APLIKASI FUNGSI LINIER DALAM BIDANG EKONOMI FUNGSI PERMINTAAN & PENAWARAN. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag.

APLIKASI FUNGSI LINIER DALAM BIDANG EKONOMI

FUNGSI PERMINTAAN & PENAWARAN

Oleh :

Agus Arwani, SE, M.Ag.

FUNGSI PERMINTAAN

Q

_dx,t

= ƒ (P

_x,t,

P

_y,t,

Y

_t,

P

^e_X,t+1,

S

_t

)

Dimana Q_dx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.

P_x,t = Harga produk X dalam periode t.

P_y,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.

Y_t = Pendapatan konsumen dalam periode t.

P^e_x,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1.

S_t = Selera dari konsumen pada periode t.

Q_dx = ƒ(P_x)

Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,

Q_x= a – bP_x

Dimana Q_x = Jumlah produk X yang diminta P_x = Harga produk X

a dan b = Parameter

X (0,P)

(Q,0) Q_d = a - bp

P

0

Hukum Permintaan

 Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan

mempunyai slope negatif (miring ke kiri)

Qd P

0

Q

_d

= a - bP

b a/b

Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:

Q

_x

= f (P

_x

) Q

_x

= a – b P

_x

dimana:

Q_x = Jumlah produk x yang diminta P_x = Harga produk x

a dan b = parameter

Penyelesaian :

Diketahui: P₁ = 100; P₂ = 75; Q₁ = 10; Q₂ = 20 Q – Q₁ Q₂ – Q₁

P – P₁ P₂ – P₁ Q – 10 20 – 10 P – 100 75 – 100

(Q – 10) = 10/-25 (P-100) (Q – 10) = 40 – 2/5 P

Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0 Kurva permintaan ini ditunjukkan

oleh Gambar disamping.

0 25 50 75 100 P

Q (0,125)

(50,0) Q = 50 – 2/5 P

Contoh

Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?

10 20 30 40 50

=

=

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS

Q p

0

D

Q

p D

0

FUNGSI PENAWARAN

Q

_sx,t

= ƒ(P

_x,t

, T

_t

, P

_F,t

, P

_R,t

, P

^e_x,t+1

)

Dimana Q_sx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.

P_x,t = harga produk X dalam periode t

T_t = Teknologi yang tersedia dalam periode t P_F,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t

P_R,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t

P^e_x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1 Q_sx = g (P_x)

Dimana Q_sx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen P_x = Harga produk X

Q_sx = a + bP ^P

0 Q

Q_s= a + bP

- a/b

S

Hukum Penawaran



Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah

produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual

dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan

bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang

ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa

jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan

turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope

positif (miring ke kanan)

Qd P

Qs = -a + bP

-a dimana:

Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x

a dan b = parameter

0

Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:

Qx = f (Px)

Qx = -a + b Px

a/b

Contoh

Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram

Penyelesaian :

Diketahui: P₁ = 500; P₂ = 700; Q₁ = 60; Q₂ = 100 Q – Q₁ Q₂ – Q₁

P – P₁ P₂ – P₁ Q – 60 100– 60 P – 500 700 – 500

(Q – 60) = 40/200 (P-500) (Q – 60) = -100 +1/5 P

Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0 Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar

0

100

P

Q (0,125)

(50,0)

(60, 500)

100 200

300 400 500 600 700

80 60

40 20

=

=

Q = -40 + 0,2P

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

Q p

0

Pe E (Qe, Pe)

Qd Qe

Qs

Contoh

Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh :

Q

_d

= 6 – 0,75 P Q

_s

= -5 + 2P

a)

Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?

b)

Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

Penyelesaian:

a) Syarat keseimbangan Q_d = Q_s

Bila Q_d = Q_s, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11

P = 4

Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,

Q = 6 – 0,75 (4) Q = 6 – 3

Q = 3

Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).

b) Menggambarkan keseimbangan pasar : Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P

Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8) Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P

Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar

Q p

0

2,5

E (3, 4)

(6, 0) 1

Q_s = -5 + 2P

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

8 (0, 8)

Q_d = 6 – 0,75P

Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran

 Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

 Untuk setiap p ada satu nilai Q.

 Grafik fungsi turun.

 Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

 Untuk setiap p ada satu nilai Q.

 Grafik fungsi naik.

Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran

Q Q

P P

Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:

Latihan

1. P

_d

= -Q

²

+ Q + 2 dan P

_s

= Q

²

+ Q - 2

Jawab:

Q P



^{2, 2}



2 2

P_d

P_{s 2}

-2

-2 -1 1 2

0

Contoh

Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P², gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!

Penyelesaian :

Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0)

Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P² = 0 atau P = 4P – 32 = 0

(P + 8) (P – 4) = 0

P = -8 (Tidak memenuhi) P = 4

Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).

a = -2 b = -8 c= 64

Koordinat titik puncak

Jadi Titik puncak=(72,-2) ^(2,72)







 

 a

D a

b , 4 2















 

8 , 576 4 8

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P² dapat digambarkan seperti di bawah.

Y

Q

(2,0) 2

(0,4)

(64,0) Q =64– 8P – 2P²

(72,-2) 3

4

1

-1 -2

8 16 24 32 40 48 56 64 72

P

KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK

Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya:

beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain.

Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya.

Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja.

Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.

Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) hargaproduk lain yang saling berhubungan.

Penggunaan Fungsi dalam ekonomi Analisa keseimbangan pasar

Keseimbangan pasar – Model linear

Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Q

_d

– Q

_s

= 0)

Asumsi-2: Q

_d

= jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Q

_d

turun.

Asumsi-3: Q

_s

= jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Q

_s

juga naik, dengan syarat

tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.

Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?

Matematika Ekonomi

22

Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat:

Q

_d

= Q

_s

Q

_d

= a - bP, slope (-) (1) Q

_s

= -c + dP, slope (+) (2) Gambarnya sbb :

Q_d, Q_s

P -c

P₁

a Q_d = a -bP Q_s = -c + dP

P₀ Q₀

0

keseimbangan

Matematika Ekonomi

23

Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:

Q

_s

= 4 – p

²

dan Q

_d

= 4P – 1

Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}

0

1,3

2 4

3

1

Q_S = 4p - 1

Q_D = 4 - p²

keseimbangan

-1

1/4



Latihan



Temukan keseimbangan dari Q

_d

dan Q

_s

tersebut

Matematika Ekonomi

24

Matematika Ekonomi

25

Keseimbangan pasar (lanjutan)

Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika:

Q

_d

= 16 – P

²

, (Permintaan) Q

_S

= 2p

²

– 4p (penawaran)

Gambarkan grafiknya

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5

Matematika Ekonomi

26

Penjelasan

Pada saat keseimbangan maka Q

_d

= Q

_s

16 – p

²

= 2p

²

– 4p

3p

²

– 4p – 16 = 0

Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax

²

+ bx + c

Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16

p = (-b) ± (b

²

– 4ac)

^1/2

= 4 ± (16 + 192)

^1/2

= 3.1 (+) Q

_d

= 16 – p

²

= 16 - (3.1)

²

= 6.4

Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)

2a 6

Matematika Ekonomi

27

Grafik:

Fungsi Permintaan: Q

_d

= 16 – p

²

a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p

²

= 0

(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4) c.Titik maks/min: (Q,p)

Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0

p = (b

²

– 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16

atau pada titik (0, 16)

Matematika Ekonomi

28

Grafik:

Fungsi penawaran Q

_s

= 2p

²

– 4p

a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0) b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p

²

– 4p = 0

Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0) (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2) c. Titik maks/min: (Q,p)

Q = (-b/2a) = 4/4 = 1

p = (b

²

– 4ac)/(-4a) = (-4)

²

– 4(2)(0)/(-4)(2) = 2

atau pada titik (1, 2)

Matematika Ekonomi

29

Grafik:

Q

p

Q

_d

6.4 3.14

0 16 2

Q_s

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5

Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5,

terjadi ekses demand

Matematika Ekonomi

30

Penjelasan ekses suplai dan ekses demand

Q_s

Q_d

Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses

supply mendorong harga turun.

Notasi fungsi permintaan menjadi:

Q_dx = a₀ - a₁P_x + a₂P_y Q_dy = b₀+ b₁P_x - b₂P_y Sedangkan fungsi penawarannya:

Q_sx = -m₀ + m₁P_x + m₂P_y Q_sy = -n₀ + n₁P_x + n₂P_y

Dimana:

Q_dx= Jumlah yang diminta dari produk X Q_dy= Jumlah yang diminta dari produk Y Q_sx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X Q_sy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y P_x= Harga produk X

P_y = Harga produk Y a₀,b₀,m₀,n₀ = konstanta

SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:

Q

_sx

= Q

_dx

dan Q

_sy

= Q

_dy

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:

Qdx = 5 -2Px + Py Qdy = 6 + Px – Py

Qsx = -5 + 4Px - Py Qsy = -4 - Px + 3Py

dan

Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar

Penyelesaian:

Syarat keseimbangan pasar : Qsx = Qdx

-5 + 4P

_x

– P

_y

= 5 - 2P

_x

+ P

_y

4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 5 6Px – 2Py = 10 …(1)

Qsy = Qdy

-4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py -Px – Px + 3Py + Py = 6 + 4 -2Px + 4Py = 10

- Px + 2Py = 5 …(2)

(1)Dan (2)

6Px – 2Py = 10 - Px + 2Py = 5 5Px = 15

Px = 3 Py = 4

Qsx = 3

Qsy = 5

MEx = ( 3, 3 )

MEy = ( 5, 4 )

KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)

Contoh :

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini :

P

_d

= 24 – 3Q

²

P

_s

= Q

²

+ 2Q + 4 Penyelesaian :

Syarat keseimbangan pasar adalah P

_d

= P

_s

24 – 3Q

²

= Q

²

+ 2Q + 4 4Q

²

+ 2Q - 20 = 0

Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu

P = 24 – 3(2)

P = 24 – 12 = 12

8 324 , 2

8

)}

20 )(

4 )(

4 {(

4

Q_1,2 2    _1,2   

 Q

8 2 18 Q₁   2 

memenuhi tidak

Q 2 , 5

8 18 2

1

    

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).

Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan P_d = 24 – 3 Q² dan fungsi penawaran P_{s = Q}² + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s

Q

2

(3,19)

P =24 – 3Q

2,8₃

0

4

1 8

16 24

P

20

12 ^{E (2,12)}

P =q²+ 2Q + 4