑓 = 50 𝑄3 = 𝑥(3×50) = 𝑥37,5 (datum ke-37,5) 4. pada tabel di atas tampak bahwa 𝑥37,5 ada pada interval tepi kelas : 54,5-60,5 dengan : 𝑓 = 10, 𝐹 sebelum 𝑄3 = 33, 𝑡𝑏 = 54,5 𝑝 = 60,5 − 54,5 = 6 𝑄3 = 54,5 + [. 37,5 − 33 4,5 27 ] 6 = 54,5 + [ ] 6 = 54,5 + = 54,5 + 2,70 10 10 10 = 57,20. Jadi kuartil bawahnya adalah 57,20. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 61.

Tes Formatif Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur. 1. Berikut ini diberikan data berat badan (dalm kg) yang dinyatakan dalam bentuk histogram. 18 16 14. Frekuensi. 12 10 8 6 4 2 0 51-55. 56-60. 61-65. 66-70. 71-75. Berat badan (Kg). Berdasarkan data pengamatan berat badan pada histogram tersebut, hitunglah nilai mediannya. 2. Data usia karyawan suatu perusahaan roti tertera pada tabel berikut. Usia (tahun). Frekuensi. 30-35. 5. 36-41. 9. 42-47. 8. 48-53. 12. 54-59. 6. Tentukan semua kuartil dari data tersebut.. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 62.

Kegiatan Belajar 6 (Ukuran Penyebaran Data). Tujuan Pembelajaran Melalui pembelajaran Discovery Learning dan Problem Based Learning , peserta didik dapat berfikir kritis dalam menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram, serta kreatif. dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan. penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram serta memiliki sikap disiplin dan kerjasama.. Materi Ukuran penyebaran data digunakan sebagai perbandingan terhadap variabilitas data dan untuk membantu penggunaan ukuran statistik. Ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar penyimpangan data dari mean (nilai rataratanya). Ada enam ukuran penyebaran data yang akan dibahas yaitu : a. Jangkauan (range) b. Jangkauan interkuartil c. Simpangan kuartil d. Simpangan rata-rata e. Ragam (varians) f. Simpangan baku (deviasi standar). MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 63.

Jangkauan Jangkauan untuk data tunggal didefinisikan sebagai perbedaan antara datum terbesar dan datum terkecil dari suatu data. 𝐽 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 makin besar jangkauan, maka data makin tersebar (penyebaran data semakin tinggi). Dapat juga dinyatakan bahwa makin kecil jangkauan suatu data makin homogen data tersebut, sehingga kecenderungan mean dapat mewakili data secara representatif. Sebaliknya, makin besar jangkauan data makin heterogen data, sehingga kecenderungan mean tidak bisa mewakili data yang bersangkutan. Untuk data berkelompok, jangkauan didefinisikan sebagai perbedaan antara tepi atas kelas tertinggi dan tepi bawah kelas terendah. 𝐽 = tepi atas kelas tertinggi-tepi bawah kelas terendah Kelemahan jangkauan data yaitu :  Jangkauan data hanya mempertimbangkan dua nilai ekstrem (datum terendah dan datum tertinggi) sehingga jangkauan tidak menunjukkan bagaimana keseluruhan data didistribusikan di antara kedua nilai ekstrem tersebut.  Jangkauan bukan ukuran penyebaran data yang baik jika satu atau dua dari nilai ekstrem ini berbeda sangat besar dengan nilai lainnya. Berdasarkan kedua kelemahan itu, jangkauan jarang digunakan dalam analisis statistic. Biasanya jangkauan digunakan apabila dalam waktu singkat, ingin diperoleh gambaran. penyebaran data yang sedang diselidiki dengan. mengabaikan factor ketelitian dan kecermatan. Contoh penggunaan jangkauan, misalnya rata-rata bunga bank pertahun dan harga rata-rata saham perlembar.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 64.

Jangkauan Interkuartil dan simpangan kuartil Untuk memperbaiki jangkauan yang hanya memperhatikan dua nilai ekstrem digunakan jangkauan interkuartil (JK) atau Inter Quartile Range (IQR), yang didefinisikan sebagai selisih antara kuartil atas (𝑄3 ) dan kuartil bawah (𝑄1 ) 𝐽𝐾 = 𝑄3 − 𝑄1 Sebagai alternatif yang lebih baik dapat digunakan simpangan kuartil atau jangkauan semi interkuartil, yang didefinisikan sebagai setengah dari jangkauan interkuartil. 𝑆𝐾 =. 1 1 𝐽𝐾 = (𝑄3 − 𝑄1 ) 2 2. Perhatikan bahwa untuk menghitung jangkauan interkuartil (JK) dan simpangan kuartil (SK), anda harus bisa menghitung kuartil atas (𝑄3 ) dan kuartil bawah (𝑄1 ). Keduanya telah anda pelajari sebelumnya baik untuk data tunggal maupun data kelompok. Penganalisisan data akan menghasilkan kesimpulan yang salah jika ada pencilan. Pencilan (outlier) adalah datum yang mempunyai karakteristik berbeda dengan datum lainnya dalam sekumpulan data sehingga keberadaannya memerlukan perhatian khusus. Dengan kata lain, pencilan merupakan datum yang tidak konsisten dalam kumpulannya. Apa syaratnya sebuah datum termasuk data pencilan atau tidak? Jika nilai data tersebut lebih dari 1,5 kali rentang interkuartil di atas 𝑄3 atau di bawah 𝑄1, nilai ini dimasukkan sebagai data pencilan. Para ahli statistic mengatakan suatu datum termasuk data pencilan jika berlaku hubungan berikut.  Nilai datum < 𝑄1 − 1,5 𝐼𝑄𝑅 Atau  Nilai datum > 𝑄3 + 1,5 𝐼𝑄𝑅. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 65.

Data pencilan mungkin disebabkan oleh hal-hal berikut. 1) Kesalahan mencatat data 2) Untuk data yang diperoleh dari pengukuran, mungkin terjadi kesalahan dalam pengukuran, seperti kesalahan membaca alat ukur atau kesalahan menggunakan alat ukur 3) Data yang berasal dari objek yang aneh Kelemahan jangkauan kuartil dan simpangan kuartil yaitu keduanya hanya mengukur 50% data yang tersebar antara 𝑄1 dan 𝑄3 . Oleh karena itu, jangkauan interkuartil maupun simpangan kuartil juga jarang digunakan dalam analisis statistic. Simpangan Rata-rata Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (mean deviation) didefinisikan sebagai rata-rata dari simpangan tiap datum terhadap mean yaitu 𝑥𝑖 − 𝑥̅ , sehingga jumlah simpangan seluruh datum terhadap mean adalah ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ). Jika dihitung, maka untuk sebagian data yang nilainya lebih kecil darpada mean, hasilnya negatif. Dengan demikian jika dijumlahkan diperoleh simpangan rata-rata (SR) sebagai 𝑆𝑅 =. ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) = 0. Jika dirumuskan. ∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ ) 𝑛. , maka hasilnya adalah 𝑆𝑅 = 0, suatu. hasil yang tidak dikehendaki. Dalam kaidah matematika, untuk menghindari ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) = 0 bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu : 1) Agar ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) tidak negatif maka diberi harga mutlak, ditulis |𝑥𝑖 − 𝑥̅ | 2) Dengan mengkuadratkan, ditulis (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 Simpangan rata-rata menggunakan cara pertama sehingga rumus untuk menghitung simpangan rata-rata (SR) adalah 𝑆𝑅 =. ∑ |𝑥𝑖 − 𝑥̅ | 𝑛. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 66.

Tanda harga mutlak bisa membalikkan nilai besar negatif menjadi besar positif. Hal ini akan mempengaruhi simpangan rata-rata sehingga kurang baik sebagai ukuran penyebaran data. Oleh karea itu, simpangan rata-rata juga jarang digunakan dalam analisis statistik. Ragam dan Simpangan Baku Seperti simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku juga menggunakan mean sebagai acuan. Seperti yang telah anda ketahui untuk menghindari ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) = 0 , maka ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) tidak boleh negative. Untuk itu digunakan cara kedua, yaitu dengan mengkuadratkannya, ditulis ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 . Ragam (varians) didefinisikan sebagai ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata kuadrat dari simpangan terhadap mean. Ragam untuk populasi deiberi lambing ó2 sedangkan ragam untuk sampel diberi lambing 𝑠 2 . 1) Ragam dan simpangan baku untuk data tunggal Rumus menghitung ragam sampel untuk data tunggal ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑠 = 𝑛 2. Ragam juga jarang digunakan dalam analisis statistic karena ukuran penyebaran data akan menjadi positif dan kuadratis (hal ini untuk menghindari nilai negative pada simpangan sehingga dilakukan pengkuadratan). Padahal ukuran penyebaran data haruslah positif dan linear. Agar satuan ragam 𝑠 2 dan satuan nilai 𝑥𝑖 memiliki satuan yang sama, perlu ditarik akar kuadrat dari ragam. Akar kuadrat dari ragam inilah yang dikenal sebagai simpangan baku atau deviasi standar diberi lambang 𝑠. 𝑠 = √𝑠 2 = √. ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛. dengan 𝑠 2 = ragam.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 67.

Perhitungan simpangan baku. ∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑛. bisa disingkat, sehingga rumus yang. diperoleh disebut rumus singkat. 2. ∑ 𝑥𝑖2 ∑ 𝑥𝑖 2 √ √ 𝑠= 𝑠 = −( ) 𝑛 𝑛 Perhatikan,. ∑ 𝑥𝑖2 𝑛. = ̅̅̅ 𝑥 2 , yaitu mean dari 𝑥𝑖2 (kuadrat nilai datum). ∑ 𝑥𝑖 𝑛. = 𝑥̅ , yaitu. mean dari data, dengan demikian, rumus ragam dapat ditulis sebagai berikut 𝑠 2 = ̅̅̅ 𝑥 2 − (𝑥̅ )2 sedangkan rumus untuk simpangan baku dapat ditulis sebagai berikut 𝑠 = √𝑠 2 = √̅̅̅ 𝑥 2 − (𝑥̅ )2 Persamaan di atas sering digunakan karena lebih efisien. 2) Ragam dan simpangan baku untuk data kelompok Menghitung simpangan baku data berkelompok sama saja seperti pada data tunggal. Bedanya pada data berkelompok muncul lambang 𝑓, untuk menyatakan frekuensi kelas ke-I dan 𝑥𝑖 adalah nilai tengah kelas ke-i. Rumus sesuai dengan definisi adalah 𝑠2 =. ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑛. ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥̅ )2. sehingga 𝑠 = √. dengan 𝑛 = ∑ 𝑓𝑖 dan 𝑥̅ =. 𝑛. ∑ 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 𝑛. Rumus singkat yaitu 𝑠 2 = ̅̅̅ 𝑥 2 − (𝑥̅ )2 sehingga 𝑠 = √̅̅̅ 𝑥 2 − (𝑥̅ )2 Dengan 𝑥̅ =. ∑ 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 𝑛. dan ̅̅̅ 𝑥2 =. ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖2 𝑛. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 68.

a) Metode rataan sementara Seperti ketika menghitung mean dari data berkelompok, metode rataan sementara (rumus duga) bisa digunakan untuk menyederhanakan hitungan ragam dan simpangan baku. Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 terjadi dengan frekuensi 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 . Memilih nilai 𝑥 yang frekuensinya terbesar sebagai rataan sementara 𝑥𝑠 dan mengurangkan 𝑥𝑠 dari tiap nilai tengah 𝑥, diperoleh 𝑑1 = 𝑥1 − 𝑥𝑠 , 𝑑2 = 𝑥2 − 𝑥𝑠 , … , 𝑑𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥1 = 𝑑1 + 𝑥𝑠 , 𝑥2 = 𝑑2 + 𝑥𝑠 , … , 𝑥𝑛 = 𝑑𝑛 + 𝑥𝑖 Karena 𝑠𝑥 = 𝑠𝑑 , dengan 𝑠𝑥 dan 𝑠𝑑 masing-masing adalah simpangan baku dari 𝑥 dan 𝑑. Hasil ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Mula-mula tunjukkanlah bahwa jika 𝑥 = 𝑑 + 𝑥𝑠 maka 𝑥̅ = 𝑑̅ + 𝑥𝑠 selanjutnya ∑ 𝑓(𝑥 − 𝑥̅ )2 √ 𝑠𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑓[(𝑑 − 𝑥𝑠 ) − (𝑑 + 𝑥𝑠 )]2 =√ 𝑛 2 ∑ 𝑓(𝑑 − 𝑑̅) √ = 𝑛. = √(𝑠𝑑 )2 = 𝑠𝑑 terbukti. Dengan. demikian. untuk. rumus. menghitung. simpangan. baku. menggunakan metode rataan sementara adalah 2 𝑠𝑑 = √̅̅̅ 𝑑 2 − (𝑑̅ ). dengan 2. ∑ 𝑓𝑑 ∑ 𝑓𝑑 ̅̅̅ 𝑑2 = 𝑛 dan 𝑑̅ = 𝑛. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 69.

b) Metode koding Jika panjang kelas data berkelompok adalah sama, metode koding dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan simpangan baku. Mislakan 𝑢𝑖 =. 𝑥𝑖 −𝑥𝑠 𝑝. dengan 𝑥𝑠 adalah rataan sementara dan 𝑝 = panjang. kelas, kemudian 𝑠𝑥2 = 𝑝2 𝑠𝑢2 sehingga 𝑠𝑥 = 𝑝𝑠𝑢 Bukti : Dari hubungan 𝑢𝑖 =. 𝑥𝑖 −𝑥𝑠 𝑝. , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Diperoleh 𝑥𝑖 = 𝑥𝑠 + 𝑝𝑢𝑖 substitusi ke 𝑠𝑥2 𝑠𝑥2 =. ∑ 𝑓(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ∑ 𝑓[(𝑥𝑠 + 𝑝𝑢) − (𝑥𝑠 + 𝑝𝑢̅)]2 ∑ 𝑓(𝑝𝑢 − 𝑝𝑢̅)2 = = = 𝑛 𝑛 𝑛. ̅)2 𝑝2 ∑ 𝑓(𝑢−𝑢 𝑛. dengan. ∑ 𝑓(𝑢−𝑢 ̅)2 𝑛. = 𝑠𝑢2. 𝑠𝑥2 = 𝑝2 𝑠𝑢2 𝑠𝑥 = 𝑝𝑠𝑢 Rumus untuk menghitung simpangan baku 𝑠𝑥 dengan metode koding adalah ∑ 𝑓𝑢2 ∑ 𝑓𝑢 𝑠𝑥 = 𝑝√ −( ) 𝑛 𝑛. 2. 𝑠 = 𝑝√𝑢2 − (𝑢̅)2 Dengan ̅̅̅ 𝑢2 =. ∑ 𝑓𝑢2 𝑛. dan 𝑢̅ =. ∑ 𝑓𝑢 𝑛. Seperti ketika menghitung mean data berkelompok, menghitung simpangan baku yang panjang kelasnya sama dengan menggunakan metode koding terasa lebih menyenangkan karena bilangan-bilangan yang terlihat kecil.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 70.

Latihan Ketrampilan Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur.. 1) Diberikan data berat badan sekelompok siswa SD. Berat badan (kg). Banyak siswa. 31-35. 2. 36-40. 4. 41-45. 7. 46-50. 6. 51-55. 1. a) Tentukan simpangan kuartil dari data di atas b) Tentukan simpangan rata-ratanya. 2) Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. Data Frekuensi. 15-. 20-. 25-. 30-. 35-. 40-. 45-. 50-. 55-. 19. 24. 29. 34. 39. 44. 49. 54. 59. 4. 5. 8. 11. 16. 19. 13. 9. 6. Tentukan ragam (variansi) dari data di atas, menggunakan rumus umum, metode rataan sementara, dan metode koding. ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 71.

BAB III Aturan Pencacahan. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 72.

Rencana Belajar Siswa (KD dan IPK) Berikut Kompetensi Dasar (KD) serta Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) dari pembelajara modul Aturan Pencacahan. Kompetensi Dasar (KD) 4). Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK). Menganalisis aturan pencacahan (aturan. penjumlahan,. perkalian,. permutasi,. kombinasi). melalui. 3.2.4.. aturan. penjumlahan. dan masalah. Menganalisis. aturan dan. pencacahan. aturan. perkalian. aturan pada. permutasi melalui masalah konstektual. 3.2.5.. kontekstual. Menganalisis penjumlahan. aturan dan. pencacahan. aturan. perkalian. aturan pada. kombinasi melalui masalah konstektual. 4.3. Menyelesaikan kontekstual dengan (aturan. masalah yang. kaidah. berkaitan. kombinasi). permutasi. penjumlahan. aturan dan. Menyelesaikan. maslaah. konstektual. yang. berkaitan dengan kaidah pencacahan aturan. pencacahan. penjumlahan,. perkalian,. 4.3.1. dan. aturan. perkalian. pada. konstektual. yang. permutasi. 4.3.2. Menyelesaikan. masalah. berkaitan dengan kaidah pencacahan aturan penjumlahan. dan. aturan. perkalian. pada. kombinasi. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 73.

Kegiatan Belajar 1 (Aturan Penjumlahan dan Perkalian). Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan belajar pada modul ini, peserta didik dapat berfikir kritis dalam menentukan dan menganalisis aturan penjumlahan dan perkalian, kreatif dalam menyelesaikan masalah yag berkaitan dengan aturan penjumlahan dan perkalian serta memiliki sikap disiplin dan tanggung jawab.. Materi Ananda, silahkan perhatikan ilustrasi berikut : Pada hari Ahad, Messi ingin bermain futsal bersama temantemannya. Di dalam lemarinya, terdapat 3 jersey Barselona dan 4 jersey Argentina. Messi ingin memakai salah satu nya. Menurut Ananda, ada berapa cara (kemungkinan) Messi memakai jersey tersebut ? Dalam kasus ini, tentunya Messi tidak mungkin memakai dua jersey sekaligus. Oleh karena itu, memilih salah satu dari 3 jersey Barcelona atau 4 jersey Argentina. Dengan begitu, banyak pilihan jersey Messi adalah 3 + 4 = 7 pilihan jersey. Kejadian ini biasa disebut dengan kejaian saling lepas. Secara garis besar diperoleh : Apabila kejadian 1 dan kejadian 2 adalah dua kejadian yang saling lepas, dan misalkan kejadian 1 ada 𝑚 cara dan kejadian 2 ada 𝑛 cara, maka 2 kejadian tersebut akan terjadi sebanyak 𝑚 + 𝑛 cara. Aturan ini disebut dengan aturan penjumlahan.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 74.

Dalam kasus aturan penjumlahan, biasanya menggunakan kata hubung “atau” dalam permasalahannya. Contoh 1. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola warna hitam, 12 bola berwarna putih, dan 8 bola berwarna putih. Jika diambil sebuah bola, maka banyak kemungkinan bola yang terambil berwarna hitam atau merah adalah ? Jawab Banyak bola hitam 10 bola Banyak bola merah 8 bola Karena bola merah dan bola hitam saling lepas (artinya tidak ada bola yang berwarna hitam sekaligus merah), maka banyak kemungkinan terambilnya 10 (ℎ𝑖𝑡𝑎𝑚) + 8(𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ) = 18 Jadi banyak kemungkinan bola yang terambil berwarna hitam atau merah ada sebanyak 18 kemungkinan. Selanjutnya perhatikan ilustrasi berikut : Pada suatu hari Mattew Bellamy yang sedang di kota A ingin pergi ke kota C. Untuk pergi ke kota C Bellamy harus melewati kota B. Menurut Google Maps, dari kota A ke kota B ada 3 cara, sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 cara. Kira-kira ada berapa alternative jalan yang bisa dilalui Bellamy?. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 75.

Dalam kasus ini, karena ada 3 cara dari kota A ke kota B, dimisalkan jalan tersebut adalah 𝐴1 , 𝐴2 , dan 𝐴3 . Kemudian dari kota B ke kota C ada 2 cara, dimisalkan jalan tersebut adalah 𝐵1 dan 𝐵2. Maka alternative jalan yang bisa diambil Bellamy adalah : 𝐴1 → 𝐵1 𝐴1 → 𝐵2 𝐴2 → 𝐵1 𝐴2 → 𝐵2 𝐴3 → 𝐵1 𝐴3 → 𝐵2 Jadi total ada 6 cara yang bisa ditempuh oleh Bellamy. Jika lebih diperhatikan banyak cara untuk pergi dari kota A ke kota C (dengan melewati kota B) dapat dicari dengan (𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑘𝑒 𝐵) × (𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐵 𝑘𝑒 𝐶) atau 3 × 2 = 6 cara. Dua kejadian tersebut (kejadian jalan dari kota A ke B dan kejadian jalan dari kota B dan kota C) dinamakan kejadian tidak saling lepas. Secara umum : Apabila kejadian 1 dan kejadian 2, merupakan kejadian yang tidak saling lepas dan misalkan kejadian satu ada m cara, dan kejadian 2 ada n cara, maka banyak cara melakukan kegiatan 1 dilanjut dengan kegiatan 2 ada 𝑚 × 𝑛 cara. Aturan ini disebut dengan aturan perkalian. Dalam kasus aturan perkalian, biasanya menggunakan tanda hubung “dan” dalam permasalahannya.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 76.

Contoh 2. Dalam lemari Firman, terdapat 5 buah kemeja, dan 4 buah celana panjang. Suatu hari Firman ingin menghadiri undangan dan akan menggunakan pakaian tersebut. Banyak cara setelan pakaian yang mungkin dipakai oleh Firman adalah ? Jawab. Tentunya jika berpakaian baju kemeja dan celana panjang harus dikenakan semua (artinya tidak bisa memakai kemeja saja, atau celana panjang saja), hal ini berakibat bahwa 2 kejadian tersebut tidak saling lepas. Maka banyak cara Firman berpakaian 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎 × 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑒𝑙𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑔 = 5 × 4 = 20 cara.. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 77.

Tes Formatif Kerjakan soal berikut dengan benar dan terstruktur. 1. Disuatu kelas terdapat 24 siswa laki-laki dan 16 siswa perempuan. Jika dipilih seorang siswa untuk mengerjakan Latihan soal, berapakah banyak cara untuk memilihnya? 2. Disebuah toko buah, terdapat 20 buah apel, 12 buah semangka, dan 15 buah pepaya. Jika Pogba ingin membeli buah, maka banyak pilihan buah yang bisa dibeli Pogba ada ? 3. Dari kota X ke kota Y ada 5 alternatif jalan. Dari kota Y ke kota Z ada 6 alternatif jalan. Jika Jordan ingin pergi dari kota X ke kota Z, maka banyak alternative jalan yang bisa dilalui Jordan ada sebanyak? 4. Lanjutan soal no. 4, jika Jordan hendak Kembali lagi ke kota X dengan syarat tidak lagi melewati jalan yang sudah dilalui saat berangkat, maka banyak cara Jordan melakukan perjalaan dari kota X ke kota Z kemudian Kembali lagi ke kota X adalah ? 5. Dari angka 1, 3,5, 7, 9 akan disusun menjadi bilangan 3 angka yang berbeda. Tentukan banyak angka yang dapat disusun? ===== SELAMAT BERFIKIR =====. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 78.

The only way to learn mathematics is to do mathematics. Paul Halmos. MODUL MATEMATIKA WAJIB KELAS XII SEMESTER 1 | SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta |. 79.