Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit

Dadang Amir Hamzah

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Limit

Calculus is the study of limits

Apa itu limit?

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai permasalahan mengenai limit.

Limit

Calculus is the study of limits Apa itu limit?

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai permasalahan mengenai limit.

Limit

Calculus is the study of limits Apa itu limit?

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai permasalahan mengenai limit.

Limit

Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabila diberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauh pegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w dan mengukur regangannya s untuk setiap w.

Apabila regangannya mendekati suatu nilai L maka dikatakan bahwa ”Limit dari s yang diakibatkan oleh w menuju 10 adalah L”.

Limit

Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabila diberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauh pegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w dan mengukur regangannya s untuk setiap w.

Limit

Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbeda dengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limit dinotasikan dengan

x→climf (x) = L

artinya jika x mendekati c maka f (x) dekat dengan L.

Example

Tentukan nilai dari lim

x→1x²+ 1.

Limit

Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbeda dengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limit dinotasikan dengan

x→climf (x) = L

artinya jika x mendekati c maka f (x) dekat dengan L.

Example

Tentukan nilai dari lim

x→1x²+ 1.

Limit

Pada gambar terlihat bahwa f (x) = x²+ 1mendekati 2

untuk x yang mendekati 1 dari kedua arah. Akibatnya dapat dikatakan bahwa lim

x→1x²+ 1 = 2.

Kemudian perhitungan pada tabel juga memperlihatkan hal yang sama

Limit Sepihak

Mengatakan lim

x→c⁺f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x > c(disebelah kanan c) maka f (x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c.

Mengatakan lim

x→c⁻f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x < c(disebelah kiri c) maka f (x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c.

Definisi (Informal) Mengatakan lim

x→cf (x) = Ljika dan hanya jika lim

x→c⁻f (x) = L = lim

x→c⁺f (x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jika lim

x→c⁻f (x) 6= L 6= lim

x→c⁺f (x)maka lim

x→cf (x) 6= L. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa lim

x→cf (x)tidak ada.

Limit Sepihak

Mengatakan lim

x→c⁺f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x > c(disebelah kanan c) maka f (x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c.

Mengatakan lim

x→c⁻f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x < c(disebelah kiri c) maka f (x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c.

Definisi (Informal) Mengatakan lim

x→cf (x) = Ljika dan hanya jika lim

x→c⁻f (x) = L = lim

x→c⁺f (x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jika lim

x→c⁻f (x) 6= L 6= lim

x→c⁺f (x)maka lim

x→cf (x) 6= L. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa lim

x→cf (x)tidak ada.

Limit Sepihak

Mengatakan lim

x→c⁺f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x > c(disebelah kanan c) maka f (x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c.

Mengatakan lim

x→c⁻f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x < c(disebelah kiri c) maka f (x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c.

Definisi (Informal) Mengatakan lim

x→cf (x) = Ljika dan hanya jika lim

x→c⁻f (x) = L = lim

x→c⁺f (x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jika lim

x→c⁻f (x) 6= L 6= lim

x→c⁺f (x)maka lim

x→cf (x) 6= L. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa lim

x→cf (x)tidak ada.

Limit Sepihak

Mengatakan lim

x→c⁺f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x > c(disebelah kanan c) maka f (x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c.

Mengatakan lim

x→c⁻f (x) = Lartinya ketika x mendekati c tetapi x < c(disebelah kiri c) maka f (x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c.

Definisi (Informal) Mengatakan lim

x→cf (x) = Ljika dan hanya jika lim

x→c⁻f (x) = L = lim

x→c⁺f (x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jika lim

x→c⁻f (x) 6= L 6= lim

x→c⁺f (x)maka lim

x→cf (x) 6= L. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa lim

x→cf (x)tidak ada.

Limit

x→1lim

|x − 1|

x − 1 = tidak ada pehatikan gambar berikut

perhitungan menunjukkan hal yang sama

Limit

Hitunglah nilai limit berikut (Jika ada) : a. lim

x→2 x²−4

x−2 f. lim

x→3

x⁴−18x²+81 (x−3)²

b. lim

x→−1

x³−4x²+x+6

x+1 g. lim

u→1

(3u+4)(2u−2)³ (u−1)²

c. lim

x→−t x²−t²

x+t h. lim

h→0

(2+h)²−4 h

d. lim

t→−7

t²+4t−21

t+7 i. lim

h→0

(x+h)²−x² h

e. lim

t→7⁺

√

(t−7)³

t−7 j. lim

t→2

√

(t+4)(t−2)⁴ (3t−6)²

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Definisi Informal

Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat seberapa dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sembarang dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.

Definisi Informal

Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat seberapa dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sembarang dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.

Definisi Informal

Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat seberapa dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan lim

x→cf (x) = Lartinya f dapat dibuat sembarang dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.

Jarak antara dua bilangan riil

Jarak antara dua bilangan riil x dan y diukur dari nilai mutlak selisihnya atau j(x, y) = |x − y|

j(4, 3) = |4 − 3| = |1| = 1 j(5, 7) = |5 − 7| = | − 2| = 2 j(0, x) = |0 − x| = | − x| = x

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = 3xke 3 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |3x − 3| = |3(x − 1)| = |3||x − 1|

= 3|x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < ^0.1₃

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = 3xke 3 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |3x − 3| = |3(x − 1)| = |3||x − 1|

= 3|x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < ^0.1₃

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = 3xke 3 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |3x − 3| = |3(x − 1)| = |3||x − 1|

= 3|x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < ^0.1₃

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = x² ke 1 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |x²− 1| = |(x + 1)(x − 1)| = |x + 1||x − 1|

= |x + 1||x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < _|x+1|^0.1 tapi _|x+1|^0.1 bukan bilangan.

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = x² ke 1 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |x²− 1| = |(x + 1)(x − 1)| = |x + 1||x − 1|

= |x + 1||x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < _|x+1|^0.1 tapi _|x+1|^0.1 bukan bilangan.

Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f (x) = x² ke 1 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f (x), 1) = |x²− 1| = |(x + 1)(x − 1)| = |x + 1||x − 1|

= |x + 1||x − 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x − 1| < _|x+1|^0.1 tapi _|x+1|^0.1 bukan bilangan.

Gambar menyarankan 0.96 < x < 1.04. Jadi kita dapat memilih 0 < |x − 1| < 0.04

Gambar menunjukkan bahwa

Definisi Formal

Misalkan fungsi f (x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f (x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f (x) mempunyai limit L di x = aditulis lim

x→af (x) = Ljika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

jika x 6= a dan j(x, a) < δ, maka j(f (x), L) < ε atau

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Definisi Formal Limit Fungsi

Definisi

Misalkan fungsi f (x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f (x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f (x) mempunyai limit L di x = aditulis lim

x→af (x) = Ljika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Pernyataan: Untuksetiap penduduk Indonesia terdapat bilangan riil x sehingga x adalah nomor KTP nya.

Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiap bilangan riil x bukan nomor KTP nya.

Definisi Formal Limit Fungsi

Definisi

Misalkan fungsi f (x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f (x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f (x) mempunyai limit L di x = aditulis lim

x→af (x) = Ljika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Pernyataan: Untuksetiap penduduk Indonesia terdapat bilangan riil x sehingga x adalah nomor KTP nya.

Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiap bilangan riil x bukan nomor KTP nya.

Definisi Formal Limit Fungsi

Definisi

Misalkan fungsi f (x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f (x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f (x) mempunyai limit L di x = aditulis lim

x→af (x) = Ljika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Pernyataan: Untuksetiap penduduk Indonesia terdapat bilangan riil x sehingga x adalah nomor KTP nya.

Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiap bilangan riil x bukan nomor KTP nya.

Definisi Formal Limit

Definisi (negasi limit)

Misalkan fungsi f (x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f (x) tidak terdefinisi di a. Jika terdapat ε > 0 dimana untuk tiap δ > 0 tidak benar bahwa

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Contoh fungsi tidak mempunyai limit

Misalkan

f (x) =







x − 1 , x < 0 0 , x = 0 x + 1 , x > 0

Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.

I pilih ε = ¹₂. Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga 0 < |x − 0| < δmemberikan |f (x) − L| < ¹₂ apapun plilihan L.

Contoh fungsi tidak mempunyai limit

Misalkan

f (x) =







x − 1 , x < 0 0 , x = 0 x + 1 , x > 0

Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.

I pilih ε = ¹₂. Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga 0 < |x − 0| < δmemberikan |f (x) − L| < ¹₂ apapun plilihan L.

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f (x) = x²) dan memakan waktu

Strategi

I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar

I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.

Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f (x) = x²) dan memakan waktu

Strategi

I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar

I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.

Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f (x) = x²) dan memakan waktu

Strategi

I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar

I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.

Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f (x) = x²) dan memakan waktu

Strategi

I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar

I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0 lim(f (x))ⁿ= (limf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)

Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , g mempunyai limit di c. Maka

x→climk = k

x→climx = c

x→climkf (x) = k lim

x→cf (x)

x→clim(f (x) ± g(x)) = lim

x→cf (x) ± lim

x→cg(x)

x→climf (x).g(x) = lim

x→cf (x). lim

x→cg(x)

x→clim

f (x)

g(x) = ^x→clim_lim^{f (x)}

x→cg(x), lim

x→cg(x) 6= 0

x→clim(f (x))ⁿ= (lim

x→cf (x))ⁿ

x→clim

pf(x) =n qⁿ

x→climf (x), syarat lim

x→cf (x) > 0jika n genap.

Teorema akibat

Butir 2 dan 7 memberikan Akibat

Jika n ∈ N, maka lim

x→cxⁿ= cⁿ Bersama butir 3 diperoleh Akibat

Jika n ∈ N, maka lim

x→ckxⁿ= kcⁿ

Menggunakan Teorema Limit

Contoh:

Tentukan lim

x→15x²− 4.

Tentukan lim

x→4

x²−7x+10 x²−10x+24

More examples

Tentukan lim

x→4f (x)jika f (x) =

 8 − 2x√ , x < 4 x − 4 , x > 4

I Tinjau f (x) = 8 − 2x untuk x < 4, maka lim

x→4⁻8 − 2x = 0

I Kemudian tinjau f (x) =√

4 − xuntuk x > 4, maka lim

x→4⁺

√4 − x = 0

I Karena lim

x→4⁻

f (x) = 0 = lim

x→4⁺

f (x)akibatnya

x→4limf (x) = 0

More examples

Tentukan lim

x→4f (x)jika f (x) =

 8 − 2x√ , x < 4 x − 4 , x > 4

I Tinjau f (x) = 8 − 2x untuk x < 4, maka lim

x→4⁻

8 − 2x = 0

I Kemudian tinjau f (x) =√

4 − xuntuk x > 4, maka lim

x→4⁺

√4 − x = 0

I Karena lim

x→4⁻

f (x) = 0 = lim

x→4⁺

f (x)akibatnya

x→4limf (x) = 0

More examples

Tentukan lim

x→4f (x)jika f (x) =

 8 − 2x√ , x < 4 x − 4 , x > 4

I Tinjau f (x) = 8 − 2x untuk x < 4, maka lim

x→4⁻

8 − 2x = 0

I Kemudian tinjau f (x) =√

4 − xuntuk x > 4, maka lim

x→4⁺

√4 − x = 0

I Karena lim

x→4⁻

f (x) = 0 = lim

x→4⁺

f (x)akibatnya

x→4limf (x) = 0

More examples

Tentukan lim

x→4f (x)jika f (x) =

 8 − 2x√ , x < 4 x − 4 , x > 4

I Tinjau f (x) = 8 − 2x untuk x < 4, maka lim

x→4⁻

8 − 2x = 0

I Kemudian tinjau f (x) =√

4 − xuntuk x > 4, maka lim

x→4⁺

√4 − x = 0

I Karena lim

x→4⁻

f (x) = 0 = lim

x→4⁺

f (x)akibatnya

x→4limf (x) = 0

Teorema

Teorema

Misalkan c ∈ (a, b). Jika lim

x→cf (x)ada untuk tiap x ∈ (a, b), x 6= c, berlaku f (x) = g(x), maka

x→climf (x) = lim

x→cg(x) Contoh:

Tentukan lim

x→1

√x−1 x−1

Solusi:

Karena

√x−1

x−1 = ⁽

√x−1)(√

√ x+1) x−1

= √

x + 1

Teorema Apit (Sandwich Theorem)

Teorema (Teorema Apit)

Misalkan c ∈ (a, b), kemudian f ,g, dan h fungsi-fungsi sehingga g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)untuk tiap x ∈ (a, b),c 6= x. Jika

x→climf (x) = L = lim

x→ch(x)maka lim

x→cf (x) = L.

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Limit Fungsi Trigonometri

Teorema

1 lim

t→csin t = sin c

2 lim

t→ccos t = cos c

3 lim

t→ctan t = tan c

4 lim

t→ccot t = cot c

5 lim

t→csec t = sec c

6 lim

t→ccsc t = csc c Proof.

bukti 1

Limit Fungsi Trigonometri

Proof.

Akan ditunjukkan bahwa lim

t→csin t = sin c

Misalkan t > 0, karena radius r = 1, |dAP | = t.

sin t = |BP | < |AP | < |dAP | = t. Maka 0 < sin t < t.

Limit Fungsi Trigonometri

t→0limcos t = lim

t→0

p1 − sin²t = lim

t→0

√1 − 0 = 1 Akibatnya jika h = t − c maka

limt→csin t = lim

h→0sin(h + c)

= lim

h→0(sin h cos c + cos h sin c)

= cos c lim

h→0sin h + sin c lim

h→0cos h

= cos c.0 + sin c.1

= sin c

Limit Fungsi Trigonometri

Teorema

t→0lim

sin t t = 1

t→0lim

1−cos t t = 0

Contoh: Tentukan nilai limit berrikut a. lim

x→0 sin 3x

x

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Limit at Infinity

Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep tak berhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga

Ini adalah grafik y = ^{√ x}

x²+1

nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju ∞) adalah menuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju

−∞) adalah menuju −1.

Limit at Infinity

Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep tak berhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga Ini adalah grafik y = ^{√ x}

x²+1

nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju ∞) adalah menuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju

−∞) adalah menuju −1.

Notasi

Notasi f (x) di tak berhingga adalah

x→∞lim

√ x

x²+ 1 = 1

Notasi f (x) di negatif tak berhingga adalah

x→−∞lim

√ x

x²+ 1 = −1

Notasi

Notasi f (x) di tak berhingga adalah

x→∞lim

√ x

x²+ 1 = 1 Notasi f (x) di negatif tak berhingga adalah

x→−∞lim

√ x

x²+ 1 = −1

Limit at infinity

Definisi

1 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang [a, ∞) untuk suatu a ∈ R.

Dikatakan lim

x→∞f (x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat M sehingga

x > M ⇒ |f (x) − L| < ε.

2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang (−∞, a] untuk suatu a ∈ R.

Dikatakan lim

x→−∞f (x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat M sehingga

x < M ⇒ |f (x) − L| < ε

Limit at Infinity

Teorema

x→∞lim

1 x = 0 Proof.

Misal diberikan ε > 0 sembarang. Pilih M = ¹_ε. Akibatnya jika x > ¹_ε maka ¹_x < εatau |_x¹ − 0| < ε

Example

Misalkan y = f (x) = ^5x_3x^2+8x−32+2

x→∞lim

5x²+8x−3 3x²+2 = ⁵₃

x→−∞lim

5x²+8x−3 3x²+2 = ⁵₃

Example

Misalkan y = f (x) = ^5x_3x^2+8x−32+2

x→∞lim

5x²+8x−3 3x²+2 = ⁵₃

x→−∞lim

5x²+8x−3 3x²+2 = ⁵₃

Example

Misalkan y = f (x) = ^5x_3x^2+8x−32+2

x→∞lim

5x²+8x−3 3x²+2 = ⁵₃

Asimptot Horizontal

Definisi

Garis y = L disebut asimptot horizontal dari f (x) jika

x→∞lim f (x) = L, atau lim

x→−∞f (x) = L

Infinity of Limit

Ini adalah jenis limit kedua yang menggambarka nilai f (x) disekitar x = c melambung tak terbatas

Limit

Infinity of Limit

Definisi

1 Fungsi f (x) dikatakanmenuju tak berhingga jika x mendekati c, ditulis

x→climf (x) = ∞

jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga 0 < |x − c| < δ ⇒ f (x) > B

2 Fungsi f (x) dikatakanmenuju negatif tak berhingga jika x mendekati c, ditulis

x→climf (x) = −∞ jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga

0 < |x − c| < δ ⇒ f (x) < −B

Infinity of Limit

Definisi

1 Fungsi f (x) dikatakanmenuju tak berhingga jika x mendekati c, ditulis

x→climf (x) = ∞

jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga 0 < |x − c| < δ ⇒ f (x) > B

2 Fungsi f (x) dikatakanmenuju negatif tak berhingga jika x mendekati c, ditulis

x→climf (x) = −∞

jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga 0 < |x − c| < δ ⇒ f (x) < −B

Infinity of Limit

Asimptot vertikal

Definisi

Garis x = c disebutasimptot vertikal dari f (x) jika lim

x→c⁻f (x) = ±∞ atau lim

x→c⁺f (x) = ±∞

Contoh: Tentukan asimptot vertikal dari f (x) = _x2+2x−15^x−3

contoh

f (x) = _x2+2x−15^x−3 dengan asimptot vertikal garis x = −5 dan asimptot horizontal garis y = 0

Asimptot Miring

Definisi

Garis y = ax + b disebut asimptot miring dari f (x) jika

x→∞lim f (x) − (ax + b) = 0 atau lim

x→−∞f (x) − (ax + b) = 0

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Kekontinuan fungsi

Perhatikan gambar berikut

Kekontinuan fungsi

Definisi

Misalkan f (x) terdefinisi pada interval buka I dan c ∈ I. Fungsi f disebut kontinu di titik c jika

f (c) = lim

x→cf (x) ⇔ f (c) = lim

x→c⁻f (x) = lim

x→c⁺f (x)

Artinya agar kontinu di x = c, fungsi f (x) harus memenuhi ketiga syarat berikut:

I lim

x→cf (x)ada

I f (x)ada (f (x) terdefinisi di x = c)

I lim

x→cf (x) = f (c)

Tak Kontinu Terhapuskan (Removable Continuity)

Definisi

Diberikan fungsi f (x) yang tak kontinu di x = c. Kekontinuan f di c disebut terhapuskan bila f (c) dapat diubah sehingga f (x) menjadi kontinu di x = c.

Contoh:

Misalkan f (x) =

( x²−4

x−2 , x 6= 2 5 , x = 2 Periksa kekontinuan f di titik x = 2?

Kekontinuan sepihak

Definisi

Fungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f (c) = lim

x→c⁻f (x) Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f (c) = lim

x→c⁺f (x) Definisi (Kekontinuan pada interval)

Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu di setiap titik pada (a, b)

Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinu pada (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.

Sifat-sifat

Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R.

Fungsi rasional (^p(x)_q(x), dengan p(x) dan q(x) polinom) kontinu pada seluruh daerah definisinya.

Fungsi f (x) = |x| kontinu pada seluruh daerah definisinya.

Fungsi f (x) = √ⁿ

xdengan n ∈ N kontinu pada seluruh daerah definisinya.

Bila f , dan g kontinu di titik c dan k ∈ R maka:

kf, f + g, f − g, f g,^f_g dengan g(c) 6= 0, fⁿ, dan √ⁿ

f kontinu di c.

Contoh soal

1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut:

I Daerah definisinya [−2, 4]

I f (−2) = f (0) = f (1) = f (3) = f (4) = 1

I f kontinu di seluruh Df kecuali di x = −2, x = 0 dan x = 3.

I lim

x→−1⁻f (x) = 2, lim

x→0⁺f (x) = 2, dan lim

x→3⁻f (x) = 1.

2 Tentukan a dan b agar f (x) =







−1 , x ≤ 0 ax + b , 0 < x < 1

1 , x ≥ 1

kontinu di R.

Contoh soal

1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut:

I Daerah definisinya [−2, 4]

I f (−2) = f (0) = f (1) = f (3) = f (4) = 1

I f kontinu di seluruh Df kecuali di x = −2, x = 0 dan x = 3.

I lim

x→−1⁻f (x) = 2, lim

x→0⁺f (x) = 2, dan lim

x→3⁻f (x) = 1.

2 Tentukan a dan b agar f (x) =







−1 , x ≤ 0 ax + b , 0 < x < 1

1 , x ≥ 1

kontinu di R.

Teorema nilai antara (TNA)

Definition

Misalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f (a) dan f (b) maka terdapat c ∈ [a, b] sehingga f (c) = w.

TNA tak berlaku

Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?

Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f (a) dan f (b) sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f (c) = d

TNA tak berlaku

Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?

Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f (a) dan f (b) sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f (c) = d

Soal

1 Tunjukkan p(x) = x³+ 3x − 2mempunyai akar real diantara 0 dan 1.

2 Tunjukkan p(x) = x⁵+ 4x³− 7x + 14 mempunyai paling sedikit satu akar real.

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Garis singgung?

Pendekatan dinamis

Gradien y = x

²

Outline

1 limit

Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem

Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions

2 Turunan

Dua masalah satu tema

3 Referensi

Referensi

E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore 2009.

Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.

R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA 2009.