PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Solusi multivalued dapat muncul dalam masalah-masalah fisika. Masalah-masalah yang memerlukan perhitungan solusimultivaluedantara lain masalah ge-lombang dispersi, optika geometri, pendekatan semiklasik persamaan Schr¨odinger linear dan nonlinear, kedatangan ganda dalam tomografi dan migrasi seismik, dan lain-lain. Meskipun masalah-masalah ini sering dijelaskan dengan persamaan di-ferensial parsial nonlinear atau persamaan Hamilton-Jacobi, solusi viskositas atau solusi entropi klasik tidak memadai untuk menjelaskan perilaku setelah terjadi si-ngularitas. Dalam hal ini solusimultivaluedlebih memadai untuk menjelaskan per-ilaku setelah terjadi singularitas.
Terdapat dua golongan metode yang digunakan untuk menghitung solusi multivalued. Teknik klasik yang dapat digunakan adalah ray tracing, yang meru-pakan metode Lagrangian yang menyelesaikan sekumpulan persamaan diferensial biasa untuk menelusuri muka gelombang (wavefronts). Metode ini mudah untuk diimplementasikan, namun dapat menghadapi kesulitan dalam resolusi spasial/ru-ang saat titik-titik yspasial/ru-ang awalnya berdekatan mungkin menjadi divergen pada waktu selanjutnya. Hal ini dapat mengakibatkan kehilangan akurasi numerik. Golongan satunya melibatkan metode Eulerian, yang menyelesaikan persamaan diferensial parsial padagridkonstan (fixed).
Metodelevel setadalah salah satu metode berbasis Eulerian. Beberapa pene-litian telah dilakukan untuk menghitung solusi multivalued persamaan diferensial parsial menggunakan metodelevel set. Jin dan Osher (2003) menerapkan metode level set dalam menghitung solusi multivalued persamaan diferensial parsial hi-perbolik quasilinear dan persamaan Hamilton-Jacobi. Selain itu Liu dkk. (2006) menerapkan metodelevel set dalam menghitung solusi mutivaluedpersamaan
nlinear orde-satu. Secara khusus Liu dan Wang (2007) menerapkan metode level set terhadap persamaan Euler-Poisson 1D. Selain itu Sumardi (2012) menerapkan metodelevel setterhadap model disipatif dua kanal.
Dalam tesis ini penulis tertarik mengkaji secara khusus penerapan meto-de level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan transport hiperbolik. Persamaan transport adalah persamaan yang menjelaskan fenomena fisika dima-na partikel, energi, atau kuantitas fisika lainnya ditransfer ke dalam suatu sistem fisika karena dua proses: adveksi dan difusi. Persamaan transport hiperbolik men-jelaskan fenomena transport dimana hanya terjadi proses konveksi (adveksi) tanpa melibatkan proses difusi. Persamaan transport hiperbolik menjadi merupakan salah satu masalah yang dibahas oleh Jin dan Osher (2003) juga Liu dkk. (2006).
Metode level set dapat dikerjakan dengan menggunakan beberapa skema, baik untuk pendiskritan waktu maupun pendiskritan ruang. Untuk itu penulis ingin melakukan perhitungan solusimultivalued persamaan transport hiperbolik dengan menggunakan beberapa skema kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Selain itu penulis ingin melakukan penelitian pada aplikasinya dalam pendekatan semiklasik persamaan Schr¨odinger. Dalam pendekatan ini khususnya untuk kasus 1D, akan muncul persamaan transport hiperbolik nonlinear yang akan menghasilk-an singularitas dalam waktu berhingga. Solusiviskositasmenghasilkan gelombang shockbukanlah solusi yang tepat untuk permasalahan ini karena menyalahi prinsip superposisi. Untuk itu yang perlu dicari adalah solusimultivalued.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, rumusan masalah dari penelitian ini adalah
1. Bagaimana perumusanlevel setuntuk persamaan transport hiperbolik?
2. Bagaimana merumuskan algoritma dan pemrograman metodelevel setuntuk menghitung solusimultivaluedpersamaan transport hiperbolik?
hiper-bolik dengan menggunakan metodelevel set?
4. Bagaimana menyelesaikan masalah pendekatan semiklasik persamaan Schr¨odi-nger menggunakan metodelevel set?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini penulis memberikan batasan masalah yang akan di-bahas. Walaupun dalam penurunan persamaan transport hiperbolik dan penurunan persamaan level setnya adalah multidimensional, namun algoritma numerik yang disusun dan percobaan numerik dilakukan hanya untuk persamaan transport hiper-bolik dalam ruang dimensi satu. Persamaan Schr¨odinger yang dibahas adalah yang berdimensi satu.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Menentukan perumusanlevel setuntuk persamaan transport hiperbolik.
2. Merumuskan algoritma dan pemrograman numerik metode level set untuk menghitung solusimultivaluedpersamaan transport hiperbolik.
3. Melakukan percobaan numerik metode level set terhadap persamaan trans-port hiperbolik serta menganalisis hasil yang diperoleh.
4. Merumuskan dan menyelesakan masalah masalah pendekatan semiklasik per-samaan Schr¨odinger menggunakan metodelevel set
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangsih terhadap perkem-bangan ilmu pengetahuan tentang penerapan metodelevel setserta untuk me-nambah wawasan dalam bidang matematika terapan
2. Secara khusus diharapkan dapat memberikan gambaran tentang penerapan metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan trasnport hiperbolik, serta aplikasinya dalam masalah pendekatan semiklasik persama-an Schr¨odinger.
1.6 Tinjauan Pustaka
Metode level set terus dikembangkan semenjak dikemukakannya pertama kali dalam artikel oleh Osher dan Sethian (1988). Dalam artikel tersebut dibahas cara menangkap pergerakan front dengan kecepatan yang bergantung pada kurva-turnya, berbasis pada perumusan Hamilton-Jacobi. Namun tidak hanya gerakan dengan kecepatan bergantung kurvatur saja yang dapat dikerjakan dengan meto-de level set, namun gerakan dengan kecepatan begantung arah normal, kecepatan bergantung medan kecepatan eksternal, serta kecepatan berdasarkan kuantitas ge-ometrik lainnya. Hal tersebut dijelaskan dalam buku karangan Osher dan Fedkiw (2003) dan Sethian (1999).
Solusi persamaan diferensial parsial dapat dianggap sebagai interface se-hingga dapat dikerjakan dengan metodelevel set. Metodelevel setsangat berguna khususnya dalam perhitungan solusi multivaled. Jin dan Osher (2003) dalam ar-tikelnya mengembangkan metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan hiperbolik quasilinear dan persamaan Hamilton-Jacobi. Kemudian Liu dkk. (2006) dalam artikelnya mengembangkan metodelevel set untuk menghitung solusi persamaan nonlinear orde satu bentuk umum dalam sebarang dimensi ruang. Lebih khusus lagi Liu dan Wang (2007) mengembangkan metode level set un-tuk menghitung medan kecepatan dan medan listrikmultivalued untuk persamaan Euler-Poisson 1 dimensi (1D).
Penurunan persamaan transport hiperbolik dijelaskan dalam Kuzmin (2010). Dalam buku ini dijelaskan fenomena transport secara umum berdasarkan prinsip konservasi serta penurunan fungsi fluks berdasarkan efek konveksi dan difusi. Per-samaan transport hiperbolik sendiri merupakan kasus khusus dimana hanya terda-pat efek konveksi tanpa memperhitungkan efek difusi.
Penjelasan mengenai persamaan Schr¨odinger diambil dari buku karangan Young dan Freedman (2015). Kemudian untuk pembahasan mengenai perhitungan solusi mutivalued dalam masalah pendekatan semiklasik persamaan Schr¨odinger diacu dari artikel Jin dkk. (2003).
Penulisan tesis ini juga didukung oleh beberapa buku dalam memberikan dasar teori yang digunakan. Buku karangan Ross (1984) dan Farlow (2012) digu-nakan dalam mempelajari persamaan diferensial. Persamaan difensial parsial orde-satu dipelajari dari buku karangan Zauderer (2006) dan Courant dan Hilbert (1962). LeVeque (1992) memberikan penjelasan mengenai hukum konservasi dan LeVeque (2007) memberikan penjelasan tentang pendekatan beda hingga. Metode numerik yang akan digunakan dalam metode level set beserta persamaan Hamilton-Jacobi dipelajari dari buku karangan Osher dan Fedkiw (2003). Penjelasan metode nu-merik tersebut didukung beberapa artikel, antara lain Shu dan Osher (1988) dan Shu dan Osher (1989) dalam penjelasan metodetotal variation diminishing Runge-Kutta dan metodeessentially non-oscillatory, Jiang dan Peng (2000) dalam penje-lasan metodeweighted essentially non-oscillatory.
Terakhir, dalam memahami implementasi algoritma metodelevel setke da-lam pemrograman Matlab, dipelajaritoolboxMatlab yang dikembangkan oleh Su-mengen (2005).
1.7 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu mempelajari buku-buku dan artikel-artikel ilmiah yang relevan dengan metodelevel setuntuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.
Penelitian diawali dengan mempelajari ide dasar metodelevel set baik da-ri buku maupun dada-ri artikel (paper) ilmiah. Penulis menyelidiki kasus metode le-vel setyang sesuai untuk menyelesaikan persamaan transport hiperbolik. Dari sini didapati bahwa kasus yang sesuai adalah gerakan dengan medan kecepatan yang dibangkitkan secara eksternal. Berdasarkan artikel acuan utama, penurunan rumus level setuntuk transport hiperbolik yang merupakan persamaan diferensial parsial
orde-satu membutuhkan landasan teori mengenai persamaan karakteristik.
Setelah diperoleh rumuslevel setuntuk persamaan transport hiperbolik, pe-nulis meninjau bagian numerik dari metodelevel set. Bagian numerik pertama ada-lah metode pendiskritan waktu yaitu metode Euler danTotal Variation Diminishing (TVD) Runge-Kutta. Bagian kedua adalah pendiskritan ruang yaitu skemaupwind, serta pendekatan derivatif ruang dengan orde yang lebih tinggi, yaitu Essentially Non-Oscillatory(ENO)danWeighted Essentially Non-Oscillatory(WENO). Lebih lanjut penulis mempelajari persamaan Hamilton-Jacobi dan pendiskritan numerik-nya.
Langkah selanjutnya adalah mempelajari fenomena trasport yang memuat dua proses yaitu konveksi dan difusi. Dengan berdasarkan pada hukum konservasi, diturunkan persamaan transport umum yang merepresentasikan fenomena trans-port. Persamaan transport hiperbolik diperoleh dari persamaan transport umum de-ngan asumsi efek difusi dapat diabaikan. Langkah berikutnya yang dilakukan ada-lah menurunkan persamaanlevel setuntuk persamaan transport hiperbolik. Setelah diperoleh persamaanlevel set, penulis menyusun algoritma numerik dengan meng-gunakan skema numerik yang telah dipelajari sebelumnya dan mengimplementasi-kannya ke dalam pemrograman Matlab. Pada tahap berikutnya penulis melakukan percobaan numerik dan analisis terhadap hasil yang diperoleh.
Berikutnya dipelajari mengenai perhitungan solusi multivalued pendekat-an semiklasik persamapendekat-an Schr¨odinger. Pertama dibahas secara umum persamapendekat-an Schr¨odinger beserta model-model sistem kuantum. Kemudian diteliti masalah per-samaan Schr¨odinger dengan syarat awal berfrekuensi tinggi. Penyelesaian masalah ini didekati dengan pendekatan semiklasik, yaitu dengan metode Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Kemudian disusun metode perhitungan untuk memperoleh be-saran fisis teramati (densitas dan kecepatan) dengan menerapkan metodelevel set untuk persamaan transport hiperbolik. Setelah disusn prosedur numerik diberikan contoh perhitungan numeriknya.
1.8 Sistematika Penulisan
Pada penelitian ini sistematika penulisan yang digunakan penulis adalah se-bagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi teori-teori yang menunjang dalam pembahasan penelitian ini ya-itu persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial orde-satu, metode level set, pendekatan beda hingga, metode pendiskritan waktu, skema pendiferensian upwind, dan persamaan Hamilton-Jacobi .
BAB III PERHITUNGAN SOLUSIMULTIVALUEDPERSAMAAN TRANS-PORT HIPERBOLIK
Bab ini berisi penjelasan rencana penelitian dalam melakukan penelitian metode level setuntuk persamaan transport hiperbolik yaitu berupa langkah penelitian dan rencana jadwal penelitian.
BAB IV PERHITUNGAN PENDEKATAN SEMIKLASIK PERSAMAAN
SCHRO-DINGER DENGAN METODELEVEL SET
Bab ini memuat penjelasan mengenai persamaan transport, perumusan level set le-vel set untuk persamaan transport hiperbolik, metode numerik, prosedur numerik, dan percobaan numerik.
BAB V PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil pembahasan berdasarkan tujuan penelitian. Se-lain itu juga berisi saran untuk pengembangan penelitian berikutnya.
