Riset Operasional LINEAR PROGRAMMING

(1)

1

Oleh:

Darmansyah Tjitradi, MT.

Bahan Kuliah

Riset Operasional

LINEAR PROGRAMMING

PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL

UNLAM

(2)

2

Agar lebih mendekati langkah-langkah operasional, Hall & Dracup (1970) lebih menyukai melakukan rekayasa sistem (systems engineering) yang didefinisikan sbb.:

ANALISA SISTEM

Rekayasa Sistem adalah suatu ilmu (science) dan seni (art) dalam memilih sejumlah banyak pilihan (alternatif) yang layak, dengan memperhatikan aspek perekayasaan guna melakukan tindakan-tindakan yang memenuhi keseluruhan tujuan, untuk pengambilan keputusan di dalam batasan-batasan kendala peraturan, kelakuan manusia, ekonomi, sumberdaya, politik dan sosial, serta kendala hukum-hukum alam dan kehidupan manusia.

Sebagai suatu teknik pemecahan masalah, rekayasa sistem merupakan ilmu dan seni.

Aspek ilmu terletak pada penggunaan teknik-teknik dan algoritma-algoritma (matematis) dalam memecahkan masalah.

Aspek Seni ditunjukkan pada keberhasilan dari solusi model yang digunakan sangat tergantung pada kretivitas dan kemampuan seseorang sebagai

(3)

3

ANALISA SISTEM

ALTERNATIF ALTERNATIF PEREKAYASAAN Kendala-kendala: - Manusia - Ekonomi - Sumberdaya - Sosial/politik - dll. TUJUAN

(4)

4

Istilah Riset Operasional diberikan karena pada saat

Perang Dunia ke II, angkatan perang Inggris

membentuk tim yang terdiri dari atas para ilmuwan

untuk mempelajari persoalan-persoalan strategi dan

taktik sehubungan dengan serangan musuh yang

dilancarkan terhadap negaranya.

Tujuan mereka adalah untuk menentukan

penggunaan sumber-sumber kemiliteran yang

terbatas, seperti radar dan bom, dengan cara yang

paling efektif.

Karena tim tersebut melakukan penelitian (research)

terhadap operasi militer, maka muncul nama

“Penelitian Operasional”

untuk masalah-masalah

kemiliteran (Military Operations Research).

(5)

5

Keberhasilan yang diperoleh angkatan perang

Inggris ini kemudian ditiru angkatan perang Amerika

dengan membentuk tim penelitian operasioanal

dalam memecahkan masalah-masalah pengiriman

barang-barang keperluan perang, penerbangan, dan

pengoperasian peralatan elektronik.

Setelah Perang Dunia II berakhir, cara ini menarik

perhatian para industriawan, yang hingga saat ini

penelitian operasional digunakan dengan baik

diperguruan tinggi, konsultan, rumah sakit,

perencanaan kota, dan kegiatan bisnis lainnya.

(6)

6

Langkah-langkah yang dilakukan pada analisa

sistem (Buras, 1972) secara umum meliputi 5 tahap,

yaitu:

PENELITIAN OPERASIONAL

1. Penentuan Tujuan (Statement of Objectives)

Merupakan tahap awal yang harus dipikirkan oleh

pengambil keputusan, termasuk pemunculan

gagasan langkah-langkah yang akan dilkukan

menjadi alternatif-alternatif yang akan dianalisa.

2. Studi Penyidikan (Exploratory)

Guna mencari latar belakang, informasi dan data

yang diperlukan, yang terutama akan menjadi

peubah (variabel) atau kendala/pembatas

(7)

7

PENELITIAN OPERASIONAL

3. Studi Kelayakan (Feasibility Studies)

Dengan mengambil keputusan dan memilih dari

alternatif yang telah diciptakan sebelumnya,

menggunakan model-model pengambilan keputusan.

4. Rancang Bangun (Development Planning)

Merupakan perwujudan nyata dari hasil keputusan

yang telah diambil sebelumnya.

5. Perekayasaan Kelanjutan (Current Engineering)

Dimana penampilan dari suatu sistem harus

dipantau secara terus menerus, sehingga akan selalu

memperbaiki sistem pengoperasiannya dan

menghasilkan sistem serupa yang lebih baik di masa

yang akan datang.

(8)

8

Programa Linear

adalah suatu cara

untuk menyelesaikan persoalan

pengalokasian sumber-sumber

yang terbatas di antara beberapa

aktivitas yang bersaing, dengan

cara yang terbaik yang mungkin

dilakukan.

(9)

9

Programa Linear adalah merencanakan

aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu

hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang

mencapai tujuan terbaik (berdasarkan model

matematisnya) di antara seluruh alternatif

penyelesaian yang fisibel.

Programa linear ini menggunakan model matematis

untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya.

Sifat “linear” disini memberi arti bahwa seluruh fungsi

matematis dalam model ini merupakan fungsi-fungsi

linear, sedangkan kata “

programa

” disini tidaklah

berhubungan dengan programa komputer, tetapi hanya

merupakan sinonim untuk “

perencanaan

”.

(10)

10

Sebagai ilustrasi, berikut ini diberikan sebuah contoh persoalan programa linier, sebagai berikut:

Sebuah perusahaan yang memproduksi kaca berkualitas tinggi untuk digunakan sebagai jendela dan pintu kaca. Perusahaan ini memiliki tiga buah pabrik, yaitu pabrik 1 yang membuat bingkai aluminium, pabrik 2 yang membuat bingkai kayu, dan pabrik 3 yang digunakan untuk memproduksi kaca dan merakit keseluruhan produk.

Saat ini perusahaan mendapat pesanan berupa dua macam produk baru yang

potensial, yaitu: pintu kaca setinggi 8 kaki dengan bingkai aluminium (produk 1), dan jendela berukuran 4 x 6 kaki dengan bingkai kayu (produk 2)

Karena perusahaan sedang mengalami penurunan pendapatan sebagai akibat dari krismon, maka pimpinan perusahaan merasa perlu untuk memperbaiki kinerja produksinya, dengan cara menghentikan pembuatan beberapa produk yang tidak menguntungkan sehingga kapasitas produksi dapat digunakan untuk membuat salah satu atau kedua produk pesanan tsb.

Akan tetapi karena kedua produk itu akan bersaing untuk menggunakan kapasitas produksi yang sama di pabrik 3, maka persoalannya ialah:

Berapa banyakkah masing-masing produk harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan terbaik?

(11)

11

Untuk menyelesaikan persoalan diatas, terlebih dahulu harus mencari data mengenai:

1. Persentase kapasitas produksi masing-masing pabrik yang dapat digunakan untuk kedua macam produk tsb.

2. Persentase kapasitas yang diperlukan oleh masing-masing produk untuk setiap unit yang diproduksi per menit.

3. Keuntungan per unit untuk masing-masing produk.

Informasi mengenai ketiga hal di atas dapat dilihat pada Tabel dibawah:

Kapasitas yg digunakan per unit Ukuran produksi Pabrik Produk 1 Produk 2 1 (bingkai aluminium) 1 0 2 2 $5 4 2 (bingkai kayu) 0 12 3 (All produk) 3 18 Keuntungan per unit $3 Kapasitas yang dapat digunakan

PROGRAMA LINEAR

(12)

12

Karena kapasitas yang telah digunakan oleh suatu produk di pabrik 3 menyebabkan produk lain tidak dapat menggunakannya, maka

persoalan diatas dikenal sebagai persoalan programa linear dengan tipe “campuran produk” atau product mix.

Formulasi model matematis:

X1 = jumlah unit produk 1 yang diproduksi per menit X2 = jumlah unit produk 2 yang diproduksi per menit Z = keuntungan yang diperoleh per menit

Dengan demikian maka x1 dan x2 menjadi variabel-variabel

keputusan dari model, dan tujuannya adalah memilih harga-harga x1 dan x2 sehingga diperoleh nilai maksimum dari:

Z = 3.X1 + 5.X2

Berdasarkan pembatas yang ada, yaitu kapasitas pabrik yang dapat digunakan.

(13)

13

Model matematisnya:

Maksimum: Z = 3.X1 + 5.X2

Pembatas: X1

≤ 4

2.X2 ≤ 12

3.X1 + 2.X2 ≤ 18

dan X1

≥ 0, X2 ≥ 0

PROGRAMA LINEAR

(14)

14 2 4 6 8 10 2 4 6 8 Fungsi Pembatas: X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 2.X2 ≤ 12 X1 ≤ 4 A B C E X2 X1

Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2

3.X1 + 2.X2 ≤ 18

D

PENYELESAIAN GRAFIS

(15)

15 2 4 6 8 10 2 4 6 8 Fungsi Pembatas: X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≤ 4 A C E Z = 3.X1 + 5.X2

5

3 tg

1 X

2 X

tg

=

α

=

α

Z = 3.X1 + 5.X2 X1 X2

D

B

PENYELESAIAN GRAFIS

(16)

16 2 4 6 8 10 2 4 6 8 Fungsi Pembatas: X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≤ 4 A C D E

Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2 Z = 3.X1 + 5.X2

5

3 tg

1 X

2 X

tg

=

α

=

α

Z = 3.X1 + 5.X2 X1 X2 Titik optimum (X1 = 2, X2 = 6) B

PENYELESAIAN GRAFIS

STEP-3

(17)

17

PENYELESAIAN GRAFIS

2.X2 = 12

3.X1 + 2.X2 = 18

- 3.X1 = - 6

Nilai optimum dapat diperoleh dengan cara menentukan titik

potong garis ED (pembatas ke-2) dengan garis CD (pembatas

ke-3) , sebagai berikut:

Sehingga diperoleh nilai X1 = 2 dan X2 = 6

Dengan demikian solusi optimum dari persoalan diatas ialah bahwa

perusahaan harus membuat produk 1 sebanyak 2 unit per menit,

dan produk 2 sebanyak 6 unit per menit dengan keuntungan yang

dapat diperoleh sebesar Z = 3.(2) + 5.(6) = $ 36 per menit.

(18)

18

PENYELESAIAN GRAFIS

Kapasitas yg digunakan per unit Ukuran produksi Pabrik Produk 1 Produk 2 1 (bingkai aluminium) 2 0 12 12 $30 4 2 (bingkai kayu) 0 12 3 (All produk) 6 18 Keuntungan per unit $6 Kapasitas yang dapat digunakan $5 x 6 2 x 6 2 x 6 0 Produk 2 $3 x 2 Keuntungan per unit 18 3 x 2 3 (All produk) 12 0 2 (bingkai kayu) 4 1 x 2 1 (bingkai aluminium) Produk 1 Kapasitas yang dapat digunakan Kapasitas yg digunakan per unit

Ukuran produksi Pabrik

(19)

19

TEKNIK PEMECAHAN

MODEL PROGRAM LINEAR

Ada 2 cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan program linear ini, yaitu:

1. Cara Grafis

2. Metode Simpleks

Cara grafis dapat kita pergunakan apabila persoalan programa

linear yang akan diselesaikan itu hanya mempunyai dua buah

variabel.

Metode Simpleks merupakan teknik yang paling berhasil

dikembangkan untuk memecahkan persoalan programa linear yang

mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar.

(20)

20

Model programa linear dapat memiliki pembatas-pembatas

yang bertanda

≤, =, maupun ≥.

Model programa linear dalam bentuk standar memiliki

sifat sebagai berikut:

1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan

(bertanda =) dengan ruas kanan yang nonnegatif.

2. Seluruh variabel harus merupakan variabel nonnegatif.

3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimal atau

minimal.

BENTUK STANDAR MODEL

PROGRAMA LINEAR

(21)

21

Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang

belum standar ke dalam bentuk standar:

1. Pembatas (constraint)

a. Pembatas yang bertanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel Slack pada ruas kiri pembatas itu.

Contoh 1: X1 + 2.X2 ≤ 6

Kita tambahkan Slack S1 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan:

X1 + 2.X2 + S1 = 6, S1 ≥ 0 Contoh 2:

3.X1 + 2.X2 – 3.X3 ≥ 5

Karena ruas kirinya lebih besar dari ruas kanan, maka harus

dikurangkan variabel Slack S2 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh

persamaan:

3.X1 + 2.X2 – 3.X3 – S2 = 5, S2 ≥ 0

BENTUK STANDAR MODEL

PROGRAMA LINEAR

(22)

22

Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang

belum standar ke dalam bentuk standar:

b. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.

Contoh:

2.X1 – 3.X2 – 7.X3 = – 5

Secara matematis adalah sama dengan – 2.X1 + 3.X2 + 7.X3 = 5

c. Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.

Contoh:

2 < 4 adalah sama dengan – 2 > – 4

2.X1 – X2 ≤ – 5 adalah sama dengan – 2.X1 + X2 ≥ 5

BENTUK STANDAR MODEL

PROGRAMA LINEAR

(23)

23

Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang

belum standar ke dalam bentuk standar:

d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan.

Contoh 1:

untuk b ≥ 0, |a1.X1 + a2.X2| ≤ b adalah sama dengan a1.X1 + a2.X2 ≤ b dan a1.X1 + a2.X2 ≥ – b

Contoh 2:

untuk q ≥ 0, |p1.X1 + p2.X2| ≤ q adalah sama dengan p1.X1 + p2.X2 ≥ q atau p1.X1 + p2.X2 ≤ – q

BENTUK STANDAR MODEL

PROGRAMA LINEAR

(24)

24

Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang

belum standar ke dalam bentuk standar:

2. Variabel

Suatu variabel y_i yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel nonnegatif dengan menggunakan substitusi:

y_i = y_i’ – y_i” dimana y_i’ dan y_i” ≥ 0

Substitusi seperti ini harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuannya.

3. Fungsi Tujuan

Walaupun model standar programa linear ini dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Dalam hal ini, maksimasi dari suatu fungsi adalah sama dengan minimasi dari negatif fungsi yang sama.

Contoh:

Maksimasikan Z = 5.X1 + 2.X2 + 3.X3, secara matematis adalah sama dengan: Minimumkan (– Z) = – 5.X1 – 2.X2 – 3.X3

BENTUK STANDAR MODEL

PROGRAMA LINEAR

(25)

25

PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIS

Pengembangan model matematis dapat dimulai

dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini:

1. Apa variabel yang tidak diketahui dari masalah

tersebut?

2. Apa batasan yang harus dikenakan atas variabel

untuk memenuhi batasan sistem yang dimodelkan

tersebut?

3. Apa tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk

menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari

semua nilai yang layak dari variabel tersebut?

(26)

26

METODE SIMPLEKS

George

Dantzig

Lahir

8/11/1914

, Portland

Ilmuwan Inggris pada PD

-

II

Teori

"

Simplex Method of

Optimization

(27)

27

Metode Simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif,

yang bergerak selangkah demi selangkah. Dimulai dari suatu titik

ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem

yang optimum.

METODE SIMPLEKS

Metode ini selalu dimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan selalu

bergerak melalui titik sudut fisibel yang berdekatan, menguji

masing-masing titik mengenai optimalitasnya sebelum bergerak

pada titik lainnya.

Jumlah iterasi maksimum dalam metode Simpleks adalah sama

dengan jumlah maksimum solusi basis dalam bentuk standar, atau

dengan rumus:

(

)

[

n

m

!

m

!

]

!

n

C

n_m

⋅

−

=

n = banyaknya variabel

(28)

28

METODE SIMPLEKS

Terminologi dasar:

1. Solusi fisibel

Solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut.

Titik-titik yang ada di dalam atau pada perbatasan bidang ABCDE.

2 4 6 8 10 2 4 6 8 2.X2 ≤ 12 X1 ≤ 4 A B C E X2 X1

3.X1 + 2.X2 ≤ 18

D Solusi fisibel (ABCDE)

(29)

29

METODE SIMPLEKS

Terminologi dasar:

2. Solusi Optimum

Solusi fisibel yang memberikan nilai terbaik (nilai terbesar atau terkecil) bagi fungsi tujuannya (maksimum atau minimum).

2 4 6 8 10 2 4 6 8 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≤ 4 A C D E Fungsi Tujuannya: Z = 3.X1 + 5.X2 X1 X2 Titik optimum (X1 = 2, X2 = 6) B

(30)

30

METODE SIMPLEKS

Terminologi dasar:

3. Solusi Fisibel Titik Ekstrem/ Titik Sudut

Solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang

menghubungkan dua solusi fisibel lainnya untuk (n > 3) buah variabel (n)

2 4 6 8 10 2 4 6 8 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 ≤ 18 X1 ≤ 4 A C D E

Solusi Fisibel Titik Ekstrem:

Titik:

(0,0), (0,6), (2,6), (4,3) dan (4,0)

X1 X2

(31)

31

METODE SIMPLEKS

Terminologi dasar:

Ada 4 sifat pokok Titik Ekstrem:

1. Jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada suatu titik ekstrem. 2. Jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem

yang berdekatan. (Dua buah titik ekstrem dikatakan berdekatan jika

segmen garis yang menghubungkan keduanya itu terletak pada sudut dari batas daerah fisibel)

3. Hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan

4. Jika suatu titik ekstrem memberikan harga Z yang lebih baik dari yang lainnya, maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum

Sifat keempat ini menjadi dasar dari metode Simpleks yang

prosedurnya meliputi 3 langkah sebagai berikut:

1. Langkah Inisialisasi:

mulai dari suatu titik ekstrem

2. Langkah Iteratif:

bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang

lebih baik. Langkah ini diulangi sebanyak yang diperlukan

3. Aturan penghentian:

menghentikan langkah ke-2 apabila telah

sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum)

(32)

32

KONDISI OPTIMALITAS

METODE SIMPLEKS

Kondisi Optimalitas dari Metode Simpleks menyatakan

bahwa:

1. Untuk persoalan dengan fungsi tujuan memaksimumkan, apabila seluruh variabel non basisnya (pada persamaan Z) mempunyai koefisien-koefisien yang berharga non negatif (artinya positif atau nol), maka solusi yang

diperoleh sudah optimum.

Jika masih ada variabel non basis yang mempunyai koefisien berharga negatif, maka variabel non basis dengan koefisien negatif terbesar dipilih sebagai entering variable (variabel masuk)

2. Sebaliknya untuk persoalan dengan fungsi tujuan meminimumkan, solusi optimum tercapai apabila seluruh variabel non basisnya mempunyai

koefisien-koefisien yang berharga negatif atau nol.

Jika masih ada variabel non basis yang mempunyai koefisien berharga positif, maka variabel non basis dengan koefisien positif terbesar dipilih sebagai entering variable (variabel masuk)

(33)

33

ENTERING VARIABLE

(VARIABEL MASUK)

Cara pemilihan entering variable (variabel masuk):

1. FUNGSI TUJUAN MEMAKSIMUMKAN

,

Pilihlah koefisien-koefisien variabel non basis pada fungsi tujuan yang mempunyai koefisien negatif terbesar (harga mutlak)

2. FUNGSI TUJUAN MEMINIMUMKAN

,

Pilihlah koefisien-koefisien variabel non basis pada fungsi tujuan yang mempunyai koefisien positif terbesar (harga mutlak)

(34)

34

LEAVING VARIABLE

(VARIABEL KELUAR)

Cara pemilihan leaving variable (variabel keluar) fungsi

tujuan memaksimumkan/meminimumkan:

1. Pilihlah koefisien-koefisien pada kolom entering variable yang berharga positif (> 0)

2. Bagilah ruas kanan pada kolom solusi (kecuali untuk persamaan Z) dengan koefisien-koefisien tersebut untuk baris-baris yang sama.

iable

var

entering

koefisien

solusi

koefisien

Rasio=

3. Tentukan persamaan pembatas mana yang mempunyai hasil bagi (rasio) terkecil, kemudian pilihlah variabel basis pada persamaan tersebut untuk menjadi leaving variable

(35)

35

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Prosedur algoritma Metode Simpleks:

Langkah 0 : Gunakan bentuk standar, tentukan solusi fisibel basis awal dengan cara mengenolkan sebanyak (n – m) variabel non basis

Langkah 1 : Pilihlah sebuah entering variable (variabel masuk) di antara variabel-variabel non basis yang ada, yang apablia nilainya

dinaikkan menjadi lebih besar dari nol, dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika tidak ada STOP. Maka solusi basis yang telah dicapai menjadi solusi optimum. Jika ada lanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2 : Pilihlah sebuah leaving variable (variabel keluar) di antara

variabel basis yang ada, yang harus menjadi non basis pada saat entering variable menjadi basis.

Langkah 3 : Tentukan solusi basis yang baru dengan cara menjadikan

entering variable sebagai basis, dan menjadikan leaving variable sebagai variabel non basis. Kembali ke langkah 1

Setelah diperoleh entering dan leaving variable maka iterasi

(36)

36

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Setelah diperoleh entering dan leaving variable maka iterasi

ditentukan dengan dengan menggunakan Metode Gauss-Jordan.

Metode ini mengubah basis dengan menggunakan 2 tipe perhitungan

sebagai berikut:

1. Tipe 1 (persamaan pivot)

pivot koefisien lama yang pivot Persamaan baru yang pivot Persamaan =

2. Tipe 2 (persamaan-persamaan yang lainnya, termasuk persamaan Z)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = baru pivot Persamaan entering kolom koefisien lama Persamaan baru yang Persamaan

(37)

37

BENTUK STANDAR METODE SIMPLEKS

Metode Simpleks menginterasikan sejumlah

persamaan yang mewakili fungsi tujuan dan

fungsi

-

fungsi kendala pada programa linear

yang telah disesuaikan menjadi bentuk standar

Perhatikan bentuk standar persamaan simpleks

sebagai berikut:

a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ •••••• + a

_1n

x

_n

+

x

_n_n₊₁₊₁

= b

₁

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ •••••• + a

_2n

x

_n

-

x

_n_n₊₂₊₂

= b

₂

a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ •••••• + a

_mn

x

_n

+

x

_n_n_+k_+k

= b

_m

x

₁

, x

₂

, •••••• x

_n

≥ 0

Z = c

₁

x

₁

+ c

₂

x

₂

+ •••••• + c

_n

x

_n

Maks./Min.

Pembatas:

(38)

38

FORMAT TABEL

METODE SIMPLEKS

Peubah Non Basis Peubah Basis S₁ 0 1 0 0 S_m 0 0 0 1 S_m 0 a_m1 a_m2 •••••• a_mn 0 •••••• b_m Iterasi Basis Z X₁ X₂ •••••• X_n S₂ •••••• Solusi Z 1 •••••• 0 0 1 •••••• Z’ S1 0 a₁₁ a₁₂ •••••• a_1n •••••• b₁ S2 0 a₂₁ a₂₂ •••••• a_2n •••••• b₂ 0

(39)

39

Model matematis:

Maksimum:

Z = 3.X1 + 5.X2

Pembatas:

X1

≤ 4

2.X2 ≤ 12

3.X1 + 2.X2 ≤ 18

dan X1

≥ 0, X2 ≥ 0

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Model Standar:

Maksimum:

Z - 3.X1 - 5.X2 = 0

Pembatas:

X1 + S1 = 4

2.X2 + S2 = 12

3.X1 + 2.X2 + S3 = 18

dan X1

≥ 0, X2 ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0

(40)

40

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Kolom Entering

Basis

Z X1 X2 S1 S2 S3

Solusi

(RHS)

Rasio

0 12/2 = 6

18/2=9

4

12

18

0

1 Z

1 -3 -5 0

0 S1

0 1

0

1

0 S2

0 0

2

0

1 S3

0 3

2

0

0 Kolom variabel masuk

Persamaan pivot

(41)

41

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Kolom Entering

Basis

Z X1 X2 S1 S2 S3

Solusi

(RHS)

6

0 Z

S1

X2

0 0

1 0 1/2

S3

Didapat dari rumus

pivot koefisien lama yang pivot Persamaan baru yang pivot Persamaan =

(42)

42

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) 0 30 4 6 6 0 0 1 Z 1 -3 0 0 5/2 S1 0 1 0 1 0 X2 0 0 1 0 1/2 S3 0 3 0 0 -1 Kolom Entering 18/2=9 12/2 = 6 Rasio 18 12 4 0 Solusi (RHS) 1 0 0 0 S3 0 0 2 3 0 S3 1 0 2 0 0 S2 0 1 0 1 0 S1 0 0 -5 -3 1 Z S2 S1 X2 X1 Z Basis

Iterasi-1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = baru pivot Persamaan entering kolom koefisien lama Persamaan baru yang Persamaan -2 x +5 x

(43)

43

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio 4/1=4 0 6/3=2 0 30 4 6 0 1 6 Z 1 -3 0 0 5/2 S1 0 1 0 1 0 X2 0 0 1 0 1/2 S3 0 3 0 0 -1 Kolom Entering 2 Solusi (RHS) 1/3 S3 -1/3 0 0 1 0 X1 X2 S1 Z S2 S1 X2 X1 Z Basis

(44)

44

ALGORITMA METODE SIMPLEKS

Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio 4/1=4 0 6/3=2 0 30 4 6 0 1 6 Z 1 -3 0 0 5/2 S1 0 1 0 1 0 X2 0 0 1 0 1/2 S3 0 3 0 0 -1 Kolom Entering

2

6

2

36

Solusi (RHS) 1/3 0 -1/3 1 S3 -1/3 0 0 1 0 X1 1/2 0 1 0 0 X2 1/3 1 0 0 0 S1 3/2 0 0 0 1 Z S2 S1 X2 X1 Z Basis X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36

Iterasi-2

-1 x +3 x

(45)

45

TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL

Dalam metode Simpleks menggunakan variabel slack

sebagai solusi basis awal, sedemikian sehingga

masing-masing merupakan ruas kanan yang berharga positif

pada masing-masing persamaan.

Sekarang bagaimana solusi untuk kasus yang

persamaan pembatasnya tidak lagi bertanda ≤, tetapi

bertanda = atau ≥.

Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda =,

maka daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis saja,

sehingga kita tidak dapat memperoleh solusi fisibel

basis awal karena tidak ada variabel slack yang dapat

digunakan sebagai variabel basis awalnya.

Contoh:

3.X1 + 2.X2 ≤ 18, diubah menjadi 3.X1 + 2.X2 =18, maka

daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis yang

(46)

46

TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL

Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda ≥,

kita tidak akan memiliki solusi fisibel basis awal karena

ruas kanannya berharga negatif.

Contoh:

3.X1 + 2.X2 ≥ 18, adalah sama dengan

-3.X1 - 2.X2 ≤ - 18

Dengan menambahkan variabel slack menjadi

-3.X1 - 2.X2 + S1 = - 18, S1 tidak bisa menjadi variabel

basis awal karena harganya negatif.

Untuk menyelesaikan kedua jenis kasus tersebut, kita

memerlukan adanya variabel dummy (variabel palsu)

yang disebut variable artifisial, sehingga variabel basis

awal bisa tetap ada.

(47)

47

TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL

Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 ≥ 0

Bentuk di atas kita ubah menjadi:

Maksimumkan Z - 3.X1 - 5.X2 = 0

Pembatas X1 + S1 = 4

2.X2 + S2 = 12

3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

Pengaruh variabel artifisial (R) ini adalah untuk memperluas daerah fisibel. Pada kasus di atas, daerah fisibel berkembang dari semula berupa segmen garis yang menghubungkan titik-titik (2,6) dan (4,3) menjadi bidang ABCDE.

(48)

48

TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL

Contoh 2: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≥ 4 2.X2 ≥ 12 3.X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 ≥ 0

Bentuk di atas kita ubah menjadi:

Maksimumkan Z - 3.X1 - 5.X2 = 0 Pembatas X1 - S1 + R1 = 4

2.X2 - S2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18

X1, X2, S1, S2, R1, R2, R3 ≥ 0

Pada akhirnya, iterasi-iterasi metode Simples akan secara otomatis menjadikan variabel artifisial ini tidak mucul lagi (berharga nol), yaitu apabila persoalan semula telah

(49)

49

TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL

Dengan kata lain, kita gunakan variabel artifisial ini hanya untuk

memulai solusi, dan harus menghilangkannya (menjadikannya

berharga nol) pada akhir solusi. Jika tidak demikian, solusi

yang diperoleh akan tidak fisibel. Untuk itu, maka harus

diberikan penalty M (dimana M adalah bilangan positif yang

sangat besar) pada setiap variabel artifisial dalam fungsi

tujuannya.

Nilai M bertanda negatif (-) untuk fungsi tujuan maksimum, dan

bertanda positif (+) untuk fungsi tujuan minimum

Ada 2 teknik penyelesaian untuk kasus dengan variabel

artifisial, yaitu:

1. Teknik M

2. Teknik dua fase

(50)

50

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 ≥ 0

Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel

artifisial sehingga diperoleh bentuk:

Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 – M.R3

Pembatas X1 + S1 = 4

2.X2 + S2 = 12

3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

(51)

51

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka

terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara:

R3 = 18 – 3.X1 – 2.X2

Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut:

Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 – M.(18 – 3.X1 – 2.X2)

atau

Z = (3.M + 3).X1 + (2.M – 5).X2 + 0.S1 + 0.S2 – 18.M

Z – (3.M + 3).X1 – (2.M – 5).X2 – 0.S1 – 0.S2 = – 18.M

Hal ini dilakukan dengan maksud agar dalam pembuatan tabel

Simpleks awalnya, R3 sudah secara otomatis “dipaksa” berharga

nol. Selanjutnya selesaikan persoalan di atas dengan cara yang

sama.

(52)

52

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi

Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 -18M

S1 0 1 0 1 0 0 4

S2 0 0 2 0 1 0 12

R3 0 3 2 0 0 1 18

(53)

53

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 -18M S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 R3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 0 (-2M-5) (3M+3) 0 0 (-6M+12) X1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 R3 0 0 2 -3 0 1 6 1 0

(54)

54

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 -18M S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 R3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 0 (-2M-5) (3M+3) 0 0 (-6M+12) X1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 R3 0 0 2 -3 0 1 6 Z 1 0 0 -9/2 0 (M+5/2) 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 0 3 1 -1 6 X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3 2 1 0

(55)

55

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Z 1 0 0 -9/2 0 (M+5/2) 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 0 3 1 -1 6 X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3 2 Z 1 0 0 0 3/2 (M+1) 36 X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2 S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 X2 0 0 1 0 1/2 0 6 3 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36

(56)

56

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≤ 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 ≥ 18 X1, X2 ≥ 0

Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel

artifisial sehingga diperoleh bentuk:

Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2

–

S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 ≥ 0 Perhatikan:

(57)

57

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka

terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara:

R2 = 12 – 2.X2

R3 = 18 – 3.X1 – 2.X2 + S3

Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut:

Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.(12 – 2.X2)

+ M.(18 – 3.X1 – 2.X2 + S3)

atau

Z = (– 3.M + 3).X1 + (– 4.M + 5).X2 + 0.S1 + M.S3 + 30.M

(58)

58

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi

Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M 0 0 1 0 0 30M S1 0 1 0 1 0 0 4 R2 0 0 2 0 0 0 12 R3 0 3 2 0 -1 1 18 0

(59)

59

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi

Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M 0 0 30M S1 0 1 0 1 0 0 0 4 R2 0 0 2 0 0 1 0 12 R3 0 3 2 0 -1 0 1 18 0 (-2M +5/2) 0 1/2 -1 Z 1 (3M-3) 0 0 -M 0 6M+30 S1 0 1 0 1 0 0 4 X2 0 0 1 0 0 0 6 R3 0 3 0 0 -1 1 6 1

(60)

60

METODE PENALTY (TEKNIK M)

Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M 0 0 30M S1 0 1 0 1 0 0 0 4 R2 0 0 2 0 0 1 0 12 R3 0 3 2 0 -1 0 1 18 Z 1 (3M-3) 0 0 -M (-2M +5/2) 0 6M+30 S1 0 1 0 1 0 0 0 4 X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6 R3 0 3 0 0 -1 -1 1 6 1 0 (-M +3/2) 1/3 1/2 -1/3 Z 1 0 0 0 -1 (-M +1) 36 S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 X2 0 0 1 0 0 0 6 X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2 2 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36

(61)

61

TEKNIK DUA FASE

Dengan digunakannya konstanta M yang merupakan

bilangan positif yang sangat besar sebagai penalty,

maka bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama

apabila perhitungan itu dilakukan dengan

menggunakan program komputer.

Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien tujuan

relatif sangat kecil dibandingkan dengan harga M,

sehingga komputer akan memperlakukannya sebagai

koefisien yang berharga nol.

Sebagai contoh, apabila pada persoalan teknik M di

atas ditetapkan harga M = 100.000, maka koefisien X1

dan X2 pada fungsi tujuannya menjadi (300.000 – 3)

dan (400.000 – 5).

(62)

62

TEKNIK DUA FASE

Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan teknik dua fase.

Disini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase (dua tingkatan) sebagai berikut:

Fase 1:

Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variabel artifisialnya. Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol (artinya seluruh variabel artifisial berharga nol), berarti persoalan memiliki solusi fisibel,

lanjutkan fase 2. Tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel, STOP.

Fase 2:

Gunakan solusi basis optimum dari fase 1 sebagai solusi awal bagi persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase 1 dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula. Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa.

(63)

63 Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≤ 4 2.X2 ≤ 12 3.X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 ≥ 0 Bentuk standar: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 – M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara:

R3 = 18 – 3.X1 – 2.X2

(64)

64

Fase 1:

Minimumkan r = R3

atau

r =

18 – 3.X1 – 2.X2

Pembatas

X1

+ S1

= 4

2.X2

+ S2

= 12

3.X1

+ 2.X2 + R3 = 18

X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

TEKNIK DUA FASE

(65)

65

Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi

r 3 2 0 0 0 18

S1 1 0 1 0 0 4

S2 0 2 0 1 0 12

R3 3 2 0 0 1 18

0

TEKNIK DUA FASE

(66)

66

r 3 2 0 0 0 18 S1 1 0 1 0 0 4 S2 0 2 0 1 0 12 R3 3 2 0 0 1 18 r 0 2 -3 0 0 6 X1 1 0 1 0 0 4 S2 0 2 0 1 0 12 R3 0 2 -3 0 1 6 1 0

TEKNIK DUA FASE

(67)

67

r 3 2 0 0 0 18 S1 1 0 1 0 0 4 S2 0 2 0 1 0 12 R3 3 2 0 0 1 18 r 0 2 -3 0 0 6 X1 1 0 1 0 0 4 S2 0 2 0 1 0 12 R3 0 2 -3 0 1 6 r 0 0 0 0 -1 0 X1 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 3 1 -1 6 X2 0 1 -3/2 0 1/2 3 2 1 0

Persoalan di atas memiliki solusi fisibel. Selanjutnya R tidak

diikutsertakan lagi.

TEKNIK DUA FASE

(68)

68

Fase 2:

Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan

persamaan-persamaan berikut:

X1 + S1 = 4 --- X1 = 4 – S1

3.S1 + S2 = 6

X2 – 3/2.S1 = 3 --- X2 = 3 + 3/2.S1

Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan

mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan:

Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.(4 – S1) + 5.(3 + 3/2.S1) Z = 9/2.S1 + 27 Pembatas X1 + S1 = 4 3.S1 + S2 = 6 X2 – 3/2.S1 = 3 X1, X2, S1, S2 ≥ 0

(69)

69

Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 Solusi

Z 0 0 -9/2 0 27

X1 1 0 1 0 4

S2 0 0 3 1 6

X2 0 1 -3/2 0 3

0

TEKNIK DUA FASE

(70)

70

Z 0 0 -9/2 0 27 X1 1 0 1 0 4 S2 0 0 3 1 6 X2 0 1 -3/2 0 3 0 Z 0 0 0 3/2 36 X1 1 0 0 -1/3 2 S1 0 0 1 1/3 2 X2 0 1 0 1/2 6 1

TEKNIK DUA FASE

X1 = 2 X2 = 6

Z optimum = 36

(71)

71 Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 ≤ 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 ≥ 18 X1, X2 ≥ 0 Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2

–

S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 ≥ 0

Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka

terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara:

R2 = 12 – 2.X2

R3 = 18 – 3.X1 – 2.X2 + S3

(72)

72

Fase 1:

Minimumkan

r = R2 + R3

atau

r = (12 – 2.X2) + (18 – 3.X1 – 2.X2+S3)

r + 3.X1 + 4.X2 – S3 = 30

Pembatas

X1 + S1

= 4

2.X2 + R2

= 12

3.X1 + 2.X2 – S3 + R3 = 18

X1, X2, S1, S3, R2, R3

≥ 0

(73)

73

Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi

r 3 4 0 -1 0 0 1 0 0 30 S1 1 0 1 0 0 4 R2 0 2 0 0 0 12 R3 3 2 0 -1 1 18 0

TEKNIK DUA FASE

(74)

74

r 3 4 0 -1 0 0 30 S1 1 0 1 0 0 0 4 R2 0 2 0 0 1 0 12 R3 3 2 0 -1 0 1 18 0 -2 0 1/2 -1 r 3 0 0 -1 0 6 S1 1 0 1 0 0 4 X2 0 1 0 0 0 6 R3 3 0 0 -1 1 6 1

TEKNIK DUA FASE

(75)

75

r 3 4 0 -1 0 0 30 S1 1 0 1 0 0 0 4 R2 0 2 0 0 1 0 12 18 4 6 6 R3 3 2 0 -1 0 1 r 3 0 0 -1 -2 0 6 S1 1 0 1 0 0 0 X2 0 1 0 0 1/2 0 R3 3 0 0 -1 -1 1 1 0 -1 1/3 1/2 -1/3 r 0 0 0 0 -1 0 S1 0 0 1 1/3 -1/3 2 X2 0 1 0 0 0 6 X1 1 0 0 -1/3 1/3 2 2

TEKNIK DUA FASE

(76)

76

Fase 2:

Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan

persamaan-persamaan berikut:

S1 + 1/3.S3 = 2

X2

= 6

X1 – 1/3.S3

= 2 --- X1 = 2 + 1/3.S3

Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan

mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan:

Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.(2 + 1/3.S3) + 5.(6) Z – S3 = 36 Pembatas S1 + 1/3.S3 = 2 X2 = 6 X1 – 1/3.S3 = 2 X1, X2, S1, S3 ≥ 0

(77)

77

Z 0 0 -1 0 36

S1 0 0 1 1/3 2

X2 0 1 0 0 6

X1 1 0 0 -1/3 2

0

TEKNIK DUA FASE

X1 = 2 X2 = 6

Z optimum = 36