n n+ yx ( ) = y + exp( x ) exp(2 x ) 1 + 2y exp(2 yx ) exp( t) exp(2 t) 1 exp( 2 ytdt ) yn exp(2 ynh) exp( xn) (exp(2 xn) 1)

Lampiran 1 . Penurunan Persamaan pada Contoh 2 Diketahui :

(

)

1 ( ) exp( ) exp(2 ) 1 2 f x = x − x −

(

)

2 , , n n n n K x t y =y

1

λ

=

yang memberikan bentuk:

(

n, ,n n

)

0 J x t y =

(

_n

, ,

_{n n}

)

0

Q x t y

=

(

n, ,n n

)

2 n Z x t y = y

Berdasarkan persamaan (14) diperoleh:

(

)

2 0 1 ( ) exp( ) exp(2 ) 1 (2 ) ( 0) 2 ( ) 2 x n n n n y x = x − x − +_⎣⎡y −y y ⎤_⎦ x− + y

∫

y t dt atau

(

)

0 1 ( ) exp( ) exp(2 ) 1 2 ( ) 2 x n n y x = x − x − −y x+ y

∫

y t dt Dari persamaan (20) diperoleh:

(

)

1

(

)

1 1 1

1 1

( ) exp( ) exp(2 ) 1 2 exp(2 ) exp( ) exp(2 ) 1 exp( 2 )

2 2 n n x n n n n n n n x y x y x x y y x t t y t dt + + + + = + − − +

_∫

− − − 2 1 1

exp(2 ) exp( ) (exp(2 ) 1)

2 2 2 n n n n n n y y y h x x y ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ − _{⎣ ⎦}+ _⎨ − + − _⎬ ⎩ ⎭ atau

(

)

1

(

)

1 1 1 1 1

( ) exp( ) exp(2 ) 1 2 exp(2 ) exp( ) exp(2 ) 1 exp( 2 )

2 2 n n x n n n n n n n x y x y x x y y x t t y t dt + + + + = + − − +

_∫

− − − 1

exp(2 ) exp( ) (exp(2 ) 1)

2 2 2 n n n n n y y y h ⎧ x x ⎫ − + ⎨ − + − ⎬ ⎩ ⎭ atau

(

)

1 1 1 1

( ) exp( ) exp(2 ) 1 exp(2 ) exp( ) (exp(2 ) 1)

2 2 2 2 n n n n n n n y y y x x+ x+ y h x x ⎧ ⎫ = + − − + ⎨ − + − ⎬ ⎩ ⎭

(

)

1 1 1

2 exp(2 ) exp( ) exp(2 ) 1 exp( 2 ) 2 n n x n n n n x y y x t t y t dt + + +

_∫

− − − .

Lampiran 2. Penurunan Persamaan pada Contoh 3 Diketahui : 4 2 5 3 ( ) 10 6 8 x f x = − + x +

(

, ,

)

2 2 n n n n y K x t y x =

1

λ

=

yang memberikan bentuk:

(

)

22 1

, ,

2

n n n n n

y

J x t

y

x

₊

= −

(

n, ,n n

)

0 Q x t y =

(

)

1 , , n n n n n y Z x t y x ₊ =

Berdasarkan persamaan (23) diperoleh:

2 2 4 2 1 2 1 1 1 10 5 3 ( ) ( )( ) ( ) ( 0) ( ) 10 6 8 2 2 x n n n n n n n n n n y y y y x y x x x x y x y t dt x₊ + x₊ x₊ x₊ ⎡ ⎤ = − + + +_⎢ + − − − _⎥ − + ⎣ ⎦

∫

atau 2 4 2 1 1 1 1 0 5 3 ( ) (1 2) ( ) 10 6 8 2 x n n n n n n y x x y x y x x x y t dt x x x + + + + ⎡ − ⎤ = − + + +_⎢ − − _⎥ + ⎣ ⎦

∫

atau 2 4 2 1 1 1 1 0 5 3 ( ) (1 ) ( ) 10 6 8 2 x n n n n n n y x x y x y x x x y t dt x x x + + + + ⎡ − ⎤ = − + + −_⎢ + _⎥ + ⎣ ⎦

∫

Dari persamaan (27) diperoleh:

1 4 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 5 3 exp( ) ( )exp( ) ( 1) 10 6 8 2 2 n n x n n n n n n n n n n n n x n n n n n x y y x y x y y y x y f t t dt n h x x y x y x + + + + + + + + + + ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎫ ⎪ ⎪ = − + + + − − _⎨ +_⎜ + + _⎟⎜− _⎟⎬ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭

∫

atau 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 exp( ) ( ) exp( ) ( 1) 10 6 8 2 2 n n x n n n n n n n n n n n x n n n x y y y x y y y x y f t t dt n h x x y x + + + + + + + + ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎫ ⎪ ⎪ = − + + + − −_⎨ +_⎜ + + _⎟⎜− _⎟⎬ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭

∫

4 2 1 1 1 2 5 3 exp ( 1) 2 2 10 6 8 n n n n n n n n n y y x y x h n h x x y x + + + ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟⎨ ⎜ − + ⎟⎜− ⎟+ − − ⎬ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎭ 2 2 4 2 1 1 2 1 1 1 2 5 3 exp ( 1) 10 6 8 2 n n n n n n n n n n n n y x y x y x h n h x x y x y x + + + + + ⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎛ ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟⎨ ⎢ +⎜ − + ⎟⎜− ⎟⎥+ − − ⎬ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪⎩ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎪⎭

atau 1 4 2 1 1 1 1 1 1 5 3 ( 1) exp( ) ( ) exp( ) 1 1 10 6 8 2 n n x n n n n n n n n n x n n x y y y n h y y x y f t t dt x x x + + + + + + + ⎛ ⎡ + ⎤ ⎞ = − + + + − −⎜_⎜ ⎢ − ⎥− ⎟_⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫

4 2 1 1 ( 1) 5 3 exp 1 1 2 10 6 8 n n n n n n y y n h x h x x+ x+ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎛ − ⎞ ⎪ + _{⎜ ⎟⎨ ⎜} − _⎟− + − − _⎬ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠ ⎭ atau 1 4 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 5 11 1 exp( ) ( ) exp( ) 2 10 6 8 n n x n n n n n n n n n n x n y n h x y y y y x y f t t dt x x x + + + + + + + ⎛ ⎡ + ⎤⎞ = −⎜_⎜ ⎢ − ⎥⎟_⎟− + + + − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫

4 2 1 1 ( 1) 5 11 exp 1 2 10 6 8 n n n n n n y y n h x h x x+ x+ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎛ − ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟⎨ ⎜ − ⎟+ − − ⎬ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠ ⎭ atau 1 4 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 5 11 1 exp( ) ( ) exp( ) 2 10 6 8 n n x n n n n n n n n n x n y n h x y y y x y f t t dt x x x + + + + + + + ⎛ + ⎞ = _⎜ + _⎟− + + + − ⎝ ⎠

∫

4 2 1 1 ( 1) 5 11 exp 1 2 10 6 8 n n n n n n y y n h x h x x+ x+ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎛ − ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟⎨ ⎜ − ⎟+ − − ⎬ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠ ⎭.

Lampiran 3. Penurunan Persamaan pada Contoh 4 Diketahui : 1 ( ) exp( ) exp(2 ) 2 f x = − +x x

(

)

2

, ,

n n n n

K x t

y

=

y

1

λ

=

yang memberikan bentuk :

(

_n

, ,

_{n n}

)

0

J x t y

=

(

_n

, ,

_{n n}

)

0

Q x t y

=

(

_n

, ,

_{n n}

)

2

_n

Z x t y

=

y

Berdasarkan persamaan (20) diperoleh penurunan persamaan (32) seperti berikut:

1

1 1 1

1 1

( ) exp( ) exp( 2 ) 2 exp(2 ) exp( ) exp( 2 ) exp( 2 )

2 2 n n x n n n n n n n x y x y x x y y x t t y t dt + + + + ⎛ ⎞ = + − + − + _⎜ − + − _⎟ − ⎝ ⎠

∫

2

1

1

exp(2

)

exp(

)

exp( 2

)

2

2

2

n n n n n n

y

y

y h

x

x

y

⎧

⎫

⎡

⎤

−

_⎣

_⎦

+

_⎨

−

−

−

−

_⎬

⎩

⎭

atau 1 1 1 1 1 1

( ) exp( ) exp( 2 ) 2 exp(2 ) exp( ) exp( 2 ) exp( 2 )

2 2 n n x n n n n n n n x y x y x x y y x t t y t dt + + + + ⎛ ⎞ = + − + − + _⎜ − + − _⎟ − ⎝ ⎠

∫

1

exp(2

)

exp(

)

exp( 2

)

2

2

2

n n n n n

y

y

y h

⎧

x

x

⎫

−

+

⎨

−

−

−

−

⎬

⎩

⎭

atau 1 1 1 1 1 1

( ) exp( ) exp( 2 ) 2 exp(2 ) exp( ) exp( 2 ) exp( 2 )

2 2 2 n n x n n n n n n n x y y x x x y y x t t y t dt + + + + ⎛ ⎞ = + − + − + _⎜ − + − _⎟ − ⎝ ⎠

∫

1

exp(2 ) exp( ) exp( 2 )

2 2 n n n n y y h ⎧ x x ⎫ + ⎨ − − − − ⎬ ⎩ ⎭.

Lampiran 4. Syntax dan Hasil Komputasi Program MATLAB untuk Contoh 2 Persamaan Integral Volterra

Berikut ini diperlihatkan script perhitungan program MATLAB untuk mencari perbandingan solusi numerik dan analitik persamaan integral Volterra dari contoh 2.

clc h=0.1; x=0:h:1; y0=1; y=[]; n=max(size(x)) y(1)=y0; z0=1; z=[]; z(1)=z0; z=exp(x); for i=1:n-1 F=@(t)(exp(t)-(1/2).*(exp(2.*t)-1)).*exp(-2.*y(i).*t); y(i+1)=y(i)/2+exp(x(i+1))-(1/2)*(exp(2*x(i+1))-1)+exp(2*y(i)*h)*... ((y(i)/2)-exp(x(i))+(1/2)*(exp(2*x(i))-1))+2*y(i)*exp(2*y(i)*x(i+1))... *quad(F,x(i),x(i+1)); end x y z plot(x,y,'bo',x,z,'--r') clc h=0.01; x=0:h:1; y0=1; y=[]; n=max(size(x)) y(1)=y0; z0=1; z=[]; z(1)=z0; z=exp(x); for i=1:n-1 F=@(t)(exp(t)-(1/2).*(exp(2.*t)-1)).*exp(-2.*y(i).*t); y(i+1)=y(i)/2+exp(x(i+1))-(1/2)*(exp(2*x(i+1))-1)+exp(2*y(i)*h)*... ((y(i)/2)-exp(x(i))+(1/2)*(exp(2*x(i))-1))+2*y(i)*exp(2*y(i)*x(i+1))... *quad(F,x(i),x(i+1)); end x y z plot(x,y,'bo',x,z,'--r')

clc h=0.001; x=0:h:1; y0=1; y=[]; n=max(size(x)) y(1)=y0; z0=1; z=[]; z(1)=z0; z=exp(x); for i=1:n-1 F=@(t)(exp(t)-(1/2).*(exp(2.*t)-1)).*exp(-2.*y(i).*t); y(i+1)=y(i)/2+exp(x(i+1))-(1/2)*(exp(2*x(i+1))-1)+exp(2*y(i)*h)*... ((y(i)/2)-exp(x(i))+(1/2)*(exp(2*x(i))-1))+2*y(i)*exp(2*y(i)*x(i+1))... *quad(F,x(i),x(i+1)); end x y z plot(x,y,'bo',x,z,'--r')

Hasil numerik penyelesaian persamaan integral Volterra dari contoh 2 dengan perhitungan menggunakan program MATLAB adalah sebagai berikut.

X h=0.1 h=0.01 h=0.001 0.0 1.000000 1.000000 1.000000 0.1 1.104800 1.105200 1.105200 0.2 1.220500 1.221400 1.221400 0.3 1.348100 1.349800 1.349900 0.4 1.488800 1.491800 1.491800 0.5 1.643700 1.648700 1.648700 0.6 1.814000 1.822000 1.822100 0.7 2.000500 2.013600 2.013800 0.8 2.203900 2.225300 2.225500 0.9 2.423300 2.459200 2.459600 1.0 2.655600 2.717600 2.718300

Hasil analitik penyelesaian persamaan integral Volterra dari contoh 2 adalah sebagai berikut.

X h=0.001 0.0 1.000000 0.1 1.105200 0.2 1.221400 0.3 1.349900 0.4 1.491800 0.5 1.648700 0.6 1.822100 0.7 2.013800 0.8 2.225500 0.9 2.459600 1.0 2.718300

Lampiran 5. Syntax dan Hasil Komputasi Program MATLAB untuk Contoh 3 Persamaan Integral Volterra

Berikut ini diperlihatkan script perhitungan program MATLAB untuk perbandingan solusi numerik dan analitik persamaan integral Volterra dari contoh 3 untuk h=0.1.

clc h=0.1; x=0:h:1; y0=1; y=[]; n=max(size(x)) y(1)=y0; x0=0; z0=1; z=[]; z(1)=z0; for i=1:n-1 f(i)=-x(i).^4/10+5.*(x(i).^2)/6+3/8; f(i+1)=-x(i+1).^4/10+5.*(x(i+1).^2)/6+3/8; k(i+1)=(y(i).^2)/(2.*(x(i+1))); j(i+1)=-(y(i).^2)/(2.*(x(i+1).^2)); z(i+1)=y(i)/x(i+1); F=@(t)((-((t.^4)/10)+(5.*(t.^2)/6)+(3/8)).*exp(-z(i+1).*t)); y(i+1)=y(i)+f(i+1)+(z(i+1).*exp(y(i)).*quad(F,x(i),x(i+1)))... -((1/z(i+1)).*(k(i+1)+((((i+1).*h)+(2/z(i+1))).*j(i+1))))... +exp(z(i+1).*h).*(((1/z(i+1)).*(k(i+1)+((((i-1).*h+2/z(i+1))).*j(i+1))))-f(i)); z(i+1)=(x(i+1).^2)+(1/2); r(i)=y(i)-z(i); end x y z r

Hasil numerik penyelesaian persamaan integral Volterra dari contoh 3 dengan perhitungan menggunakan program MATLAB adalah sebagai berikut.

x Analitik Numerik Tingkat kesalahan

0.0 1 1 0 0.1 0.51 1.1528 0.6428 0.2 0.54 1.2068 0.6668 0.3 0.59 1.2633 0.6733 0.4 0.66 1.3325 0.6725 0.5 0.75 1.4156 0.6656 0.6 0.86 1.5124 0.6524 0.7 0.99 1.6217 0.6317 0.8 1.14 1.7421 0.6021 0.9 1.31 1.8717 0.5617 1.0 1.5 2.0085 0.5085

Lampiran 6. Syntax dan Hasil Komputasi Program MATLAB untuk Contoh 4 Persamaan Integral Volterra

Berikut ini diperlihatkan script perhitungan program MATLAB untuk perbandingan solusi numerik dan analitik persamaan integral Volterra dari contoh 4 untuk h=0.1.

clc h=0.1; x=0:h:1; y0=1; y=[]; n=max(size(x)) y(1)=y0; z=exp(-x); for i=1:n-1 F=@(t)((exp(-2.*t)/2+exp(-t)).*exp(-2.*y(i).*t)); y(i+1)=y(i)/2+exp(-x(i+1))+exp(-2*x(i+1))/2+2*y(i)*exp(2*y(i)*x(i+1))*quad(F,x(i),x(i+1))... +exp(2*y(i)*h)*(y(i)/2-exp(-x(i))-exp(-2*x(i))/2); end x y z plot(x,y,'ob',x,z,'--r')

Hasil numerik penyelesaian persamaan integral Volterra dari contoh 4 dengan perhitungan menggunakan program MATLAB adalah sebagai berikut.

X Solusi numerik Solusi Analitik Tingkat Kesalahan

0.0 1.000000 1.000000 0.000000 0.1 0.904500 0.9048 0.000300 0.2 0.818100 0.8187 0.000600 0.3 0.739800 0.7408 0.001000 0.4 0.669000 0.6703 0.001300 0.5 0.604900 0.6065 0.001600 0.6 0.546900 0.5488 0.001900 0.7 0.494300 0.4966 0.002300 0.8 0.446800 0.4493 0.002500 0.9 0.403700 0.4066 0.002900 1.0 0.364700 0.3679 0.003200