REPRESENTASI OPERATOR LINIER PADA RUANG BARISAN TERBATAS l. (Skripsi) Oleh. Nanda Arsy Syafitri Islami

REPRESENTASI OPERATOR LINIER PADA RUANG BARISAN TERBATASℓ

(Skripsi)

Oleh

Nanda Arsy Syafitri Islami

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

2018

ABSTRACT

REPRESENTATION OF LINEAR OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE

by

Nanda Arsy Syafitri Islami

The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices ∶ ℓ → ℓ

where = …

⋮ ⋮ …⋮ andℓ = = ( ) (∑ | | ) < ∞ is a sequence real numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence spaceℓ to sequence space ℓ by using a standard basis ( ) and it can be proven that the collection all the operators become Banach space.

Key Words : Operator, finite sequence space

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR LINIER PADA RUANG BARISAN

oleh

Nanda Arsy Syafitri Islami

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.

Banyak kasus pada operator linier dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks ∶ ℓ → ℓ

dengan = …

⋮ ⋮ …⋮ andℓ = = ( ) (∑ | | ) < ∞ merupakan barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ℓ ke ruang barisan ℓ dengan basis standar ( ) dan ditunjukan bahwa koleksi semua operator membentuk ruang Banach.

Kata Kunci : Operator, Ruang Barisan Terbatas

REPRESENTASI OPERATOR LINIER PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Oleh

NANDA ARSY SYAFITRI ISLAMI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2018

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Nanda Arsy Syafitri Islami, anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Muntaha dan Ibu Lini Marlina yang dilahirkan di Pringsewu pada tanggal 18 Maret 1996.

Penulis menempuh pendidikan di TK Dharma Wanita Kota Agung pada tahun 2000 – 2002 dan dilanjutkan sekolah dasar di SDN 3 Kuripan pada tahun 2002 – 2008, kemudian bersekolah di SMPN 1 Kota Agung pada tahun 2008 - 2011, dan bersekolah di SMAN 1 Pringsewu pada tahun 2011 - 2014.

Pada tahun 2014 penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Selama menjadi mahasiswa, pada tahun 2015 – 2016 penulis dipercaya menjadi Wakil Bendahara Umum Himatika Unila, dan pada tahun 2016 penulis dipercaya menjadi Bendahara Umum Himatika Unila.

Pada tahun 2017 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Sari Bakti, Kecamatan Seputih Banyak, Kabupaten Lampung Tengah, Provinsi Lampung dan pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di PT. Pertamina (persero) TBBM Panjang Lampung.

Kata Inspirasi

“Kemudian apabila kamu telah membulatkan tekad, maka bertawakallah kepada Allah, sesungguhnya Allah menyukai orang – orang

yang bertawakal (kepada-Nya)”

(QS. Ali Imraan : 159)

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”

(QS. Alam Nasyroh : 5-6)

“Impossible is nothing”

“Karena hasil tak akan pernah menghianati proses”

“Anda mungkin bisa menunda, tapi waktu tidak akan menunggu”

(Benjamin Franklin)

“Orang yang paling bahagia di dunia ini adalah orang yang senantiasa bersyukur dalam segala keadaan,

dan menyadari betapa berharganya hidup yang diberikan padanya.”

Dengan mengucapkan Alhamdulillah,

Puji dan syukur kepada Allah Subhanahu Wata’ala atas segala nikmat dan karunia-Nya, dan suri tauladan Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi

Wasallam yang menjadi contoh dan panutan untuk kita semua.

Kupersembahkan sebuah karya sederhana ini untuk : Ayahanda Muntaha dan Ibunda Lini Marlina

Terimakasih atas limpahan kasih sayang, pengorbanan, doa, dan seluruh motivasi di setiap langkahku. Karena atas doa dan ridho kalian, Allah

memudahkan tiap perjalanan hidup ini.

Terimalah bukti kecil ini sebagai kado keseriusanku untuk membalas semua pengorbanan, keikhlasan, dan jerih payah yang selama ini kalian lakukan.

Adik – adikku Tercinta Probo Irfan Nanda

Machica Nur Asih Amanda (alm) Allysia Indah Octaviani Chinta Nur Fitri Amanda

Vanesa Arsy Maharani Bunga Anjani Adrian Wan Hafi Meita Arsy Panalosa

Atiqa Arsy Safii Bima Abi Putra

Semoga apa yang telah mba lakukan selalu bisa menjadi contoh dan motivasi untuk kalian semua.

Almamaterku Tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Puji syukur penulis haturkan kepada Allah SWT yang selalu memberi rahmat dan karunia tak terhingga kepada umat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Representasi Operator Linier Pada Ruang Barisan Terbatas ”. Shalawat serta salam tak lupa penulis haturkan kepada junjungan dan suri tauladan Nabi Muhammad SAW, semoga seluruh umat islam termasuk dalam golongan yang akan mendapatkan syafaatnya di Yaumil Akhir kelak.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis dibantu oleh banyak pihak baik dalam hal bimbingan, dukungan, maupun saran. Pada kesempatan ini penulis ingin berterima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan, kritik dan saran bagi penulis selama proses pembuatan skripsi ini.

2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku pembimbing II yang telah memberikan arahan serta dukungan bagi penulis.

3. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku pembahas yang telah bersedia memberikan ide, kritik dan saran sehingga terselesaikannya skripsi ini.

4. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku Pembimbing Akademik yang membimbing penulis dalam menyelesaikan permasalahan seputar akademik.

5. Ibu Dra. Wamiliana, MA., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

7. Segenap dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu dan bantuan kepada penulis.

8. Ibu Lini Marlina, Bapak Muntaha, dan Adik Probo Irfan Nanda yang selalu menjadi penyemangat, memberikan doa, saran, dan dukungan yang tak terhingga bagi penulis.

9. Keluarga Besar HIMATIKA FMIPA UNILA.

10. Sahabat – sahabat tercinta penulis Annisa’ul Mufidah, Anindia Putri, Ratna Puspita Sari yang selalu menemani dalam suka maupun duka dan yang selalu menjadi penyemangat penulis.

11. Bang Irfan dan Bang Artha yang selalu memberikan kritik dan saran serta semangat bagi penulis.

12. Pimpinan HIMATIKA FMIPA UNILA 2016.

13. Ega, Rara, Kiki, Dhenando, Gege, Rian, Alvin, Diva, Dinna, Fauzia, Ryo, Yudha, Aga, Diana, Julian, dan Raka yang selalu memberi dukungan bagi penulis.

14. Pule, Maget, Yola, Dea, Ecy, Amoy, Ananda, Wika, Olin, Lena, Syafa, Fajar, Aldo, Redi, Arif, Agus, Dandi, Kodir, Tewe, Acong, Uti, Tiara, Andan, dan Eca yang telah memberikan kebahagian serta keceriaan bagi penulis.

15. Teman – teman Matematika 2014 yang selalu menjadi semangat bagi penulis.

16. Septa Yusnandar yang selalu memberi semangat serta dukungan bagi penulis.

17. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Bandar Lampung, 22 Januari 2018 Penulis,

Nanda Arsy Syafitri Islami

DAFTAR ISI

Halaman I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2 Tujuan ... 2

1.3 Manfaat ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Vektor ... 4

2.2 Ruang Bernorma ... 4

2.3 Ruang Banach ... 5

2.4 Operator ... 5

2.5 Barisan ... 12

2.6 Basis ... 18

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 19

3.2 Metode Penelitian ... 19

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Definisi 4.1.1 ... 22

Teorema 4.1.2 ... 22

Teorema 4.1.3 ... 26

Contoh 4.1.4 ... 27

V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

1

I. PENDAHULUAN

Ilmu matematika merupakan salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan atau persoalan matematika. Bidang ilmu analisis merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas operator, operator linier dan sifat – sifatnya.

Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linier. Operator linier merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.

Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen. Untuk setiap bilangan real p dengan1 ≤ < ∞ didefinisikan

= ∈ ∈ : < ∞

2

Sebagai contoh, suatu matriks ∶ ℓ → ℓ dengan = …

⋮ ⋮ …⋮ dan

ℓ = = ( ) (∑ | | ) < ∞ merupakan barisan bilangan real.

Jika = ( ) ∈ ℓ maka

( ) = = …

⋮ ⋮ …⋮ ⋮

= + + ⋯

+ + ⋯

⋮

=

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎡

⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya ( ) ∈ ℓ . Berdasarkan penelitian-penelitian yang sejenis, sebelumnya telah diteliti oleh peneliti lain tentang repesentasi operator linear pada ruang barisan terbatasℓ , ℓ , ℓ dan ℓ namun untuk ℓ belum diteliti. Oleh karena itu, penelitian ini akan mencari syarat lengkap apa yang harus dipenuhi supaya ( ) ∈ ℓ .

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :

1. Mengkaji lebih dalam ruang barisan terbatasℓ .

2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatasℓ .

3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatasℓ .

3

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ℓ ini, diantaranya :

1. Memahami sifat dari operator linear.

2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatasℓ . 3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatasℓ .

4

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ruang Vektor Definisi 2.1.1

Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi penjumlahan ( ) dan fungsi perkalian skalar ( ) sehingga untuk setiap skalar dengan elemen berlaku :

a.

b. ( ) ( ) c. ada sehingga d. ada sehingga ( )

e.

f. ( ) g. ( )

h. ( ) ( ) (Maddox, 1970).

2.2 Ruang Bernorma Definisi 2.2.1

Diberikan ruang linier X. Fungsi ‖ ‖ yang mempunyai sifat – sifat : a. ‖ ‖ untuk setiap

5

b. ‖ ‖ , jika dan hanya jika , (0 vektor nol) c. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap skalar dan . d. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

disebut norma (norm) pada X dan bilangan non negatif ‖ ‖ disebut norma vektor x. Ruang linier X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma

(norm space) dan dituliskan singkat dengan ‖ ‖ atau X saja asalkan normanya telah diketahui (Darmawijaya, 1970).

Lemma 2.2.2

Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap (Maddox, 1970).

Bukti :

untuk setiap diperoleh :

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖.

2.3 Ruang Banach Definisi 2.3.1

Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen (Darmawijaya, 2007).

2.4 Operator Definisi 2.4.1

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator (Kreyszig, 1989).

6

Definisi 2.4.2

Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas lapangan yang sama (Kreyszig, 1989).

a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.

b. Operator A : X Y dikatakan linier jika untuk setiap X dan setiap skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.

Definisi 2.4.3

Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm (Kreyszig, 1989).

a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan M

≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.

b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖

berlaku ‖ ‖ .

c. Jika A kontinu di setiap , A disebut kontinu pada X.

Teorema 2.4.4

Jika X dan Y masing-masing ruang bernorm atas field yang sama maka (X, Y) merupakan ruang linier (Ruckle, 1991).

Bukti :

Diambil sebarang ( ) dan sebarang untuk setiap diperoleh :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7

Jadi, ( ) merupakan operator linier.

Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 ≥ 0 sehingga,

‖( ) ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖ ‖ ‖

= | |‖ ‖ | |‖ ‖

≤ | | ‖ ‖ | | ‖ ‖

= (| | | | )‖ ‖

Dengan demikian, terbatas (kontinu). Jadi ( ).

Telah dibuktikan bahwa untuk setiap ( ) dan sebarang skalar berlaku ( ). Jadi ( ) linier.

Teorema 2.4.5

Jika Y ruang Banach maka (( ) ) ruang Banach (Maddox, 1970).

Bukti :

Diambil sebarang barisan Cauchy * + (( ) ‖ ‖).

Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan berlaku ‖ ‖ .

Misal, untuk setiap dan diperoleh

‖ ‖ = ‖( ) ‖

≤ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga ada sehingga untuk setiap dengan berlaku

‖ ‖ ‖ ‖ .

Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy * + dan Y lengkap, dengan kata lain * + konvergen ke

8

Jadi, dan x menentukan suatu operator A sehingga . Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan . Jadi diperoleh dan z menentukan suatu operator A sehingga . Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ,

( ) dan menentukan suatu operator A sehingga ( ) .

Jadi ( ) ( )

( )

=

=

=

= Jadi operator A bersifat linier.

Untuk diperoleh

‖( ) ‖ = ‖ ‖

= ‖( )‖

= ‖( ) ‖ ‖ ‖

Jadi operator ( ) dengan bersifat linier terbatas.

Karena dan masing-masing terbatas, serta ( ) maka A terbatas (kontinu).

Jadi (( ) ‖ ‖) dengan kata lain (( ) ‖ ‖) ruang Banach.

9

Definisi 2.4.6

Diberikan ruang bernorm X dengan field (Kreyszig, 1989).

a. Pemetaan disebut fungsi.

b. Himpunan semua fungsi linier kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis ( ).

Teorema 2.4.7

Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu (Ruckle, 1991).

Bukti :

Misal A = ( ) X = ( )

Y = ( ) dapat dinyatakan

∑

Mendefinisikan suatu fungsi linier kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap : ( ) ∑

Misal ( ), ( ) dan

( ) ∑

( ) ∑

( ) ( ) ( ) ∑

∑

∑( )

10

∑ ( )

∑ ( )

( )

( )( )( ) ∑ ( )

∑ ( )

∑

( ( ))

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linier pada X.

Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.

Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.

Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | ( )| | | Oleh karena itu :

| ( )| |∑

|

∑| || |

∑| |

11

Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linier kontinu pada x ( )

( ) Maka f juga kontinu pada x.

Karena y ruang BK diperoleh

∑ ^{( )}

Atau

^{( )} [

]

[ ^{( )}

( ) ( )

]

(

∑ ^{( )}

∑ ^{( )}

)

[ ]

∑ ^{( )}

( ^{( )}) ( )

( )

Jika y = Ax maka bukti lengkap.

12

Definisi 2.4.8

a. Matriks takhingga ( ) adalah matriks dengan dan elemen pada baris dan kolom sebanyak takhingga (Berberian, 1996).

b. Jika ( ) dan ( ) masing-masing matriks takhingga dan skalar maka ( ) ( ) dan (∑ ) dengan ∑ .

Definisi 2.4.9

Diketahui suatu operator ( ) maka ( ) disebut operator adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku ( ) ( ) (Fuhrmann, 1987).

2.5 Barisan Definisi 2.5.1

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real x_n tertentu, maka x₁, x₂,...,x_n,... dikatakan barisan (Mizrahi dan Sulivan, 1982).

Definisi 2.5.2

Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan (Yahya, Suryadi, Agus, 1990).

13

Definisi 2.5.3

Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga | | untuk setiap

Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan konvergen jika ia mempunyai nilai limit (Mizrahi dan Sulivan, 1982).

Teorema 2.5.4

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas (Martono, 1984).

Bukti :

Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an} konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga | | . Akibatnya | | | | | | | | | | untuk setiap . Ambillah (| | | | | | | | ), maka setiap berlaku

| | , yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.

Definisi 2.5.5

Suatu barisan ( ) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan sehingga | | . Himpunan dari semua barisan terbatas dilambangkan dengan (Maddox, 1970).

Definisi 2.5.6

Suatu barisan {x_n} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan dapat dicari suatu nomor indeks sedemikian sehingga untuk berlaku

14

(atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka xn mendekati L jika n mendekati tak hingga (Yahya, Suryadi, Agus, 1990).

Definisi 2.5.7

Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen (Martono, 1984).

Definisi 2.5.8

Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi : * ̅ * + +

a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan

{ { } ∑| |

}

dan norm pada yaitu

‖ ‖ (∑| |

)

b. Untuk didefinisikan

{ ̅ * +

| | } dan norm pada yaitu

‖ ‖

| | Definisi 2.5.9

Misal ( ) dengan (q konjugat p), untuk dan ( ) ∑ | | ‖ ‖ ‖ ‖ (Darmawijaya, 2007).

15

Teorema 2.5.10

( ) merupakan ruang bernorma terhadap norm ‖ ‖ (Darmawijaya, 2007).

Bukti :

a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ . Untuk setiap skalar ̅ * + * + diperoleh

) ‖ ̃‖

| | | |

‖ ̃‖

| | | | ̃ * + ̃ ) ‖ ̃‖

| |

| | ‖ ‖

| | ‖ ̃‖ ‖ ‖ ̃ ) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃ ̃‖ ̃ ̃ berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa merupakan ruang linier dan

‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorma.

b) Untuk diambil sebarang ̃ * + ̃ * + dan skalar . Diperoleh :

) ‖ ̃‖ {∑| |

} | |

‖ ̃‖ {∑| |

} | | ̃ * + ̃

) ‖ ̃‖ {∑| |

} | | {∑| |

} | |‖ ‖

jelas bahwa ‖ ‖

16

) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ {∑| |

} {∑| |

}

Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linier dan

‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm.

Teorema 2.5.11

Jika bilangan real p dengan , maka ( ‖ ‖ ) merupakan ruang Banach (Darmawijaya, 2007).

Bukti :

Telah dibuktikan bahwa ( ‖ ‖ ) merupakan ruang bernorm Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.

Dibuktikan dahulu untuk diambil sebarang barisan Cauchy { ̃^{( )}} dengan

a) ̃^{( )} { ̃^{( )}} ( ̃ ^{( )} ̃ ^{( )} ̃ ^{( )} )

Untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap dua bilangan asli berlaku

b) ‖ ^{( ) ( )}‖ ∑ | ^{( ) ( )}| . / .

Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh

| ^{( ) ( )}| untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan Cauchy ^{( )} untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga

^{( )} atau | ^{( )} | . Berdasarkan b) diperoleh untuk berlaku | ^{( )} | | ^{( ) ( )}| .

17

Selanjutnya dibentuk barisan ̃ * +. Menurut ketidaksamaan minkowski.

c) *∑ | | + {∑ | ^{( ) ( )}| }

{∑| ^{( ) ( ) ( )}|

}

{∑| ^{( ) ( )}|

} {∑| ^{( )}|

}

Yang berarti ̃ * + . Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh untuk berlaku

d) ‖ ̃ ̃^{( )}‖ {∑ | ^{( )}| } {∑ | ^{( )}| }

Maka barisan { ̃^{( )}} konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti bahwa barisan Cauchy { ̃^{( )}} konvergen ke ̃ * + atau terbukti bahwa ( ‖ ‖ ), ( ) merupakan ruang Banach.

Definisi 2.5.12

Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (Banach lengkap) jika X merupakan ruang Banach dan pemetaan koordinatnya ( ) ( ) kontinu (Ruckle, 1991).

Contoh ruang BK (Banach lengkap) adalah ruang barisan , .

18

2.6 Basis Definisi 2.6.1

Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga , -. Dalam keadaan seperti itu * + disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.

Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga

Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga

∑

Definisi 2.6.2

Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linier (Darmawijaya, 2007).

Definisi 2.6.3

Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base) V jika B bebas linier dan | | (Darmawijaya, 2007).

Contoh :

Himpunan * ̌ ̌ ̌ +, dengan ̃ vektor di dalam yang komponen ke-k sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis ruang vektor .

18

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2017/2018 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :

1. Mengkonstruksikan suatu operator dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan = 0,0, … , 1_{( )}, … . Yang selanjutnya dinamakan operator A.

2. Mengkonstruksikan norma operator A

3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator A membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan

pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar{ } dengan

= 0,0, … , 1_{( )}, … .

V. KESIMPULAN

Operator Linier dan kontinu : ℓ → ℓ merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks = yang memenuhi :

1. = ∑ ∈ ℓ untuk setiap = ( ) ∈ ℓ

2. ∑ ∑ < ∞

3. ∑ ∑ < ∞

Koleksi semua operator SM : ℓ → ℓ yang dinotasikan dengan SM (ℓ , ℓ ) membentuk ruang Banach.

DAFTAR PUSTAKA

Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hilbert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York.

Kreyszig, E. 1989.Introductory Function Analysis with Application.Willey Classic Library, New York.

Maddox,I.J. 1970. Element of Functional Analysis.Cambridge Univercity Press, London.

Martono, K. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.

Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982.Calculus and Analytic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company, Boston.

Yahya, dkk. 1990. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.