Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang waktu Schwarzschild de Sitter

Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang waktu Schwarzschild de Sitter

Philin Yolanda Dwi Sagita¹, Bintoro Anang Subagyo²

1Program Studi Fisika FMIPA Institut Teknologi Bandung

2Jurusan Fisika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Email: philinyolandadwisagita@student.itb.ac.id

Abstract. Keraguan Einstein dalam penggunakan konstanta kosmologi (Ʌ) pada persamaan medan gravitasinya yang statis karena adanya pembuktian pengamatan Hubble mengenai semesta yang mengembang pada tahun 1927 membawa penulis untuk menunjukkan pengaruh dan nilai ekperiment konstanta kosmologi pada beberapa peristiwa kosmologi yaitu Waktu Tunda Gravitasi, Pembelokan Cahaya, Presesi Geodesik, dan Pergeseran Perihelion Merkurius dengan memanfaatkan solusi persamaan medan gravitasi Einstein Schwarzschild pada alam semesta de Sitter. Berdasarkan hasil analisa dan data eksperimental, didapatkan bahwa nilai konstanta kosmologi pada peristiwa pergeseran perihelion Merkurius adalah sebesar ~ 10^-42 cm^-2, pada peristiwa pembelokan cahaya tidak memiliki nilai konstanta kosmologi, sementara itu peristiwa waktu tunda gravitasi memiliki nilai konstanta kosmologi sebesar ~ 10^-24 cm^-2, dan pada peristiwa presesi geodesic sebesar ~ 10^-27 cm^-2.

Keywords: Konstanta kosmologi, Pergeseran perihelion Merkurius, Pembelokan Cahaya, Waktu tunda gravitasi, Presesi Geodesik.

1 Introduction

Sebelum Teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu Mekanika Newton, Relativitas Khusus, dan Gravitasi Newton. Mekanika Newton sangat berhasil dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun gagal untuk benda yang kelajuannya mendekati laju cahaya. Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori Relativitas Khusus (TRK) yang mengimplikasikan bahwa tidak ada benda atau sinyal yang dapat bergerak lebih cepat daripada cahaya. Hukum yang ketiga adalah Gravitasi Newton yang berhasil menerangkan fenomena gerak benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda dengan ketelitian tinggi. Namun, tidak konsisten dengan TRK yang mengimplikasikan bahwa efek gravitasi pastilah merambat dengan kelajuan melebihi laju cahaya[1].

Sehingga Einstein berkali-kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten dengan Teori Relativitas Khusus dan dihasilkan Teori Relativitas

Umum (TRU) pada tahun 1915. Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut[2].

Ketika Hubble menunjukkan bahwa alam semesta memang mengembang, demikian pula bahwa dapat diperoleh suatu solusi non-statik dari persamaan medan Einstein tanpa suku konstanta kosmologi (oleh A. Friedmann), Einstein akhirnya menyatakan bahwa tidak perlu lagi memasukkan konstanta kosmologi ke dalam persamaan medannya.

Akan tetapi, beberapa kosmolog besar seperti Arthur S. Eddington dan G.

Lemaitre di tahun 1930-an menujukkan bahwa suku Ʌ dapat memberikan gambaran yang menarik pada kosmologi, atau saat ini, seringkali dipandang bahwa dengan mempertahankan suku Ʌ, para kosmolog memiliki kemungkinan kosmologi yang lebih luas untuk dipilih dan diselidiki[2].

Pada waktu yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1916, Schwarzschild menawarkan solusi eksak mengenai persamaan medan Einstein yang vakum (Ʌ = 0) dan statis[1]. Namun, telah diketahui bahwa alam semesta ini dipenuhi oleh materi massif yang berinteraksi dengan ruang-waktu dan semua fenomena itu dapat dijelaskan secara fisis oleh sebuah rancangan ruang-waktu de-Sitter dimana nilai konstanta kosmologi tidak lagi bernilai nol (Ʌ ≠ 0) sehingga dengan menggabungkan solusi persamaan medan Schwarzschild pada ruang-waktu de- Sitter dapat diketahui pengaruh dan nilai ekperimen konstanta kosmologi Einstein pada fenomena pergeseran perihelion Merkurius, pembelokan cahaya, waktu tunda gravitasi, dan presesi geodesik.

2 Schwarzschild de Sitter

Pada tahun 1916, solusi persamaan Schwarzschild masih merupakan solusi eksak pertama dan terpenting bagi persamaan medan vakum Einstein. Solusi Schwarzschild diperoleh dengan asumsi medan statik yang ditimbulkan oleh suatu distribusi massa simetri bola. Yang dimaksud dengan ‘statik’ adalah dalam sistem koordinat yang digunakan, matriknya secara eksplisit tidak bergantung waktu[3]. Akan tetapi, bagaimana jika ingin menghitung ruang-waktu yang berisi materi atau sebuah gelombang gravitasi yang dihasilkan oleh beberapa sistem bintang, kemudian akan diketahui bagaimana materi berinteraksi dengan ruang- waktu. Atau dengan kata lain solusi persamaan medan gravitasi dengan sumber.

Oleh karena itu dilakukanlah beberapa analisis terkait untuk memodifikasi persamaan medan Einstein yaitu mengasumsikan bahwa hanya daerah diluar medan bersifat statis. Ini akan menuntun kita untuk menggunakan konstanta kosmologi pada unit relativistik dimana 𝑐 = 𝐺 = 1. Pada medan de

Sitter yang relativistik ini, ditentukan bahwa 𝑅_𝜇𝑣= Ʌ𝑔_𝜇𝑣[7], sehingga didapatkan persamaan Schwarzschild de Sitter sebagai berikut:

𝑑𝑠²= (1 −^2𝑚

𝑟 −¹

3Ʌ𝑟²) 𝑑𝑡²− (1 −^2𝑚

𝑟 −¹

3Ʌ𝑟²)⁻¹𝑑𝑟²− 𝑟²𝑑𝜃²−

𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜃𝑑𝜑² (1)

Persamaan (1) merepresentasikan tentang ruang-waktu simetri bola yang memodifikasi persamaan medan gravitasi yang vakum dan memiliki pusat (𝑟 = 0) dimana ruang-waktu ini berbentuk melengkung. Karena diekpektasikan bahwa ruang-waktu vakum yang tanpa gangguan untuk memiliki kurvatur ruang- waktu simetri maksimal yang konstan yaitu −¹

3Ʌ, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan (1) akan disebut solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild de Sitter jika Ʌ > 0, dan akan disebut sebagai solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild anti de-Sitter jika Ʌ < 0[7].

3. Pergeseran Perihelion Merkurius

Pergeseran Perihelion merupakan modifikasi persamaan geodesik orbit untuk partikel masif tak bermassa padamedan gravitasi Matahari dengan cacat kerucut (conical defect).

Cacat kerucut (conical defect) merupakan kelengkungan medan dengan geometri paksa akibat adanya peristiwa kuadropole matahari yang menyebabkan adanya kecacatan pada bentuk geometri medan[3].

Ruangwaktu, seperti yang disebutkan Vilenkin pada bukunya, dibangun secara geometrical dengan sudut azimut yang mengelilingi sumbu dengan range 0 < 𝜑 < 2𝜋𝑏. Untuk efek yang sangat kecil, parameter b dapat pula ditulis 𝑏 = 1 − 𝜀. Dimana 𝜀 merupakan parameter tanpa dimensi yang menggambarkan peristiwa cacat kerucut. Untuk 𝜀 = 0, secara fisis menggambarkan elemen garis lengkung yang simetris. Sementara itu, untuk cacat kerucut yang digenerasikan oleh adanya peristiwa cosmic string menghasilkan nilai 𝜀 =^8𝐺𝜇

𝑐² dimana 𝜇 merupakan massa per unit panjang dari string[4].

Dengan adanya peristiwa cacat kerucut (conical defect), maka solusi persamaan Schwarzchild de Sitter (atau pada beberapa jurnal disebut sebagai The Kottler spacetime) dapat pula ditulis sebagai berikut:

𝑑𝑠²= (1 −^2𝑚_r −¹₃Λ𝑟²) 𝑐²𝑑𝑡²− (1 −^2𝑚_r −¹₃Λ𝑟²)⁻¹𝑑𝑟²− 𝑟²(𝑑𝜃²+

𝑏²𝑠𝑖𝑛²𝜃𝑑𝜑²) (2)

dengan:

𝑚 =^𝐺𝑀

𝑐² = massa geometri dari central body Λ = konstanta kosmologi

b = parameter cacat kerucut

Pada ruangwaktu de-sitter, partikel mengikuti persamaan geodesik yang dapat ditentukan dari persamaan Lagrangian.

𝐿 =1

2(1 −2𝑚 r −1

3Λ𝑟²) 𝑐²(𝑑𝑡 𝑑𝑝)

2

−1

2(1 −2𝑚 r −1

3Λ𝑟²)

−1

(𝑑𝑟 𝑑𝑝)

2

−¹

2𝑟²(^𝑑𝜃

𝑑𝑝)²−¹

2𝑟²𝑏²𝑠𝑖𝑛²𝜃 (^𝑑𝜑

𝑑𝑝)² (3)

dimana : p merupakan parameter affine. Sehingga didapatkan:

𝑑𝑡 𝑑𝑝≅^𝐸

𝑐(1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²)⁻¹ (4)

𝑑𝑟

𝑑𝑝= (1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²)

1⁄2

𝐹 (5)

𝑑²𝜃

𝑑𝑝²= 0 (6)

dan ^𝑑𝜑

𝑑𝑝≅_𝑟^𝐿₂ (7)

Untuk mendapatkan solusi pada koordinat radial, digunakan persamaan geodesik paksa seperti berikut:

𝑔_𝜇𝑣^𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑝 𝑑𝑥^𝑣

𝑑𝑝 = 𝑘 (8)

dimana: k merupakan sebuah konstanta dan solusi persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengambil batasan sebagai berikut[5]:

𝑘 = −𝑐² (space-like curves) 𝑘 = 𝑐² (time-like curves) 𝑘 = 0 (light-like curves)

Kemudian, untuk persamaan radial, dimana 𝜃 = 𝜋 2⁄ dan ^𝑑𝜃_𝑑𝑝= 0, dengan mensubstitusikan persamaan (4), (5), (6), dan (7) pada persamaan (8) diatas maka dihasilkan persamaan sebagai berikut:

𝑔₀₀𝑑𝑥⁰ 𝑑𝑝

𝑑𝑥⁰

𝑑𝑝 + 𝑔₁₁𝑑𝑥¹ 𝑑𝑝

𝑑𝑥¹

𝑑𝑝 + 𝑔₂₂𝑑𝑥² 𝑑𝑝

𝑑𝑥²

𝑑𝑝 + 𝑔₃₃𝑑𝑥³ 𝑑𝑝

𝑑𝑥³ 𝑑𝑝 = 𝑘 sehingga didapatkan:

1 2𝐸²−¹

2(^𝑑𝑟

𝑑𝑝)²= 𝑉(𝑟) atau ¹

2(^𝑑𝑟

𝑑𝑝)²+ 𝑉(𝑟) =¹

2𝐸² (9)

dimana : 𝑉(𝑟) = (1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²) (𝑘 +^𝑏2𝐿2

𝑟² ) yang merupakan potensial efektif pergerakan partikel pada medan gravitasi matahari.

Kemudian ditentukan orbit dengan mengubah variabel 𝑟 menjadi 𝑢 = 𝑟⁻¹, sehingga untuk orbit partikel masif yang tidak berotasi dengan time-like curves (𝑘 = 𝑐²), maka didapatkan:

𝑢 ≅ ^𝑚𝑐2

𝑏²𝐿²{1 + 𝑒 [cos[𝑏(𝜑 − 𝜑₀)] +^3𝑚2𝑐2

𝐿² [1 − ^𝑏8𝐿8Λ

9𝑚⁶𝑐⁸] 𝑏 sin[𝑏(𝜑 −

𝜑₀)]]} (10)

dan didefinisikan pergeseran perihelion awal Merkurius sebesar:

∆𝜑₀= 3 (^𝑚𝑐

𝐿 )²[1 −^𝑏8𝐿8Λ

9𝑚⁶𝑐⁸] (11)

sehingga solusi 𝑢(𝜑) dapat pula ditulis:

𝑢 =¹

𝑟≅ ^𝑚𝑐2

𝑏²𝐿²{1 + 𝑒 cos[𝑏(𝜑 − 𝜑₀− ∆𝜑₀)]} (12) Berdasarkan persamaan (11) dan (12), didapatkan bahwa besar pergeseran perihelion Revolusi total Merkurius sebesar:

∆𝜑 = 0 dimana: ∆𝜑 = 2𝜋∆𝜑₀ sehingga:

∆𝜑 = 6𝜋 (𝑚𝑐 𝐿 )

2

[1 − 𝑏⁸𝐿⁸Λ 9𝑚⁶𝑐⁸]

dan Λ =^9𝑚6𝑐8

𝑏⁸𝐿⁸

dengan: 𝑏𝐿 = ℎ, dimana h merupakan momentum anguler per unit massa planet.

Sehingga persamaan diatas dapat pula ditulis:

Λ =9𝑚⁶𝑐⁸ ℎ⁸

Berdasarkan data pengamatan dari pergerakan revolusi Merkurius, didapatkan: ℎ²= 𝑙𝑚𝑐² dimana 𝑙 merupakan semi-latus rectum planet. Untuk planet Merkurius, 𝑙 = 5,79 x 10¹² cm, sementara untuk Matahari, 𝑚 = 1,475 km.

Sementara itu, dari perbandingan antara hasil perhitungan dan data pengamatan, didapatkan bahwa perihelion shift Merkurius memiliki akurasi sekitar 5 x 10^-3 didapatkan[9]:

Λ =^9𝑚2

𝑙⁴ (13)

Λ ≅ 10⁻⁴² 𝑐𝑚⁻² (14)

4. Pembelokan Cahaya

Pembelokan cahaya merupakan salah satu dari empat klasikal tes dari Relativitas Umum Einstein yang telah dibuktikan secara eksperimen pada Galaksi Bima Sakti. Adapun metrik geometrik medan Schwarzschild de-Sitter sebagai berikut:

𝑑𝑠²= (1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²) 𝑐²𝑑𝑡²− (1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²)⁻¹𝑑𝑟²− 𝑟²(𝑑𝜃²+ 𝑠𝑖𝑛²𝜃𝑑𝜑²)

Diasumsikan bahwa pergerakan cahaya terjadi pada bidang ekuator 𝜃 =^𝜋

2. Dari Teori Relativitas Khusus (TRK) telah diketahui bahwa pergerakan cahaya terjadi pada light like. Sehingga secara matematis dapat dikatakan bahwa 𝑑𝑠²= 0 dan dengan pemisalan 𝑢 =¹_𝑟= 𝑟⁻¹ didapatkan persamaan pergerakan cahaya yaitu[10]:

𝑑²𝑢

𝑑𝜑²+ 𝑢 = 3𝑚𝑢² 𝑢 = 𝐴 sin 𝜑 +^𝜀𝐴2

3 (1 + 𝑘 cos 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠²𝜑) (15)

dimana ^𝜀𝐴

2

3 akan menyebabkan pembelokan lintasan lurus cahaya.

Dalam pandangan Astrofisika, cahaya berasal dari bintang jauh yang mendatangi matahari dalam garis lurus yang dibelokkan oleh medan gravitasi matahari dan kemudian menjauh menuju titik lain disekitarnya dengan asimtotik garis lurus. Asimtotik dapat dicirikan dengan 𝑢 = 0 dan paralel dengan sumbu- 𝑥. Digunakan pendekatan 𝜑 = 𝛿 (dimana 𝛿 merupakan sudut yang sangat kecil) dan digunakan pendekatan sudut kecil 𝑠𝑖𝑛 𝛿 ≈ 𝛿, 𝑐𝑜𝑠 𝛿 ≈ 1, pada persamaan (15) sehingga[6]:

𝑢 ≈ 𝐴𝛿 +𝜀𝐴²

3 (2 + 𝑘) Pada jarak tak hingga, dimana 𝑟 = ∞ dengan 𝑢 =¹

𝑟 maka didapatkan bahwa:

𝛿 ≈ −^𝜀𝐴₃ (2 + 𝑘)

Tanda minus menandakan bahwa pembelokan cahaya menuju matahari.

Telah disebutkan sebelumnya bahwa konstanta A berbanding terbalik dengan jarak lintasan lurus cahaya dan 𝜀 = 3𝑚 sehingga dapat pula ditulis sebagai berikut:

𝛿 ≈ −^3𝑚_3𝑟(2 + 𝑘) ≈ −^𝑚

𝑟 (2 + 𝑘) sehingga total pembelokan cahayanya sebesar:

∆ = ^4𝑚

𝑟 =^4𝐺𝑀

𝑟𝑐² (16)

dengan asumsi bahwa nilai konstanta integrasinya menghasilkan nilai 2 (memperhitungkan arah bolak-balik pancaran cahaya).

Diketahui 𝑚 =^𝐺𝑀

𝑐² dan tanda minus (-) hanya mengindikasikan arah pembelokan cahaya sehingga dapat diabaikan. Secara eksperimental, telah dapat dibuktikan bahwa terjadi pembelokan cahaya sebesar 1,75 arc[10].

Berdasarkan persamaan (16) diatas, tidak terdapat variabel konstanta kosmologi (Λ) sehingga dapat pula disimpulkan bahwa peristiwa pembelokan cahaya tidak memiliki nilai konstanta kosmologi baik secara teori maupun eksperimen.

5. Waktu Tunda Gravitasi

Fenomena yang membuktikan secara terang-terangan mengenai geometri Schwarzschild de-Sitter adalah waktu tempuh yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak di antara dua titik. Misalkan sebuah sinyal radar dikirim dari bumi melewati matahari dan dipantulkan kembali oleh planet atau benda angkasa lainnya. Kelengkungan ruang-waktu di sekitar benda massive sepertti matahari inilah yang dapat menyebabkan waktu tempuh cahaya relatif lebih lama dibandingkan pada kasus ruang-waktu datar (Minkowski space-time). Selisih peningkatan waktu inilah yang secara fisis dapat dimengerti sebagai selisih waktu antara pancaran pulsa pertama dengan pulsa pantulan yang diterima secara

eksperimental telah terukur sebesar 200 µs pada peristiwa pembelokan radar oleh planet Venus[9].

Telah diketahui pada persamaan pergerakan cahaya pada Schwarzschild de- Sitter space-time adalah sebagai berikut:

𝒅𝒔^𝟐= (𝟏 −^𝟐𝒎

𝐫 −^𝟏

𝟑𝚲𝒓^𝟐) 𝒄^𝟐𝒅𝒕^𝟐− (𝟏 −^𝟐𝒎

𝐫 −^𝟏

𝟑𝚲𝒓^𝟐)^−𝟏𝒅𝒓^𝟐− 𝒓^𝟐(𝒅𝜽^𝟐+ 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝜽𝒅𝝋^𝟐)

Seperti pada peristiwa pembelokan cahaya, diasumsikan bahwa pergerakan cahaya terjadi pada bidang ekoator, 𝜃 =^𝜋

2. Dari Teori Relativitas Khusus (TRK) telah diketahui bahwa pergerakan cahaya terjadi pada light-like. Sehingga secara matematis dapat dikatakan bahwa 𝑑𝑠²= 0, maka persamaan pergerakan cahaya pada persamaan diatas dapat menjadi[10]:

𝑑𝑡 = ^𝑑𝑟

𝑐(1−^2𝑚

r−¹

3Λ𝑟²)[1 + 𝑟²(1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²)^𝑑𝜑2

𝑑𝑟²]

1⁄2

(17) Sementara itu telah didefinisikan sebelumnya bahwa energi dan momentum linier pergerakan cahaya adalah sebagai berikut:

𝐿 ≡ 𝑟^{2 𝑑𝜑}

𝑑𝑟 , ^𝑑𝜑

𝑑𝑟 = ^𝐿

𝑟² dan

𝐸 ≡ 𝛼^𝑑𝑡_𝑑𝜆 , ^𝑑𝑡

𝑑𝜆= ^𝐸_𝛼

dimana : 𝛼 = 1 −^2𝑚

r −¹

3Λ𝑟²

maka persamaan (17) dapat pula ditulis sebagai berikut:

𝑑𝑡 = −^𝑑𝑢

𝑏

1 (𝑢²−2𝑚𝑢³−^Λ

3)[¹

𝑏²− (𝑢²− 2𝑚𝑢³−^Λ

3) 𝑢²]^{−1 2⁄} (18) dengan pemisalan 𝑏 =^𝐿

𝐸 dan 𝑢 = 𝑟⁻¹, sehingga didapatkan solusi:

𝑡(𝑟, 𝑟0) = (³

Λ−^𝑏₂²+^Λ𝑏₈⁴) (¹_𝑟−_𝑟¹

0) + (³_Λ−^𝑏₂⁴) (_𝑟¹₃−_𝑟¹

03) + (₁₆³ 𝑚𝑏⁴−

9𝑚 2Λ²) (¹

𝑟⁴− ¹

𝑟₀⁴) + ²⁷

5Λ³(¹

𝑟⁵− ¹

𝑟₀⁵) −^18𝑚

5Λ³(¹

𝑟⁶− ¹

𝑟₀⁶) +^108𝑚2

7Λ³ (¹

𝑟⁷−

1

𝑟₀⁷) (19)

Jika diketahui 𝑟_⊕ sebagai jarak Antara matahari dan bumi serta 𝑟_𝑅 merupakan jarak Antara matahari dan reflector (pada kasus ini planet atau benda langit lainnya) dimana matahari terletak diantara keduanya, maka waktu interval yang dibutuhkan sejak sinyal dipancarkan hingga dipantulkan kembali bila diukur dengan jam yang terletak dipermukaan bumi maka didapatkan:

∆𝑇 = 2𝑡(𝑟_⊕, 𝑟₀) + 2𝑡(𝑟_𝑅, 𝑟₀) (20) Pengamatan solar system ^𝑟0

𝑟_𝑅≪ 1 dan ^𝑟0

𝑟_⊕≪ 1, sehingga didapatkan modifikasi waktu tunda dari lintasan sinyal seperti berikut:

∆𝑇 ≈^216𝑚_7Ʌ3²(_𝑟¹

⊕7+_𝑟¹

𝑅7−_𝑟¹

07) (21)

Pada eksperimen Cassini sebelumnya, waktu tunda tidak terukur namun disamping itu telah diketahui persamaan perubahan frekuensi relative sinyal sebagai berikut:

𝑦 =^{𝑣(𝑡)−𝑣}_𝑣 ⁰

0 ≅_𝑑𝑡^𝑑∆𝑇 (22)

dimana 𝑣₀ merupakan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi.

Gelombang radio ini mencapai Cassini dengan frekuensi 𝑣′ dan dipantulkan kembali dengan frekuensi yang sama pula yakni 𝑣′. Frekuensi sinyal yang mencapai bumi adalah sebesar 𝑣(𝑡). Sehingga kontribusi konstanta kosmologi terhadap perubahan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi adalah sebagai berikut[8]:

𝑦_Ʌ =^216𝑚2

7Ʌ³ [_𝑟¹

⊕7+ ¹

𝑟_𝑅⁷+ 14𝑟₀⁻⁸(^𝑑𝑟0

𝑑𝑡)] (23)

dimana untuk The Cassini Setup, ^𝑑𝑟0

𝑑𝑡 ≅ 𝑣_⊕, merupakan pendekatan dari kecepatan orbit bumi terhadap matahari (kecepatan revolusi).

Secara fisis dapat dijelaskan bahwa kontribusi konstanta kosmologi terhadap sinyal radio adalah sebagai berikut: perubahan frekuensi sinyal akan semakin terlihat seiring dengan semakin dekatnya jarak tempuh sinyal terhadap benda massive yang menyebabkan terjadinya pembelokan lintasan sinyal (pada kasus ini Matahari).

Telah dijelaskan pada analisis penelitian sebelumnya bahwa kontribusi Schwarzschild terhadap perubahan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi adalah sebesar 6 𝑥 10⁻¹⁰ dan analisis matematis ini kemudian dibuktikan oleh pengukuran Cassini dengan akurasi sebesar ~10⁻¹⁴[9].

Cassini mengukur waktu tunda selama hamper 25 hari, dimana selama periode 12 hari sebelum dan 12 hari setelah peristiwa konjungsi. Selama 1 hari,

jarak terdekat yang dapat dicapai oleh sinyal berubah sebesar ~1,5 radius matahari. Sehingga sinyal yang terukur menjadi:

𝑦_Ʌ(12𝑑) − 𝑦_Ʌ(0) =^{432𝐺2𝑀ʘ2}

Ʌ³𝑐⁴𝑅_ʘ⁸ 𝑣_⊕ (24) dengan 𝑀ʘ dan 𝑅ʘ merupakan massa dan radius matahari, benda massive yang menyebabkan terjadinya waktu tunda.

Karena pengukuran Cassini memenuhi prediksi Einstein, dimana telah diketahui bahwa 𝑦_Ʌ(12𝑑) − 𝑦_Ʌ(0) ≤ 10⁻¹⁴𝑐³, sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Ʌ ≥ √^{432𝐺2𝑀ʘ2}

10⁻¹⁴𝑐⁷𝑅_ʘ⁸𝑣_⊕

3 (25)

Berdasarkan dengan data eksperimen yang telah dilakukan, maka didapatkan bahwa nilai konstanta kosmologi pada fenomena kosmologi waktu tunda adalah sebagai berikut:

Ʌ ≈ 10⁻²⁴𝑚⁻² (26)

Nilai konstanta kosmologi yang cukup besar itu karena adanya pengaruh tambahan dari medan gravitomagnetik dan gravitoelektrik pada koordinat isotropic. Dimana nilai konstanta kosmologinya bergantung pada massa Matahari (𝑀_ʘ), radius Matahari (𝑅_ʘ), dan kecepatan orbit bumi terhadap matahari (𝑣_⊕)[9].

6. Kelengkungan Geodesik

Kelengkungan Geodesik (atau disebut pula de-Sitter precession) merupakan fenomena Teori Relativistik Umum (TRU). Persamaan matematisnya ditemukan pada awal 1916 oleh de-Sitter yang menemukan bahwa sebuah giroskop pada orbit bebas (dalam kasus ini ‘geodesik’) di sekitar benda masif akan berbelok/melengkung.

Untuk menghitung kelengkungan geodesik dengan analisis Schwarzschild de-Sitter, maka diperkenalkan sebuah sistem koordinat yang berotasi dengan kecepatan angular 𝜔. Koordinat sudut baru ɸ didefinisikan oleh[11]:

𝑑ɸ = 𝑑𝜑 − 𝜔𝑑𝑡 (27)

dan diketahui pada bidang ekuator 𝜃 =^𝜋

2 (relativistik, 𝑐 = 1) , maka matrik Schwarzschild de-Sitter nya menjadi[7]:

𝑑𝑠²= (𝛼 − 𝑟²𝜔²) (𝑑𝑡 − 𝑟²𝜔

𝛼 − 𝑟²𝜔²𝑑ɸ)

2

− 𝛼⁻¹𝑑𝑟²− 𝑟²𝛼

𝛼 − 𝑟²𝜔²𝑑ɸ²

sehingga dalam bentuk kanonikal, metriknya menjadi:

𝑑𝑠²= 𝑒^2𝜓(𝑑𝑡 − 𝜔_𝑖𝑑𝑥^𝑖)²− ℎ_𝑖𝑗𝑑𝑥^𝑖𝑑𝑥^𝑗 (28)

dengan :

𝑒^2𝜓 = 𝛼 − 𝑟²𝜔² (29)

𝜔₁= 𝜔₂= 0 (30)

𝜔3=_𝛼−𝑟^𝑟2₂^𝜔_𝜔2 (31)

ℎ₁₁= 𝛼⁻¹ (32)

ℎ₃₃= ^𝑟2𝛼

𝛼−𝑟²𝜔² (33)

Karena 𝜓 dihubungkan dengan percepatan, maka garis 𝑟 = 𝑟₀ merupakan geodesik. Adapun hubungan antara kecepatan linier dan frekuensi hasil modifikasi Keppler antara lain sebagai berikut:

𝜔²𝑟³ = 𝑀 (34)

Persamaan (34) di atas merupakan hasil modifikasi penurunan rumus Newton-Keppler pada alam semesta natural (bebas) dimana objek pengamatan berada jauh dari sumber gravitasi (pusat galaksi). Sementara itu, pada alam semesta de-Sitter, terdapat tarikan gravitasi yang sangat besar akibat adanya sumber gravitasi (pusat galaksi) di sekitar objek pengamatan sehingga

mengurangi kecepatan rotasi angular objek terhadap pusat gravitasi sehingga didapatkan[11]:

𝜔 ≈ √_𝑟^𝑀₃−^Λ₃ (35)

sehingga berimplikasi pada persamaan (29) hingga (33) menjadi:

𝑒^2𝜓= 1 −3𝑀 𝑟 𝜔₁= 𝜔₂= 0 𝜔₃= 𝑟²𝜔

1 −3𝑀 𝑟 ℎ₁₁= (1 −2𝑀

𝑟 −1 3Λ𝑟²)

−1

ℎ₃₃ = 𝑟²𝛼 1 −3𝑀

𝑟

Telah diketahui bahwa kecepatan rotasi dari sebuah posisi konstan pada sistem koordinat diberikan[7]:

𝛺²=^𝑒2𝜓₈ ℎ^𝑖𝑘ℎ^𝑗𝑙(𝜔𝑖,𝑗− 𝜔𝑗,𝑖)(𝜔𝑘,𝑙− 𝜔𝑙,𝑘) (36) dan titik pada arah negatif relatif terhadap orbit, ditentukan:

𝛺 = 𝜔 ≅ 𝛺₀√1 −^Λ𝑟3

3𝑀 (37)

dimana telah dikatahui sebelumnya bahwa misi GP-B telah mengukur kelengkungan geodesik ini sebesar 𝛺₀ = 6.600 mas/y dengan sebuah akurasi perkiraan sebesar 0,1 mas/y[9].

Jika nilai prediksi dari Teori Einstein terbukti dan tidak ada bagian tambahan yang terlihat, maka akan didapatkan nilai konstanta kosmologinya sebesar:

Ʌ ≈ 3 (^𝑀

𝑟³− 𝛺₀²) (38)

|Λ| ≤ 10⁻²⁷𝑚⁻² (39)

Nilai konstanta kosmologi pada kelengkungan geodesic tersebut dipengaruhi oleh kecepatan rotasi objek pada pusat gravitasi dimana juga dipengaruhi oleh massa Matahari sebagai pusat gravitasi dan jarak objek terhadap Matahari.

Semakin dekat jarak objek terhadap Matahari, maka pengaruh konstanta kosmologi terhadap kelengkungan geodesik juga akan semakin besar.

7. Kesimpulan

Telah dilakukan kajian pengaruh konstanta kosmologi terhadap Solar Sistem dimana konstanta kosmologi Ʌ pada metric ruang-waktu Schwarzschild de Sitter berperan sebagai parameter bebas yang dianalisis pada hasil pengamatan beberapa fenomena kosmologi sehingga didapatkan nilai mutlak dari konstanta kosmologi Ʌ seperti dibawah ini:

Tabel 1. Konstanta Kosmologi pada pengamatan Solar System Fenomena Kosmologi Persamaan Konstanta

Kosmologi (Ʌ)

Nilai Eksperiment Konstanta Kosmologi

(Ʌ) Pergeseran Perihelion

Merkurius Λ =9𝑚²

𝑙⁴ |Λ| ≅ 10⁻⁴² 𝑐𝑚⁻² Pembelokan Cahaya

∆ =4𝐺𝑀 𝑟𝑐²

Tidak memiliki nilai ekperimen Waktu Tunda Gravitasi

Ʌ ≥ √432𝐺²𝑀_ʘ² 10⁻¹⁴𝑐⁷𝑅_ʘ⁸𝑣_⊕

3 |Λ| ≈ 10⁻²⁴𝑚⁻²

Kelengkungan

Geodesik Ʌ ≈ 3 (𝑀

𝑟³− 𝛺₀²) |Λ| ≤ 10⁻²⁷𝑚⁻² Dari table 1, dapat diketahui bahwa:

 Pada fenomena Pergeseran Perihelion Merkurius, konstanta kosmologi memiliki persamaan Λ =^9𝑚_𝑙4² dengan nilai eksperimennya sebesar |Λ| ≅ 10⁻⁴² 𝑐𝑚⁻² yang dipengaruhi oleh semi lactus rectum Matahari (𝑚) dan planet (𝑙)

 Pada fenomena Pembelokan Cahaya, nilai deviasi total sebesar ∆ =^4𝐺𝑀

𝑟𝑐²

dan tidak memiliki nilai eksak konstanta kosmologi

 Pada fenomena Waktu Tunda Gravitasi, konstanta kosmologi memiliki persamaan Ʌ ≥ √^{432𝐺2𝑀ʘ2}

10⁻¹⁴𝑐⁷𝑅_ʘ⁸𝑣_⊕

3 dengan nilai eksperimennya sebesar

|Λ| ≈ 10⁻²⁴𝑚⁻² yang dipengaruhi oleh massa Matahari (𝑀_ʘ), radius Matahari (𝑅ʘ), dan kecepatan orbit Bumi terhadap Matahari (𝑣⊕)

 Pada fenomena Kelengkungan Geodesik, konstanta kosmologi memiliki persamaan Ʌ ≈ 3 (^𝑀

𝑟³− 𝛺₀²) dengan nilai eksperimennya sebesar |Λ| ≤ 10⁻²⁷𝑚⁻² dan dipengaruhi oleh kecepatan rotasi objek pada pusat gravitasi (𝛺₀), massa Matahari sebagai pusat gravitasi (𝑀), dan jarak objek terhadap Matahari (𝑟).

8. Daftar Pustaka

[1] Purwanto, Agus, Catatan Kuliah: Teori Gravitasi, ITS Press, hal. 10-11, 2005. (Buku)

[2] Hidayat, Taufiq, Teori Relativitas Einstein, Penerbit ITB, hal. 205-207, 2010. (Buku)

[3] Kagramanova, Valeria, Solar System Effect in Schwarzschild de Sitter spacetime, Arxiv:gr-qc/0602002v2, hal. 2-3, 2014. (Jurnal)

[4] Valenkin, A. Shellard, E.P.S. Cosmic Strings and Other Topological Defect, Cambridge University Press, hal 565-566, 1994. (Buku)

[5] Arrosyidi, Abu Fadlol, Solusi Schwarzschild dan Kerr untuk Persamaan Medan Gravitasi Einstein, Tugas Akhir, Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Airlangga, Surabaya, 2012. (Tugas Akhir)

[6] Purwanto, Agus, Pengantar Kosmologi, ITS Press, hal. 20-24, 2009.

(Buku)

[7] Mcmahon, David, Relativity Demystified, McGraw-Hill, hal 220-230, 2006. (Buku)

[8] Rindler, Wolfgang, Relativity, Second Edition, Oxford University Press, hal. 334-347, 2006. (Buku)

[9] D’Inverno, Ray, Introduction Einstein’s Relativity, Clarendon Press, hal.

452-455, 1998. (Buku)

[10] Will, Clifford M., Theory and Experimental in Gravitational Physics, Revised Edition, Cambridge University Press, hal 676-677, 1993. (Buku) [11] Rindler, Wolfgang, Ishak, Mustapha, The Contribution of The

Cosmological Constant to Relativistic Bending of Light Revisited, arXiv:0709.2948v1[astro-ph], hal. 3-5, 2007. (Jurnal)

[12] Bertotti B. Less, L. Tortora, P. A Test of General Relativity Using Radio Links with The Cassini Spacecraft, Nature, 425:374, hal 7, 2003. (Jurnal)