7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

• Nilai Eigen dan Vektor Eigen

• Diagonalisasi

• Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN

Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada Rⁿ, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor x dengan vektor Ax.

Namun , dapat terjadi vektor x tertentu sedemikian sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Ax

x

Ax x

Jika A adalah matriks nxn,

• Vektor-vektor tidak nol pada Rⁿ disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x, yaitu:

Ax =  x

• Untuk semua skalar .

• Skalar  disebut eigenvalue A, dan x disebut juga eigenvector A bersepadanan dengan .

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Apabila diberikan transformasi linier A : Rn  Rn, maka kita perlu menentukan skalar  sehingga Ax = x mempunyai solusi tak nol.

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Jika diketahui vektor adalah suatu vektor eigen

maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut.

λ =3 Ax = x

Menghitung λ

A n^n ^ Ax = x

 Ax = Ix  (I – A)x = 0.

 

det (  I – A ) = 0

Persamaan karakteristik dari A, dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A

.

det (I – A) merupakan persamaan polinomial p dalam

 dan disebut polinomial karakteristik dari A.

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka:

Menghitung λ

det (  I – A ) = 0

Nilai Eigen, Vektor Eigen Tentukan nilai eigen dari

• Polinomial karakteristik A didapat melalui:

• Nilai eigen value diperoleh melalui ³ – 8² + 17 – 4 =0

0 1 0

0 0 1

4 17 8 A

 

 

  

  

 

3 2

1 0

det( ) det 0 1 8 17 4

4 17 8

I A



    



  

 

        

  

 

³ – 8² + 17 – 4 =0 (-4)(2-4 +1) = 0

Nilai Eigen, Vektor Eigen Tentukan nilai eigen dari

• Nilai eigen value  = ½ , = 2/3, dan  = -1/4





























4 8 1

5

3 0 1 2

0 2 0

1

A

det (  I – A ) = 0

Jika A adalah matriks segitiga n^n triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A^.

Teorema Eigen

Jika A

_nn

dan  adalah bilangan real maka pernyataan berikut adalah ekuivalen:

•  adalah nilai eigen dari A .

• Sistem persamaan (  I – A )x = 0 memiliki solusi tak-trivial.

• Ada suatu vektor tak-nol x pada R

ⁿ

sedemikian sehingga A x =  x.

•  merupakan suatu penyelesaian dari persamaan

karakteristik det(  I – A ) = 0.

Basis Ruang Eigen

• Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue  adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.

• Eigenvectors yang bersepadanan dengan  adalah vektor tak-nol dalam ruang penyelesaian (I – A)x = 0  ruang eigen A yang berhubungan dengan .

(I – A)x = 0

Mencari nilai eigen  det (I – A) = 0

Mencari vektor eigen

Basis Ruang Eigen

Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A ukuran nxn :

1. Tentukan polinomial karakteristik det(I – A)=0 dari matriks A.

2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det (I – A) = 0 untuk .

3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks

A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen A.

4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.

Contoh Basis Ruang Eigen

Cari basis-basis untuk ruang eigen dari

0 0 2 1 2 1 1 0 3 A

  

 

  

 

 

1 2 3

0 2 0

1 2 1 0 (3)

1 0 3 0

x x x







     

       

     

      

     

(I – A)x = 0

³ – 5² + 8 – 4 = 0

( – 1)( – 2)² = 0  = 1 and  = 2

• Mencari nilai eigen  det (I – A) = 0

• Mencari vektor eigen

Contoh Basis Ruang Eigen

1 2 3

2 0 2 0

1 0 1 0

1 0 1 0

x x x

     

      

     

      

     

• Menentukan ruang solusi dan basis untuk  = 2

x₁= -s, x₂ = t, x₃ = s

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:

0 1 0

0 0 1

0 1 0

s s

t t s t

s s

  

         

         

             

         

          x

Cek : apakah bebas linier.

Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan  = 2

Contoh Basis Ruang Eigen

• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk

 = 1

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 1 adalah vektor tak nol berbentuk:

basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

 = 2

Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks

Jika k : bilangan bulat positif,

 : eigenvalue matriks A^, x : eigenvector

^k adalah eigenvalue dari A^k dan x is a corresponding

eigenvector.

A

²

x= A (Ax) –A ( x) =  (Ax) -  (  x) = 

²

x

Teorema:

Jika k adalah suatu bilangan bulat positif,  adalah suatu nilai eigen dari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan, maka ^k adalah suatu nilai eigen dari A^k dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan.

Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks

Contoh:

Nilai Eigen dari adalah

0 0 2 1 2 1 1 0 3 A

  

 

  

 

 

 = 1 and  = 2

Vektor eigen dari A untuk nilai  = 2 adalah

Nilai eigen untuk A⁷ : = 2⁷ = 128 dan  = 1⁷ = 1

Vekor eigen untuk A⁷ yang bersepadanan dengan = 2⁷ = 128

Vekor eigen untuk A⁷ yang bersepadanan dengan = 1⁷ = 1

Vektor eigen dari A untuk nilai  = 1 adalah

Matriks Balikan pada Nilai Eigen

Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika  = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.

Ringkasan

Jika A mn matrix, dan jika T_A : Rⁿ  Rⁿ adalah perkalian dengan A;

• A dapat di-invers.

• Ax = 0 hanya memiliki persamaan trivial.

• Bentuk baris tereduksi dari A adalah I_n.

• A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar.

• Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n1.

• Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n1.

• det(A)≠0.

• Range (daerah hasil) T_A adalah Rⁿ.

• T_A satu satu.

• Vektor kolom A bebas linier.

• Vektor baris A bebas linier.

• Vektor kolom A merentang Rⁿ.

• Vektor baris A merentang R^m.

• Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk Rⁿ.

• Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk Rⁿ.

• A berpangkat n.

• A mempunyai kekosongan 0.

• Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah Rⁿ.

• Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {0}.

• A^TA bisa dibalik

• = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A

DIAGONALISASI

Diagonalisasi Matriks

Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable

• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P^-1AP =D adalah matriks diagonal

• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.

Jika A n^n maka:

• A dapat didiagonalkan.

• A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Prosedur Diagonalisasi Matriks

Suatu matriks A_nxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb: .

• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p₁, p₂, …, p_n.

• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p₁, p₂, …, p_n sebagai vektor-vektor kolomnya.

• Step 3. Matriks P^-1AP akan menjadi matriks diagonal

dengan ₁, ₂, …, _n sebagai anggota diagonalnya dimana _i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan p_i, untuk i = 1, 2, …, n.

Contoh Diagonalisasi Matriks

Cari matriks P yang mendiagonalkan ^:

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

  

 

  

 

 

1 2 3

0 2 0

1 2 1 0 (3)

1 0 3 0

x x x







     

       

     

      

     

(I – A)x = 0

³ – 5² + 8 – 4 = 0

( – 1)( – 2)² = 0  = 1 and  = 2

• Mencari nilai eigen  det (I – A) = 0

• Mencari vektor eigen

Contoh Diagonalisasi Matriks

1 2 3

2 0 2 0

1 0 1 0

1 0 1 0

x x x

     

      

     

      

     

• Menentukan ruang solusi dan basis untuk  = 2

x₁= -s, x₂ = t, x₃ = s

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:

0 1 0

0 0 1

0 1 0

s s

t t s t

s s

  

         

         

             

         

          x

Cek : apakah bebas linier.

Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan  = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk

 = 1

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:

basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

 = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks





































0 1 0 ,

1 0 1

2

1 p

p

















 1 1 2 p3

Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut:

 = 2:

 = 1: ^













 



1 0 1

1 1 0

2 0

1 P

Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A:

D AP

P 

































 















 





















 

1 0 0

0 2 0

0 0 2

1 0 1

1 1 0

2 0

1

3 0 1

1 2 1

2 0

0

1 0

1

1 1 1

2 0 1

1

Contoh Diagonalisasi Matriks

Cari matriks P yang mendiagonalkan





















2 5 3

0 2 1

0 0 1

A

Polinominal karakteristik dari A dicari dengan :

det (I – A) = 0 ²

1 0 0

det( ) 1 2 0 ( 1)( 2)

3 5 2

I A



   





      

 

Persamaan karakteristik:

Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah:

Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.

Teorema Diagonalisasi Matriks

Jika v₁, v₂, …, v_k, adalah vektor-vektor eigen dari A yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda ₁, ₂, …,

_k, maka {v₁, v₂, …, v_k} adalah suatu himpunan yang bebas secara linier.

Jika suatu matriks An^n mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

Diagonalisasi Matriks

Contoh :

0 1 0

0 0 1

4 17 8 A

 

 

  

  

 

Cari matriks P yang mendiagonalkan

• Polinomial karakteristik A didapat melalui:

³ – 8² + 17 – 4 =0 (-4)(2-4 +1) = 0

3 2

1 0

det( ) det 0 1 8 17 4

4 17 8

I A



    



  

 

        

  

 

Matriks A_3x3 mempunyai nilai- nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

1

4 0 0

0 2 3 0

0 0 2 3

P AP^

 

 

   

  

 

Diagonalisasi Matriks Segitiga

Ingat: Jika A adalah matriks segitiga n^n triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.

Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan.

1 2 4 0 0 3 1 7 0 0 5 8 0 0 0 2 A

 

 

 

  

  

 

DIAGONALISASI

ORTOGONAL

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga :

P

^-1

AP = P

^T

AP=D

maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal

dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal

.

Jika A adalah matriks n^n maka pernyataan berikut ekuivalen:

• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.

• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.

• A simetris.

A^T = (PDP^T)^T=PD^TP^T = PDP^T = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka:

– Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.

– Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.

Diagonalisasi Matriks Simetris

Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:

• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A^.

• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap

basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

• Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan

• Solusi:

– Persamaan karakteristik A adalah:

– Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan  = 2 adalah

– :

4 2 2 2 4 2 2 2 4 A

 

 

  

 

 

2

4 2 2

det( ) det 2 4 2 ( 2) ( 8) 0

2 2 4

I A



   



  

 

 

          

    

 

1 2

1 1

1 and 0

0 1

 

   

   

     

   

   

u u

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Terapkan proses Gram Schmidt pada {u₁, u₂untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut:

1 2

1/ 2 1/ 6

1/ 2 and 1/ 6

0 2 / 6

   

   

     

   

   

   

v v

Ruang eigen yang bersepadanan dengan  = 8 adalah 3

1 1 1

  

  

   u

Terapkan proses Gram Schmidt pada {u₃} didapat: ₃

1/ 3 1/ 3 1/ 3

 

 

  

 

 

 

v

sehingga

 



























3 / 1 6 / 2 0

3 / 1 6 / 1 2

/ 1

3 / 1 6 / 1 2

/ 1

3 2

1 v v

v P

P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa P^TAP=D