Algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) Pada Traveling Salesman Problem (TSP) Suci Ariani 1*, Budi Santosa 2, Stefanus Eko Wiratno 3

(1)

Algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) Pada Traveling Salesman Problem (TSP)

Suci Ariani^1*, Budi Santosa², Stefanus Eko Wiratno³

1Program Studi Sistem Informasi, Politeknik Bisnis KALTARA, Tarakan

2,3Jurusan Teknik Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

1arianisuci20@gmail.com

ARTICLE INFO A B S T R A C T

Article history:

Received : February 18, 2020 Revised : March 22, 2020 Accepted : April 7, 2020

This paper discusses the problem of continuous NP-hard nonlinear.

NP hard problem is a problem that computation time will increase exponentially as the size of the problem increases linearly. Traveling Salesman Problem (TSP) is an optimization problem where the goal is to find the shortest path for a salesperson needing to visit all cities ( a tour) such that each city is visited only once. TSP is a NP hard problems that are not easy to solve using the exact method because it will require a lot of scale. Therefore, to solve this problem, stochastic optimization algorithms are proposed, such as the heuristic method. In this paper using the metaheuristic method which is the development of heuristics where the random system is directed to an intelligent way.

The metaheuristic implementation is to provide optimal solutions and more efficient computation time. The problem solved in this paper is an aplication Biogeography Based Optimization (BBO) for Traveling Salesman Problem (TSP). The steps of the Biogeography Based Optimization (BBO) algorithm for Traveling Salesman Problem (TSP) are, first by input, the next step is initialization, creating initial solution population/island/habitat generation that is a number of routes (N) randomly, xi, g, i = 1,2 ..., N (number of islands) and species / dimensions, that is as many cities (Dimension, D), then evaluate the function of minimizing distance, map the fitness to the number of species, calculate the migration, mutation, and the last is elitism.The results show that Biogeography Based Optimization (BBO) can be applied to minimizing function that is minimizing the total distance to get the best route for Traveling Salesman Problem (TSP).

Keywords:

Biogeography Based Optimization Traveling Salesman Problem

INFO ARTIKEL A B S T R A K

Proses Artikel:

Artikel Diterima : 18 Februari 2020 Artikel Direvisi : 22 Maret 2020 Dinyatakan Diterima : 7 April 2020

Penelitian ini membahas mengenai permasalahan NP-hard nonlinear kontinyu. NP hard merupakan permasalahan yang pencarian solusinya (waktu komputasinya) akan naik secara eksponensial seiring dengan naiknya ukuran permasalahan secara linear. Traveling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan umum dalam optimasi kombinatorial dimana seorang salesman harus mengunjungi sejumlah N kota, disyaratkan setiap kota hanya dikunjungi sekali.

Masalah ini termasuk masalah NP-hard yang mana tidak mudah untuk menyelesaikannya dengan menggunakan metode eksak karena akan membutuhkan skala yang banyak. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan permasalahan ini maka diusulkan algoritma optimasi stokastik seperti metode heuristik. Pada penelitian ini menggunakan metode metaheuristik yaitu pengembangan dari heuristik dimana sistem random diarahkan kepada cara yang cerdas. Implementasi metaheuristik adalah untuk memberikan solusi yang optimal dan waktu komputasi yang cepat. Permasalahan yang diselesaikan dalam penelitian ini adalah bagaimana mengaplikasikan Biogeography Based Optimization (BBO) pada kasus Traveling Salesman Problem (TSP). Langkah-langkah algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) pada kasus Traveling Salesman Problem (TSP) adalah input, inisialisasi, pembangkitan populasi/pulau/habitat yaitu sejumlah rute (N) secara random, xi,g, i = 1,2…,N (jumlah pulau) dan spesies yaitu jumlah spesies/dimensi yaitu sebanyak kota (Dimension, D), evaluasi Kata Kunci:

Biogeography Based Optimization Traveling Salesman Problem

(2)

I. Pendahuluan

Traveling Salesman Problem (TSP) telah banyak mendapatkan perhatian dari ahli matematika dan ahli komputer secara khusus karena merupakan permasalahan yang mudah dideskripsikan dan sangat sulit untuk dipecahkan [1].Traveling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan umum dalam optimasi kombinatorial dimana seorang salesman harus mengunjungi sejumlah N kota, disyaratkan setiap kota hanya dikunjungi sekali.

Salesman ini harus memilih rute sehingga jarak total yang dia tempuh minimum [2].

Biogeography Based Optimization (BBO) pertama kali dipublikasikan oleh Simon [4]

dengan melakukan uji terhadap beberapa fungsi (persamaan) dan membandingkan BBO dengan metode optimasi berdasarkan populasi lain seperti Genetic Algorithm (GA) , Ant Colony Optimization (ACO), Differential Evolution (DE), Particle Swarm Optimization (PSO), Evolutionary Strategy (ES), Probability-based incremental learning (PBIL). Hasil penelitian tersebut mengkonfirmasikan bahwa BBO mendapatkan solusi yang lebih baik. Hal ini menunjukkan bahwa BBO merupakan algoritma yang menjanjikan. Kelebihan BBO dibandingkan metode optimasi sejenis yang berdasarkan biologi (GA, ACO, dan sebagainya) yaitu solusinya, Suitable Indeks Variabel (SIV) dapat digunakan secara bersama dengan populasi (island) lain. Hal ini menyebabkan sebuah populasi dapat memiliki sifat baik yang diberikan oleh populasi yang lain sehingga kemampuannya dalam mencari solusi menjadi lebih baik. Namun, BBO juga memiliki kekurangan yaitu konvergensinya ke solusi optimum yang lambat [5]. Hal ini menyebabkan waktu komputasi BBO cenderung lama.

Menurut Boussaid et al [6], saat ini BBO masih dalam tahap pertumbuhan dan memiliki peluang untuk dikembangkan agar dapat menghasilkan solusi yang lebih baik. Salah satu pengembangan BBO yang telah dilakukan adalah dengan menghibridasi BBO dengan DE (disebut DBBO). Differential Evolution (DE) dipilih karena untuk mencegah stagnasi BBO dan memberi keragaman pada BBO sehingga solusi BBO lebih baik [7]. Differential Evolution (DE), adalah metode yang bagus dalam mengeksplor kemampuannya untuk mencari lokasi global optimal namun kurang dalam mengeksploitasi solusinya [7].

Sebaliknya, BBO adalah metode yang bagus dalam mengeksploitasi solusinya namun kurang dalam mengeksplor kemampuannya. Hal ini menyebabkan DE memiliki waktu komputasi yang cepat namun kurang dalam mengeksploitasi kemampuannya. Sedangkan BBO mampu mengeksploitasi kemampuannya namun memiliki waktu komputasi yang lambat. Sehingga, hibrid BBO dan DE, DE/BBO diharapkan mampu mengkombinasikan eksplorasi DE dan eksploitasi BBO secara efektif [8]. Penelitian lain mengatakan bahwa hibrid DE dan PSO (DE-PSO) mendapatkan hasil yang lebih baik dan lebih mudah konvergen dibandingkan hanya DE dan PSO saja [9].

fungsi dalam hal ini adalah meminimasi jarak, pemetaan spesies pada High Suitable Index (HSI), migrasi, mutasi dan elitism. Hasil penelitian menunjukkan bahwa Biogeography Based Optimization (BBO) dapat digunakan untuk mencari minimasi fungsi, dalam hal ini minimasi jarak total untuk mendapatkan rute terbaik pada kasus Traveling Salesman Problem (TSP).

(3)

II. Landasan Teori A. Migrasi

Pada suatu permasalahan dengan metode BBO ini, High Suitable Index (HSI) merupakan acuan baik buruknya suatu solusi. Solusi yang baik analog untuk pulau dengan HSI tinggi, sebaliknya solusi yang buruk analog untuk pulau dengan HSI rendah. Pada penelitian ini, HSI serupa dengan nilai fitness function.

Hal yang tidak lepas dari HSI adalah SIV. SIV bisa didefinisikan sebagai variabel yang memberi karakter terhadap suatu pulau. SIV adalah variabel independent sedangkan HSI adalah variabel dependent [4]. Spesies yang baik analog dengan SIV yang baik pula.

Konsep migrasi sendiri bisa didefinisikan sebagai pencampuran variabel (kandidat solusi), karena suatu variabel di suatu habitat bisa bermigrasi dan bercampur dengan variabel lain di habitat yang lainnya.

Gambar 1. Kurva Migrasi [3]

Kurva pada gambar 1.1. menunjukkan tingkat imigrasi (spesies masuk ke pulau) dan emigrasi (spesies keluar dari pulau) sebagai fungsi dari jumlah spesies (k) dalam pulau.

Tingkat imigrasi maksimum yang mungkin dari suatu pulau disebut I, yang terjadi ketika jumlah spesies bernilai nol dalam pulau. Jumlah spesies terbanyak yang mungkin dari suatu pulau adalah n, dimana tingkat imigrasi menjadi nol. Tingkat emigrasi maksimum yang mungkin dari suatu pulau disebut E, yang terjadi ketika pulau berisi sejumlah besar spesies.

Keseimbangan jumlah spesies terjadi ketika tingkat imigrasi dan emigrasi adalah sama.

Emigrasi adalah keluarnya suatu variabel dari suatu pulau sedangkan imigrasi adalah masuknya suatu variabel ke suatu pulau. Tingkat emigrasi dan imigrasi masing-masing solusi digunakan untuk kemungkinan membagi informasi antar pulau. Menurut Simon [4], rumus tingkat emigrasi dan imigrasi adalah :

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝐸𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 = 𝜇𝑘 = ^𝐸^𝑘

𝑛 (1)

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝐼𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 = 𝜆𝑘 = 1(1 − ^𝑘

𝑛) (2)

Dimana,

E_k= tingkat emigrasi maksimum I= tingkat Imigrasi maksimum k = jumlah spesies

n = jumlah spesies terbanyak dalam suatu pulau

(4)

B. Mutasi

Konsep mutasi sudah digunakan di algoritma selain BBO , seperti pada GA. Mutasi dimaksudkan untuk memunculkan individu baru yang berbeda sama sekali dengan individu yang sudah ada [4]. Pada BBO yang menggunakan mutasi dari SIV , nilai kemungkinan jumlah spesies dalam suatu pulau digunakan untuk menentukan tingkat mutasi [4]. Menurut Simon [4], rumus tingkat mutasi adalah :

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑀𝑢𝑡𝑎𝑠𝑖 = 𝑚(𝑆) = 𝑚_𝑚𝑎𝑥( ^1−𝑃^𝑠

𝑃_𝑚𝑎𝑥) (3)

Dimana,

m_max = tingkat mutasi maksimum

P_s = pulau yang terkait dengan kemungkinan, yang menunjukkan bahwa suatu pulau tersebut diharapkan menjadi solusi untuk masalah yang diberikan

P_max = Argmax Ps

Secara matematis TSP ini bisa diformulasikan sebagai berikut:

min 𝑧 = ∑

𝑁 𝑖=1

∑

𝑁 𝑗=1

𝑐_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗 Subject to:

∑ 𝑥_𝑖𝑗 = 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

𝑁

𝑗=1

∑ 𝑥_𝑖𝑗 = 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

𝑁

𝑖=1

𝑢_𝑖− 𝑢_𝑗+ 𝑁𝑖𝑗 ≤ 𝑁 − 1 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 2, … , 𝑁, 𝑗 = 2, … 𝑁,

𝑢_𝑖, 𝑢_𝑗 ≥ 0

dimana c_ij adalah jarak antara kota i ke kota j dan x_ij bernilai 1 jika ij masuk dalam rute dan 0 jika ij tidak merupakan bagian dari rute. Set konstrain pertama dari persamaan (1) untuk menjamin satu kota hanya akan menuju satu kota yang lain. Sedangkan set konstrain kedua untuk menjamin satu kota hanya akan dikunjungi dari satu kota yang lain. Sedangkan set konstrain ketiga untuk menjamin agar tidak terjadi subrute dari satu kota I ke kota j dan langsung kembali ke i lagi. Atau, tidak dimungkinkan misalnya dari kota 2 ke kota 4 lalu kembali ke kota 2 lagi [2].

III. Metode Penelitian

Tahap penyelesaian menggunakan BBO menurut Boussaid et al. [6] adalah sebagai berikut :

A. Algoritma BBO

1. Inisialisasi parameter BBO (seperti kemungkinan modifikasi pulau, tingkat mutasi maksimum, jumlah spesies maksimum (n), tingkat migrasi maksimum (E dan I), tingkat mutasi maksimum (mmax) dan parameter elit)

2. Inisialisasi penghitung, maxgen

(5)

3. Bangkitkan populasi/pulau/habitat yaitu sejumlah rute (N) secara random, xi,g, i = 1,2…,N (jumlah pulau) dan spesies yaitu jumlah spesies/dimensi yaitu sebanyak kota (D), batas bawah (LB), dan batas atas (UB)

4. Evaluasi f(xi,g), i = 1,2…,N dalam hal ini adalah meminimasi jarak 5. Urutkan populasi dari yang terbaik ke yang terburuk

6. Petakan HSI seiring jumlah spesies 7. Hitung μk dan λk

8. Modifikasi anggota non-elit dengan algoritma 2.

9. Mutasi anggota non-elit dengan algoritma 3.

10. Evaluasi anggota baru dalam populasi 11. Ganti pulau dengan versi yang baru

12. Ganti pulau terburuk sekarang sebanyak elit dengan pulau terbaik sebelumnya.

Algoritma 2 menjelaskan mengenai operasi migrasi. Dari algoritma 2 dapat diketahui bahwa strategi migrasi sama seperti rekombinasi pada GA dan ES yang menghasilkan solusi keturunan dengan menggabungkan informasi yang ada pada orang tua.

Bagaimnapun juga, perbedaan mendasar yang diberikan adalah kenyataan bahwa rekombinasi pada ES adalah operasi reproduktif yang menghasilkan solusi baru, dimana pada BBO, migrasi digunakan untuk memodifikasi pulau yang ada.

B. Algoritma Migrasi

1. Normalisasi tingkat imigrasi dengan persamaan (5.4).

Normalisasi tingkat imigrasi:

𝜆_{𝑆𝑐𝑎𝑙𝑒} = (𝜆_{𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟}+ (𝜆_{𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟}− 𝜆_{𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟}))/𝜆_𝑀𝑎𝑥− 𝜆_𝑀𝑖𝑛 (3)

Dimana

λ_Lower,λ_Upper = batas bawah dan batas atas tingkat imigrasi λ_Max 〖,λ〗_Min = nilai maksimum dan nilai minimum λ 2. Gunakan λ_Scale untuk menentukan spesies yang berimigrasi 3. Proses migrasi terjadi jika

𝑥_𝑘𝑗= {𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 < 𝜆_{𝑆𝑐𝑎𝑙𝑒}

𝑥_𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (4)

Dimana

x_kj = solusi migrasi x_ij = solusi awal

C. Algoritma Mutasi

1. Hitung Ps menggunakan μ dan λ, seperti persamaan (2.6).

𝑃_𝑠= {

−(𝜆_𝑠+ 𝜇_𝑠)𝑃_𝑠+ 𝜇_𝑠+1𝑃_𝑠+1, 𝑆 = 0

−(𝜆𝑠+ 𝜇𝑠)𝑃_𝑠+ +𝜇𝑠+1𝑃𝑠+1, 1 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑚𝑎𝑥− 1

−(𝜆_𝑠+ 𝜇_𝑠)𝑃_𝑠+ 𝜆_𝑠−1𝑃_𝑠−1 𝑆 = 𝑆_𝑚𝑎𝑥

(5)

2. Gunakan Ps untuk menghitung m(S)

(6)

3. Proses mutasi terjadi jika:

𝑥_{𝑚𝑢𝑡𝑎𝑠𝑖} = { 𝑥_𝑘𝑗 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 < 𝑚(𝑆)

𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (6)

Dimana

x_mutasi= solusi mutasi x_kj = solusi migrasi

Tahap-tahap penyelesaian BBO dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Mulai

Pendefinisian Input dan Output

Inisialisasi Parameter

Inisialisasi Penghitung

Inisialisasi Random Populasi:

Solusi Awal

Evaluasi Fungsi

Mengurutkan Fungsi

Memetakan HSI ke jumlah spesies

Menghitung : µ dan λ

Menormalisasi tingkat imigrasi:

λscale

Membangkitkan bilangan random

kemudian membandingkan

dengan λscale

Membandingkan Bilangan Random

dengan total µ dan memberi

indeks

Algoritma 2:

Migrasi

Algoritma 3:

Mutasi

Solusi Migrasi (SIV) sama dengan solusi

awal Algoritma 2:

Migrasi

Solusi migrasi sama dengan solusi awal pada

masing-masing indeks

Elitisme : Mendapatkan

solusi Baru

Apakah Iterasi terpenuhi ?

Berhenti Ya Tidak

Apakah Bilangan Random < λscale

Tampilkan Hasil

Algoritma 3:

Mutasi

Ya Tidak

Menghituhng m(S)

Membangkitkan Bilangan Random

untuk separuh jumlah spesies masing-masing

populasi

Apakah Bilangan Random < m(S)

Solusi Mutasi sama dengan solusi Migrasi

Ya

Solusi Mutasi sama dengan Bilangan random

atau nol Tidak Biogeography Based Optimization

(7)

Gambar 2. Algoritma BBO IV. Hasil dan Pembahasan

Parameter penelitian yang digunakan adalah batas bawah untuk kemungkinan imigrasi (lambdaLower = 0), batas atas untuk kemungkinan imigrasi (lambdaUpper = 1), tingkat imigrasi maksimum (I=1), tingkat emigrasi maksimum E=1, kemungkinan modifikasi habitat (pmodif=1), kemungkinan mutasi (pmutate=0.005), jumlah island yang dielitkan (elit=1), jumlah spesies maximum dalam suatu island (n=20).

Berikut adalah Tabel Matrik jarak antar kota :

Tabel 1. Matrik Jarak Antar Kota

Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Kota 5

Kota 1 0 132 217 164 58

Kota 2 ₁₃₂ ₀ ²⁹⁰ ²⁰¹ ⁷⁹

Kota 3 ₂₁₇ ₂₉₀ ⁰ ¹¹³ ³⁰³

Kota 4 164 201 113 0 196

Kota 5 ₅₈ ₇₉ 303 196 0

Tabel 2. Replikasi Rute Terbaik dan Jarak Totalnya Replikasi Rute Terbaik Jarak Totalnya

1 1-5-2-4-3-1 668

2 3-4-2-5-1-3 668

3 5-2-4-3-1-5 668

4 4-3-1-5-2-4 668

5 2-5-1-3-4-2 668

Berikut adalah cara perhitungan jarak total dari rute terbaik yang diperoleh:

Rute_terbaik = 1-5-2-4-3-1

Jarak totalnya =

0+58+79+201+113+217 = 668

Dari perhitungan menggunakan Biogeography Based Optimization (BBO) pada Traveling Salesman (TSP) , dapat dilihat pada Tabel 3.2, maka didapat rute terbaik dan jarak totalnya. Pada replikasi 1 hingga replikasi 5 , rute terbaik yang didapat berbeda-beda.Pada replikasi 1 hingga replikasi 5, nilai jarak totalnya adalah sama yaitu 668.

(8)

Gambar 3. Grafik Biogeography Based Optimization Pada Traveling Salesman Problem Dari Grafik pada Gambar 3.1 di atas dapat dilihat hubungan antara iterasi dan nilai fungsi tujuan, dalam hal ini minimasi fungsi jarak. Semakin iterasi bertambah, maka semakin nilai fungsi tujuannya menurun hingga mendapatkan fungsi jarak minimal. Sehingga Biogeography Based Optimization (BBO) dapat diaplikasikan pada Traveling Salesman Problem (TSP) untuk mencari jarak terbaik yaitu minimasi fungsi jarak.

V. Kesimpulan

Hasil algoritma dan pengujian dapat ditarik kesimpulan, yakni algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) telah berhasil di buat. BBO juga telah dapat menyelesaikan permasalahan Traveling Salesman Problem (TSP). Selanjutnya, algoritma BBO pada replikasi 1 hingga 5 mendapatkan rute terbaik berbeda-beda dan jarak total yang sama yaitu 668.

Daftar Pustaka

[1] Hoffman L.Karla, Padberg Manfred, Rinaldi Giovanni, 2016. Traveling Salesman Problem.

Encyclopedia of Operations Research and Management Science

[2] Santosa Budi and Ai Jin The(2017). Pengantar Metaheuristik Implementasi dengan Matlab. ITS TEKNO SAINS, Surabaya

[3] Mo Hongwei, Lifang Xu, 2010. Biogeography Based Optimization for Traveling Salesman Problem. 2010 Sixth International COnference on Natural Computation (ICNC 2010)

[4] Simon, D. (2008). Biogeography Based Optimization, IEEE Transactions On Evolutionary Computation, Vol. 12, No. 6, December 2008

[5] Lohokare, M.R, Pattnaik, S.S, Devi, S. Panigrahi, B.K. Das, S and Jagdhav, D.G. (2010).

Discrete Variables Function Optimization Using Accelerated Biogeography-Based Optimization.

National Institute of Technical Teachers’ Training and Research Chandigarh, India

[6] Boussaid, I. Chatterjee, A. Siarry, P. Nacer, M. (2011). Two-Stage Update Biogeography-Based Optimization Using Differential Evolution Algorithm (DBBO), Computers & Operations Research 38 (2011) 1188–1198

[7] Norman N and Iba H (2008).Accelerating differential evolution using anadaptive local search.

IEEE Trans Evol Comput 12(1):107–125

(9)

[8] Gong Wenyin, Cai Zhihua, Ling X Charles (2010). DE/BBO: a hybrid differential evolution with biogeography-based optimization for global numerical optimization. China University of Geosciences

[9] Pant Millie, Thangaraj Radha, Grosan Crina and Abraham Ajith (2008). Hybrid Differential Evolution – Particle Swarm Optimization Algorithm for Solving Global Optimization Problems.

Department. of Paper Technology, IIT Roorkee, India