RUANG DEMENSI TIGA. C Sumbu Afinitas

Matematika SMA

115

RUANG DEMENSI TIGA

1. IRISAN BANGUN RUANG

Yang dimaksud dengan irisan suatu bidang dengan bangun ruang adalah daerah yang dibatasi oleh garis potong-garis potong antara bidang tersebut dengan semua sisi bangun ruang yang terpotong oleh bidang tersebut.

Konsep irisan dilandasi dengan pengertian :

a. Dua garis dikatakan sejajar atau berpotongan jika dan hanya jika terletak pada satu bidang

b. Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dibuat suatu bidang

c. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut dapat dibuat suatu bidang

d. Suatu garis dapat ditarik datri dua titik jika dan hanya jika terletak pada satu bidang Menggambar irisan bidang dapat dilakukan dengan :

A. Bantuan sumbu afinitas

Sumbu afinitas adalah garis yang dibentuk oleh perpotongan antara bidang irisan dan bidang alas.

B. Perpotongan bidang diagonal

2. Garis Tegak lurus Bidang :

Garis l tegak lurus bidang V jika dab hanya jika garis l tegak lurus pada dua garis yang melalui titik potong garis l dengan bidabngV , maka l tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang V

Bab 16

Y T Z P S R Q A _B C D Sumbu Afinitas A B C T P S R Q D V P l P’

Matematika SMA 116 A B C D E F G H P

Proyeksi titik pada bidang

a. Proyeksi titik P pada bidang V diperoleh dengan menarik garis tegak lurus P ke V b. Proyeksi garis l pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat titik yang terletak

pada l ke V c.

3.Jarak

a. Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tsb b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak

lurus terhadap garis

c. Jarak suatu titik dg. suatu bidang adalah jarak tegak lurus dari titik itu ke bidang itu. d. Jarak antara dua garis yang bersilangan adalah panjang ruas garis yang terhadap

kedua garis tsb

e. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang terhadap garis dan bidang dimana salah satu garis pada bidang tersebut

f. Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurud terhadap dua bidang tersebut

Contoh :

Panjang rusuk ABCD.EFGH adalah 2a 2 . Jarak titik H ke bidang DEG adalah …

A. 2 3a B. 1 3a 6 C. 2 3a 6 D. 2 3a 2 E. a Cara biasa :

Jarak yg. dimaksud adalah HP

BD = diagonal sisi = 2a 2 . 2 4a Cara cerdik :

HB = diagonal ruang = 2a 2 . 3 2a 6 1 3 H P H B co s B P B D B D H P 1 2 .2 6 6 3 a 3a H D B F P 4 2 2 l l’ A A’ B B’

Matematika SMA 117 4 4 2 6 B P a a a 2 1 6 6 2 6 a B P a a HP = HB – BP 4 2 2 6 6 6 3 3 a a a

Jarak antara setiap rusuk yang bersilangan pada bidang empat beraturan dengan rusuk a adalah :

1 2 2

a

2. Sudut antara Garis dengan bidang

Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis itu pada bidang

Sudut antara garis AB dengan bidang U adalah sudut BAB’

= sudut antara garis AB dan bidang U

Contoh :

Kubus ABCD EFGH dengan rusuk a cm. Besar sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah …

Jawab :

Proyeksi AH pada bidang BDHF adalah HH’ Pada segitiga AHH’

2 1 2 1 2 2 ' sin a a AH AH

3. Sudut antara Dua garis yang bersilangan

A B H E G F D C I B A B’ U A _B C D E F G H

Matematika SMA

118

Sudut antara garis g dan garis l adalah sudut yang dibentuk oleh garis l dan g’ ( g’ sejajar g )

Contoh :

Kubus ABCD EFGH dengan rusuk a cm. Tentukan besar sudut antara garis HF dan garis BG.

Jawab :

adalah sudut antara garis HF dengan garis BG Pada AHF : 2 . 2 . 2 2 2 2 . 2 cos 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 HF AH AF AH HF = 1₂ 0 60

4. Sudut antara Dua Bidang

Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis , satu pada setiap bidang; dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis perpotongan kedua bidang itu,dan berpotongan pada satu titik di garis perpotongan kedua bidang itu.

ABCD berpotongan dengan ABFE dengan garis perpotongan AB maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang itu adalah sudut GHI

Contoh :

Diketahui T.ABCD bidang enpat beraturan dengan rusuk 2 cm. Tentukan Cosinus sudut antara budang TBC dan bidang ABC.

g g’ A _B C D E F G H

Matematika SMA

119

Bidang TBC dan bidang ABC berpotongan pada garis BC . TD BC dan AD BC. Sudut ADT adalah sudut antara bidang TBC dan bidang ABC. Pada segitiga ADT :

3 . 3 2 2 3 3 . . 2 cos 2 2 2 2 2 2 DT AD AT DT AD = ₃1 SOAL LATIHAN.

1. Kubus ABCD EFGH berusuk a cm. P,Q,R adalah titik-titik tengah dari AD,AB dan BF. Penampang PQR dengan kubus berupa :

a. bujur sangkar b. segitiga sama kaki c. segilima beraturan d. trapezium sama kaki e. segi enam beraturan

2. Dalam ruang diketahui bahwa garis g sejajar dengan bidang V dan garis h terletak pada V, maka ….

a. garis g sejajar h b. g tidak mungkin sejajar h c. g tidak mungkin h d. g tidak mungkin memotong h e. g mungkin berimpit h

3. Kubus ABCD EFGH . AB = a 2. Jarak H ke bidang DEG adalah …

a. 2 3 a b. 6 3 a c. 2 6 3 a d. 2 3 3 a e. a

4. Jika ABCD adalah empat persegi panjang , TAB sama kaki dengan alas AB. TAB tegak lurus pada ABCD . Jika AB = 12 , AD = 7 dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah …

a. 1 2 1 1 1

2 b.

6 1 5 c. 1 5 6 d. 17 e. 6 1 2

5. Diketahui balok ABCD.EFGH. adalah sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCD. Dan t adalah jarak D ke AC. Jarak D ke bidang ACH adalah ….

a. 1s in t b. 1 co s t c. 1 tg t d. t sin e. t tg

6. Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku sama kaki; sudut BAC = 900 . E proyeksi D pada bidang ABC tepat jatuh ditengah-tengah BC. Jika AB = AC = p ; DE = 2p. Maka AD sama dengan …

a. 3 2 p b. 3 2 2 p c. 3 3 2 p d. 2 6 3 p e. 2 1 1 3 p 7. Bidang V // bidang H jika ….

a. semua garis dibidang V // bidang H b. ada satu garis dibidang V // bidang H

c. ada satu garis dibidang V yang bidang H

d. ada satu garis dibidang V yang menyilang satu garis dibidang H e. ada satu garis dibidang V yang // dibidang H

8. Panjang rusuk tetrahedron T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, maka PQ sama dengan …

a. 8 2 b. 8 3 c. 8 6 d. 12 2 e. 12 3

9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P ditengah-tengah AE. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka jarak titik A kebidang BPD adalah …

B

E

A D

Matematika SMA 120 a. 1 6 8 a b. 1 6 6 a c. 1 6 3 a d. 1 6 2 a e. 2 6 3 a 10. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada

perpanjangan AB sehingga PB = 2a dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a. maka PQ = …

a. a 5 b. 2a 2 c. 4a d. 3a e. a 7

11. Apabila kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 3, maka jarak titik A ke geris HB adalah …. a. 1 6 3 b. 1 6 2 c. 3 6 4 d. 6 e. 2 2

12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika sudut antara CE dan bidang BDE. Maka cos = ….

a. 2 2 3 b. 2 2 5 c. 2 2 7 d. 2 3 3 e. 2 3 5 ’

13. Bidang empat T.ABC , TA =TB=5 ; TC = 2 CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika sudut antara TC dan bidang TAB. Maka nilai cos adalah …

a. b. 1 1 1 6 c. 1 3 1 6 d. 1 5 1 6 e. 1 6 1 7

14. D.ABCD adalah limas sisi tiga dengan alas berupa segitiga siku-siku di B dan CD bidang ABC. Besar sudut ABD adalah ….

a. 30o

b. 45o

c. 60o

d. 90o

e. salah semua

15. Pada bangun D.ABC, diketahui bahwa segitiga ABC sama sisi, DC bidang ABC, panajang DC = 1 dan sudut DBC = 30o

. Bila sudut antara bidang DAB dengan CBA maka tg = …. a. 3 b. 3 3 c. 2 3 3 d. 2 3 e. 3 2

16. Titik P,Q,R masing-masing terletak pada rusuk-rusuk BC,FG dan EH sebuah kubus ABCD.EFGH. Jika 3BP = Bc , 3FQ = 2FG dan 3ER=2EH maka perbandingan luas irisan bidang melalui P,Q dan R dan luas permukaan kubus adalah …

a. 1 : 6 b. 8:6 c. 10 : 6 d. 8 : 18 e. 10 : 18

17. Titik P terletak pada perpanjangan DA dari sebuah kubus ABCD.EFGH. Jika AP=2DA dan AD=2 cm, maka luas irisan bidang melalui P,G,dan H dengan kubus adalah … a. 4 0 9 cm 2 b. 1 0 9 cm 2 c. 1 0 1 0 9 cm 2 d. 4 1 0 3 cm 2 e. 4 10 cm 2

18. Pada gambar terlihat limas T.ABCD. Dari limas ini diketahui bahwa PA=PT . QB=8 3 QT dan RT = 2 RC, maka Volume T.PQR : Vol. TABC = …

a. 3 : 7 b. 1 : 11 c. 1 : 4 d. 3 : 8 e. 5 : 14 B C A P Q R T

Matematika SMA

121

19. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi panjang pada bidang vertical. Panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm dan Ce = 7 cm. Jika dan berturut-turut sudut antara BE dan bidang ABCD serta ADEF, maka tg . tg = … a. 3 3 5 b. 4 3 5 c. 5 3 5 d. 4 2 1 e. 5 2 1

20. Jika ABCD adalah empat persegi panjang , TAB sama kaki dengan alas AB. TAB tegak lurus pada ABCD . Jika AB = 12 , AD = 7 dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah …

A. 1 2 1 1 1

2 B.

6 1 5 C. 1 5 6 D. 17 E. 6 1 2

1.) Pada kubus PQRS.TUVW denagn panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan bola

dalam dinyatakan B2. Perbandingan volum bola B1 dan B2 adalah …..

Pembahasan:

PA= jari-jari bola luar r1 r1=₂1

a 3

AD= jari-jari bola dalam = 2 r2 = ₂1 a V B1 : V B2 3 4 _πr13 = ₃4 _πr23 r13 = πr23 (₂1 a 3)3 : (₂1 a)3 8 1 a3. 3 3 : ₈1 a3 3 3 : 1 Jawaban :A 2.) Dari kubus ABCD.EFGH diketahui:

I. CE tegak lurus AH

II. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH III. FC dan BG bersilangan

IV. Bidang AFH dan EBG berpotongan Pernyataan yang benar adalah….

Pembahasan:

I. CE tidak tegak lurus AH

II. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH III. FC dan BG bersilangan

IV. Bidang AFH dan EBG tidak berpotongan

Jawaban : C 3.) Diketahui kubus ABCD-EFGH titik P. Q, dan R masing-masing terletak pada pertengahan rusuk BC dan

Matematika SMA

122

Pembahasan :

Melukis garis melalui titik-titik pada kubus ABCD.EFGH

1. Hubungkan titik Pdan Q dengan sebuah garis sehingga memotong perpanjangan FE di T dan perpanjangan FB di U

2. Hubungkan titik U dan R dengan garis sehingga memotong BC di W dan memotong perpanjangan FG di V

3. Hubungkan titik U dan T dengan garis sehingga memotong GH di X dan memotong EH di Y 4. Hubungkan :

- titik Q dengan W - titik R dengan X - titik P dengan Y

Bidang PQWRXY merupakan segienam beraturan

Jawaban : tidak ada 4.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ….cm.

Pembahasan : BT = 12 (₂1 2)2 = ₄2 1 = ₂3 PF sin α = 1 sin α =_PF1 = 4 3 1 = 3 2 = ₃1 ₆ Jawaban :E 6.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke diagonal ruang AG

adalah….cm.

Pembahasan :

AO= x berarti OG= AG-GO= 6 2 -x Δ BOG siku-siku di O sehingga berlaku BO2

= AB2 - AO2 BO2= 62- x2 BO2= 36 - x2 Δ AOG BO2= AG2+ AO2 BO2= (6 2 )2 - (6 2 -x) 2 BO2= 72 – 72 + 12 2 x - x 2 BO2= 12 2 x - x 2 36 - x2= 12 2 x - x 2 36 = 12 2 x x = 3 2 BO2= 72- x 2 BO2= 72-(3 2 )2 BO2= 72 – 18 BO = 3 6 Jawaban : A 11.) Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 3cm. Jarak bidang ACH dab EGB adalah…cm.

Matematika SMA

123

PB//HQ dan HP//QB, oleh karena itu BQHP adalah jajarganjang dengan alas HQ dan tinggi RP. RP merupakan jarak bidang ACH dan EGB.

RP = _panjangHQ

LuasBQHP

DB adalah diagonal sisi kubus, sehingga DB=( 6 3) 2 = 6 6 DQ= ₂1 DB= ₂1 6 6 =3 6 Luas ΔHDQ= 1₂ x DQ x DH= ₂1 x 3 6 x 6 3=27 2 cm2 Luas ΔBFP= Luas ΔHDQ

Luas BQHP = luas BDHF.2. Luas ΔHDQ =(6 3 x 6 6 ) – 2(27 2 ) =108 2 - 54 2 =54 2 cm HQ2= ( 6 3)2 + (3 6 )2 = 162 HQ = 9 2 RP = 54_{9 2}2 =6 Jawaban :D 13.) Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC

dab bidang ABD adalah…

Pembahasan :

CD2= CE +DE – 2. CE. DE cos < CED

82 = (4 3)2 +(4 3 2).2(4 3)(4 3)cos <CED 64 = 48 + 48 -96 cos <CED 64 =96 – 96 cos <CED cos <CED = 3 1 96 32 Jawaban : A 14.) Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada

pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α, nilai tan α=…

Pembahasan : RS= 42 ( 2)2 = 18 = 3 2 DR= 42 (2 2)2 = 24 = 2 6 SD’ = (3 2) (₂3_.32)₂ (2 6) 2 2 2 = 2 2 6 12 2 6 24 18 18 DD’= (3 2) ( 2) 18 2 4 2 2 BD’= ( ') (4 2) 42 32 16 2 2 2 DD BD 4 tan α = ₄4 1 ' ' BD DD

Matematika SMA

124

Jawaban ; tidak ada 16.) Pada kubus ABCD.EFGH , α adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Nilai cos α =…

Pembahasan : HT2 = ET2 +EH2 HT2 = 2 2 2 1_{a 2 a} HT2 = ₂1 a2 a 2 HT2 = ₂3_a2 HT = a 2 3

cos < ETH =cos α = FT BT cos α = 2 3 2 1 2 a a cos α = 3 3 1 Jawaban : B 18.) Pada kubus ABCD.EFGH , α adalah sudut antara bidang ACGE dan ACF. Nilai sin α = …..

Pembahasan : PF = ₂3 4 2 2 2 1 2 1 ) 2 ( 1 PF sin α =1 sin α = 3

6

1 3 2 1 1 2 3 PF Jawaban : E 19.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, Jika α adalah sudut antara bidang BEG dan BF. Nilai

sin α = … Pembahasan : BO2 =(4 2)2 (2 2)2 BO = 24 =2 6 BF2= (2 62) (2 2)2 BF = 16 = 4 sin α = ₃1 3 6 2 6 2 2 2 Jawaban : C

5.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. M adalah titik tengah rusuk BC. Jarak titik M

ke EG adalah…. cm. Pembahasan : MG= MC 2 CG 2 MG= 42 82 MG= 80 TM= TG2 MG 2

Matematika SMA

125 TM= (4 2)2 ( 80)2

TM= 32 80 TM= 4 7

Jawaban :tidak ada 7.) Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong

diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH adalah…

Pembahasan : TH = DH 2 DF 2 TH = (8)2 (3 2)2 TH = 82 sin T = _THDH sin T = 2 8 8 sin T = 2 3 DX 2 8 8 = 2 3 DX DX = 41 41 2 . 41 2 24 x DX = 24₄₁ 41 Jawaban : B 8.) Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak 12 2 cm. Jarak A ke TC adalah…cm. Pembahasan : TS = AC2 AS2 TS = 2 2 ) 2 6 ( ) 2 12 ( TS = 216 TS = 6 6 sin C = _TCTS sin C = 2 12 6 6 sin C = ₂1 3 sin C = AC AS 3 2 1 = 2 12 AS AS = 6 6 Jawaban : C 9.) Diketahui bidang empat T. ABC dengan AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jika panjang

AB=AC=AT=5cm, maka jarak titik A kebidang TBC adalah…cm.

Pembahasan : AK= AB2 BK 2 AK= 2 2 5 2 ) 2 ( ) 5 ( AK= 25₂ 25

Matematika SMA 126 AK= 25₂ AK= ₂5 2 TK= AB2 AK 2 TK= 2 2 5 2 ) 2 ( ) 5 ( TK= 37.5 5₂ 6 ZK= . 6 ₄5 6 2 5 2 1 AZ= TK 2 ZK 2 AZ= 2 5₄ 2 2 5 _{2) ( 6)} ( AZ= 150₁₆ 16 200 AZ= ₁₆50 AZ=₄5 2

Jawaban : tidak ada 10.) Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 3. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah…

Pembahasan : EG = (6)2 (6)2 EG = 72 EG = 6 2 jadi jarak DH, AS : = ₂1 x 6 2 = 3 2 Jawaban : C 12.) Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDHF

adalah…

Pembahasan :

panjang GP = ₂1

GE, dengan GE diagonal sisi = a 2 Jadi GP = ₂1 a 2 sin α = _GBGP sin α = 2 2 2 ` 1 a a sin α = ₂1 α = 300 Jawaban : D 15.) Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan tinggi 3 cm dan panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara TAD dan alas adalah…

Pembahasan : tan Z = _.6 3 2 1 tan Z =₃1 ₃ Z = 300

Matematika SMA

127

Jawaban : A 17.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, maka tangen sudut (CG, AFH ) =…

Pembahasan : AC = AB2 CB 2 AG = (6)2 62 AG = 72 6 2 AT = ₂1 AG AT =₂1 x 6 2 = 3 2 tan α = AT₆ tan α = 3₆2 α = 1₂ 2 Jawaban : D 20.) Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm . Nilai sinus

sudut antara bidangTAB dan bidang ABC adalah…

Pembahasan : TZ = TB2 ZB2 TZ = (9)2 (3)2 TZ = 72 TZ = 6 2 CZ = BC2 BZ 2 CZ = (6)2 (3)2 CZ = 27 CZ = 3 3 TX = TZ 2 XZ 2 TX = 2 ₂3 2 ) 3 ( ) 2 6 ( TX = 261₄ TX = ₂1 261

sin TAB, ABC = ₂₄1 522 2 6 261 2 1 TZ TX

Jawaban : tidak ada 21.) Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk alas 2

2 cm. Sudut antara bidang TBC adalah x, maka cos x =

Pembahasan : TZ = TC2 ZC 2 TZ = ( 11)2 ( 2)2 TZ = 9 TZ = 3 TX = TZ 2 XZ 2

Matematika SMA 128 TX = (3)2 ( 2)2 TX = 7 cos 2 1 x = TX_TZ = 3 7 → cos x = 3 2 7

Jawaban : tidak ada 22.) Diketahui limas beraturan PQRST. Besar sudut antara PT dan alas QRST adalah..

Pembahasan :

QS = a2 a2 QS = a 2 Karena QS = a 2 maka, ΔPQS = Δ sama sisi maka <Q =600

Jawaban : B 23.) Gambar dibawah ini adalah bidang empat T.ABC yang mempunyai alas segitiga sama sisi. Jika α adalah

sudut antara bidang TBC dan ABC, maka tan α =..

Pembahasan : AX = AB2 XB2 AX = (4)2 (2)2 AX = 12 AX = 2 3 tan α = AX AT tan x = 3 2 3 2 tan x = 1 Jawaban : C 24.) Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong

diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH adalah…

Pembahasan : TH = DH 2 DF 2 TH = (8)2 (3 2)2 TH = 82 sin T = TH DH sin T = 2 8 8 sin T = 2 3 DX 2 8 8 = 2 3 DX DX = 41 41 2 . 41 2 24 x DX = 24₄₁ 41 Jawaban : D