PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

(1)

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n

MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S-1

Oleh :

NURWIYATI

0901060149

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

(2)

lft--'i="I

',,::l

IIALAI\{AN PERSETUJUAII

PDNYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI.,, MENGGT,NAKAN TEOREMA TOI\IELLI

SKRIPSI

Oleh

I{URWTYATI 0901050149

Telah diporikse dan disetujui oleh:

Pembimbing

I

Pombimbing

II

4k+ Setveninsih-

M.Si

Erni Yldivestutt M.Si

NrK.21601tD

ntII(

2160227

l

:

-i

(3)

1.

Skripsi Berjudul

PEI\TYELESAIAII INTEGRAL DIMENSI-r MENGGtiNAKAft TEOREMA TOI\TELLI

Dipersiapkan dan disusun oleh: 1YTTRWIYATI

0901060149

Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 16 Agustus 2013 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan

persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Pembimbing Eka Setyaninesih. S.Si.. M.Si

NIK.2160109

Erni Widivastuti. S.Si.. M.Si NtK.2160227

Penguji Dr. H. Akhmad Jazuli" M.Si

NIK.2160037

Chumaedi Sueihandadji. S.Si.. M.Si NIK.2160127

Purwokerto, 16 Agustus 2013 Universitas Muhammadiyah Purwokerto Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Dekan, Drs. Ahmad. M.Pd . 19650804 199403

I

002 2.

qz

...."{!::::::::::_:: .

m

l.

2.

ffi

ffiR

(4)

ST]RAT PERNYATAAI\I

Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama NIM Program Studi Fakultas Nurwiyati 0901060149

P*fidikan

Matematika

Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Menyusun skripsi denganjudul :

PEI\IYELESAIAI\I INTEGRAL I}IMENSI-z MENGGUNAKAI\I TEOREMA TONELLI Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalah hasil karya tulis saya sendiri dan bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya orang lain. Bila pernyataan ini tidak benar, maka saya bersedia menerima saoksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yaug sudah saya peroleh. Purwokerto, 16 Agustus 2013 Yang menyatakan TURWTYATI (0901060149) lv

(5)

v

PERSEMBAHAN

Mengucap puji syukur padaMu ya Alloh atas semua berkah dan

rahmat yang telah Engkau berikan. Dengan tulus skripsi ini ku

persembahkan untuk:



Bapak dan Mama yang selalu memberi dukungan kepadaku.

Terima kasih banyak atas do’a yang senantiasa mengalir

untukku. Buat Mama, semoga sakit yang sudah sekian lama

diderita bisa cepat sembuh dan bisa sehat kembali.

(6)

vi

MOTTO

Sesungguhnya sesudah kesulitan akan datang kemudahan, maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh - sungguh (urusan) yang lain.

( Q. S. Al insyirah : 6-7). Barang siapa yang menempuh jalan di dunia ini untuk mencari ilmu di dalamnya, maka Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga

( H. R Muslim). My Quality Must Be Better Than My Performance

(7)

vii ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penyelesaian integral dimensi-n

menggunakan Teorema Tonelli. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur dengan langkah - langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki apakah permasalahan integral dimensi-n dapat diselesaikan secara langsung dengan urutan pengintegralan yang diberikan. 2) Menyelidiki keterintegralan dari fungsi pada permasalahan integral dimensi-n

yang diberikan. 3) Menyelidiki keterukuran fungsi pada permasalahan integral dimensi-n. Jika fungsi terukur dan non-negatif, Teorema Fubini sulit diterapkan pada permasalahan ini, maka dalam hal ini diterapkan Teorema Tonelli. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut: jika terdapat fungsi f :ABR merupakan fungsi yang terukur dan non-negatif pada interval AB Rn dan



 

   B A dxdy y x f , , maka

 

_

 



 A B B A dx y x f dy dy y x f dx , , . Tetapi jika



 

   B A dxdy y x f , dapat diartikan integral dari nilai absolut fungsi tidak terbatas, maka dapat disimpulkan nilai

 



B A dxdy y x

f , tidak terdefinisi dan



 





 

A B B A dx y x f dy dy y x f dx , , , sehingga

Teorema Tonelli tidak berlaku pada permasalahan ini.

(8)

viii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada hambaNya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahanNyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli”. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabatnya.

Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya bahwa masih banyak banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian.

Pada kesempatan ini peneliti menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih peneliti ucapkan kepada:

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

(9)

ix

3. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si, Kaprodi Pendidikan Matematika dan Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si, Pembimbing I yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

5. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini.

Teriring do’a dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Peneliti berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.

Purwokerto, 16 Agustus 2013

(10)

x DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

SURAT PERNYATAAN ... iv

PERSEMBAHAN ... v

MOTTO ... vi

ABSTRAK ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR LAMBANG ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xvii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Rumusan Masalah ... 3

C. Tujuan ... 3

D. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real ... 5

B. Himpunan ... 8

(11)

xi

1. Himpunan Terbatas ... 8

2. Himpunan Bilangan Real ... 11

3. Himpunan Terbuka dan Tertutup ... 12

C. Fungsi ... 14 1. Fungsi Komposisi ... 15 2. Fungsi Aljabar ... 16 3. Fungsi Transenden ... 16 4. Fungsi Terbatas ... 18 D. Limit ... 19 1. Limit Fungsi di R ... 19 2. Limit Fungsi di R2 ... 22 3. Limit Fungsi di n R ... 22 E. Kekontinuan ... 23 1. Kekontinuan di R ... 23 2. Kekontinuan di R2 ... 24 3. Kekontinuan di Rn ... 24 F. Turunan 1. Turunan di R ... 25

a. Aturan Pencarian Turunan ... 27

b. Turunan Fungsi Trigonometri ... 28

c. Turunan Fungsi Invers ... 28

(12)

xii

e. Turunan Fungsi Logaritma ... 29

f. Turunan Fungsi Eksponensial ... 29

g. Turunan Tingkat Tinggi ... 30

2. Turunan di Rn ... 30

G. Integral ... 35

1. Integral Tak Tentu ... 36

2. Integral Tentu ... 41

a. Integral lipat dua atas persegi panjang ... 43

b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang ... 46

c. Perhitungan integral lipat dua atas daerah persegi panjang .. 47

d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub ... 49

H. Integral Kurzweil-Henstock ... 52 I. Himpunan Terukur ... 57 1. Ukuran Luar ... 57 2. Ukuran Dalam ... 57 3. Himpunan Terukur ... 58 J. Fungsi Terukur ... 58 K. Teorema Tonelli ... 60

BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 61

BAB IV PEMBAHASAN ... 66

A. Integral Dimensi-n ... 66

B. Sifat – Sifat Integral Dimensi-n ... 68

(13)

xiii

C. Teorema Tonelli ... 73 D. Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli ... 74 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan ... 90 B. Saran ... 90 DAFTAR PUSTAKA ... 91

(14)

xiv

DAFTAR LAMBANG

 Untuk setiap

 Elemen/anggota

 _{Bukan anggota}

 Himpunan bagian sejati

 _{Himpunan bagian}

R Sistem bilangan real

n

R Ruang dimensi-n

 

0



R Himpunan semua bilangan real kecuali 0

x Harga mutlak x

y

x x lebih besar dari y

y

x x lebih kecil dari y y

x x lebih besar atau sama dengan y y

x x lebih kecil atau sama dengan y y

x Jika x maka y

y

x x jika dan hanya jika y

█ Bukti selesai

 Tidak sama dengan

Sup A Batas atas terkecil himpunan A

Inf A Batas bawah terbesar himpunan A

(15)

xv

 Gabungan

 Irisan

 Himpunan kosong

f

D Daerah asal fungsi f

f

R Daerah hasil fungsi f

f

g Komposisi fungsi f dilanjutkan fungsi g

f g

D  Daerah asal komposisi fungsi g f

f g

R _ Daerah hasil komposisi fungsi g f

 

x f 1 Invers fungsi f

 

x

 

x f c x

lim Limit dari fungsi f

 

x dengan x mendekati c

 

x f

c x

lim Limit kanan fungsi f

 

x di titik c

 

x f

c x _

lim

 Limit kiri fungsi f

 

x di titik c

 

x f '

Turunan pertama dari fungsi f

 

x

J Volume atau ukuran (measure) interval J  AB P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P

 

E

*

 Ukuran luar himpunan E

 

E

*

 Ukuran dalam himpunan E

 

E

 Ukuran himpunan E

B A

(16)

xvi

 



b a dx x

f Integral dari fungsi f

 

x pada

 

a,b

 



J

dx x

f Integral dari fungsi f

 

x pada interval J

 



B A dxdy y x

f , Integral dari fungsi f

 

x,y pada interval AB

 

 

A B dy y x f

dx , Integral dari fungsi f

 

x,y yang diintegralkan pertama pada interval B kemudian dilanjutkan pada interval A



n



n J dx dx dx x x x f 1, 2,..., 1 2...

...

 

Integral fungsi f



x₁,x₂,...,x_n



pada interval

n

R J 

(17)

xvii

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR Halaman

II.1 Anggota Himpunan A ... 10

II.2 Diagram Panah Fungsi y f

 

x ... 15

II.3 Diagram Panah Fungsi g f ... 16

II.4 Himpunan S ... 24

II.5 Fungsi f ... 31

II.6 Jumlah Riemann ... 42

II.7 Daerah R



 

x,y :axb,c yd



... 43

II.8 Permukaan z  f

 

x,y ... 44

II.9 Kurva S Tertutup ... 46

II.10 Kurva S dikelilingi Persegi Panjang R ... 46

II.11 Kurva S: z f

 

x,y ... 46

II.12 Kurva Sederhana-y ... 47

II.13 Kurva Sederhana-x ... 47

II.14 Kurva S Sebagai Persegi Panjang ... 48

II.15 Kurva S Bukan Sederhana x atau Sederhana y ... 48

II.16 Gabungan Dua Himpunan Sederhana-y S₁ dan S₂ ... 49

II.17 Persegi Panjang Kutub ... 50

(18)

xviii

II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub ... 51

IV.1 Irisan Oleh Bidang y = konstan ... 72

IV.2 Irisan Oleh Bidang x = konstan ... 73

IV.3 Irisan Oleh Bidang y = konstan ... 74

IV.4 Fungsi z ex2y2 ... 80