Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I

Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2014

Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub

Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x , y ) menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan f kontinu dan tak negatif.

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2

Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas R dapat dinyatakan

V = Z Z

R

f (x , y )dA

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai

z = f (x , y ) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r , θ) Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu dengan menggunakan koordinat kutub.

Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R1, R2, . . . , Rn dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan ∆rk

dan ∆θ_k menyatakan dimensi potongan R_k. Luas A(R_k) dinyatakan dengan

A(Rk) = ¯rk∆rk∆θk

di mana ¯rk adalah jari-jari rata-rata Rk.

V ≈

n

X

k=1

F (¯r_k, ¯θ_k)¯r_k∆r_k∆θ_k

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4

Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka akan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat-dua.

V = Z Z

R

F (r , θ)r dr d θ = Z Z

R

f (r cos θ, r sin θ)r dr d θ

Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu Z Z

R

f (x , y )dA = Z Z

R

f (r cos θ, r sin θ)r dr d θ

Contoh:

Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihat gambar)

R = n

(r , θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ π 4

o dan di bawah permukaan z = e^x2+y2.

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6

Penyelesaian:

Karena x²+ y² = r², maka V =

Z Z

R

e^x2+y2dA

=

π/4

Z

0





3

Z

1

e^r2r dr



d θ =

π/4

Z

0

 1 2e^r2

3 1

d θ

=

π/4

Z

0

1

2(e⁹− e)d θ = π

8(e⁹− e) ≈ 3181 

Daerah Umum

1. Himpunan Sederhana-r

Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebut berbentuk

S = {(r , θ) : φ1(θ) ≤ r ≤ φ2(θ), α ≤ θ ≤ β}

V =

θ=β

Z

θ=α

r =φ2(θ)

Z

r =φ1(θ)

f (r , θ)r dr d θ

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8

2. Himpunan Sederhana-θ

Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebut berbentuk

S = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, ψ1(r ) ≤ θ ≤ ψ2(r )}

V =

r =b

Z

r =a

θ=ψ2(r )

Z

θ=ψ1(r )

f (r , θ)r d θ dr

Contoh:

Hitunglah RR

S

ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10

Penyelesaian:

Karena S adalah himpunan sederhana-r , kita dapat menuliskan integral di atas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubah

pengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini, θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (pada gambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ).

Z Z

S

ydA =

π/2

Z

0

2(1+cosθ)

Z

2

(rsinθ)r dr d θ =

π/2

Z

0

 r³ 3sinθ

2(1+cosθ) 2

d θ

= 8 3

π/2

Z

0

[(1 + cosθ)³sinθ − sinθ]d θ

= 8 3



−1

4(1 + cosθ)⁴+ cosθ

π/2 0

= 22

3 

Integral Probabilitas

Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu

∞

Z

−∞

f (x )dx = 1

dengan

f (x ) = 1

√2πe^−x2/2

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12

Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I =

∞

R

0

e^−x2dx =

√π 2 . Ingat kembali bahwa

I =

∞

Z

0

e^−x2dx = lim

b→∞

b

Z

0

e^−x2dx

Misalkan Vb merupakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan z = e^−x2−y2 dan di atas bujursangkar dengan titik potong (±b, ±b), lihat gambar, maka

Vb=

b

Z

−b b

Z

−b

e^−x2−y2dy dx =

b

Z

−b

e^−x2





b

Z

−b

e^−y2dy



dx

=

b

Z

−b

e^−x2dx

b

Z

−b

e^−y2dy =





b

Z

−b

e^−x2dx





2

= 4





b

Z

0

e^−x2dx





2

Ternyata volume daerah di bawah z = e^−x2−y2 dan di atas seluruh bidang xy adalah

V = lim

b→∞V_b= lim

b→∞4





b

Z

0

e^−x2dx





2

= 4





∞

Z

0

e^−x2dx





2

= 4I²

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 14

Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinat kutub. Di sini, V adalah limit ketika a → ∞ dari V_a, volume benda padat tersebut di bawah permukaan z = e^−x2−y2= e^−r2, di atas daerah

melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka

V = lim

a→∞V_a = lim

a→∞

2π

Z

0 a

Z

0

e^−r2r dr d θ

= lim

a→∞

2π

Z

0



−1 2e^−r2

a 0

d θ

= lim

a→∞

1 2

2π

Z

0

h

1 − e^−a2 i

d θ

= lim

a→∞π h

1 − e^−a2 i

= π

Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V dengan menggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas, akan dihasilkan 4I²= π atau I = ¹₂√

π. 

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 16

Selanjutnya, setelah diperoleh I =

∞

R

0

e^−x2dx =

√π

2 , akan ditunjukkan

bahwa _∞

Z

−∞

√1

2πe^−x2/2dx = 1 Berdasarkan sifat simetri,

∞

Z

−∞

√1

2πe^−x2/2dx = 2

∞

Z

0

√1

2πe^−x2/2dx

Lakukan substitusi u = ^√x

2 sehingga dx =√

2du. Batas-batas pada integral tetap sama sehingga kita memperoleh

∞

Z

−∞

√1

2πe^−x2/2dx = 2

∞

Z

0

√1 2πe^−u2

√ 2du

= 2√

√ 2 2π

∞

Z

0

e^−u2du

= 2√

√ 2 2π

√π 2 = 1

Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu. 

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 18

Latihan

1. Hitung integral-integral berulang berikut a.

π/2

R

0 cos θ

R

0

r²sin θ dr d θ

b.

π

R

0 1−cos θ

R

0

r sin θ dr d θ

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitungRR

S

r dr d θ dan sketsa daerah tersebut terlebih dahulu

a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaran r = 2

b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskat r²= 9 cos 2θ

3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dan sketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu

a. RR

S

e^x2+y2dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x²+ y²= 4 b. RR

S

p4 − x²− y²dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran x²+ y²= 4 di antara y = 0 dan y = x

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 20

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.

Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.