Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Rukmono Budi Utomo

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton

2. Algoritma Newton

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Berbeda dengan Metode numerik Golden Rasio dan

Fibonacci yang tidak memerlukan f0(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode Newton

Karakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa hal seperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencari

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Berbeda dengan Metode numerik Golden Rasio dan

Fibonacci yang tidak memerlukan f0(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut. Karakteristik Metode Newton

Karakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa hal seperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencari

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Berbeda dengan Metode numerik Golden Rasio dan

Fibonacci yang tidak memerlukan f0(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut. Karakteristik Metode Newton

Karakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa hal seperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencari

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Berbeda dengan Metode numerik Golden Rasio dan

Fibonacci yang tidak memerlukan f0(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut. Karakteristik Metode Newton

Karakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa hal seperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencari

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Berbeda dengan Metode numerik Golden Rasio dan

Fibonacci yang tidak memerlukan f0(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut. Karakteristik Metode Newton

Karakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa hal seperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencari

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusi

nilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x )

I tentukan nilai f0(x ) dan f00(x )

I tentukan xk+1 = xk− f

0

(xk)

f00(xk)

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut.

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusi

nilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x )

I tentukan nilai f0(x ) dan f00(x )

I tentukan xk+1 = xk− f

0

(xk)

f00(xk)

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut.

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusi

nilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x )

I tentukan nilai f0(x ) dan f00(x )

I tentukan xk+1 = xk− f

0

(xk)

f00(xk)

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut.

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusi

nilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x )

I tentukan nilai f0(x ) dan f00(x )

I tentukan xk+1 = xk− f

0

(xk)

f00(xk)

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut.

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusi

nilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x )

I tentukan nilai f0(x ) dan f00(x )

I tentukan xk+1 = xk− f

0

(xk)

f00(xk)

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut.

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Contoh Soal

carilah titik x yang meminimumkan fungsi f (x ) =  4x3− 3x4_{, x ≥ 0} 4x3+ 3x4, x < 0 solusi Ambil x1= 0.4 (Kenapa? )

karena x1= 0.4 ≥ 0, maka diambil fungsi

f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

Dengan demikian

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Contoh Soal

carilah titik x yang meminimumkan fungsi f (x ) =  4x3− 3x4_{, x ≥ 0} 4x3+ 3x4, x < 0 solusi Ambil x1= 0.4 (Kenapa? )

karena x1= 0.4 ≥ 0, maka diambil fungsi

f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

Dengan demikian

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f0(0.4) = 1.152 , f00(0.4) = 3.84 dan x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

Dengan demikian f0(0.1) = 0.108 , f00(0.1) = 2.04 dan x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

f0(0.047) = 0.025254 , f00(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f0(0.4) = 1.152 , f00(0.4) = 3.84 dan x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3_{− 3x}4_{(kenapa? )}

Dengan demikian f0(0.1) = 0.108 , f00(0.1) = 2.04 dan x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

f0(0.047) = 0.025254 , f00(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f0(0.4) = 1.152 , f00(0.4) = 3.84 dan x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3_{− 3x}4_{(kenapa? )}

Dengan demikian f0(0.1) = 0.108 , f00(0.1) = 2.04 dan x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

f0(0.047) = 0.025254 , f00(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f0(0.4) = 1.152 , f00(0.4) = 3.84 dan x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3_{− 3x}4_{(kenapa? )}

Dengan demikian f0(0.1) = 0.108 , f00(0.1) = 2.04 dan x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

f0(0.047) = 0.025254 , f00(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f0(0.4) = 1.152 , f00(0.4) = 3.84 dan x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3_{− 3x}4_{(kenapa? )}

Dengan demikian f0(0.1) = 0.108 , f00(0.1) = 2.04 dan x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x ) = 4x3− 3x4_{(kenapa? )}

f0(0.047) = 0.025254 , f00(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Perhitungan Iterasi disajikan dalam tabel dibawah ini

Iterasi λk f 0 λ(k) f 00 λ(k) λk+1 1 0.4 1.152 3.84 0.1 2 0.1 0.108 2.04 0.047 ... ... ... ... ... 5 0.01132 0.00152 0.267 0.005627 6 0.005627 0.000379 0.1339 0.002827

Terlihat bahwa nilai λk konvergen ke nilai 0, dengan demikian nila

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Perhitungan Iterasi disajikan dalam tabel dibawah ini

Iterasi λk f 0 λ(k) f 00 λ(k) λk+1 1 0.4 1.152 3.84 0.1 2 0.1 0.108 2.04 0.047 ... ... ... ... ... 5 0.01132 0.00152 0.267 0.005627 6 0.005627 0.000379 0.1339 0.002827

Terlihat bahwa nilai λk konvergen ke nilai 0, dengan demikian nila

1. Metode Numerik Newton 2. Algoritma Newton 3. contoh soal

Tugas Minggu Depan

Bagimana jika diberikan fungsi f (x ) =



4x3+ 3x4, x ≥ 0 4x3− 3x4_{, x < 0}

Selesaikan dengan Metode Newton