ALGORITMA INTERAKTIF UNTUK MEMECAHKAN MASALAH NONLINEAR INTEGER GOAL
PROGRAMMING
DISERTASI
Oleh
JONI WILSON SITEPU 158110005/Ilmu Matematika
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2020
Universitas Sumatera Utara
PROGRAMMING
DISERTASI
Diajukan Sebagai Syarat untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika dibawah pimpinan Rektor
Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Runtung, SH., M.Hum, dipertahankan pada tanggal 1, bulan Oktober, Tahun 2020, di Medan,
Sumatera Utara
Oleh
JONI WILSON SITEPU 158110005/Ilmu Matematika
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2020
Judul Disertasi ALGORITMA INTERAKTIF UNTUK MEMECAHKAN MASALAH NONLINEAR INTEGER GOAL PROGRAMMING
N~nUi Mallasiswa Jonl Wilson Sltepu Nomor Pokok 158110005
Program Studi Doktor Ilmu Matematika
(Prof. Dr.
PrOlllot.or
P rof. Dr. Muha.J::J'lUlad Zarlis) (Prof. Dr. Saih Su~i1o. M .S c) - ----co:Pron'lo or
~Prornutor
t;a S bay ang. M .;?) M.Sc )
r anggal hilus 1 Oktober 2020
Universitas Sumatera Utara
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Pimpinan Sidang : Prof. Dr. Runtung, SH., M.Hum Rektor USU
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang USU Medan Anggota : Prof. Dr. Muhammad Zarlis USU Medan Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc USU Medan Anggota : Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil Gelisim
University, Turkey Dr. Sawaluddin, M.IT USU Medan
PERNYATAAN ORISINALITAS
ALGORITMA INTERAKTIF UNTUK MEMECAHKAN MASALAH NONLINEAR INTEGER GOAL PROGRAMMING
DISERTASI
Saya mengakui bahwa disertasi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali be- berapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Penulis,
Joni Wilson Sitepu
Universitas Sumatera Utara
Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Joni Wilson Sitepu
NIM : 158110005
Program Studi : Ilmu Matematika Jenis Karya Ilmiah : Disertasi
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas disertasi saya yang berjudul:
Algoritma Interaktif untuk Memecahkan Masalah Nonlinear Integer Goal Pro- gramming.
Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti Non Eksklusif ini, Uni- versitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat menge- lola dalam bentuk data-base, merawat dan mempublikasikan Disertasi saya tanpa meminta izin dari saya selama mencantumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.
Medan, Penulis,
Joni Wilson Sitepu
ALGORITMA INTERAKTIF UNTUK MEMECAHKAN MASALAH NONLINEAR INTEGER GOAL PROGRAMMING
ABSTRAK
Pada Disertasi ini penulis menyajikan masalah nonlinear integer goal programming dengan menggunakan algoritma interaktif, tujuan penelitian ini secara rinci dapat mengembangkan algoritma dan memecahkan masalah nonlinear integer goal pro- gramming, menghasilkan solusi masalah nonlinear integer goal programming dan menghasilkan solusi masalah Algoritma interaktif nonlinear integer goal program- ming pengambil keputusan. Solusi optimal dari masalah ini didapat dari penye- lesaian masalah dengan mengubah masalah asli menjadi masalah Mixed Integer Programming dengan menggunakan Metode Proses Analisis Hirarkis (Analytical Hierarchy Process-AHP) dan Algoritma Interaktif dalam penyelesaian problem pengambilan keputusan multikriteria.
Kata kunci : Algoritma interaktif, AHP, Goal programming integer, Nonlinear
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
In this dissertation the writer presents the nonlinear integer goal programming problem using interactive algorithms, the purpose of this study in detail can de- velop algorithms and solve nonlinear integer goal programming problems, produce nonlinear integer goal programming problem solutions and produce problem so- lutions Nonlinear integer goal programming interactive algorithms. The optimal solution of this problem is obtained from solving the problem by changing the ori- ginal problem into a Mixed Integer Programming problem using the Hierarchical Process Analysis Method (AHP) and Interactive Algorithm in solving multicriteria decision making problems.
Keyword : Interactive algorithm, AHP, Integer goal programming, Nonlinear
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Tuhan Yang Maha Esa dan syukur atas segala curahan rahmat, taufik dan hidayahNya sehingga Penulis dapat menyelesaikan disertasi ini dengan judul Algoritma Interaktif Untuk Memecahkan Masalah Nonlinear Integer Goal Programming yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Dok- tor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Dalam Penyusunan disertai ini, Penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati disampaikan ucapanterimakasih kepada:
Bapak Prof. Dr. Runtung, SH.,M.Hum Selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang Telah memberikan motivasi dan Informasi dalam penyelesaian disertasi ini.
Bapak Prof. Dr. Krista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ke- sempatan pada penulis untuk menjadi mahasiswa Program Studi Doktor Ilmu matematika angkatan 2015.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo M.Sc, selaku ketua Program Studi S3 Ilmu Matema- tika dan sebagai Co-Promotor yang selalu membantu Penulis dalam Penyelesaian disertasi ini.
iii
Universitas Sumatera Utara
dan kesabaran beliau dalam memberikan bimbingan kepada Penulis sehingga di- sertasi ini dapat diselesaikan.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis sebagai Co-Promotor yang dengan ketulusan serta kesabaran dalam memberikan bimbingan kepada Penulis sehingga disertasi ini dapat diselesaikan.
Bapak Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT, selaku komisi penguji yang telah banyak memberikan masukan, arahan dan meng- evaluasi disertasi.
Seluruh staf Pengajar Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Ma- tematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Unviersitas Sumatera Utara. Selu- ruh teman-teman Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara.
Ibu Dr. Corry, M.Si selaku Rektor Universitas Simalungun Pematangsiantar yang juga banyak memberikan dukungan terhadap Penulis dalam menyelesaikan studi Program Doktor Ilmu Matematika di Fakulltas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara.
Ibu Misiani S.Si., Staf Administrasi Departemen Matematika serta Staf Ad- ministrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara. Universitas Simalungun Pematangsiantar.
Universitas Sumatera Utara
Terkhususnya Penulis mempersembahkan dengan tulus dan terimakasih yang sebesar-besarnya dan saling yang mendalam atas keberhasilan program doktor ini kepada istri tercinta, Ani Maria Br. Purba, S.Pd dan anak-anak tercinta, Haryono, Hartono, Widya, Jessie Sitopu yang telah banyak berkorban, selalu memberikan kasih sayang dan support dalam penyelesaian studi Penulis. Terimahkasih juga kepada segenap keluarga yang sanantiasa memberikan dukungan dan Doa kepada Penulis dalam penyelesaian studi ini.
Akhir kata, semoga ilmu yang Penulis peroleh selama perkuliahan dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan .
Medan,
Penulis,
Joni Wilson Sitepu
v
Universitas Sumatera Utara
Joni Wilson Sitopu Lahir di Medan Pada tanggal 25 Mei 1964 merupakan anak keenam dari delapan saudara, hasil perkawinan St. Jorialam Sitopu dengan Restauli Br. Purba. Tahun 1976 lulus dari SD Negri Inpres Tanjung Rejo Medan.
Tahun 1980 lulus dari SMP Negeri VIII Medan dan pada tahun 1983 lulus dari SMA Swasta Bhayangkari Medan. Pada tahun 1989 lulus mendapat gelar sar- jana Strata-1 dari jurusan Matematika FMIPA USU Medan. Pada tahun 2009 lulus mendapat gelar sarjana Strata-2 dari program studi Pendidikan Matemati- ka Universitas Negeri Medan. Pada tahun 1991 sampai sekarang menjadi dosen Tetap di Universitas Simalungun Pematangsiantar. Pada tanggal 16 Oktober 1993, penulis menikah dengan Ani Maria Purba SPd dan dikaruniai 4 orang anak yaitu Haryono Widodo Sitopu, AMd.Stat, Hartono Sofian Sitopu, Widya Astuti Sitopu, dan Jessei Ariani Sitopu. Pada tahun 2015 melanjutkan program studi Doktor Ilmu Matematika FMIPA di Universitas Sumatera Utara.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah 2
1.2 Perumusan Masalah 10
1.3 Tujuan Penelitian 11
1.4 Manfaat Penelitian 11
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 13
2.1 Goal Programming 13
2.1.1 Pengertian goal programming 14
2.1.2 Model umum goal programming 18
2.1.3 Model lexicographic goal programming 23
2.1.4 Model weighted goal programming 25
2.1.5 Model chebyshev goal programming 26
2.1.6 Perumusan masalah goal programming 27 2.2 Pemecahan Masalah Nonlinear Goal Programming 33
vii
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 METODE PENELITIAN 47
3.1 Tahapan Penelitian 48
3.2 Bagan Penelitian 49
BAB 4 METODE INTERAKTIF 51
4.1 Metode Pemecahan Masalah 51
4.1.1 Analytical hierarchy process (AHP) 52
4.1.2 Prinsip dasar AHP 53
4.1.3 Penghitungan bobot elemen dalam metode AHP 56
4.2 Masalah Integer Programming 62
4.3 Pemecahan Nonlinear Integer Goal Programming (NLIGP) Prob-
lem 64
4.4 Algoritma Interaktif 67
BAB 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 73
5.1 Solusi Dasar Pembenaran untuk Bentuk Standar 73
5.2 Variabel Superbasis 74
5.3 Metode Interaktif (Interactive Method) 81 5.4 Pemecahan Masalah Algoritma Interaktif 81
5.5 Pembahasan 84
BAB 6 KESIMPULAN 88
DAFTAR PUSTAKA 89
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
2.1 Jenis kendala dalam goal programming 18
2.2 Prosedur untuk mencapai tujuan 20
4.1 Skala penilaian perbandingan berpasangan 56
4.2 Matriks perbandingan berpasangan 57
4.3 Matriks perbandingan berpasangan dengan nilai intensitas 59
4.4 Indeks Random (RI) 62
ix
Universitas Sumatera Utara
Nomor Judul Halaman
3.1 Bagan penelitian 49
4.1 Struktur Hirarki 54
5.1 Superbasic variables 75
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
Goal Programming (GP) adalah cabang optimasi multiobjektif, yang pa- da gilirannya merupakan cabang dari Multi-Criteria Decision Analysis (MCDA), yang juga dikenal sebagai Multiple-Criteria Decision Making (MCDM). Ini adalah program optimasi. Hal ini dapat dianggap sebagai perluasan atau generalisasi untuk menangani sejumlah linier programming, ukuran tujuan yang biasanya ber- tentangan. Masing-masing ukuran ini diberi sasaran atau nilai target yang ingin dicapai.
Penyimpangan yang tidak diinginkan dari himpunan nilai target ini kemu- dian diminimalkan dalam fungsi pencapaian. Hal ini bisa berupa vektor atau jumlah tertimbang yang bergantung pada varian goal programming yang digu- nakan. Karena target kelayakan dianggap memuaskan, maka Pengambil keputu- san (Decition Maker), dapat digunakan dengan sebuah filosofi pemenuhan yang mendasari untuk diasumsikan, selain itu diperlukan metode AHP (Analytical Hier- archy Process) untuk menyelesaikan problem pengambilan keputusan multikriteria (multi criteria decision making).
Dalam bab ini diuraikan tentang pengembangan penelitian nonlinear goal programming, nonlinear integer goal programming, dan pemecahan masalah de- ngan algoritma interaktif. Tujuan dari penelitian ini untuk mengembangkan algo- ritma yang memecahkan masalah mixed integer programming dan menghasilkan
1
Universitas Sumatera Utara
solusi masalah Algoritma interaktif nonlinear integer goal programming yang op- timal. Bab ini menyimpulkan struktur keseluruhan disertasi.
1.1 Latar Belakang Masalah
AHP dikembangkan oleh Saaty pada pertengahan tahun 1970-an (Saaty 1977). Pengembangannya berdasarkan pada kemampuan judgment (pertimbang- an) manusia untuk mengkonstruksi persepsi secara hirarkis dari suatu persoalan keputusan multikriteria, juga untuk membuat perbandingan baik yang bersifat terukur (tangible) atau tak terukur (intangible) dari suatu kriteria, atribut atau sifat dari masing-masing elemen keputusan. Untuk bisa memperoleh peneta- pan bobot prioritas relatif dari setiap elemen keputusan, pendekatan AHP perlu mensintesis judgment pada setiap level hirarki keputusan. Kemudian pada setiap level tersebut, keseluruhan elemen keputusan dikonversikan menjadi keputusan tunggal dimana terjadi hubungan ketergantungan antar elemennya. Maka peneta- pan estimasi untuk bobot prioritas relatif elemen keputusan, dimana pada setiap level hirarki menjadi sangat langkah dan dalam menentukan metode AHP.
Goal programming diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun 1960-an, Pendekatan solusi ini kemudian dikembangkan oleh Ijiri (1965), Charnes et al., (1961), Lee (1972), Ignizio (1976) dan kemudian oleh Romero (1991).
Goal Programming memiliki sejumlah besar penelitian yang memperkenalkan dan mempelajari aplikasinya yang mencakup sejumlah besar bidang dan disiplin ilmu, goal programming adalah linier programming yang digunakan untuk memperoleh
3
berbagai tujuan tertentu secara simultan. Pendekatan dasar dari goal program- ming adalah menetapkan suatu tujuan yang dinyatakan dengan angka tertentu untuk setiap tujuan, merumuskan suatu fungsi tujuan untuk setiap tujuan dan kemudian mencari penyelesaian yang meminimumkan deviasi dari fungsi tujuan terhadap goal masing-masing.
Goal programming digunakan untuk melakukan tiga jenis analisis:
1. Menentukan sumber daya yang dibutuhkan untuk mencapai seperangkat tu- juan yang diinginkan;
2. Menentukan tingkat pencapaian tujuan dengan sumber daya yang ada;
3. Memberikan solusi terbaik dengan berbagai sumber dan prioritas tujuan.
Pengambilan keputusan sering dicirikan oleh upaya untuk memenuhi serangkaian tujuan yang berpotensi bertentangan dalam lingkungan yang terdiri dari sumber daya yang terbatas, kepentingan yang berbeda dan prioritas yang bertentangan un- tuk menghadapi situasi di mana semua tujuan tidak dapat sepenuhnya dan / atau efisien secara bersamaan. Goal Programming adalah jenis optimasi yang menan- gani masalah pengambilan keputusan multikriteria; yang disebut Multi-objective Goal Programming (MOGP), Tidak ada solusi optimal tunggal untuk masalah ini;
peralihan interaksi di antara tujuan yang berbeda menimbulkan serangkaian solusi yang dikompromikan.
Universitas Sumatera Utara
Hwang et al., (1980) dan Evans (1984), mengemukakan bahwa mengkate- gorikan varian Goal Programming tergantung pada preferensi pembuat keputusan ke dalam empat kategori:
1. Tidak ada artikulasi preferensi pembuat keputusan: Dalam metode ini pre- ferensi pengambil keputusan tidak dipertimbangkan;
2. Metode priori: Dalam metode ini preferensi pengambil keputusan ditentukan sebelum menyelesaikan masalah;
3. Metode interaktif: Dalam metode ini, preferensi dipertimbangkan selama solusi pengambil keputusan, sebagai tanggapan atas pendapat peneliti yang solusinya dihasilkan dan dikembangkan hingga saat itu;
4. Metode posteriori: Dalam metode ini, pertama-tama solusi dihasilkan dan kemudian diambil preferensi pengambil keputusan dengan pertimbangan atas dasar solusinya. Multi-objective Goal Programming adalah salah satu Meto- de Posteriori yang paling umum digunakan untuk berbagai masalah optimasi multi-dimensi.
Salah satu alat yang paling kuat adalah dengan menggunakan Goal Pro- gramming, karena banyak sasaran masalah yang bertentangan dan seseorang han- ya dapat memenuhi sebagian dari tujuan ini, hingga taraf tertentu sesuai dengan prioritas dan bobot yang diberikan untuk tujuan tertentu.
5
Goal Programming adalah perpanjangan dari linier programming yang meli- batkan fungsi objektif dengan beberapa tujuan. Model Goal Programming tra- disional dapat dengan mudah dipecahkan dengan metode simpleks atau dengan menggunakan perangkat lunak komputer sebagai Microsoft Excel Solver add-on dan paket Lingo. Namun, perlu diketahui bahwa ada banyak jenis model Goal Programming lain yang mungkin termasuk hubungan nonlinier dan skala besar, dengan model seperti itu sejumlah besar variabel integer yang menambahkan tan- tangan komputasi dan tingkat kesulitan tambahan untuk memecahkan masalah dengan menggunakan teknik pemrograman klasik. Akibatnya, dengan menggu- nakan teknik metaheuristik sebagai pengganti metode pemrograman tradisional dapat memecahkan masalah hard goal programming dan perlu waktu yang lama bagi penelitian. Dengan demikian, karena kompleksitas model yang diusulkan, maka penulis mempelajari dan mengembangkan algoritma interaktif untuk meme- cahkan masalah nonlinier integer Goal Programming yang diusulkan.
Charnes dan Cooper (1961), berpendapat Algoritma linier goal programming adalah algoritma linier programming. Bukti untuk menyelesaikan model linier pro- gramming yang terstruktur karena masalah goal programming. Dengan perbaikan preemption, pendekatan umum invers dan penggunaan ilustrasi dari algoritma berbasis simpleks oleh Ijiri (1965), serta publikasi program perangkat lunak oleh Lee, (1972), secara substansial mengembangkan penelitian goal programming li- nier dalam perbaikan metode. Dalam masalah goal programming dimana varia- bel keputusan dibatasi pada nilai integer, dalam hal ini khususnya dikembangkan
Universitas Sumatera Utara
metode integer goal programming. Sebagian besar metode ini didasarkan pada metode integer linear programming. Pada umumnya metode yang dipergunakan tersebut adalah metode solusi branchand-bound.
Arthur dan Ravindran (1980), mengembangkan algoritma integer goal pro- gramming nol-satu pada algoritma linear programming yang sama. Dalam kasus solusi nol-satu integer linear programming pendekatan yang paling umum adalah dengan beberapa jenis metode enumerasi. Garrod dan Moores (1978) mengem- bangkan metodologi solusi goal programming nol-satu dengan menggunakan pen- dekatan yang sama. Irfan et al., (2011) menerapkan pendekatan integer goal pro- gramming untuk menemukan alokasi komponen kompromi yang dapat diperbaiki.
Tamiz et al., (1999) mengembangkan dan menganalisis efisiensi Pareto untuk in- teger goal programming.
Saber dan Ravindran (1993), mengemukakan Algoritma dan Metodologi Non- linear Goal Programming, ada empat pendekatan utama untuk nonlinear goal programming:
1. Simpleks berbasis nonlinier Goal Programming:
2. Pencarian langsung berbasis nonlinier Goal Programming;
3. Pencarian Gradient berbasis nonlinier Goal Programming;
4. Pendekatan interaktif terhadap nonlinier Goal Programming.
7
Pendekatan untuk menemukan solusi model keputusan linier yang memiliki lebih dari satu fungsi objektif, telah menghasilkan pendekatan sistemik yang dise- but goal programming,untuk memecahkan masalah multi-obyektif linier program- ming di mana prioritas dan bobot pre-emptive dikaitkan dengan tujuan. Prosedur Asumsi dasarnya adalah:
1. Pembentukan prioritas pre-emptive untuk setiap tujuan atau kelompok tu- juan;
2. Pembatasan non negatif pada variabel.
Prioritas tertinggi ditunjukkan oleh P1 , tertinggi berikutnya oleh P2 dan seterus- nya. Gagasan prioritas pre-emptive berpendapat bahwa P1 lebih disukai dari pada P2 terlepas dari multiplier yang terkait dengan P2. Hal ini diungkapkan dengan menulis P1 >> P2.
Malhotra dan Arora (1999), menyajikan pre-emptive dan prosedur model goal programming untuk memecahkan masalah integer goal programming dengan kendala stuktural nonlinier. Prosesnya terdiri dari menemukan daerah layak dari variabel keputusan dalam model goal programming ditambah dengan batasan struktural daerah layak.
Masalah nonlinier goal programming, dimana komparasinya berbentuk kuad- rat pada fungsi fraksional, masalah integer goal programming dapat diubah men- jadi model non linier dan metode integer non linier goal programming dapat di- terapkan pada masalah yang ditransformasikan. Variabel integer xk digantikan
Universitas Sumatera Utara
oleh sejumlah zero-one variabel dengan menggunakan tranformasi. Masalah goal programming dengan komparasinya berbentuk fraksional, dimana setiap bilangan pecahan masalah non linier goal programming juga dapat diubah menjadi model zero-one linier, solusi yang digunakan dengan Metode interatif yang dimodifikasi untuk memecahkan masalah integer nonlinear goal programming (Malhotra dan Arora, 1999).
Goedhart dan Spronk (1995) menyajikan metode interaktif goal program- ming, di mana DM menetapkan tujuan minimum untuk setiap fungsi tujuan. Nilai maksimum yang dapat dicapai masing-masing fungsi tujuan, dengan memperhi- tungkan sasaran minimum tersebut, kemudian dihitung (secara langsung) dan di- sajikan kepada DM. Kemudian dapat mengubah tujuan minimum sehingga dapat menghitung kisaran nilai berikutnya. Penyajian metode ini tidak termasuk bukti konvergensi ke solusi yang tidak didominasi. Pendekatan lain juga telah diterap- kan pada Multi Objectif Linear Fractional Programming (MOLFP), mis. metode kepuasan awal (Nakayama, 1991). Ini adalah metode umum yang aplikasi untuk MOLFP membutuhkan penggunaan algoritma iteratif untuk menyelesaikan ma- salah min-max linear fractional. Nakayama (1991) menggunakan algoritma tipe Dinkelbach yang menyiratkan resolusi dari urutan masalah linier programming tambahan. Masalah integer nonlinier goal programming muncul agak banyak dalam aplikasi kehidupan yang nyata. Misalnya, dalam Kapasitas Penerimaan Universitas (El-Quliti et al., 2015), alokasi komponen yang dapat diperbaiki (Irfan et al., 2011), masalah transportasi berkapasitas (Gupta et al., 2013), pemilihan
9
komponen perangkat lunak (Kaur dan Tomar, 2015), strategi revitalisasi lahan (Mayasari et al., 2018). Untuk tinjauan literatur dapat ditemukan di (Gur dan Eren, 2018) dan Mixed-integer nonlinear programming (Nikolao, 2018).
Chalmet et al., (1986), Klein dan Hannan (1982), dan Villareal dan Kar- wan (1981), Algoritma dirancang untuk menemukan semua solusi yang efektif.
Gabbani dan Magazine (1986), Gonzales (1993), Mayasari et al., (2018) telah mengembangkan metode interaktif untuk menyelesaikan masalah Modifikasi Evo- lusi Diferensial yang dikembangkan oleh El-Quliti et al., (2015).
Penelitian tentang linier programming obyektif berganda telah menunjukkan bahwa algoritma interaktif adalah solusi yang paling menarik untuk berbagai ma- salah pemrograman objektif, mis. Evans, Steuer dan Wierzbicki. Selain itu, al- goritma pemecahan masalah interaktif yang tersedia membutuhkan sumber daya komputer yang berlebihan, baik dalam hal persyaratan waktu dan ruang penyim- panan. Beberapa algoritma memerlukan perangkat lunak khusus untuk imple- mentasinya; beberapa algoritma membutuhkan terlalu banyak pembuat keputusan (DM), sementara yang lain dapat menghasilkan solusi yang didominasi. Dengan demikian, algoritma yang efektif dan efisien sekarang harus dikembangkan untuk menyelesaikan masalah.
Karena masalah pemrograman bilangan bulat NP-hard (NP-hardness) (non- deterministic polynomial-time hardness), jumlah masalah mixed integer program- ming yang harus diselesaikan untuk menemukan solusi kompromi yang dapat di- terima harus diminimalkan. Sejauh mana tujuan ini dicapai oleh suatu algoritma
Universitas Sumatera Utara
sebagian besar dapat menentukan penerapan/penerimaannya. Juga tujuannya untuk meminimalkan tuntutan yang ditempatkan pada DM. Dengan memper- timbangkan informasi ini, tingkat dasar kemudian menentukan solusi kompromi melalui interaksi dengan DM dengan menggunakan prosedur interaktif. Dengan menggunakan Analytical Hierarchy Process (AHP) yang akan digunakan oleh DM dalam menentukan prioritas multi objectives sehingga mengubah masalah asli menjadi mixed integer programming problem. Untuk mengembangkan algoritma yang memecahkan masalah nonlinear integer goal programming dengan menggu- nakan algoritma interaktif untuk setiap iterasi dan tidak menempatkan terlalu banyak tuntutan pada DM.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, perumusan masalah norlinear integer goal pro- gramming adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana memodifikasi masalah norlinear integer goal programming men- jadi masalah Mixed Integer Programming?
2. Bagaimana mengembangkan algoritma yang memecahkan masalah mixed integer programming hanya satu untuk setiap iterasi dan tidak menempatkan terlalu banyak tuntutan pada DM?
3. Bagaimana Memecahkan masalah pengganti obyektif tunggal yang dapat direduksi menjadi ekivalen dengan masalah mixed integer linear program- ming?
11
4. Bagaimana Menghasilkan solusi masalah Algoritma interaktif nonlinear in- teger goal programming yang optimal?.
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah-masalah di atas maka cakupan tujuan penelitian ini secara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Mengubah masalah norlinear integer goal programming menjadi masalah Mixed Integer Programming;
2. Untuk mengembangkan algoritma yang memecahkan masalah mixed integer programming hanya satu untuk setiap iterasi dan tidak menempatkan terlalu banyak tuntutan pada DM;
3. Memecahkan masalah pengganti obyektif tunggal yang dapat direduksi men- jadi ekivalen dengan masalah mixed integer linear programming;
4. Menghasilkan solusi masalah Algoritma interaktif nonlinear integer goal pro- gramming yang optimal.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Dapat memodifikasi masalah norlinear integer goal programming menjadi masalah Mixed Integer Programming;
Universitas Sumatera Utara
2. Memberikan kontribusi dalam Mengembangkan algoritma untuk memecah- kan masalah nonlinear integer goal programming;
3. Dapat Memecahkan masalah pengganti obyektif tunggal yang dapat dire- duksi menjadi ekivalen dengan masalah mixed integer linear programming;
4. Menghasilkan solusi masalah Algoritma interaktif nonlinear integer goal pro- gramming yang optimal dan dapat membantu para pembuat keputusan dalam mengambil kebijakan.
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
Model goal programming sudah sering dipergunakan dalam penelitian-penelitian terdahulu untuk pemodelan masalah multi tujuan. Goal programming meru- pakan salah satu model matematis yang dapat dipergunakan sebagai dasar dalam pengambilan keputusan untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan yang melibatkan banyak kendala sehingga diperoleh solusi yang optimal. Untuk tin- jauan yang baik tentang mekanisme algoritma dan metodologi nonlinier goal pro- gramming, Ringuest dan Gulledge (1982) dan Gupta dan Sharma (1989).
Kajian pustaka dalam penelitian ini diambil dari beberapa buku dan peneli- tian yang telah dilakukan terhadap masalah penelitian yang dikaji adalah Goal Programming, Pemecahan masalah nonlinear integer goal programming, Prosedur solusi, Masalah Invers Pemrograman Linier.
2.1 Goal Programming
Aran (2014) mengatakan bahwa pendekatan dasar goal programming adalah untuk menetapkan suatu tujuan yang dinyatakan dengan angka tertentu untuk se- tiap tujuan, merumuskan suatu fungsi tujuan untuk setiap tujuan, dan kemudian mencari penyelesaian yang meminimumkan jumlah (tertimbang) penyimpangan- penyimpangan pada fungsi tujuan. Model goal programming berusaha untuk me- minimumkan deviasi diantara berbagai tujuan atau kendala yang telah ditentukan
13
Universitas Sumatera Utara
sebagai tujuannya, maksudnya nilai ruas kiri persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas kanannya.
2.1.1 Pengertian goal programming
Model goal programming merupakan perluasan dari model linier program- ming yang dikembangkan oleh Charles dan Cooper (1961) sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi matematika, prosedur perumusan model dan penyelesaian tidak berbeda. Perbedaannya hanya terletak pada sepasang variabel deviasional yang akan muncul di fungsi tujuan dan fungsi kendala. Linier programming sendiri adalah sebuah model matematis yang dipergunakan untuk menemukan suatu pe- nyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tu- juan terhadap susunan satu kendala. Model goal programming mempunyai tiga unsur utama, yaitu variable keputusan, fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Beberapa asumsi dasar yang diperlukan dalam goal programming adalah:
1. Linieritas
Asumsi ini menunjukkan perbandingan antara input yang satu dengan input yang lain atau suatu input dengan output besarnya tetap dan terlepas pada tingkat produksi. Hubungannya bersifat linear.
2. Proporsionalitas
Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambil keputusan berubah, maka dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sebanding dengan fungsi tujuan dan juga fungsi kendalanya.
15
3. Aditivitas
Asumsi ini menyatakan nilai parameter suatu kriteria optimisasi jumlah dari nilai individu-individu. Dampak total terhadap kendala ke-i merupakan jum- lah dampak individu terhadap peubah pengambilan keputusan.
4. Disibilitas
Asumsi ini menyatakan bahwa peubah pengambilan keputusan jika diper- lukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan.
5. Deterministik
Asumsi ini menghendaki agar semua parameter tetap dan diketahui atau ditentukan secara pasti.
Ada beberapa istilah yang dipergunakan dalam Goal Programming, yaitu:
1. Variabel keputusan (decision variables), adalah seperangkat variabel yang tidak diketahui yang berada di bawah kontrol pengambilan keputusan, yang berpengaruh terhadap solusi permasalahan dan keputusan yang akan diam- bil. Biasanya dilambangkan dengan Xj(j = 1, 2, 3, . . . , n);
2. Nilai sisi kanan (right hand sides values), merupakan nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi) yang akan ditentukan kekurangan atau penggunaannya;
Universitas Sumatera Utara
3. Koefisien teknologi (technology coefficient), merupakan nilai-nilai numerik yang dilambangkan dengan yang dikombinasikan dengan variabel keputusan, dimana akan menunjukkan penggunaan terhadap pemenuhan nilai kanan;
4. Variabel deviasional (penyimpangan), adalah variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan-penyimpangan negatif dan positif dari nilai sisi kanan fungsi tujuan. Variabel penyimpangan negatif berfungsi untuk menam- pung penyimpangan yang berada di bawah sasaran yang dikehendaki, se- dangkan variabel penyimpangan positif berfungsi untuk menampung pe- nyimpangan yang berada di atas sasaran. Dalam Goal Programming di- lambangkan dengan penyimpangan negatif dan untuk penyimpangan positif dari nilai sisi kanan tujuan;
5. Fungsi tujuan, adalah fungsi matematis dari variabel-variabel keputusan yang menunjukkan hubungan dengan nilai sisi kanannya, fungsi tujuan dalam Goal Programming adalah meminimumkan variabel devisional;
6. Fungsi pencapaian, adalah fungsi matematis dari variabel-variabel simpa- ngan yang menyatakan kombinasi sebuah objektif ;
7. Fungsi tujuan mutlak (non negatif), merupakan tujuan yang tidak boleh dilanggar dengan pengertian mempunyai penyimpangan positif dan atau negatif bernilai nol. Prioritas pencapaian dari fungsi tujuan ini berada pada urutan pertama, solusi yang dapat dihasilkan adalah terpenuhi atau tidak;
17
8. Prioritas, adalah suatu sistem urutan dari banyaknya tujuan pada model yang memungkinkan tujuan-tujuan tersebut disusun secara ordinal dalam Goal programming. Sistem urutan tersebut menempatkan sasaran-sasaran tersebut dalam susunan dengan seri;
9. Pembobotan, merupakan timbangan matematis yang dinyatakan dengan ang- ka ordinal yang digunakan untuk membedakan variabel simpangan i dalam suatu tingkat prioritas k.
Dalam goal programming terdapat tiga unsur utama yaitu fungsi tujuan, kendala tujuan, dan kendala non negatif. Penjelesannya sebagai berikut:
1. Fungsi tujuan
Fungsi tujuan dalam goal programming pada umumnya adalah masalah mi- nimisasi, karena dalam fungsi tujuan terdapat variabel simpangan yang harus diminimumkan. Fungsi tujuan dalam goal programming adalah memini- mumkan total penyimpangan tujuan yang ingin dicapai.
2. Kendala non negatif
Kendala non negatif dalam goal programming adalah semua variabel-variabel bernilai positif atau samadengan nol. Jadi variabel keputusan dan variabel deviasi dalam masalah goal programming bernilai positif atau sama dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
3. Kendala tujuan
Dalam goal programming ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan.
Tujuan dari setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.
Berikut adalah enam jenis kendala tersebut.
Tabel 2.1 Jenis kendala dalam goal programming
Variabel Kemungkinan Penggunaan No Kendala Tujuan Deviasi dalam Simpangan RHS Nilai
Fungsi tujuan yang Diinginkan
1 aijxij + d−i = bi d−i Negatif = bi
2 aijxij − d+i = bi d−i Positif = bi
3 aijxij + d−i − d+i = bi d−i Negatif atau Positif bi atau lebih 4 aijxij + d−i − d+i = bi d−i Negatif atau Positif bi atau kurang 5 aijxij + d−i − d+i = bi d−i dan d+i Negatif atau Positif = bi
6 aijxij − d+i = bi d+i (artifisial) Tidak ada = bi
Berdasarkan tabel 2.1. Setiap kendala tujuan memiliki satu atau dua variabel simpangan yang keduanya atau salah satunya ditempatkan pada fungsi tujuan.
2.1.2 Model umum goal programming
Charnes dan Cooper (1977) mempresentasikan model umum goal program- ming yang dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:
Zmin == XK
k=1(d+i + d−i )
19
kendala
Tujuan : Xn
j=1aijxj − d+i − d−i
= bi, i = 1, 2, . . . , m Sistem : Xn
j=1aijxj 6 atau > bi,
(i = m + 1, . . . , m + p) , (j = 1, 2, . . . , n) dengan d+i , d−i , xj > 0
(2.1)
dimana terdapat tujuan m, kendala sistem dan n variabel keputusan
Z = fungsi objektif = Penjumlahan semua penyimpangan
aij = Koefisien yang terkait dengan variabel j pada tujuan ke-i
xj = Variabel keputusan ke-j
bi = Nilai sisi kanan yang terkait
d−i = Variabel deviasional negatif dari tujuan ke-i (under achievement)
d+i = Variabel deviasional positif dari tujuan ke-i (over achievement).
Baik prestasi maupun pencapaian tujuan tidak bisa terjadi secara simultan. Oleh karena itu, salah satu atau kedua variabel ini harus memiliki nilai nol; yaitu, d+i xd−i = 0.
Kedua variabel tersebut berlaku untuk persyaratan non-negatif seperti semua va- riabel linier programming lainnya; yaitu, d+i , d−i = 0.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.2 Prosedur untuk mencapai tujuan
Minimize Goal Jika tujuan tercapai
d−i Minimize the underachievement d−i = 0, d+i = 0 d+i Minimize the overachievement d−i = 0, d+i = 0 d+i xd−i Minimize both under- and overachievement d−i = 0, d+i = 0
Variabel deviasional terkait dengan fungsi aljabar sebagai:
d+i = 1 2
j Xn
j=1aijxj−bi
+ aijxj
k
d−i = 1 2
j Xn
j=1aijxj+ bi
+ aijxj
k
Model Goal Programing dalam (2.1) memiliki fungsi objektif, kendala (disebut kendala tujuan) dan batasan nonnegatif yang sama pada variabel keputusan se- bagai model linear programming. Beberapa peneliti Goal Programming (Ignizio 1985) merasa bahwa istilah fungsi obyektif bukanlah istilah yang akurat dan fungsi pencapaian prestasi atau fungsi unachievement harus digunakan di tempatnya.
Model umum goal programming tanpa faktor prioritas didalam strukturnya adalah sebagai berikut.
21
meminimumkan: Z =Xm
i=1 d+i + d−i dengan kendala tujuan:
c11x1+ c12x2+ c13x3+ · · · + c1nxn+ d−1 − d+1 = b1
c21x1+ c22x2+ c23x3+ · · · + c2nxn+ d−2 − d+2 = b2
...
cm1x1+ cm2x2+ cm3x3+ · · · + cmnxn+ d−m− d+m = b kendala non negatif: untuk i = 1, 2, . . . , m, dan j = 1, 2, . . . , n
(2.2)
Keterangan:
Cij = Koefisien teknologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (xj)
xj = Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan yang kini dinamakan sebagai sub tujuan
bi = Tujuan atau target yang ingin dicapai
d+m = Jumlah unit deviasi yang kelebihan (+) terhadap tujuan (bm) d−m = Jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) terhadap tujuan (bm)
Model untuk persoalan tujuan ganda dengan struktur timbangan prioritas (pre-emptive weights) adalah sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
minimumkan: Z = P1d−i + P2d−i + · · · + P1d−i + P1+1d+i + · · · + Pkd+i dengan kendala:
c11x1+ c12x2+ c13x3+ · · · + c1nxn+ d−1 − d+1 = b1
c21x1 + c22x2+ c23x3+ · · · + c2nxn+ d−2 − d+2 = b2
...
cm1x1 + cm2x2+ cm3x3+ · · · + cmnxn+ d−m− d+m = b dan xi, d−i , d+i > bi
(2.3)
Keterangan:
Cij = Koefisien teknologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (xj)
xj = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan yang kini dinamakan sebagai sub tujuan
bi = Tujuan atau target yang ingin dicapai
d+m = Jumlah unit deviasi yang kelebihan (+) terhadap tujuan (bm) d−m = Jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) terhadap tujuan (bm) Pk = Faktor prioritas pada tujuan ke-k
Berdasarkan perumusan model goal programming, pencapaian tingkat sasaran atau tujuan dilakukan dengan cara meminimumkan variabel deviasi. Ada dua tipe goal programming, yaitu goal programming yang setiap tujuannya memiliki prioritas yang sama dan goal programming yang mengurutkan tujuannya menu- rut tingkat prioritas dari tujuannya. Untuk tujuan yang diurutkan berdasarkan
23
tingkat prioritasnya diberikan faktor pembobot. Faktor pembobot adalah suatu nilai numerik yang tidak berdimensi dan digunakan untuk menunjukan tingkat prioritas relatif dari suatu kendala. Besar kecilnya nilai faktor pembobot dari se- tiap kendala diperoleh dari hasil manipulasi pendapat para ahli atau pengambil keputusan.
Jika faktor pembobot fungsi tujuan prioritas ke-i dilambangkan dengan Wi, maka secara matematik dapat bersifat:
0 < Wi <, dan Xm
i=1
Wi = 1
Apabila ada pernyataan Wc lebih besar dari Wy menunjukkan bahwa tujuan ke-c lebih penting dari tujuan ke-y dan jika Wc sama dengan Wy maka tujuan ke-c dan tujuan ke-y mempunyai urutan prioritas yang sama.
2.1.3 Model lexicographic goal programming
Formulasi goal programming pada awalnya memerintahkan penyimpangan yang tidak diinginkan ke dalam sejumlah tingkat prioritas, dengan meminimalkan penyimpangan pada tingkat prioritas lebih tinggi dan jauh lebih penting daripada penyimpangan pada tingkat prioritas yang lebih rendah. Ini dikenal sebagai lek- sikografis goal programming (preemptive) atau non-Archimedean. Ignizio (1982) menyatakan model leksikografis goal programming, harus digunakan bila ada uru- tan prioritas yang jelas diantara tujuan yang ingin dicapai.
Universitas Sumatera Utara
Dalam goal programming preemptive, tujuannya dapat dibagi ke dalam kelas prioritas yang berbeda. Di sini, diasumsikan bahwa tidak ada dua tujuan yang memiliki prioritas yang sama. Tujuannya diberikan peringkat ordinal dan disebut faktor prioritas preemptive. Faktor prioritas ini memiliki hubungan P 1 >>>
P2 >>> · · · >>> Pi >>> Pi+1>>> · · · >>> Pm dimana >>> berarti ”sangat jauh lebih besar dari”. Peringkat prioritas ini mutlak. Oleh karena itu, tujuan P1
jauh lebih penting daripada tujuan P2 dan tujuan P2 tidak akan pernah dicoba sampai tujuan P1 tercapai semaksimal mungkin. Hubungan prioritas menyiratkan bahwa perkalian dengan n, berapapun besarnya, tidak dapat membuat kendala tingkat rendah sebagai tujuan yang lebih tinggi (yaitu Pi > Pi+1).
Model dapat dinyatakan sebagai:
z = Xm
i=1Pi d+i + d−i dengan kendala linear:
kendala tujuan: Xm
j=1aijxj − d+i + d−i = bi, i = 1, 2, . . . , m kendala sistem: Xn
j=1aijxj 6 atau = atau > bi
untuk (i = m + 1, . . . , m + p) , (j = 1, 2, . . . , n) dengan d+i , d−i , xj > 0
(2.4)
dimana terdapat tujuan m, kendala sistem p, k tingkat prioritas dan n variabel keputusan
25
Pi = faktor prioritas preemptif dari tujuan ke-i.
Di sini, perbedaannya adalah faktor prioritas dalam fungsi objektif. Dengan d+i , d−i , xj = 0, untuk (i = m + 1, . . . , m + p), (j = 1, 2, . . . , n).
2.1.4 Model weighted goal programming
Jika pengambil keputusan lebih kuat daripada perbandingan langsung dari tujuan maka bobot (weighted) goal programming harus digunakan. Pembobotan variabel deviasional pada tingkat prioritas yang sama, hal ini menunjukkan ke- pentingan penyimpangan relatif masing-masing. Charnes dan Cooper (1977) me- nyatakan model weighted goal programming sebagai:
Z =Xm
i=1Wi+d+i + Wi−d−i kendala linear:
kendala tujuan: Pm
j=1aijxj − d+i + d−i = bi, i = 1, 2, . . . , m kendala sistem:Xn
j=1aijxj 6 atau = atau > bi (2.5) untuk (i = m + 1, . . . , m + p) , (j = 1, 2, . . . , n)
dengan d+i , d−i , xj > 0
dimana wi+ dan wi− adalah konstanta non-negatif yang mewakili bobot relatif di- tugaskan masing-masing ke variabel deviasi positif dan negatif. Bobot relatifnya mungkin berupa bilangan real, di mana semakin besar bobot, semakin besar pen- tingnya yang ditetapkan untuk meminimalkan masing-masing variabel deviasi yang bobot relatifnya. Model ini adalah model non-preemptive yang berusaha memini- malkan penyimpangan bobot total dari semua tujuan yang dinyatakan dalam mo-
Universitas Sumatera Utara
del. Sementara Ijiri (1965) telah memperkenalkan gagasan untuk menggabungkan prioritas dan bobot preemptif, Charnes dan Cooper (1977) menyarankan model goal programming sebagai berikut:
z = Xm
i=1
Xni
l=1Pi Wi+d+i + Wi−d−i kendala linear:
kendala tujuan: Xm
j=1aijxj − d+i + d−i = bi, i = 1, 2, . . . , m kendala sistem: Xn
j=1aijxj 6 atau = atau > bi
untuk (i = m + 1, . . . , m + p) , (j = 1, 2, . . . , n) dengan d+i , d−i , xj > 0
(2.6)
dimana Wik+, Wik− ≤ 0 dan Mewakili bobot relatif untuk ditugaskan ke masing- masing kelas yang berbeda dalam kategori ke-i yang non-Archimedean. Nilai transendental Pi ditugaskan.
2.1.5 Model chebyshev goal programming
Chebyshev atau model goal programming fuzzy diperkenalkan oleh Flavell (1976). Menggunakan untuk meminimalkan penyimpangan maksimum yang tidak di inginkan, bukan jumlah penyimpangan. Untuk alasan ini Chebyshev goal pro- gramming terkadang diistilahkan minmax goal programming. Hal ini menggu- nakan jarak metrik Chebyshev, yang menekankan keseimbangan dari pada opti- masi yang rumit.
Model goal programming leksikografis preemptive pada (2.4) dan model goal programming tertimbang non-preemptive pada (2.6) dapat dilihat sebagai dua
27
jenis model goal programming yang ekstrim dimana hampir semua pemodelan goal programming diturunkan.
2.1.6 Perumusan masalah goal programming
Charnes dan , Cooper (1977) menyatakan langkah perumusan permasalahan goal programming adalah sebagai berikut:
1. Penentuan variabel keputusan, merupakan dasar dalam pembuatan model keputusan untuk mendapatkan solusi yang dicari. Semakin tepat penentuan variabel keputusan akan mempermudah pengambilan keputusan yang dicari.
2. Penentuan fungsi tujuan, yaitu tujuan-tujuan yang ingin dicapai oleh pe- rusahaan.
3. Perumusan fungsi tujuan, dimana setiap sasaran pada sisi kirinya ditam- bahkan dengan variabel simpangan, baik simpangan positif maupun simpa- ngan negatif. Dengan ditambahkannya variabel simpangan, maka bentuk dari fungsi sasaran menjadi fi(xi) + d−i − d+i = bi
4. Penentuan prioritas utama. Pada langkah ini dibuat urutan dari sasaran- sasaran. Penentuan sasaran ini tergantung pada hal-hal berikut:
(a) Keinginan dari pengambil keputusan;
(b) Keterbatasan sumber-sumber yang ada.
Penentuan pembobotan. Pada tahap ini merupakan kunci dalam menen- tukan urutan dalam suatu tujuan dibandingkan dengan tujuan yang lain.
Universitas Sumatera Utara
Penentuan fungsi pencapaian. Dalam hal ini, yang menjadi kuncinya adalah memilih variabel simpangan yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi penca- paian. Dalam memformulasikan fungsi pencapaian adalah menggabungkan setiap tujuan yang berbentuk minimisasi variabel penyimpangan sesuai prioritasnya.
Algoritma simpleks dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming dengan menggunakan variabel keputusan lebih dari dua. Untuk tinjauan yang baik tentang mekanisme algoritma dan metodologi nonlinier goal programming Ringuest dan Gulledge (1982).
Metode pencarian nonlinear goal programming berbasis pencarian langsung menggunakan beberapa jenis pola pencarian logis atau metode untuk mendapatkan solusi yang mungkin atau mungkin bukan solusi terbaik yang memuaskan. Proses logika didasarkan pada upaya berulang untuk memperbaiki solusi yang diberikan dengan mengevaluasi fungsi objektif dan atau batasan tujuannya. Hooke dan Jeeves (1961) mengembangkan satu tujuan, variabel kontinyu, metode pengopti- malan yang tidak dibatasi yang kemudian diadopsi untuk Goal Programming oleh Ignizio (1976) dan Hwang dan Masud (1979). Metode goal programming non- linier berbasis gradien menggunakan kalkulus atau turunan parsial dari batasan tujuan nonlinier atau fungsi tujuan untuk menentukan arah di mana algoritma tersebut mencari solusi dan jumlah gerakan yang diperlukan untuk mencapai so- lusi tersebut. Sementara metode berbasis gradien pada umumnya lebih efisien dalam memperoleh solusi, model tersebut mungkin tidak sesuai untuk model goal programming yang batasan tujuan atau fungsi tujuannya tidak dapat diselesai-
29
kan. Lee (1985), Lee dan Olson (1985), dan Olson dan Swenseth (1987) semua mengembangkan versi metode gradien untuk goal programming yang disebut me- tode kendala kesempatan. Metode kendala kesempatan memungkinkan parameter didistribusikan sepanjang distribusi probabilitas. Pengenalan distribusi probabi- litas adalah dimana metodologi ini memperoleh nama probabilistik atau kebetu- lannya. Penggunaan metode kendala peluang memerlukan asumsi bahwa koefisien teknologis terdistribusi secara normal.
1. Metode berbasis gradien lainnya disebut metode gradien partisi. Dikem- bangkan untuk goal programming linier oleh Arthur dan Ravindran (1978) dengan menggunakan pendekatan berbasis simpleks, metodologi ini dapat sangat efisien dalam memperoleh solusi non linier goal programming. Berda- sarkan menentukan subproblem yang lebih kecil yang mengarah pada solusi optimal. Dengan memecahkan masalah yang lebih kecil ini dan menghi- langkan variabel keputusan membentuk model, ukuran model akan berku- rang. Khusus versi metode berbasis gradien disebut metode dekomposisi.
Metode dekomposisi dapat mengatasi masalah linier goal programming atau nonlinear goal programming. Hal ini biasanya didasarkan pada beberapa versi metode dekomposisi Linear Programming Dantzig dan Wolfe (1960), di mana model besar didekomposisi menjadi sub model yang lebih kecil yang solusinya akan digunakan untuk menghasilkan solusi pada model asli yang lebih besar. Algoritma dan penelitian tentang metode dekomposisi untuk goal programming dapat ditemukan di Ruefli (1971), Sweeney et al., (1978).
Universitas Sumatera Utara
Salah satu tipe khusus metodologi goal programming nonlinear dapat dise- but stochastic goal programming.
2. Pendekatan interaktif terhadap nonlinier goal programming atau goal pro- gramming interaktif dapat didefinisikan sebagai kumpulan metodologi yang didasarkan pada artikulasi progresif pengambil keputusan keputusan de- ngan menggunakan goal programming interaktif akan menghasilkan solusi yang lebih baik dengan membandingkan solusi yang diberikan secara interak- tif. Hal ini membuat goal programming interaktif menjadi proses pencarian sekuensial, namun metode ini melibatkan umpan balik berkala kepada pem- buat keputusan untuk memandu arahan pencarian. Istilah sequential goal programming (SGP) sering digunakan dengan pendekatan interaktif untuk lebih menggambarkan sifat langkah-bijaksana dari metodologi ini. Goal Pro- gramming interaktif telah digunakan untuk semua jenis model goal program- ming (yaitu goal programming linier, Goal Programming integer dan goal programming nonlinier). Salah satu metode yang digunakan untuk meme- cahkan masalah goal programming dapat digunakan sebagai metodologi pen- carian sekuensial interaktif dan sekuensial. Untuk ulasan yang sangat baik jika mekanika berbagai metode (Van dan Nijkamp (1977), Spronk (1981)).
31
3. Algoritma Goal Programming lainnya dan Metodologi Setidaknya ada em- pat metodologi berbasis algoritma lainnya yang secara luas terwakili dalam literatur goal programming:
(a) Interval Goal Programming (b) Goal Programming pecahan
(c) Solusi dualitas
(d) Fuzzy Goal Programming
Masing-masing metodologi lain ini dapat dan sering digunakan dengan goal programming linier, model goal programming integer dan nonlinier.
1. Interval Goal Programming Goal Programming Interval memungkinkan pa- rameter, terutama nilai tujuan sisi kanan yang akan diekspresikan secara interval. Metode ini didasarkan pada interval Linear Programming, dimana batas atas, bu dan batas bawah, b1 untuk nilai sisi kanan dapat dinyatakan sebagai:
b1 ≤ aijxj ≤ bu
Jadi kesetaraan interval Goal Programming akan dicapai dengan dua kendala tujuan:
aijxjd+u + d−u = bu
aijxjd+1 + d−1 = b1
Universitas Sumatera Utara
dimana d+u dan d−1 keduanya diminimalkan dalam fungsi objektif dan va- riabel deviasi lainnya bebas untuk mengizinkan beberapa nilai yang dikom- promikan untuk nilai sisi kanan yang dihasilkan. Metode ini dapat digu- nakan untuk menangani berbagai masalah perumusan yang digunakan untuk mengkritik model goal programming, seperti ketidaktepatan tujuan atau tar- get yang telah ditentukan sebelumnya, Min dan Storbeck (1991). Vitoriano dan Romero (1999) mengusulkan perpanjangan interval goal programming.
2. Goal Programming pecahan: Goal Programming pecahan adalah metodolo- gi yang digunakan saat membuat rasio pemodelan. Dalam berbagai situasi seperti pemodelan pengembalian masalah investasi, masalah pangsa pasar atau masalah jenis persentase, Goal Programming pecahan mungkin meru- pakan metodologi Goal Programming yang paling sesuai. Untuk ulasan be- berapa kontroversi, Hannan (1977, 1981).
3. Solusi Dualitas: Model Goal Programming dapat dipecahkan dengan lebih efisien dan tanpa beberapa masalah komputasi dengan memecahkan rumusan model ganda Goal Programming, Dauer dan Krueger (1977), Ignizio (1985).
Metode ini bukan tanpa masalah seperti yang diamati oleh Crowder dan Sposito (1987) dan dibalas oleh Ignizio (1987). Perpanjangan yang menarik dari metode ini ke sekuensial Goal Programming nonlinier dapat dilihat di El-Dash dan Mohamed (1992).
33
4. Fuzzy Goal Programming: Fuzzy Goal Programming didasarkan pada teori himpunan fuzzy. Fuzzy set digunakan untuk menggambarkan tujuan yang tidak tepat. Tujuan ini biasanya dikaitkan dengan fungsi objektif dan digu- nakan untuk mencerminkan bobot (dengan nilai nol dari nol) dan jangkauan kemungkinan pencapaian tujuan. Hubungan numerik antara tujuan keun- tungan dan utilitas dalam kejadian keuntungan. Hubungan antara bobot dan fungsi keuntungan bisa linier atau nonlinier. metodologi ini memung- kinkan pembuat keputusan yang tidak bisa secara tepat menentukan tujuan untuk setidaknya mengekspresikannya dengan menggunakan struktur pem- bobotan yang tidak terbatas. Hal ini membuat pemrograman fuzzy menjadi pendekatan ide ketika tujuan fungsi fungsi utilitas digunakan pada model goal programming. Fazlollahtabar et al., (2013), mengajukan model pem- rograman tujuan fuzzy untuk mengoptimalkan pasar industri jasa dengan menggunakan agen cerdas virtual. Kumar et al., (2004), mendekati pem- rograman tujuan fuzzy untuk masalah pemilihan vendor dalam rantai pa- sokan. Mekidiche et al., (2013), mendekati pemrograman tujuan fuzzy aditif tertimbang untuk mengumpulkan perencanaan produksi. Mekidiche et al., (2013), mengusulkan pemrograman tujuan fuzzy untuk produksi agregat dan ilmuwan.
2.2 Pemecahan Masalah Nonlinear Goal Programming
1. Masalah goal programming dengan komparasinya berbentuk kuadrat Masalah linier goal programming eqivalen dengan nonlinier goal program-
Universitas Sumatera Utara
