KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM
PENDULUM
SAKIRMAN
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2009
Sakirman
ABSTRACT
SAKIRMAN. Controllability of Several Pendulum System . Under supervision of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO
Abstract
It is well-known that controllability is the primary issue in control theory, where the control problem is to find a control input that causes the state or the output to behave in a desired way. The control existence of state and output control, as well as the input which will perform the desired control, depends on controllability of the system. In this thesis we characterize the controllability conditions of several pendulum systems in terms of the pendulum parameters. The conditions are derived from the so called controllability matrix. We show that direct and inverted pendulum systems are always controllable. We also reveal that the dual inverted pendulum are always controllable, provided that the length of the pendulums are not the same.
RINGKASAN
SAKIRMAN. Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO
Sistem kontrol merupakan sebuah sistem yang terdiri atas satu atau beberapa peralatan yang berfungsi untuk mengendalikan sistem lain yang berhubungan dengan sebuah proses. Sistem kontrol memegang peran yang sangat penting hampir pada semua rancang bangun teknologi, demikian pula dalam teknik, industri, olah raga maupun pendidikan. Sistem kontrol yang digunakan di pabrik maupun laboratorium pada berbagai macam industri barang maupun jasa menggunakan beberapa jenis basis kontroler.
Supaya proses sistem dapat dikontrol, maka perlu dibuat model matematis yang menghubungkan antara masukan (input), proses, dan keluaran (output). Model pada sistem kontrol yang banyak digunakan adalah model persamaan keadaan. Dalam persamaan keadaan, persamaan diferensial dari sistem yang semula berorde n diubah menjadi n persamaan diferensial berorde satu secara simultan dan ditulis dalam notasi matriks
Salah satu sistem kontrol yang sangat banyak manfaatnya adalah pendulum. Pendulum adalah suatu benda atau disebut bandul yang bisa digerakkan maju dan mundur atau depan dan belakang dengan melewati sebuah titik yang berulang-ulang. Pendulum merupakan suatu sistem atau alat yang dapat digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep penting seperti kesetimbangan, momen inersia, besar percepatan gravitasi bumi pada suatu benda atau lainnya.
Sistem pendulum biasa dan terbalik merupakan masalah standar di dalam teori pengendalian yang digunakan di laboratorium untuk menjelaskan konsep-konsep pengendalian linear seperti kestabilan sistem. Selain itu, sistem pendulum terbalik juga banyak digunakan untuk mengilustrasikan beberapa ide di dalam sistem pengendalian yang taklinear. Pada dasarnya tujuan utama dari sistem pendulum biasa dan terbalik adalah menjaga kesetimbangan pendulum dalam posisi tegak atau vertikal dengan mengaplikasikan sebuah gaya dorong (input) pada motor.
Pada tesis ini, akan direkonstruksi pemodelan sistem pendulum biasa, terbalik tunggal, ganda, dan dual dengan lintasan datar dan miring, dan dilakukan identifikasi kondisi keterkontrolan sistem pendulum tersebut.
Untuk sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal dan ganda, dual dengan lintasan datar dan miring, pemodelan sistem pendulum didasarkan pada persamaan Euler-Lagrange yang berturut-turut terdiri atas dua buah dan tiga buah persamaan diferensial linear. Selanjutnya dari model yang diperoleh dialihkan ke dalam persamaan ruang keadaan secara simultan dan ditulis dalam bentuk matriks. Matriks tersebut berfungsi untuk menghubungkan output sistem dengan input. Selanjutnya akan ditentukan kondisi keterkontrolan sistem pendulum dengan matriks S yang memiliki pangkat penuh, kemudian dilakukan OBD (operasi baris dasar) terhadap matriks . Jika matriks S hasil OBD yang diperoleh berpangkat penuh maka sistem pendulum terkontrol. Jika matriks S yang diperoleh tidak berpangkat penuh maka sistem pendulum tak terkontrol.
Keterkontrolan sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda dan dual dengan lintasan datar dan miring, dipengaruhi oleh panjang pendulum, massa motor dan massa pendulum yang diberikan terhadap sistem.
©Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM
SAKIRMAN
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis : Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum Nama : Sakirman NIM : G551070251 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro,M.S.
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul: Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat:
1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing dan pendidik, pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis.
2. Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji Luar Komisi pada ujian tesis, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis.
3. Depag RI yang telah membiayai Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2007-2009.
4. Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini.
5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MAN 2 Batusangkar Kab. Tanah Datar yang turut mendo’akan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
6. Kedua orang tua yang senantiasa mendo’akan penulis disetiap waktu dalam menyelesaikan tesis ini.
7. Istri tercinta dan anak-anak tersayang yang selalu mendo’akan penulis setiap detik dalam menyelesaikan tesis ini.
8. Seluruh teman-teman yang turut memotivasi dan membantu penyelesaian tesis ini.
Penulis do’akan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin.
Bogor, September 2009
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kab. Padang Pariaman pada tanggal 01 Maret1967 dari ayah H. Akhiruddin (almarhum) dan ibu Hj.Rosma. Penulis merupakan putra ketiga dari empat bersaudara.
Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi pendidikan Fisika, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan YDB Lubuk Alung, lulus tahun 1995 dan Jurusan Matematika Universitas Negeri Padang Sumatera Barat, lulus tahun 2004.
Selama kuliah di STKIP YDB Lubuk Alung, penulis telah menjadi staf pengajar di SMAN 1 Sicincin tahun 1992, Tenaga Lapangan Dikmas tahun 1995-1997, staf pengajar SMAN 1 Sungai Limau tahun 1996-1995-1997, dan MAN 2 Batusangkar sejak tahun 1997 sampai sekarang dan mendapat kesempatan mengikuti beberapa pelatihan antara lain: Pendidikan dan Pelatihan Pertanian (th. 1995), Pelatihan Penilik Paket A level II (th.1995), Pelatihan Penilik Dikmas dan Tenaga Lapangan Dikmas (TLD) (th. 1995), Pelatihan guru Madrasah Aliyah mata pelajaran fisika (th. 2000), Pendidikan dan Pelatihan guru Tingkat Madrasah Aliyah mata pelajaran fisika di lingkungan Depag (th. 2006), Pelatihan dan Sosialisasi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) (th. 2006).
Selanjutnya kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2007 melalui beasiswa Departemen Pendidikan Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... 1
Tujuan Penelitian ... 4
LANDASAN TEORI DASAR Keterkotrolan ... 5
Kontrol Lup Tertutup dan Kontrol Lup Terbuka ... 10
Pelinearan Model Taklinear ... 10
Persamaan Ruang Keadaan ... 11
PEMODELAN SISTEM PENDULUM Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar ... 16
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar ... 18
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring ... 23
KETERKONTROLAN Persamaan Ruang Keadaan ... 28
Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar ... 28
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar ... 29
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring ... 31
Keterkontrolan Sistem Pendulum ... 34
Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar ... 34
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar ... 35
Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring ... 38
SIMULASI MODEL ... 43
SIMPULAN DAN SARAN ... 57
DAFTAR PUSTAKA ... 58
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Jenis sistem pendulum ... 3
2 Sistem kontrol lup tertutup ... 10
3 Sistem kontrol lup terbuka ... 10
4 Sistem pendulum biasa ... 14
5 Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar ... 14
6 Sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring ... 15
7 Sistem pendulum biasa dengan lintasan datar ... 17
8 Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar ... 18
9 Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar ... 19
10 Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar ... 21
11 Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring ... 23
12 Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring ... 24
13 Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring ... 25
14 Grafik sistem pendulum biasa yang tak stabil ... 43
15 Grafik sistem pendulum biasa yang stabil ... 44
16 Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar takstabil 45
17 Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar stabil 45
18 Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar takstabil 46
19 Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar stabil ... 47
20 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar takstabil 47
21 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar stabil ... 48
22 Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring takstabil 48 23 Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring stabil 49
24 Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring takstabil 49
25 Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring stabil 50
26 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring takstabil 50
27 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring stabil ... 51
28 Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar takstabil 52
29 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar takstabil 53
31 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring takstabil 55 32 Grafik rasio panjang kedua pendulum dan tracking error optimal ... 56
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Penggunaan Deret Taylor ... 61
2 Bukti Teorema 1 ... 62
3 Penjabaran ... 63
4 Persamaan keadaan Takhomogen ... 64
5 Pendekatan Transformasi Laplace ... 65
6 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Biasa ... 68
7 Persamaan Euler Lagrange pada Sistem Pendulum Biasa ... 69
8 Pelinearan Model Sistem Pendulum Biasa Tunggal dengan Lintasan Datar ... 70
9 Rekonstuksi Model Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar ... 71
10 Pelinearan Model Sistem PendulumTerbalik Tunggal dengan Lintasan Datar ... 73
11 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar ... 74
12 Persamaan Euler Lagrange Sistem Pendulum Ganda dengan Lintasan Datar ... 77
13 Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar ... 79
14 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar ... 83
15 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar . 86
16 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring 88 17 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring 90
18 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring ... 92
19 Pelinearan Sistem Pendulum Ganda Terbalik dengan Lintasan Miring 97
20 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring ... 102
21 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring 106 22 Keterkontrolan Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar ... 110 23 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan
Datar ... 111 24 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan
Datar ... 112 25 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan
Datar ... 116 26 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan
Miring ... 120 27 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan
Miring ... 121 28 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan
Miring ... 126 29 Sintaks Matlab untuk mencari Vektor K dan Simulasi ... 133
