FUNGSI MONOTON ALJABAR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar
Oleh
NIA YULIANTI
0900477
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
BANDUNG
2013
Fungsi Monoton Aljabar
Oleh
Nia Yulianti
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Nia Yulianti 2013
Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
NIA YULIANTI
FUNGSI MONOTON ALJABAR
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :
Pembimbing I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001
Pembimbing II
Dr. Sumanang Muhtar Gozali, M.Si. NIP. 197411242005011001
Diketahui oleh
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,
ABSTRAK
Suatu aljabar adalah aljabar Banach yang memenuhi ‖ ‖
‖ ‖ . Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton matriks berorder jika
(1) untuk setiap pasangan dari matriks self-adjoint berukuran dengan nilai eigen pada . Jika (1) berlaku untuk sebarang unsur self-adjoint pada
dengan spektrum pada , maka kita katakan bahwa adalah monoton- . suatu fungsi monoton belum tentu merupakan monoton matriks dan suatu fungsi monoton matriks juga belum tentu merupakan monoton .
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Misalkan adalah fungsi real yang didefinisikan pada sebuah interval .
Untuk matriks diagonal dengan entri berada pada ,
definisikan ( ). Jika adalah sebuah matriks
Hermitian dimana nilai eigen berada pada , pilih matriks uniter sedemikian
sehingga , dimana adalah matriks diagonal, kemudian definisikan
(Bhatia, 1997: 112).
Aljabar adalah suatu aljabar Banach* yang memenuhi ‖ ‖
‖ ‖ . Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval
dikatakan fungsi monoton matriks berorder jika
(1)
untuk setiap pasangan dari matriks self-adjoint berukuran dengan nilai
eigen pada . Jika (1) berlaku untuk sebarang unsur self-adjoint pada
dengan spektrum pada , maka kita katakan bahwa adalah monoton- .
Konsep ini berbeda dengan fungsi monoton pada bilangan real. Dengan
demikian tentu saja terdapat perbedaan besar antara fungsi monoton numerik yang
kontinu dengan fungsi monoton matriks yang kontinu. Suatu fungsi yang monoton
pada real belum tentu merupakan fungsi monoton matriks. Fungsi monoton pada
2
Contohnya, walaupun dan adalah fungsi monoton pada
interval [ , akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks.
Berdasarkan uraian di atas, penulis termotivasi untuk mengkaji lebih jauh
konsep fungsi monoton matriks. Lebih dari itu, didalam makalah ini juga akan
dibahas fungsi monoton aljabar .
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah yang akan dibahas pada
makalah ini adalah:
1. Bagaimanakah sifat dari fungsi monoton matriks?
2. Bagaimanakah sifat dari fungsi monoton operator?
3. Bagaimanakah contoh fungsi yang monoton numerik tapi tidak monoton
matriks?
4. Bagaimanakah sifat fungsi monoton aljabar ?
5. Bagaimanakah contoh fungsi monoton aljabar ?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penelitian ini
untuk:
1. Mengetahui sifat dari fungsi monoton matriks.
2. Mengetahui sifat dari fungsi monoton operator.
3. Memberikan contoh fungsi yang monoton numerik tapi tidak monoton
3
4. Mengetahui sifat fungsi monoton aljabar .
5. Memberikan contoh fungsi monoton aljabar .
1.4 Manfaat yang Diharapkan
Dengan adanya makalah ini diharapkan dapat diperoleh gambaran sifat-sifat
fungsi monoton alajabar . Selanjutnya dapat diketahui keterkaitan fungsi
monoton matriks, fungsi monoton operator dan fungsi monoton aljabar
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana yang telah diuraikan di
atas, BAB 1 adalah pendahuluan yang berisi Latar Belakang, Rumusan Masalah,
Tujuan Penelitian, dan Sistematika Penulisan.
Berikutnya, BAB 2 menjelaskan teori aljabar yang menjadi landasan
utama masalah yang diteliti. Di dalamnya dibahas ruang vektor, ruang hasilkali
dalam, ruang bernorm, barisan Cauchy, ruang lengkap, ruang Banach, ruang
Hilbert, aljabar Banach, aljabar Banach , dan dibagian akhir dibahas spektrum
dan kalkulus fungsional.
BAB 3 merupakan kajian pembuka dari masalah pada skripsi ini, yaitu
mengenai fungsi monoton matriks. Di dalamnya dibahas fungsi monoton, fungsi
monoton matriks, dan fungsi monoton operator berikut dengan contohnya. Selain
itu dibahas pula matriks Hermitian dan matriks uniter, nilai eigen dan vektor
4
Selanjutnya, BAB 4 merupakan inti dari skripsi ini. Diawali dengan definisi
fungsi monoton aljabar , kemudian dilanjutkan dengan pembahasan beberapa
teorema terkait fungsi monoton aljabar dan terakhir diberikan contoh fungsi
monoton aljabar .
Di bagian akhir, yaitu BAB 5 memuat penutup dari skripsi ini. Di dalamnya
diuraikan kesimpulan dari skripsi ini. Kemudian di tutup dengan rekomendasi
BAB 3
FUNGSI MONOTON MATRIKS
Pada bab ini akan dibahas fungsi monoton matriks. Dalam mengkontruksi fungsi
monoton matriks banyak istilah yang harus kita ketahui sebelumnya. Beberapa
konsep yang akan dibahas yaitu matriks Hermitian atau matriks self-adjoint, nilai
eigen dan vektor eigen. Selanjutnya dikenalkan fungsi monoton dan fungsi
monoton operator.
3.1 Matriks Hermitian dan Matriks Uniter
Berikut akan dijelaskan matriks Hermitian dan matriks uniter yang menjadi
syarat dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks.
Definisi 3.1.1: Matriks Hermitian (Anton & Rorres, 2005: 823)
Misalkan matriks kompleks berukuran , definisikan ̅ . Matriks
disebut matriks Hermitian jika . Matriks Hermitian disebut juga sebagai
self-adjoint.
Berikut adalah beberapa contoh matriks yang merupakan matriks Hermitian:
Contoh 3.1.2:
Diberikan matriks berikut
[
34
Perhatikan konjuget dari matriks adalah
̅ [
Perhatikan konjuget dari matriks adalah
̅ [
semidefinit positif dan definit positif. Sebelumnya akan didefinisikan hasilkali
35
Definisi 3.1.4: ( Bhatia, 1997: 2)
Misalkan . Bentuk umum hasilkali dalam pada didefinisikan
,
dimana adalah adjoint dari yaitu ̅
Definisi 3.1.5: (Bhatia, 1997: 4)
Misalkan sebuah matriks Hermitian. Jika untuk setiap ,
maka dikatakan semidefinit positif ( ). dikatakan definit positif jika
untuk setiap .
Berikut contoh matriks semidefinif positif.
Contoh 3.1.6:
Akan ditunjukkan matriks Hermitian dan berikut merupakan semidefinit
positif:
.
Ambil sebarang dengan .
Perhatikan :
[ ]
36
Selanjutnya akan dibahas matriks uniter beserta contohnya.
Definisi 3.1.7: Matriks Uniter (Anton & Rorres, 2005: 821)
Sebuah matriks persegi dengan entri bilangan kompleks disebut uniter jika
.
Berikut diberikan contoh matriks yang merupakan matriks uniter :
Contoh 3.1.8:
Diberikan matriks persegi sebagai berikut:
[
]
Akan ditunjukkan bahwa matriks merupakan matriks uniter.
Sebelumnya akan dicari invers dari matriks .
( )[
37
Selanjutnya tentukan transpos konjuget dari matriks .
Perhatikan ̅ [
3.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah sebuah matriks . Sebuah vektor yang taknol pada
disebut vektor eigen dari jika adalah sebuah kelipatan skalar dari ; yaitu
untuk suatu . Selanjutnya skalar disebut nilai eigen dari , dan disebut
sebagai vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Perhatikan bahwa
ekuivalen dengan
38
Kemudian disebut persamaan karakteristik matriks . Lebih
lanjut adalah sebuah polinomial dalam yang disebut polinomial
karakteristik.
Contoh 3.2.1:
Akan ditentukan nilai-nilai eigen dari matriks berikut :
Polinomial karakteristik adalah
det det
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Dengan demikian,
nilai-nilai eigen dari matriks adalah dan .
Contoh 3.2.2:
Perhatikan matriks berikut:
[ ]
Sekarang kita akan menentukan nilai-nilai eigen dari matriks .
Polinomial karakteristik adalah
det det[
] .
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Dengan demikian
39
Contoh 3.2.3:
Akan dicari nilai-nilai eigen dari matriks
[
]
Polinomial karakteristik adalah
det det[
]
Nilai-nilai eigen dari oleh karenanya harus memenuhi persamaan kubik
Dengan menyelesaikan persamaan dengan rumus kuadratik, kita dapatkan
nilai-nilai eigen dari adalah
√ dan √ .
Contoh 3.2.4:
Sekarang kita akan menentukan nilai-nilai eigen dari matriks segitiga atas berikut:
[
Karena determinan sebuah matriks segitiga adalah hasilkali entri-entrinya yang
40
yang tidak lain merupakan entri-entri diagonal dari matriks .
3.3 Fungsi Monoton (Bartle & Sherbert, 2000: 149)
Misalkan , sebuah fungsi real dikatakan naik pada jika
Jika sebuah fungsi naik (atau turun) pada , maka dikatakan monoton pada
. fungsi dikatakan monoton kuat pada jika naik kuat (atau turun kuat) pada
.
Berikut merupakan beberapa contoh fungsi yang merupakan fungsi
monoton:
1. Fungsi adalah fungsi monoton naik dan .
2. Fungsi pada interval [ adalah fungsi monoton
naik.
41
3.4 Fungsi Monoton Matriks
Berikut akan dibahas fungsi monoton matriks dan contohnya. Sebelumnya
akan diberikan beberapa definisi terkait dengan matriks normal dan eksistensi
matriks uniter pada sebuah matriks Hermitian.
Definisi 3.4.1 (Nering, 1970):
Matriks disebut normal jika .
Beberapa contoh matriks normal antara lain matriks diagonal, matriks uniter, dan
matriks Hermitian.
Teorema 3.4.2 (Nering, 1970):
Sebarang matriks dapat didiagonalkan secara uniter jika dan hanya jika
matriks normal.
Setiap matriks Hermitian adalah matriks normal. Sehingga sebarang matriks
Hermitian dapat didiagonalkan secara uniter. Dengan kata lain jika matriks
Hermitian maka pasti terdapat matriks uniter sedemikian sehingga .
Misalkan adalah fungsi real yang didefinisikan pada sebuah interval .
Untuk matriks diagonal di mana entri berada pada ,
definisikan ( ). Jika adalah sebuah matriks
42
sedemikian sehingga , di mana adalah matriks diagonal, kemudian
definisikan .
Dengan demikian kita dapat mendefinisikan untuk setiap matriks
Hermitian (sebarang order) dimana nilai eigen berada pada .
Definisi 3.4.3: Fungsi Monoton Matriks (Hansen, Ji, & Tomiyama, 2002)
Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan
fungsi monoton matriks berorder jika untuk setiap pasangan dari matriks
self-adjoint berukuran dengan nilai eigen pada dan , maka
.
Berikut adalah beberapa contoh fungsi monoton yang merupakan fungsi
monoton matriks dan yang bukan termasuk fungsi monoton matriks.
1. Akan ditunjukkan fungsi adalah fungsi monoton matriks (pada
setiap interval) dan .
Ambil sebarang matriks Hermitian dengan , artinya .
Jika Maka dan ,
Selanjutnya akan ditunjukkan .
Perhatikan:
45
√
√
√
Jadi, [ .
Sekarang akan ditunjukkan
,
.
Akan ditunjukkan
Ambil sebarang dengan .
,
[ ]
.
Karena , maka semidefinit positif.
Selanjutnya akan ditentukan nilai dari .
,
46
Diperoleh,
,
Akan ditunjukkan
Pilih , sedemikian sehingga
( ) ( ) ,
[ ]
[ ]
Terbukti bahwa
Jadi, pada [ bukan fungsi monoton matriks.
Dapat kita ketahui bahwa walaupun suatu fungsi merupakan fungsi monoton, akan
tetapi belum tentu merupakan fungsi monoton matriks. Sebagai contoh, fungsi
pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan merupakan
47
3.5 Fungsi Monoton Operator
Definisi 3.5.1: Fungsi Monoton Operator (Sergei dan Tomiyama: 2003)
Suatu fungsi kontinu didefinisikan pada interval dikatakan fungsi
monoton operator jika dan hanya jika fungsi tersebut monoton matriks berorder
untuk setiap bilangan positif , dengan kata lain
⋂ .
Dari definisi di atas diketahui keterkaitan antara fungsi monoton matriks dan
fungsi monoton operator. Jika suatu fungsi merupakan monoton operator maka
juga merupakan monoton matriks. Akan tetapi, jika suatu fungsi merupakan
monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.
Adapun beberapa contoh fungsi yang merupakan monoton operator adalah
(pada setiap interval) , dan pada
BAB 5
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Konsep fungsi monoton pada bilangan real berbeda dengan konsep fungsi
monoton matriks. Suatu fungsi monoton pada bilangan real belum tentu
merupakan fungsi monoton matriks, demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh,
fungsi pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan
merupakan fungsi monoton matriks. Adapun keterkaitan antara fungsi monoton
matriks dan fungsi monoton operator yaitu jika suatu fungsi merupakan monoton
operator maka juga merupakan monoton matriks. Sebaliknya, jika suatu fungsi
merupakan monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.
Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval
dikatakan monoton jika untuk sebarang pasangan dari unsur self-adjoint
pada suatu aljabar dengan spektrum pada dan , maka .
Adapun contoh fungsi yang merupakan monoton yaitu fungsi
dan . Jika dikaitkan dengan fungsi monoton matriks, fungsi
monoton matriks belum tentu merupakan fungsi monoton .
5.2 Rekomendasi
Dalam makalah ini penulis membahas beberapa fungsi yang merupakan
56
aljabar , misalnya fungsi pada interval [ untuk .
Selanjutnya juga bisa membuktikan fungsi merupakan monoton aljabar
berdasarkan dimensi dari representasi tak tereduksi dari aljabar dengan
memakai Teorema yang dikemukakan oleh Hansen, Ji, dan Tomiyama mengenai
hubungan antara fungsi monoton , dimensi dari representasi tak tereduksi dari
REFERENSI
Bartle, R.G. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
D. Silvestrov, S. & Tomiyama, J. (2003). Matrix Monotone Functions on
-Algebras. Dalam Information Center for Mathematical Sciences [Online].
Tersedia: http://m.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/981982.pdf .
Hansen, F., Ji, G., & Tomiyama, J. (2002). Gaps between classes of matrix
monotone functions. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0204204v1.pdf.
Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and Operator Theory. Sand Diego: Academic
Press, Inc.
Nering. (1970). Linear Algebra and Matriks Theory Second Edition. New York:
John Wiley and Sons, Inc.
Osaka, H., D. Silvestrov, S., & Tomiyama, J. (2008). Monotone Operator
functions on algebra. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0311072v1.pdf.
Rajendra, B. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.
Universitas Pendidikan Indonesia. (2011). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.
58
Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator.
