Bab 4 Geometri Dimensi Dua

(1)

Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi? Film ini disukai karena terlihatlebihnyata.Sebenarnya,apaartikatadimensi? Dimensiberasaldaribahasa Latinyaitudimensionyangberartimenentukan ukuran.Dimensimerupakansuatu parameter atauukuranyangdigunakanuntuk mendefinisikankarakteristiksuatu objek, misalnya panjang, lebar, dan berat objek tersebut. Di dalam matematika, dimensidigunakanuntukmenentukanposisisuatuobjekterhadapruang.Besarnya dimensi pada ruang sama dengan banyak parameter yang digunakan pada objek tersebut.Dimensihampirditerapkanpadaberbagaidisiplinilmudenganparameter danruangyangrelevandengantopikyangtengahdibahas.Sebagaicontoh,penerapan pada ilmu geografi parameter yangdigunakan adalah meter atau kaki. Pada ilmu ekonomi,parameteryangdigunakanadalahcost(banyakpembelianataupenjualan) dan price (harga). Contoh lain adalah menentukan letak suatu tempat di atas permukaan bumi dengan menggunakan pedoman garis lintang dan garis bujur. Artinya,parameteryangdigunakansebanyak2buah.Dengandemikiandimensiyang digunakan untukmenentukan letakadalah dimensidua.Pembahasan lebihlanjut tentang geometridimensiduaakankitapelajaripadababberikut.

Sumber: www.wikipedia.org

(2)

92 Geometri Dimensi Dua

U

raian

Materi

Kedaulatansuatunegarabersifatmutlak.Atasdasar ini, setiap negara memunyai sistem keamanan dengan kelebihannya masing-masing. Sebagai contoh kapal Monmouth yang merupakan kapal pengawal Angkatan Laut Kerajaan Inggris. Kapal ini dilengkapi dengan teknologipalingcanggihuntukmemperkecildeteksioleh radar,inframerah,dansumber-sumbermagnetislainnya. Radar dapat mendeteksi jarak benda-benda dengan mengukur waktuyangdiperlukan oleh gelombang radio untuk sampai ke benda, dipantulkan, dan kembali ke radar penangkap sinyal. Semakin banyak permukaan berbentuk vertikal pada benda, semakin mudah pula benda terdeteksi oleh radar. Kemudahan terdeteksinya suatukapalolehradardisebut ”signature”.Kapalperang Monmouthmempunyaisignaturepadasemuapermukaan

vertikalnyayangdibuatmiringsebesar 7°.

Besar Suatu Sudut

1. Pengertian Sudut

Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah sinar (ruas garis) dan bertemu pada satu titik. Sudut dapat dipahami pula sebagai suatu bangun yangterbentukolehduasinar (duasinar inidisebutkakisudut).

Darigambardisampingdisebutsudut

B atau sudut β atau sudut ABC

dinotasikan∠ABCyangdibatasiolehdua

buah ruasgaris (sinar) JJJJG danJJJJJGserta satutitik sudutB.Besarnya sudut ditentukan oleh besarnya rotasi yang diperlihatkan oleh arah anak panah.

2. Macam-Macam Satuan Sudut

a. Satuan Derajat ( . . . °)

Satuanderajatdisebutjuga ”satuansudutsexagesimal”,yaitu kelilinglingkarandibagidengan 360 bagianyangsama.Diketahui sudutsatukelilinglingkaran adalah 360°.Misalkanbesarsudutα adalah 1° dan panjang busur AB =

keliling lingkaran maka

satu derajat adalah

keliling lingkaran. Selanjutnya untuk keakuratanpengukuran,satuanderajatdibagilagimenjadisatuan yanglebihkecilyaitumenit ( ' )dandetik ( '' ).

Hubunganantaraderajat,menit, dandetiksebagaiberikut.

1° = 60' 1' = 60''

β

B

C A

Sumber:EnsiklopediMatematikadanPeradabanManusia

KapalMonmouth

(3)

Perlu

Tahu

Satulingkaranpenuh mem-punyaisudutsebesar360°. Lingkaran dibagikedalam 360° untukalasansejarah, yaitudiambildari banyak-nya haridalam setahun dalam kalenderBabilonia kuno. Astronom Yunani, Hipparchosdikenalkarena membagilingkaranmenjadi 360°.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia SudutdalamLingkaran

360°

C A

O B

r

b. Satuan Radian (rad)

Satuan radian disingkat rad. Apabila busur AB (∩ AB) sama denganjari-jarilingkaran (r)makabesarsuduttersebutadalahsatu radian.

Perhatikangambardisamping.

!" !

π

= = π

Perbandingan _#

∩ _{= =}

, menunjuk

-kan ukuran sudut AOB. Nilai bilangan itu disebutukuran radian.

BusurABCadalahbangunsetengahlingkaranπr,sehingga:

$ $

#

π ⋅

= = π

c. Centisimal/gon/grade

Satuan gon ditulis 1g. Satuan gon menyatakan panjang busur

lingkaran=

% kelilinglingkarantersebut.Jadi,besarsudutpusat lingkaran = 400g_.

3. Konversi Satuan Sudut

Sesuaidenganprosedurmengenaiperhitunganbesarsudut,satuan sudutdalamderajatdapatdikonversikankesatuansudutdalamradian atau sebaliknya.

a. Mengubah Radian ke Derajat atau Sebaliknya π rad = 180°

⇔ 1 rad = &°_π ,π = 3,14 180° = π rad

⇔ 1° = &_π°,π = 3,14

⇔ 1 rad = &_*%° ⇔ 1° = &_*%rad

1 rad = 57,3248408° 1° = 0,017 rad

1 rad = 57°17'45''

b. Mengubah Radian ke Gon (1g) atau Sebaliknya π rad = 200g

⇔ 1 rad =

( )

π ,π = 3,14 200g = π rad

⇔ 1g = π rad,π = 3,14

⇔ 1 rad =

( )

_*% ⇔ 1g ₌ *%

rad

1 rad = 63,69 g 1g= 0,016 rad

c. Mengubah Derajat ke Gon atau Sebaliknya

180° = 200g

⇔ 1° =

( )

_&° ⇔200g =180°

1° = 1,11 g ⇔ 1g = &°

(4)

Aplikasi

Contoh:

1. Konversikansudut 31,56° kebentuk satuanderajat,menit, dandetik!

Penyelesaian:

31,56° = 31° + 0,56'

= 31° + _< > @_

= 31° + 33,6'= 31° + 33' + 0,6'

= 31° + 33'₊ > @@

 

 

 

= 31° + 33' + 36''

Jadi, 31,56° = 31°33'36''.

2. Konversikan 5 radkebentuk satuangon!

Penyelesaian:

5 rad = (5 × 63,69)g = 318,45g

Jadi, 5 rad= 318,45g.

3. Konversikan22,6° kesatuan radian!

Penyelesaian:

22,6° = (22,6 × 0,017)rad = 0,3842rad Jadi,22,6° = 0,3842rad.

α β

Gambardisampingadalahsebuahpacking.

Hitungsudutαdanβdarigambardisampingdalam satuan radian!

Penyelesaian:

Sudutantara2 lubang:

α =

°

= 60° β =(90° –α) × 0,017 rad = 60° × 0,017 rad = 30° × 0,017 rad = 1,02rad = 0,51

L

atihan

1

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Nyatakankedalam satuanradian!

a. 15,3° b. 60° c. 120g d. 240g

2. Nyatakankedalam satuanderajat!

a. πZ b. πZ c. 25g _d. ₁₀₀g

3. Nyatakankedalamsatuangrade/gon!

a. 30° b. 42° c. πZ d. π

4. Nyatakanderajatberikutkedalamderajat,menit,dandetik!

a. 45,5° b. 60,75° c. 60,42° d. 50,36°

5. Pada trasmisi roda gigi pada kepala pembagi, perbandingan roda cacing dan batang cacing adalah 40 : 1.

Hitunglahhasilberikut!

a. Sudutyang ditempuh rodacacing bilabatang cacingdiputarsebanyak 1 putaran.

b. Putaran batang cacing agar roda cacing berputar 1 radian. (jawabannyadalam satuan derajat)

rodagigi cacing

(5)

U

raian

Materi

Keliling

dan

L

uas

Bangun

Datar

A. Macam-Macam Bangun Datar Beraturan

1. Segitiga

a. Macam-Macam Segitiga

1) Segitigasiku-siku 3) Segitigasamakaki

2) Segitigasamasisi 4) Segitigasebarang

b. Sifat-Sifat pada Segitiga

1) Jumlahseluruhsudutdidalambangunsegitigaadalah180°

α° +β° + γ° = 180°

Segalasesuatudimukabumiinimemunyaibentukdanukuran. Didalammatematika,bendayangmemunyaiukurandapatdilakukan perhitungan terhadap benda tersebut. Ilmu yang mempelajari pengukurandisebutgeometri.Geometriberasaldarikatageo=earth

(bumi)danmetria=measure (ukuran).Geometrimerupakansalahsatu cabangdariilmumatematikaselainilmubilangan.Ilmugeometridapat kitajumpaipadakehidupansehari-hari.Sebagaicontohpadamesin mobilataumotor.Sistempengeremantromolpadamobilmaupunmotor menggunakan kampas yangberpenampang segiempat melengkung dan mengikuti kontur sepatu kampas dan tromol rem. Pada permasalahaniniilmu ukurgeometri digunakanuntukmenghitung luas permukaan kampas. Secara signifikan semakin luas bidang pengeremanmakakemampuanmengeremakansemakinbesar.Lebih lanjut mengenai luas dan keliling bangun datar akan kita pelajari padauraianberikut.

Perlu

Tahu

Piramida-piramidabangsa MesirKunoyangdibangun 4000 tahunyanglalumasih

merupakan contoh yang

paling kuat dari struktur bangunanyang mengguna-kanbentuk-bentuksegitiga.

Sumber: www.wikipedia.org PiramidaBesarKhufu Sumber: www.abltechnology.com

Kampasrem

α°

β°

(6)

Aplikasi

128° α

A

128°

α

B D

C

Sebuah tarali ventilasi rumah sakit berbentuk seperti gambardisamping.Tentukanbesarsudutα!

Penyelesaian:

Segitigapadataralidapatdigambarkansebagaiberikut.

∆BCDmerupakansegitigasiku-sikudititikD. Dengan menggunakan aturan sudut pada segitigasiku-sikudiperoleh:

∠ B+ ∠ C + ∠ D= 180°

⇔α + _+&°_ + 90°= 180°

⇔ α + 64° + 90° = 180°

⇔ α + 154° = 26°

Jadi,besarsudutα adalah26°.

2) TeoremaPythagoras

Untuk segitiga siku-siku berlaku TeoremaPythagoras,yaitu: ”Kuadratsisi miringsamadenganjumlahkuadratsisi siku-sikunya”,atau

a2 + b2 =c2

Contoh:

Pada segitigasiku-sikuberikut panjang AC = 4 cmdan CB =

8 cm.

TentukanpanjangAB!

Penyelesaian:

AB = ₊

= _[%\₊_[&\

= +%

= _&

= _{% <}

Jadi,panjangABadalah % < cm.

3) SegitigaIstimewa

a) SegitigaSiku-SikuSamaKaki

Padasegitigasiku-sikusamakakijikasisisikunyaadalah

x satuanmakasisimiringnya adalah satuan. Perhi

-tunganberdasarkan TeoremaPythagoras sebagai berikut.

B C

a A

c b

C B

a A

(7)

C B x

A

x

A

C

60°

B

30°

x

C

A c B

t a

b

c2 = a2 + b2

⇔ c = +" ⇔ c = +

⇔ c =

b) Segitiga Siku-Siku

TidakSamaKaki

Diberikansebuah se

-gitiga siku-siku yang memunyai besar dua sudut selain sudut siku-siku adalah 30°

dan 60°.Jikapanjang sisi miring x satuan makasisisiku-sikudi

depansudut 30° yaituACbesarnyasamadengansetengah

sisi miringnya

   

 .Untuk sisi siku-siku didepansudut

60° BCbesarnyaadalah

.

c) KelilingdanLuasSegitiga

Diberikan bangun segitiga sebarang ABC dengan panjang sisi-sisinyaadalaha,b,c,dantingginyat.Rumusluasdan kelilingsegitigadiberikansebagaiberikut.

Keliling =a + b + c

= jumlahsemua sisi-sisinya

Luas =

× alas ×tinggi

= #⋅[#−\ [⋅ #−"\ [⋅ #−$\ denganS=

+ +" $

2. Persegi Panjang

Bangun datar persegi panjang memunyaisifat-sifatsebagaiberikut. a. Setiap sisi yang berhadapan

memunyai panjang yang sama,

yaitu = % dan = . b. Memiliki empat buah sudutsiku

-siku.

c. Memiliki dua buah diagonal yang berpotongandisatutitik,yaitutitikS.

d. TitikSmembagiduadiagonalmenjadiduabagianyangsama,yaitu

# = # dan# = #%]

e. Memiliki dua sumbu simetri, dua simetri lipat, dan simetriputar tingkatdua.

Rumuskelilingdanluaspersegipanjangdiberikansebagaiberikut.

Keliling = 2 × (p + l)

Luas = p × l l=lebardanp=panjang

B C

A D

(8)

3. Persegi

Persegiadalahbangunpersegipanjangyang keempat sisinya sama panjang. Persegi disebut jugabelahketupatsiku-siku.

Sifat-sifatbangundatarpersegisebagaiberikut. a. Sisi-sisi pada persegi memunyai panjang

yangsama,yaituAB= = % = %. b. Diagonal pada persegi membagi sudut

-sudutnyamenjadiduabagiansamabesar. c. Diagonalnya membagi persegi menjadi dua

segitigasiku-sikusamakakiyangkongruen. d. Diagonal-diagonal pada persegi sama panjang dan saling membagi dua sama panjang.

e. Persegi memunyai empat buah sumbu simetri,empatsimetrilipat,dansimetriputar tingkatempat.

Rumuskelilingdanluaspersegiadalah:

Keliling = 4 × s

Luas = s × s=s2 s= sisi

4. Jajaran Genjang

Jajaran genjang adalah bangun datar yang memunyai empat buah sisi yang saling berhadapan, sejajar, dan sama panjang. Bangun jajaran genjang memunyai sifat-sifat antara lain sebagai berikut.

a. Sisi yang berhadapan sama panjang

dan sejajar, yaitu %= dan ]

%=

b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar,yaitu∠A=∠Cdan∠B=∠D. c. Mempunyai dua diagonal yang

berpotongan disatu titik (titik p)dan saling membagi dua sama panjang,

yaitu &=& dan &=&%]

d. Mempunyaisimetriputartingkatdua.

e. Tidakmemilikisimetrilipatdansumbusimetri. Rumuskelilingdanluasjajarangenjangadalah:

Keliling = 2 × (a + b)

Luas = a × t a=alasdant=tinggi

5. Belah Ketupat

Belahketupatadalahbangunjajargenjang yang memunyai sisi-sisi yang sama panjang. Belah ketupat disusun dari dua buah segitiga yangkongruendanalasnyaberimpit.

Sifat-sifatpadabangundatarbelahketupat antaralain sebagai berikut.

a. Memiliki sisi-sisi sama panjang, yaitu ]

%= = =%

b. Sudut-sudutyangberhadapansamabesar, yaitu∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCDsertadua simetrilipatdansimetriputartingkatdua.

A B

D C

s

B

A

D

C a

s b

s

D C

A B

O

B _C

D A

t

a b

B C

A _D

(9)

c. Memilikiduabuahdiagonalyangsaling tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang.

d. Mempunyaiduabuahsumbusimetri. Rumuskelilingdanluasbelahketupat adalah:

Keliling= 4 × s

Luas =

× a× b

dengan a dan b adalah panjang diagonal

-diagonalnya.

6. Layang-Layang

Bangun layang-layang adalah ba

-ngunbelahketupatyangmemunyaidua pasangsisiyangsamapanjang.

Bangun layang-layang memunyai sifat-sifatsebagaiberikut.

a. Dua pasang sisinya sama panjang,

yaitu =% dan %=

b. Memilikisatupasangsudutyangsamabesar,yaitu∠ABC=∠ ADC. c. Diagonal-diagonalnyasalingberpotongan dantegaklurus.

d. Memilikisatubuahsumbusimetridansatubuahsimetrilipat. e. Tidakmemilikitingkatsimetriputar.

Bangun layang-layang mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang.Salahsatudiagonalmembagi sudutmenjadi duabagianyang samadantegaklurusdengandiagonalyanglain.

Rumuskelilingdanluaslayang-layangadalah:

Keliling = 2(a + b)

Luas =

× p× q

q =BD p=AC

7. Trapesium

Trapesiumadalah bangunsegiempatyangmemunyaitepatduabuah sisisejajar.

Sifat-sifatpadabanguntrapesiumsebagaiberikut. a. Memilikisatupasangsisisejajar.

b. Sisi-sisiyangtidak sejajardisebutkakitrapesium. c. Sisisejajaryangterpanjang daritrapesiumdisebutalas. Secaraumumtrapesiumterdiriatastigamacam,yaitu:

a. Trapesium Sebarang

Trapesium sebarang adalah bangun segi empat yang sepasang sisinyasejajardankeduakakinyatidaksamapanjang,sertasudut

-sudutnyatidakadayangsiku-siku.

Sifat-sifatnya antara lain //% dan % // yang disebut kaki trapesium.

(sisi terpanjang) daritrapesium disebutalas.

b. Trapesium Sama Kaki

Trapesium sama kaki adalah bangun segi empat yang sepasang sisinya sejajar dan kedua kakinya sama panjang, serta sudut

-sudutnyatidakadayangsiku-siku.

A a

d₁ D

C

B

b

d₂ B

C A

D

A

D C

(10)

Sifat-sifatnya antara lain: 1) % =

2) @= @

3) //CD

4) atau∠A=∠B

5) ∠DAB=∠CBA

Trapesium sama kaki memunyai 1 simetri lipat. Sumbu simetri trapesium ini adalah garis vertikal yang memotong tengah-tengah trapesium.

c. Trapesium Siku-Siku

Trapesiumsiku-siku adalah bangun segi empat yang sepasangsisinya sejajar dan salahsatusudutnyasiku-siku.

Sifatnyaantara lain: 1) // %

2)∠DAB=∠ADC = 90°

Rumuskelilingdanluastrapesiumadalah:

Keliling =2 × (AB + CD) +t

Luas =

× (AB + CD) ×t

8. Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah kurva tertutup yang memunyai banyak keistimewaan.Jaraktitik-titikpadalingkaranterhadappusatlingkaran besarnyasamadandisebutjari-jari (radius),dinotasikanr,sedangkan jarak kedua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat disebut diameterdandinotasikand.

a. Sifat dan Rumus Lingkaran

P = pusat lingkaran

r = jari-jari lingkaran

d = diameter lingkaran

Sifat-sifatbangundatarlingkaransebagaiberikut.

1) Lingkaranhanya memilikisatu sisi.

2) Memilikisimetrilipatdansimetriputaryangbanyaknyatakhingga.

3) Sudutpadasatulingkaranpenuhsebesar 360°. Rumuskelilingdanluaslingkaranadalah:

Keliling = 2 × π× r

= π × d

Luas = π × r2

=

%× π × d

2

b. Unsur-Unsur dalam Lingkaran

Bangundatarlingkaranmemunyaikeistimewaandibandingbangun dataryanglain.Keistimewaantersebutsebagaiberikut.

1) TaliBusur

Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur. Tali busuryangmelewatititikpusatlingkaran

(titikP)disebutgaristengahataudiameter. Talibusuryangtidak melaluititik pusat panjangnyaselalulebihkecildaridiameter.

A _A_' _B_' _B

D C

A _B

D C

P

d r

denganπ ≈ 3,14 atauπ ≈ ^

B C

A

D

(11)

2) Tembereng

Padalah pusat lingkaran.

a) Garis lengkung AB dengan sudut pusat∠merupakanbusurkecil. b) Garis lengkung AB dengan sudut

pusat α (sudut refleks) merupakan busurbesar.

c) Daerah yang dibatasi oleh jari-jari danbusurkecildisebutjuringkecil. d) Daerahyangdibatasiolehjari-jaridanbusurbesardisebut

juringbesar.

e) Daerah yang dibatasi oleh garis lengkung sepanjang tali busurdisebuttembereng (daerahberarsir).

f) Garis yang ditarik dari titik P dan tegak lurus tali busur disebutapotema (PQ).

Contoh:

Perhatikanlingkarandibawah.

Apabilajari-jarilingkaran 14 cm,tentukanukurandariunsur

-unsur lingkaranberikut!

a. ∩ AB

b. LuasjuringAPB

Penyelesaian:

a. Diketahuijari-jarilingkaran 14 cm,diperolehdiameternya 28 cm.

Kelilinglingkaran=π × d=

^ × 28 = 88 Jadi,kelilinglingkaran 88 cm.

Untuk menghitung panjangbusur AB digunakanperban

-dingan juring APB dengan satu lingkaran penuh yang memunyaisudut 360°.

_

& ∠

∠ = `

∩

⇔

°

° = &&

∩

⇔ =

&&

∩

⇔ ∩ AB = 14,67

Jadi,panjangbusurABadalah 14,67 cm. b. Luas lingkaran = π ×r× r

=

^ × 14 × 14 = 616

Jadi,luaslingkaranadalah 616 cm2.

Ekuivalendengan pengerjaansoalpadapoina makaluas juringAPBakandibandingkandenganluassatulingkaran penuh.

A

B P

60°

A

α

Q

P

B

(12)

Aplikasi

_

& ∠

∠ =

_$ !$ _$

&

⇔ °_° = _$ !$

&

⇔ = _$ !$

&

⇔ LuasjuringAPB = ⇔ LuasjuringAPB = 102,67

Jadi,panjangjuringAPBadalah 102,67 cm.

Sebuah tutup pengaman gerinda diberikan seperti pada gambar yang diarsir. Diketahui jari-jari lingkarankecil (r₁)adalah 7 cmdanjari-jarilingkaran besar (r₂) adalah 10,5 cm. Tentukan luas tutup pengaman gerindatersebut.

Penyelesaian:

Luas tutup pengaman gerinda merupakan luas daerah yang diarsir. Cara menghitung luasnya sebagai berikut.

L_arsir = luaslingkaranbesar–luaslingkarankecil–luasdaerahABCD

= luaslingkaranbesar–luaslingkarankecil– (luasjuringABP – luasjuringDPC)

Tiap-tiapunsurdihitung terlebihdahulu. Luas lingkaran besar = π × r₂ × r₂

=

^ × 10,5 × 10,5 = 346,5

Jadi,luaslingkaranbesaradalah 346,5 cm2_.

Luas lingkarankecil = π × r₁ × r₁

=

^ × 7 × 7 = 154

Jadi,luaslingkarankecil 154 cm2.

Selanjutnya dihitung luas daerah ABCD. Terlebih dahulu dihitung luas juringAPB.

135°

P

D _C

(13)

∠ ∠

&

= _$$!$&

⇔ <°_°

=

$ !$

%*<

&

⇔ _& = $ !$

%*<

&

⇔ LuasjuringAPB = %*<

& ×

= 129,94

Jadi,luasjuringAPBadalah 129,94 cm2.

Selanjutnya dihitung luas juring DPCsebagai berikut.

%& ∠

∠ =

$ !$ $

%&

⇔ <°_° = $ !$ <%

%&

⇔

& =

$ !$

<% %&

⇔ Luasjuring DPC= <%

& ×

⇔ LuasjuringDPC= 57,75

Jadi,luasjuringDPCadalah 57,75 cm2_.

Dengandemikiandapatdihitung luasdaerahyangdiarsir.

L_arsir = Luaslingkaranbesar–luaslingkarankecil– (luasjuringAPB– luasjuringDPC)

= 346,5 – 154 – (129,94 – 57, 75) = 346,5 – 154 – 72,19

= 346,5 – 154 – 72,19

= 120,31

Jadi,luastutuppengamangerindatersebutadalah 120,31 cm2.

3) Sudut-SudutdalamLingkaran

Sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dengan titik sudutberupatitik di pusatlingkarandisebut sudut pusat.

Sudutyangdibentukolehduabuahtali busurdengantitiksudutyangterletakpada lingkarandisebutsudut keliling.

Padalingkarandisampingyangdisebut sudutpusatadalah∠RPSdansudutkeliling adalah∠RTS.Hubunganantarsudutpusat dansudutkelilingsebagaiberikut.

Sudutpusat=2 × sudutkeliling

Contoh:

Pada gambar di samping diketahui ∠APB= 60°.TentukanbesarsudutAQB!

Penyelesaian:

∠APB = 2 × ∠AQB ⇔ 60° = 2 × ∠AQB ⇔ ∠AQB = 60 : 2 ⇔ ∠AQB = 30

Jadi,besarsudutAQBadalah 30°.

T

R P

S

A B

(14)

Aplikasi

x

E s F

A DP B

60°

T

C

A B

C D

E

C

R R _P

A _Q B

Catatan:

Perhatikangambardisamping!

Sudut-sudut yang menghadap tali busur yang sama memunyai besar sudut yang samapula.

Padagambardisampingdiperoleh∠ACB= ∠ADB=∠AEB.Kesamaandiperolehkarena ketiga sudut menghadap tali busur yang samayaitutalibusurAB.

DiketahuipanjangAD= 10 cmdanpanjangs= 3 cm. Tentukanlebarpenampangx!

Penyelesaian:

Diketahui∠ACB= 60°,diperoleh∠ACP= 30°

∆CPT merupakan segitiga siku-siku di titik T. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri maka panjang CP dapat dicari sebagaiberikut.

sin 30° = *&

&

⇔ CP =

*&

=

=20

PanjangCPdapat digunakanuntukmencariCDyaitu:

CD = CD + (AP–S) = 20 + (20 – 3) = 20 + 17

= 37

Perhatikan ∆CDE Dengan menggunakan panjang AC dan rumus perbandingantrigonometri,panjangEDdapat dicarisebagai berikut.

tan30° = <%

%

ED = CD × tan 30°

= 37   

= 21,36

PanjangEDdapat digunakanuntukmencaripanjangxyaitu:

x = 2ED

= 2 (21,36) = 42,72

Jadi,panjangxadalah 42,72cm.

c. Bangun Lingkaran Terkait dengan Segitiga

1) LingkarandalamSegitiga

Perhatikangambardibawah.

Sebuah lingkaran dengan titik pusatPberadadidalambangundatar segitigaABC. Besar∠CABdan ∠CBA

(15)

A C

B R

P

S

•

AkandiperolehtigabuahgarisyangberpotongandititikP. Selanjutnya,darititik Pditarik garis yangtegak lurusdengan ketigasisipada∆ABC,masing-masingdititikQ,R,danS.Dengan demikiandiperolehpersamaanberikut.

PQ=PR=PS=r

Perhatikanbahwa ∆ABCtersusunatastigabuahsegitigayaitu ∆APB, ∆BPC, dan ∆APC. Luas segitiga dapat kita tentukan rumusnyadengan carasebagaiberikut.

Luas ∆APB =

×AB×PQ=

×AB × r Luas ∆BPC =

×BC×PR=

×BC × r Luas ∆APC =

×AC×PS=

×AC × r

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– +

Luas ∆ABC =

 _× _×  ₊ _× _×  ₊ _× _× 

     

     

=

(AB + BC+ AC)

Dengan demikian panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dirumuskandengan:

r = ∆

+ +

_$

[ \

= ∆

+ + _$

[ \

2) LingkaranLuarSegitiga

Perhatikangambardisamping!

Garis CR adalah garis tinggi segitiga

ABC.DarititikCditarikgarislurusyang melalui titik pusat lingkaran yang membentukgarisCS.Perhatikanbahwa ∆CBS merupakansegitiga siku-sikudi

B.Diperolehhubungansebagaiberikut.

• ∠CAB=∠CSB (menghadaptalibusuryangsama) • ∠CRA=∠CBS= 90°

Karena dua buah segitiga tersebut memiliki dua unsur yang samamaka∆ABCsebangundengan ∆CBS.

Dengandemikiandiperolehhubungansebagaiberikut.

AC : CS = CR : CB ⇔ CR = >

# danCS = >

> .... (*)

Karenaluas∆ABC=

× CR × AB,diperoleh:

CR = ∆

_$

NilaiCRdisubstitusikanke (*)diperoleh:

CS =

∆ > > $

KarenaCS=diameterlingkaran=2rmaka:

2r = CS ⇔ 2r = > >

> $

∆

⇔ 4r = $

× × ∆

r = % $

(16)

B. Taksiran Luas Daerah Bidang Tak Beraturan

Didalamkehidupansehari-hari,jenispermukaanbendayangkitatemui tidak semuanya beraturan. Akan tetapi, ada kalanya bentuk permukaan benda berupabidang datar yang takberaturan. Apabilahendak dihitung luasnyatentuakanmengalamikesulitanapabilamenggunakanrumusluas bangun datar yang telah diberikan. Berikut diberikan beberapa metode untukmenghitungluaspermukaanbendayangtidakberaturan.

1. Aturan Trapesoida

Diberikanbangundatar takber

-aturanABCDsepertipadagambar di samping. Akan kita tentukan caramenghitung luasnya. Langkah-langkah menghitung luas bangun tak beraturan denganmetodetrapesoida. Langkah 1:

Sisi AB dibagi menjadi n partisi

(bagian)yangsamapanjang.MisalnyaABdibagimenjadiempatpartisi yangsama panjang yaitu tcm. Selanjutnya, tentukantinggi tiap-tiap partisi (ordinat)yaituAD,EJ,FI,GH,danBC.Kemudiannyatakantiap

-tiapordinatdengany₁,y₂,...,y_n_{+ 1}

Langkah 2:

L = LAEJD+ LEFIJ+ LFGHI+ LGBCH

= z z z % %z <

@ @ @ @ @ @ @ @

 _×  ₊ _×  ₊ _×  ₊ _× 

       

       

= z z z z z %z %z <

@ @ @ @ @ @ @ @

_ _

 

= z z z %z <

@ @ @ @ @

_ _

 

= z < %

@ @ @ @ @

_ + + + _

 

= < %

z

@ @

@ @ @ _ + + + _

 

Jadi,rumusmencariluasbanguntakber

-aturandengan aturan trapesoidaadalah:

L= < %

z

@ @

@ @ @

 ₊ ₊ ₊ 

 

  apabilapartisisebanyak 4.

Contoh:

Tentukanluasbanguntakberaturan di samping dengan menggunakan aturan trapesoida!

Penyelesaian:

Luas bangun tak beraturan ABCD

akankitahitungluasnyadengancara sebagaiberikut.

Langkah 1:

Bangun ABCD kita bagi menjadi enam buah partisi yang tiap-tiap panjangnya 1 cm.Tinggitiap-tiappartisiyaitu:

y₁=AD= 2cm

y₂=EN=

cm

B C

A D

D J

A E

t t y₁ y₂ y₃

F I

C

H

G B

t t y₄ y₅

A A

D

C

2 cm

6 cm

(17)

Aplikasi

A D

2cm

cm

1 cm

E F G H I B

N

M

L

K

J

C

3 cm

cm

cm 4 cm

cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

y₃=FM= 3 cm

y₄=GL=

cm

y₅=HK=

cm

y₆=IJ = 4 cm

y₇=BC=

cm

Langkah 2

Dengan demikian dapatdihitungluas bangunABCD.

L = _ ^ + + + + + _

% <

z

@ @

@ @ @ @ @

=

z

%

 

 

+ +

 

 

+ + +

=

%

+<

=

%

&

Jadi,luasbanguntakberaturanABCDialah %

& cm2.

Padacerobongpembuanganasapmesinpengering padi apabila hanya diambil penampang silinder tanpatutupdanalasyangterpotongbagianbawah maka diperoleh gambar seperti di samping. Selanjutnya, apabila silinder terpotong tersebut dibukadandibentangkanpadabidangdatar,akan tampakpenampangbarusepertiyangdigambarkan padagambardibawahini.

Tentukanluasbentangansilinder yangterpotong!

A E F G H I J K L M B

D V U

T

S R Q

P O

(18)

A E F G H I B

D N

M L K

J C

y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ y₇

t t t t t t

Penyelesaian: Langkah 1:

Penampangpotongansilinderdibagimenjadi 10 partisidenganAE=EF

= . . . = MB =t = 2 cm. Selanjutnya, tinggi tiap-tiap partisi dihitung sebagai berikut.

y₁ = AD = 2,5 cm y₇ =JQ = 4 cm

y₂ = EV = 2,6 cm y₈ =KP = 3,5 cm

y₃ = FU = 3 cm y₉ =LO = 3 cm

y₄ = GT = 3,5 cm y₁₀ =MN= 2,6 cm

y₅ = HS = 4 cm y₁₁ =BC = 2,5 cm

y₆ = IR = 4,1 cm

Langkah 2:

L =

% < ^ & {

z

@ @

_ @ @ @ @ @ @ @ @ @ _

 + + + + + + + + + 

= *< z *<

_ * *< % %* % *< *_

 + + + + + + + + + 

= *<

(

+*

)

= 2 (32,8) = 65,6

Jadi,luaspenampangtabungtanpatutupdanalasyangterpotongadalah

65,6 cm2_.

2. Aturan Simpson

Menghitung luas daerah tak beraturan dengan menggunakan aturanSimpson diberikandengan carasebagai berikut.

Langkah-langkah menghitungluasbanguntak beraturandengan menggunakanmetodeSimpson.

Langkah 1:

Bangun takberaturan ABCD dibagi menjadi n buah partisisama panjang dengan ketentuan bahwa n harus bilangan genap. Selanjut

-nya,ditentukan panjangtiap-tiappartisi. Langkah 2:

Rumusmencariluasbanguntakberaturansebagaiberikut.

L= _ z _

z z % z

@ @ < >

y₁ = ordinatpertama

z

@ = ordinatterakhir

E = jumlahordinatbernomorgenap

(19)

Aplikasi

A B

C

2,2 cm

D

2,3

cm

2,6

cm

2,9

cm

3

cm

2,6

cm

3

cm

3,5

cm

3,9

cm

3,9

cm

3,5

cm

0,6 cm

Contoh:

Tentukan luas bangunABCD pada contohaturan Trapesoidadengan menggunakanaturan Simpson!

Penyelesaian:

Bangun ABCD dibagi menajdi 10 partisi (n = 10, n bilangan genap) dengan panjang tiap-tiap partisi (t) adalah 0,6 cm. Panjang tiap-tiap ordinatdiberikansebagai berikut.

y₁ = 2,2cm y₅ = 3 cm y₉ = 3,9 cm

y₂ = 2,3 cm y₆ = 2,6 cm y₁₀ = 3,9 cm

y₃ = 2,6 cm y₇ = 3 cm y₁₁ = 3,5 cm

y₄ = 2,9 cm y₈ = 3,5 cm

LuasbidangABCDdihitungdenganmenggunakanaturanSimpsonyaitu:

L =

(

)

z z % z

@ @ < >

 

 

=

(

)

(

% &

)

(

< ^ {

)

z % z z z z z z z

@ @ + @ @ @ @ @ + @ @ @ @

 

 

= *

(

)

(

)

(

)

* z *< z % * z *{ z * z *< z *{\ z * z z z *{ = *< z *<

_ z * z z *< z % z %* z % z *< z z *_

 

=0,2 (5,7 + 60,8 + 25) =0,2 (91)

=18,3

Jadi,luasbanguntakberaturanABCDialah 18,3 cm2.

Sebuah perangkat peralatan pertanian memunyai bentuk sambungan berupasilinderterpotongmiring.Apabilasilindertersebutdibentangkan, akantampak sebuahpenampangsepertipadagambardibawah.

Tentukan luaspenampangtersebut!

3 cm 3 cm

8 cm

(20)

3 cm 1,7 cm 1,5 cm 1 cm 0,5 cm 1 cm 1,5 cm 1,7 cm 3 cm

Penyelesaian:

Penampang sambungandapat digambarkansebagaiberikut.

Darigambar diperolehbahwapenampang ABCDdibagimenjadidelapan partisi (n = 8, n bilangan genap) danpanjang t = 1 cm dengan panjang tiap-tiapordinatadalah:

y₁ = 3 cm y₄ = 1 cm y₇ =1,5 cm

y₂ = 1,7cm y₅ = 0,5 cm y₈ =1,7 cm

y₃ = 1,5 cm y₆ = 1 cm y₉ =3 cm

DengandemikiandapatdihitungnilaiLsebagai berikut.

L = _

(

+ {

)

+ + _

%

@ @ < >

= _

(

+ {

)

+

(

+ %+ + &

)

+

(

+ <+ ^

)

_

%

@ @ @ @ @ @ @ @ @

= _

(

+

)

+

(

+ + +

)

+

(

+ +

)

_

% *^ *^ *< *< *<

= + +

[ * ^\

=

[%*\

= 11,53

Jadi,luaspenampangsilinderterpotongtersebutadalah 11,53 cm2.

3. Aturan Mid-Ordinat

Cara menghitung luas bidang tak beraturan dengan menggunakan aturanmid-ordinatsebagaiberikut.

Langkah 1:

Bidang ABCD dibagi menjadi n

buah partisi yang sama panjang yaitut.Selanjutnya,panjangtiap

-tiapordinatdihitungdengancara sebagaiberikut.

% <Z

@ = +

\^ _`

@ = +

<

|~

@ = +

<Z \^

@ = +

%

_` |~

@ = + dan seterusnya.

Langkah 2:

Luas bidang takberaturan ABCDdicari denganmenggunakan rumus sebagaiberikut.

~=

(

@+@ +] ] ]+@₊

)

D F H J

L C

(21)

Aplikasi

(a) (b)

Contoh:

Tentukan luas bidang ABCD pada contoh aturan trapesoida dengan menggunakanaturanmid-ordinat!

Penyelesaian: Langkah 1:

BangunABCDtelahdibagimenjadi 6

partisi dengan panjang tiap-tiap partisi 1 cm (t = 1 cm). Selanjutnya panjang tiap-tiap ordinat dihitung dengancarasebagai berikut.

*< %*<

|% < | | | *<

@ + +

*< <*<

|< Z | | | *^<

@ + +

*< <*<

|< Z | | | *^<

@ + +

%

*< z *< <*<

|\~ ^|| | | *^<

@ +

<

z *< z % ^*<

|^| _` | |

@ = 3,75

% *< ^*<

|_` | |

@ + + = 3,75

Langkah 2:

LuasbidangABCDapabiladihitungdenganaturanmid-ordinatsebagai berikut.

L = 1 (2,25 + 2,75 + 2,75 + 3 + 3,375 + 3,75) = 18,25

Jadi,luasbangunABCDadalah 18,25.

SebuahpipasambunganpadasaluranACtampakpadagambar (a).Apabila sambungan tersebut dipisahkan diperoleh salah satu bentuk silinder lingkaranlurussepertipadagambar (b).Apabilasilindertersebutdipotong secara miring dan kemudian dibentangkan diperoleh penampang berbentuk melintangsebagaiberikut.

(c)

4 cm

16 cm

A D

2cm

cm

1 cm

E F G H I B

N

M

L

K

J

C

3 cm

cm

cm 4 cm

cm

(22)

D

A

C

B 4 cm

16 cm

8 cm

Tentukan luas penampang melintangdarisilinder yangdipotong secara miring tersebut!

Penyelesaian:

Dari gambar di atas dapat kita tentukan panjang tiap-tiap ordinatnya sebagai berikut.

% * &*

| | | %*

@ + <

& ^ <

| | | ^*<

@ +

%* <* {* %

| | | %*^

@ +

^ z <* *

| | | *

@

<* ^ *

| | | *

@ + ^

<* %* {* %

| | | %*^

@ +

%

^ & <

| | | ^*<

@ + _& %* % &*

| | | %*

@ +

Luas bangunABCDdapatkitatentukansebagaiberikut. L = t(y₁+ y₂+y₃+y₄+ y₅+ y₆+ y₇+y₈)

= 2(4,1 + 4,7 + 6,1 + 7,5 + 7,5 + 6,1 + 4,7 + 4,1) = 2(418)

= 89,6

Jadi,luasbangunABCDadalah 89,6 cm2. 4

cm

4,2 cm

5,2 cm

7

cm

8

cm

7

cm

5,2 cm

4,2 cm

4

cm

(23)

U

raian

Materi

A. Transformasi

1. Pengertian Transformasi

Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkanbagaimanasuatubangundapatberubahkedudukandan ukurannya berdasarkan rumus tertentu. Secara umum transformasi dibedakan menjadi dua yaitu transformasi isometri dan dilatasi. Transformasi isometri adalah transformasi yang tidak mengubah ukuran,misalnyapergesaran,pencerminan,danpemutaran,sedangkan dilatasiadalah transfomasiyangmengubahukuranbenda.

Transformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik. Biasanya titik yang dipetakan adalah (x, y) dengantitik hasilpemetaanatau bayangannyaadalah (x',y').

2. Jenis-Jenis Transformasi

Beberapajenistransformasiyangakankitapelajarisebagai berikut. a. Translasi (pergeseran)

b. Refleksi (pencerminan) c. Rotasi (perputaran) d. Dilatasi (perkalian)

B. Memahami Jenis-Jenis Transformasi

1. Translasi (pergeseran)

Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Arah pemindahan translasi yaitusepanjangruasgarissearahsumbuXdanruasgarissearahsumbuY.

Trans

f

ormasi

Bangun

Datar

Sumber:http://www.alibaba.com

Botol infus Geometritransformasiadalahteoriyangmenun

-jukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukurannya menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis yang paling umum yaitu translasi (pergeseran), refleksi

(pencerminan), rotasi (pemutaran), dan dilatasi

(memperbesarataumemperkecil). Sebuahbangun dapatdirefleksikanterhadapsebuahgaris.Bangun dirotasikan dengan diputar pada suatu titik yang berada diluar ataudi dalamnya. Saatditranslasi, banguntersebutbergeserkearahtertentu,sedang

(24)

D

A

B

C A' C'

D'

B' m

A B

C C'

B' A'

l

A'₍_x'_,_y'₎

b

a A'(x',y')

0 X

Y

TranslasiT=   _{ }  

" memetakantitikA (x,y)ketitikA'(x',y')denganaturan

sebagaiberikut.

• titikxdigesersejauha

• titikydigesersejauhb

  _{ }_@@_@   _@  _{ } _" __@ _"_        

+

= + =

+

DiperolehA'₍_x₊_a_,_y₊_b_).

Contoh:

1. TitikA(5, 6)ditranslasiolehT    _{ }

.Tentukantitikhasiltranslasinya!

Penyelesaian:

A' ₌ ₍₅_,₆₎_{+ (}_2,₃₎ = A+ T₁

= (5 + 2, 6 + 3) = (7, 9)

HasiltranslasiadalahA'= (7, 9).

2. Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1, 2), B (3, 4), dan

C (5, 7).TentukankoordinatsegitigaABCjikadigeserolehT    _{ }

}

Penyelesaian:

                               

+

+ +

+

@ | | | |

%

*

       

                       

+ +

%

@ | z | z | |

% %

*

       

     _{ }     _{ }          

+ +

+

<

@ | | z | |

^ ^ {

*

Jadi, peta segitiga ABCadalah A'B'C' dengan titik sudut A' (2, 4),

B' (4, 6),C' (6, 9).

Translasi Suatu Bangun

Translasi juga disebut pergeseran. Untuk menggeser bangun diperlukan jarakdanarah pergeserannya!

Contoh:

1. ∆ABCdigesermenurutgarisl

sehinggaAA'=

AB.Dengan demikian, akan diperoleh ∆A'B'C', sehingga AA'= BB'=

CC'.Jadi,AB=A'B',AC'=A'C'

dan BC = B'C' dan diperoleh bahwa∆ABC≅∆A'B'C'. 2.

Translasikan segi empat

ABCD menurut diagonal AC

sehinggaAA'=_% AC.

Perhatikandaricontoh.

UkurapakahAB=A'B',BC=B'C' danAC=A'C'!

(25)

A (x,y)

sumbu simetri

A (x,y)

sumbu simetri

A (x,y)

sumbu simetri A (x',y')

A (x, y) l

A'(x',y')

A'(x₁', y₁')

A(x₁, y₁)

B'(x₂', y₂')

B(x₂, y₂) 2. Refleksi

Pencerminan adalah cara menggambarkan bayangan cermin suatu bangun.Bayangancermin diperolehdengan carasebagai berikut. a. Tentukanterlebihdahulusumbusimetriatausumbucerminnya. b. Daritiap-tiaptitikyanghendakdicerminkanditarikgarisyangtegak

lurusdengansumbusimetri.

c. Perhatikanbahwajaraktitiksemulaterhadapsumbusimetriharus samadengan jaraktitikbayanganterhadap sumbusimetri.

(a) (b) (c)

Pencerminanterhadapgarisatausumbudibedakanmenjaditigamacam yaitu:

1) BayanganTitik

TitikA (x,y)apabiladicerminkanterhadap suatu garis l atau sumbu l akan meng

-hasilkanbayanganberupatitikA' (x',y').

2) Bayangan G_aris

Hasil pencerminan ruas garis terhadap garis l atau sumbu l

akan menghasilkan bayangan beruparuasgaris.

3) BayanganBangun

Pencerminansuatubangunterhadapgarislatausumbuldilakukan dengan mencerminkan titik sudut-titik sudutnya terlebihdahulu. Kemudian titik sudut hasil pencerminan dihubungkan menjadi bangunyangmerupakan hasilpencerminan.

A'(x₁', y₁')

A'(x₁, y₁)

C(x₃, y₃) _C'₍_x

3', y3') B(x₂, y₂) _B'₍_x

(26)

Sumbusimetriatausumbucerminpadarefleksidibedakanmenjadi beberapamacamsebagai berikut.

a. Pencerminan terhadap Sumbu X

Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap sumbu X dan bayangannya adalah

A' (x',y')makadiperolehpersamaan:

@ @ [ \ @ @ @ @                 _ _     ⋅ + ⋅ = _{= −} ⋅ + − ⋅ @ @ @ @     _ _         _{  }     = −

Jadi, matriks M_x =

     

 − adalah matriks operatorpencerminanterhadapsumbuX.

~ Z $$ @ @     →       −  Contoh:

Tentukan pencerminan titik P (5, –2) terhadapsumbuX!

Penyelesaian:

Misalnya hasil pencerminan adalah   _{ }_@@_@

 ,

diperoleh:

@ < <

@ @          _ _      _ _   

 = − − =  secara grafikdiper

-olehsepertipadagambardisamping. b. Pencerminan terhadap Sumbu Y

Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap sumbu Y dan bayangannya adalah

A' (x',y')makadiperolehpersamaan:

@ [ \ @ @ @ @ @                 _ _     − − ⋅ + ⋅ ₌ ⋅ + ⋅ _@@_@ _@     _ _         _{  }     − =

Jadi, matriks M_y =

       

−

adalah matriks operator pencerminan

terhadapsumbuY.

~ Z $$ @ @ @  _{}_→          − Contoh:

TentukanpencerminantitikQ (–3,–4) terhadapsumbuY.

Penyelesaian:

Misalnya hasil pencerminan adalah

        ′ ′

@ , diperoleh

          _  __ _ _ _   _ __ _ _ _   ′ ₌ − − ₌ ′ − − − % %

@ secara grafik diperoleh

sepertipadagambardiatas.

A(x,y)

A'₍_x'_,_y'₎

0 _X

Y

0

Y

P' (5,2)

P(5,–2) X

A'₍_x'_,_y'₎

0 _X

A(x,y)

Y

Q(–3,–4)

0 _X

Q(3,–4)

(27)

c. Pencerminan terhadap Garis y = x

Jika titik A (x, y)dicerminkanterhadap garis y= x dan bayangannyaadalahA' (x',y')makadiperolehpersamaan:

@ @ @ @ @ @ @                    _{    }     ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅  _{ }  _@@_@ =_     __{ }_@

Jadi, matriks M_y = x

     

 adalah matriks operator pencerminan terhadapsumbuY=x.

~ Z $$ @ @ @  _{}_→          = Contoh:

Tentukan hasilpencerminan titik R (–2, 3)terhadap garis y=x!

Penyelesaian:

Misalnya hasil pencerminanadalah @

@ @      

 ,diperoleh

@ @ @           _  _{ } _ _ _           − = =

− secaragrafikdiperolehseperti

padagambardisamping.

d. Pencerminan terhadap Garis y = –x

Jika titikA (x,y) dicerminkan terhadap garisy=–xdan bayangannya adalah A' (x', y') maka diperoleh persa

-maan: [ \ @ @ [ \ @ @ @ @     _ _           _ _     ⋅ + − ⋅ − = = ₋ − ⋅ + ⋅  _{ }  _@@_@ =_₋ −    __{ }_@

Jadi, matriks M_y =

     

− adalah matriks operator pencerminanterhadapsumbuy=–x.

~ Z $$ @ @ @  _{}_→          − = − − Contoh:

Tentukan hasil pencerminan titik S (5, 1) terhadap garis y=–x!

Penyelesaian:

Misalnya hasil pencerminanadalah @

@ @      

 ,diperoleh

@ <

| |

@ <

@           _   _{  } _ _           − −

− − yang secara grafik diperoleh

sepertipadagambardisamping.

0 x x'=y X

y'₌_x

A'(x',y')

A(x,y)

Y

garisy =x y

Y

y

y'=–x

0

x x'=–y'

A'₍_x'_,_y'₎

A(x,y) garisy =–x

X

T(–2, 3)

T'₍₃_,–2)

(28)

Y

x

X

y A(x,y)

0

y'₌_x

A'₍_x'_,_y'₎

x'₌_–_x

T'₍_–₃_,₃₎

Y

X

T' (3,–3))

0

e. Pencerminan terhadap Titik Asal Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap titik 0 (0, 0) dan bayangannyaadalahA' (x',y')maka diperoleh persamaan:

[ \ @ @ [ \ @ @ @ @                 _ _     − ⋅ + ⋅ − = _{= −} ⋅ + − ⋅ @ @ @ @     _ _         _{  }     − = −

Jadi,matriksM_O=

        − − adalah

matriks operator pencerminan terhadaptitik 0 (0, 0).

~ Z

$$ [*\ @ @  _{}_→          − = − Contoh:

Tentukan hasil pencerminan titikT (–3, 3)terhadaptitikasal!

Penyelesaian:

Misalnya hasil pencerminan

adalah   _{ }_@@_@

 ,diperoleh

@ @ @           _  _{ } _ _ _   _ _{ } _ _ _   − − = =

− − secara grafik

diperolehsepertipadagambardisamping:

Contoh:

DiketahuisegitigaABCdengantitiksudutA (1,2),B (3, 5),danC (4, 1). TentukanbayangansegitigaABCdenganaturan sebagaiberikut!

a. pencerminan terhadapsumbuX, b. pencerminan terhadapsumbuY,dan c. pencerminanterhadaptitikpusatO(0, 0). Penyelesaian:

a. Terhadapsumbu X c. TerhadaptitikpusatO (0, 0)

@ @ | @ @ @ |

@ < <

@ % % @ | @ @ @ @              _{ } _ _    _{   }                                       _ _       _{ } _ _    _{   }     = = − − = = − − = = − − @ @ | @ @ @ |

@ < <

@ % % @ | @ @ @ @              _{ } _ _    _{    }                                       _ _       _{ } _ _    _{   } _     − − = = − − − − = = − − − − = = − −

b. Terhadap sumbuY

@

@ |

@

@ |

@ < <

@ % % @ | @ @ @ @              _{ } _ _    _{   }                                                _{ } _ _    _{  } _     − − = = − − = = − − = =

Jadi,titik-titik hasil pencermin

-annya adalah:

a. terhadapsumbuX:

P' (1,–2),Q' (3,–5),danR' (4,–1) b. terhadapsumbuY:

P' (–1,2),Q' (–3, 5),danR' (–4, 1) c. terhadaptitikpusat (0, 0):

A' (–1, –2), B' (–3, –5), dan

(29)

y

y' _A'₍_x'_,_y'₎

A(x,y)

x

α

y

0 x' x

α

x' x x

A(x,y)

A'₍_x'_,_y'₎

x_p

0

y'

y y_p

P(x_p, y_p)

2. Rotasi

Bayangan akibat rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut rotasi.Rotasi positif atausudut putar positif (R_α)adalah rotasi yang putarannyaberlawanandenganarahputaranjarumjamdansebaliknya jikaputarannyasearahputaranjarumjammakadisebutrotasi negatif atausudutputarannyanegatif (R₍_–_α₎).

a. Rotasi dengan Pusat O (0, 0)

Rotasi dengan pusat O (0, 0) dan besar sudut putaran α dituliskandalamR[0,α],denganmatriksrotasi:

" | $ > $ α α α _ _α _α_  

TitikA (x,y)dirotasikandenganrotasiR [0,α],dengan pusatrotasiO (0, 0)menghasilkantitikbayanganA' (x',y'). Dengan memerhatikan gambar di samping diperoleh hubungan:

A' = R_α × A

        ′ ′ @ = " $ @ $ α α α α          _{  }  

Darihubungandi atasdidapatkanpersamaan:

  _{ }_@_@@ _ $_αα _{@ $}@ _αα_     ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

b. Rotasi dengan Pusat P (x_p, y_p)

Titik A (x, y) dirotasikan dengan rotasi R [P, α] meng

-hasilkantitikbayanganA' (x',y'),yangberpusatdititikP

(x_p, y_p). Dengan memerhatikan gambar di samping diperolehhubungan:

A'–P = R_α× (A– P)

        ′ − − @ @ = α α α α                 − − − $ @ @ $

Darihubungandi atasdidapatkanpersamaan:

x' = {(x–x_p)⋅cosα– (y–y_p)⋅sinα} –x_p y' = {(x–x_p)⋅sinα + (y–y_p)⋅cosα} –y_p

Contoh:

Diketahui titik A (4, 5), tentukan bayangannya akibat rotasi 90°

dengantitikpusatOdandengantitikpusat P (1, 1). Penyelesaian:

Rotasidengantitikpusat Rotasi dengan titik pusat P (1, 1)

O(0, 0)danα= 90°. danα= 90°.

{ " { %

@

@ { { <

$ @ $            _{ }    _{  }     ° ° = ° ° % <        _{ }  _{  }   − = < %         − =

Jadi,bayangantitik A (4, 5)akibatrotasi 90° dengantitik pusatO

(0, 0)adalahA' (–5, 4),danbayangantitikA (4, 5)akibatrotasi 90°

{ " { %

@

@ { { <

(30)

a° O

B A'

B A

B'

A' C'

C

A B O

60° A

B B'

A'

O a°

Rotasi pada Bangun

∆AOBdirotasikansebesara°,denganpusatO. PosisinyaakanmenjadiA'O'B'denganputaran berlawananjarumjam.

UntukmerotasikanAOBmenjadiA'O'B', dapat dilakukandengancarasebagai berikut. • PutarOAsejauha° denganpusatO. • PutarOBsejauha° denganpusatO. MakaOABmenjadiOA'B'

Diperoleh∠AOA'=∠BOB'=a° danAB=A'B'

Bagaimana atau di mana letak ∆A'OB' bila ∆AOB diputar dengan sudut putaran a° dan pusat O, sedangkan arah putaran searah denganputaranjarumjam?

• Putar OA sejauh a° dengan pusat O

sehinggamenempatiOA'.

• Putar OB sejauh a° dengan pusat O

sehinggamenjadiOB'. Jadi,ABmenjadiA'B'.

Dari rotasi yang dilakukan daerah OAB menjadiOA'B'makaAB=A'B'.

Contoh:

Rotasikan ∆ABC dengan sudut putar 60°, denganpusatdititikOdiluardaerah∆ABC

dan arah putaran berlawanan dengan putaranjarumjam.

Penyelesaian:

Dalam merotasikan ∆ABC, OA dirotasikan

60° dengan pusat O menjadi OA'. Sisi OB

dirotasikan 60° denganpusatOmenjadiOB'

dan demikian pula OC dirotasikan 60°

dengan pusatOC'.

Jadi,OA=OA',OB=OB',danOC=OC',besar ∠AOA'=∠BOB'=∠COC'= 60°,danAB=A'B',

AC=A'C'danBC=B'C'.

3. Dilatasi (Perkalian)

a. Dilatasi dengan Pusat O (0,0) Bayangan akibat dilatasi ditentukanolehtitikpusatdan faktor skala (faktor perkalian). Dilatasi denganpusatO (0, 0)dan faktorskala

k,dirumuskandengan [O,k].

Segitiga ABC didilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala k

menghasilkan A'B'C'. Diperoleh hubungan:

x' = k⋅x y' = k⋅y

Dalamhitunganmatriksdirumuskan:

@ @

@         =

@

$ @

@ @ @

           _{ }    _{  } _{ } _{ }

  = ⋅

Y

0

A

B

B' A'

C C'

X

Tugas

Mandiri

Salah satuaplikasi dilatasi adalahperancanganmobil. Dibidanginidilatasidisebut skala.Bukalahinternet.Coba carilah informasi serta gambar mengenaireplika mobil. Cari pula informasi gambarmobilyangtelahjadi.

Bandingkan data ukuran

replikadan mobil tersebut.

Tentukan di mana letak

(31)

b. Dilatasi dengan Pusat P(x_p, y_p)

JikatitikA (x,y)didilatasikandengantitikpusatP (x_p,y_p) dan faktor skala k menghasilkan titik A' (x', y') maka diperolehhubungan:

@ @ @ [ \ @ @ [ \ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @                     _ __ _ _ _       _ _         _ _ − − − = = ⋅ ₋ − − ⋅ − + = ⋅ − + Contoh:

Diketahui titik A (5, 9), tentukan hasil bayangannya karena dilatasi [O, 2] dan karena dilatasi [P, 3] dengan titikpusatP [2, 1]!

Penyelesaian:

Dilatasi [O,2] Dilatasi [P, 3]

@ < @ { < & { @                             _ _   _ _   = = ⋅ =

@ <

@ {

& <

@                                 − _{= ⋅} − − − ⋅ + = = ⋅ +

Jadi,titikbayanganhasildilatasiadalah: A'₍₁₀_,₁₈₎_dan_A'₍₁₁_,₂₅_).

Dilatasi Suatu Bangun Contoh:

Dilatasikan bangun ∆ABC dengan pusat O dengan faktor dilatasi }

Penyelesaian:

∆A'B'C' hasil dilatasi ∆ABC dengan (O,

) diperoleh hasil

sebagaiberikut.

OA'=

OA,OB'=

OB,danOC'=

OB,

A'B'=

AB,A'C'=

AC,danB'C'=

BC,

AB//A'B',AC//A'C',danBC//B'C', ∠A=∠A',∠B=∠B',dan∠C=∠C'. Jadi,∆A'B'C' ≈ ∆ABC.

C'

C

A' A

B B'

O Y C' C A A'

B B' y_p

x_p

0

P = (x_p,y_p)

(32)

L

atihan

3

Kerjakansoal-soalberikut!

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A (1, 1), B (3, 5), dan C (5, 2).

Tentukanlahbayangansegitigatersebutsetelahdigeseroleh T    _{ } }

2. DiketahuisegiempatABCdengantitik-titiksudutA (1,2),B (1, 5),C (3, 4), dan D (5, 1). Tentukanlah bayangan segi empat ABCD tersebut akibat pencerminanterhadap sumbuX!

3. DiketahuisegitigaABCdengantitik-titiksudutA (0, 1),B (3, 0),danC (5, 4). Tentukanlahbayangansegitigatersebutakibatpencerminanterhadaptitik asal!

4. TentukanlahbayangantitikA (6, 3)akibatdiputardenganaturan sebagai berikut!

a. 90° denganpusatO (0, 0) b. 180° denganpusatO (0, 0) c. 90° denganpusatP (1,2) d. –90° denganpusatP (1,2)

5. Denganmenggunakan matriks operator,tentukanbayangansegitigaPQR

dengantitiksudutP (2, 3),Q (–1, 5),danR (2,2)akibatpencerminan!

a. Terhadapsumbux. d. Terhadapgarisy=–x. b. Terhadapsumbuy. e. Terhadaptitik asal. c. Terhadapgaris y=x.

6. DiberikansegitigasamakakiABCdenganAB= 6 cmdanAC= 5 cm.TitikO

di tengah AC. Tentukan hasil dilatasi ∆ABC dengan pusat O dan faktor dilatasi2!

7. DiberikanpersegiABCDdengansisi 10 cm.TitikOperpotonganACdanBD.

TentukanhasildilatasipersegiABCDdenganpusatOdan faktordilatasi %}

8. SegitigaABCsiku-sikudiA,AB= 6 cmdanAC= 8 cm.TitikOditengahBC. Gambarkanhasildilatasi∆ABCdenganpusat Odan faktordilatasi 3! 9. Jajaran genjang ABCD dengan AB = 8 cm dan AD = 6 cm. Gambarkan

hasil dilatasi jajaran genjang tersebut apabila memunyai pusat A dan

faktordilatasi 2!

10. Layang-layangPQRSdengandiagonalPRdanQSberpotongandiOsehingga

OP=OR=2cm,OQ = 4 cm,danOS=2cm.Tentukanhasildilatasilayang

-layangPQRSdenganpusatOdan faktordilatasi2!

Rangkuman

1. Sudut

a. Sudut adalah bangun yang dibentuk oleh dua sinar garis yang bersekutupadatitikpangkal.

b. Menurutbesarnya sudutdibedakan sudutlancip besarnya kurang dari 90°,sudutsiku-sikubesarnyatepat 90° dansuduttumpulsudut yangbesarnyalebihdari 90°.

c. BilaadasudutAyangbesarnyatertentumakakitamemperoleh: 1) penyikusudutA = 90° –∠A

2) pelurussudutA = 180° –∠A

(33)

d. Satuansudut

1) Satuan sudut 1° (satu derajat) adalah satuan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur sepanjang keliling lingkaran. 1° = 60' (menit) : 1' = 60'' (detik).

2) Satuan sudut 1 radial 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaranyangmenghadapbusursepanjangjari-jarilingkaran. π radian = π rad = 180°. 1° = _&π rad; 1 rad = 57, 324° atau

1 rad= 57°19'26''.

3) Satuansudut 1 Gon= &

D

= 0,9°. e. Macam-macambangun

1) Segibanyakadalahkurvatertutupbersisin.

2) Segibanyakberaturanadalahsegibanyakyangsemuasisinya samapanjangdanbesarsetiapsudutdalamtidaksamabesar.

3) Segibanyaktakberaturanadalahsegibanyaksemuasisitidak samapanjangbegitupulabesarsudutdalamtidaksamabesar.

4) Macam-macamsegitiga

a) Segitigalancip sembarang. b) Segitigasiku-sikusembarang. c) Segitigatumpulsembarang. d) Segitigalancipsamakaki. e) Segitigasiku-sikusamakaki.

f) Segitigatumpulsamakaki. g) Segitigasamasisi.

f. Macam-macamsegiempat

1) Segiempatsembarang

2) Trapesium sembarang, trapesium siku-siku, dan trapesium samakaki.

3) Layang-layang

4) Jajargenjang,persegi,persegi panjang,belahketupat.

5) Luasdaerahbangunyangdimaksudadalahluasdaerahdidalam bangunantersebutdengan formulaataurumussebagaiberikut.

No. Nama Bangun Luas Daerah Keliling

1. Segitiga L = alas × tinggi K= S₁ + S₂ + S₃

2. Persegipanjang L =panjang × lebar K = 2(p + A)

3. Persegi L =sisi × sisi K= 4s

4. Jajargenjang L= alas × tinggi K= 2S₁ + 2S₂

5. Belah ketupat L = × diagonal × diagonal K= 2S₁ + 2S₂

6. Layang-layang L = × diagonal × diagonal K= 2S₁ + 2S₂

7. Trapesium L = × (AB + CD) × t K=2×(AB+CD)+t

8. Lingkaran L = πR2 K= 2πR

2. TransformasiBangun

Suatu bangundapat berubahtempatatau besarnyadengancara:

a. Pencerminan: bangundiceminkanterhadapgaristertentu.Besar banguntetap,letaknyasimetriterhadapcermin. b. Translasi : bangun digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Banguntetap,jarakmenurutjauh penggeseran. c. Dilatasi : bangundiperbesarataudiperkecildaripusattitik

dilatasi. Besar bangun berubah, ukuran sisi

-sisinyaberubahsesuai dengan faktor dilatasi. d. Rotasi : bangun berpindah tempat sesuai dengan pusat

(34)

14cm

E

valuasi

Kompetensi

A. Pilihlahjawabanyangtepat!

1. Sebuahjarumberputar 7,5 putaran/menit.Waktuyangdiperlukanoleh jarumtersebutuntukmenempuh waktuselama 90°30' _adalah._._._. a. 1,95 detik d. 2,11 detik

b. 2,00 detik e. 2,11 detik c. 2,01 detik

2.

Luasdaerahyangdiarsirpadagambardiatasadalah.... a. 21.336 cm2

b. 21.024 cm2 c. 18.828 cm2 d. 16.422cm2 e. 10.512cm2

3.

DiketahuitrapesiumABCDdenganukuransepertipadagambardiatas. JikaAE= 4 cmmakaluasdaerahtrapesiumABCDadalah....

a. 126 cm2 b. 252cm2 c. 108 cm2 d. 540 cm2 e. 552cm2

4. Pada gambar di samping O adalah pusat lingkarandanpanjangOP= 7 cm.Jika∠POQ=

135° dan π = _^ maka luas juring lingkaran

POQadalah....

a. d. <^_%

b. 44 cm2 e.

<

c.

5. Panjang maksimum tiap segitiga sama sisi yang dapat masukkedalamlingkarandengandiameter 28 cmadalah....

a. _^ d. %

b. _{[& ^ \}₋ e. _%

c. 21 cm

84 cm

144 cm

120 cm

216 cm

9 cm

15 cm

A B

C D

E F

O P

(35)

14 cm

2,4 cm

30 cm

5 cm

30 cm 9,8 cm

6. Luasdaerahyangdiarsirpadagambardisamping adalah....

a. 10,5 cm2 b. 16 cm2 c. 24,5 cm2 d. 28 cm2 e. 29,8 cm2

7.

Bagianataprumahmempunyaibentukdanukuransepertipadagambar diatas.Jika tiap 1 m2 atapmemerlukan 20 genting makabanyaknya gentingyangdiperlukan adalah...genting.

a. 5.800

b. 3.000

c. 2.700

d. 2.400

e. 1.350

8. Sebuah kuas rol yang memiliki ukuran seperti pada gambar di samping berputar sebanyak 15

kali.Luastembokyangtelahdicat adalah....

a. 138.600 cm2 b. 13.860 cm2 c. 4.620 cm2 d. 1.386 cm2 e. 462cm2

9. BayangansegitigaABCdengantitiksudutA (2, 3),B (8, 4),C (6, 5)jika didilatasi [0,2] adalah....

a. A'(4, 6),B'(8, 8),C'(12, 10) b. A'(4, 6),B'(8, 8),C'(6, 10) c. A'(4, 3),B'(16, 8),C'(12, 10) d. A'(4, 3),B'(12, 8),C'(12, 10) e. A'(4, 6),B'(16, 8),C'(12, 10)

10. Bayangan titik R (10, 14) setelah ditranslasi T     

kemudian

dicerminkanterhadapsumbuX adalah.... a. R'(12, 17)

(36)

50°

30°15'

3 m

B. Kerjakansoal-soalberikut!

1. Tentukanbesarnyasudutαpadagambardibawah!

2. Perhatikan gambar permukaan atap genting rumah kaca di bawah. Apabila kebutuhan genting kaca per m2 adalah 25 buah, tentukan banyaknyagentingyangdibutuhkan!

3. Tentukan bayangan segi empat PQR dengan P (–2, –1), Q(5, –2), dan

R (–2, 4)setelahdidilatasidenganpusatdi (2,–1)danskalak= 3! 4. Lingkaranyangberpusatdi (2, 3)danmenyinggunggaris 3x– 4y + 5 = 0

dicerminkanterhadapsumbu y.Tentukanpersamaanbayangannya!

5. Tentukanbayangany2= 16 –x2padaputaransejauh 90° denganpusat

P (1, 1)!

3 m

4 m

3 m 6 m

14 _m

α

16 m

a