PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP OPTIMASI LINEAR MUHAMAD AVENDI

(1)

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL

ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP

OPTIMASI LINEAR

MUHAMAD AVENDI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2014

(2)

(3)

iii

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik Terhadap Optimasi Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir diskripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Januari 2014

Muhamad Avendi

(4)

ABSTRAK

MUHAMAD AVENDI. Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik terhadap Optimasi Linear. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.

Optimasi adalah suatu ilmu dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsi yang memenuhi kendala-kendala. Sedangkan optimasi linear khusus mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear dengan kendala-kendala yang juga linear. Parameter-parameter dalam model optimasi linear dapat mengalami perubahan. Oleh karena itu perlu menganalisis perubahan ini dengan menggunakan analisis parametrik. Analisis parametrik merupakan analisis yang berguna untuk memeriksa dampak dari perubahan parameter secara kontinu terhadap solusi optimal. Masalah analisis parametrik memperkenankan parameter terpilih atau diubah secara kontinu pada interval tertentu. Sifat-sifat dari analisis parametrik yaitu (1) nilai optimal fungsi berbentuk kontinu, konkaf/konveks dan

piecewise linear, (2) pada suatu interval tertentu perubahan parameter tidak akan mengubah solusi optimalnya, (3) break point adalah suatu titik di mana solusi optimal akan berubah bila terjadi perubahan parameter dari sisi kiri break point ke sisi kanannya, dan (4) terdapat titik ekstrem yang juga merupakan break point. Kata kunci: Analisis Parametrik, break point, Interval Linear, Optimasi Linear.

ABSTRACT

MUHAMAD AVENDI. Determination of Optimal Solution and Optimal Value of Parametric Analysis of Linear Optimization. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS.

Optimization is a field of applied mathematics which studies problems to find the minimum or maximum value of a function that satisfies all of the constraints. Moreover, linear optimization studies a problem where its objective function is a linear function and all of its constraints are linear also. The parameters of a linear optimization problem may have a variation. Therefore, it is necessary to analyze this variation. The analysis of parametric is a useful analysis in studying the continuously effects of parameter variations to the optimal solution. Parametric analysis introduces optional parameters ( ) which are changed continually at a certain interval. The characteristics of parametric analysis are as follows; (1) the optimal-value function is continuous, concave/convex and piecewise linear, (2) at a certain interval, the variations of parameter does not effect the optimal solution, (3) break point is a point at which the optimal solution will have a variations if the parameter value change from the left side of the break point to the right side, and (4) there is an extreme point which is also a break point. Keywords: Parametric Analysis, break point, Linearity Interval, Linear Optimization.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL

ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP

OPTIMASI LINEAR

MUHAMAD AVENDI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2014

(6)

(7)

Judul Skripsi : Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik Terhadap Optimasi Linear

Nama : Muhamad Avendi NIM : G54090031

Disetujui oleh

Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan Januari 2013. Judul karya ilmiah ini adalah Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik terhadap Optimasi Linear.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi selaku dosen pembimbing, serta Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada kedua orang tua yakni Ayah Supendi dan Ibu Manzilah (Alm), kakak dan adik-adikku yakni Kak Eka, Ridwan, Nabila, Diana dan Faraby serta seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46 yakni Galih, Aldi (dio), Adit, Mirna, Rohmat, Qowi dan lainnya, kakak dan adik kelas, sahabat SMA yakni Andika, teman kos Badoneng Ceria yakni Fahmi, Arif, Suhe dan Karim serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Januari 2014

(9)

ix

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2

Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2

Optimasi Linear 3

Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf 4

Analisis Parametrik 6

HASIL DAN PEMBAHASAN 6

Nilai Optimal Fungsi Adalah Piecewise Linear 9

Set Optimal pada Interval Linear 11

Set Optimal di Break Point 14

Titik Ekstrem di Interval Linear 17

Prosedur Menentukan Semua Break Point dan Interval Linear 19

Contoh Aplikasi 22

SIMPULAN DAN SARAN 29

Simpulan 29

Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 30

LAMPIRAN 31

(10)

DAFTAR GAMBAR

1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks 5

2 Ilustrasi fungsi konveks 5

3 Ilustrasi fungsi konkaf 5

4 Nilai optimasi 10

5 Nilai optimasi 11

6 Hasil analisis untuk contoh aplikasi 1 25

7 Hasil analisis untuk contoh aplikasi 2 29

DAFTAR LAMPIRAN

1 Pembuktian domain dari adalah konveks 31

2 Pembuktian pelengkap dari domain adalah subset terbuka

dari garis real. 32

3 Pembuktian Lema 3 32

4 Algoritme Nilai Optimal Fungsi dan 33 5 Algoritme Nilai Optimal Fungsi dan 34

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Optimasi adalah suatu bidang dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada. Optimasi linear khusus mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear, dengan kendala yang juga linear (berupa persamaan atau pertidaksamaan). Dalam pemodelan optimasi linear, setiap parameter yang digunakan dalam model diasumsikan nilainya diketahui dengan pasti. Parameter-parameter ini terdiri dari koefisien nilai ruas kanan ( ) dan koefisien fungsi tujuan . Pada kenyataannya, parameter-parameter tersebut kebanyakan adalah hasil perkiraan pengambil keputusan yang dapat mengalami perubahan karena faktor-faktor tertentu.

Faktor-faktor yang menyebabkan perubahan-perubahan parameter ini, umumnya merupakan faktor yang berada di luar kendali para pengambil keputusan. Faktor-faktor tersebut seperti situasi ekonomi, bencana alam, dan lain sebagainya. Misalnya, apabila situasi ekonomi mengalami krisis, hal tersebut dapat menyebabkan terjadinya perubahan pada parameter-parameter koefisien fungsi tujuan. Demikian juga halnya dengan bencana alam, dapat menyebabkan terjadinya perubahan pada parameter-parameter nilai ruas kanan.

Pada saat terjadi perubahan, parameter-parameter mungkin ada yang sensitif terhadap perubahan. Artinya ada parameter-parameter yang bila nilainya berubah, solusi optimalnya berubah. Sementara itu terdapat juga parameter yang meskipun nilainya berubah, namun tidak mempengaruhi solusi optimal. Oleh karena itu perlu menganalisis perubahan ini dengan menggunakan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan yang terjadi pada parameter-parameter model optimasi linear terhadap solusi optimal yang telah dicapai (Lestaurika 2007).

Roos et al. (2006) menggunakan analisis parametrik sebagai bentuk lain dari analisis sensitivitas. Analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas sistematis karena perubahan parameter terjadi secara kontinu. Oleh karena itu, analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas lanjutan yang sangat berguna untuk memeriksa dampak dari hubungan parameter-parameter yang berubah secara kontinu dan bersamaan. Pada tugas akhir ini, penulis meneliti interval yang diizinkan dari perubahan parameter-parameter tersebut hingga solusi tetap optimal.

Pada karya ilmiah ini akan dibahas penentuan solusi optimal dan nilai optimal analisis parametrik terhadap optimasi linear, dengan rujukan utama adalah Roos et al. (2006) yang berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization.

(12)

Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:

1 menjelaskan dan mengonstruksi kembali analisis parametrik,

2 menganalisis perubahan parameter yakni koefisien dari fungsi tujuan dan/atau nilai ruas kanan kendala terhadap solusi optimal, dengan sifat-sifat analisis parametrik.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah terkait analisis parametrik yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti sistem persamaan linear, matriks, optimasi linear, fungsi konveks dan fungsi konkaf yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Berikut ini akan dibahas definisi SPL dan matriks. Suatu persamaan linear dalam N variabel dinyatakan sebagai berikut

dengan dan b adalah bilangan-bilangan real dan adalah variabel (Leon 1998). Persamaan linear tersebut disebut sebagai hiperbidang pada ruang Euclid berdimensi , (Anton & Rorres 2005). Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari persamaan dalam variabel adalah suatu sistem berbentuk

dengan dan adalah bilangan bilangan real dan adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran

(Leon 1998). Penyelesaian SPL berukuran adalah sebuah vektor berukuran , yaitu [

], yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian. SPL berukuran tersebut dapat ditulis dalam bentuk dengan vektor-vektor kolom dan (maisng-masing berukuran ) adalah

[ ] [

] (Anton & Rorres 2005). Selain itu, SPL berukuran tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk

(13)

dengan matriks A, vektor kolom dan vektor kolom b (masing-masing berturut-turut berukuran , dan ) adalah

[ ] , [ ], [ ].

Matriks A disebut matriks koefisien, sedangkan vektor kolom b disebut sebagai vektor konstanta. Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaiaan, sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaiaan dikatakan takkonsisten (Leon 1998).

Matriks identitas adalah matriks yang berukuran , dengan {

Suatu matriks A yang berorde dikatakan tak singular jika terdapat matriks B sehingga AB=BA=I. Matriks B dikatakan invers multiplikatif dari matriks A. Invers multiplikatif dari matriks taksingular A secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks A dan dinotasikan dengan . Transpos dari suatu matriks yang berukuran adalah matriks yang berukuran yang terdefinisi oleh

untuk setiap i dan j. Transpos dari A dinotasikan oleh (Leon 1998). Optimasi Linear

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi optimasi, optimasi linear, daerah fisibel, solusi fisibel, dan solusi optimum. Optimasi adalah suatu bidang dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada. Optimasi Linear (OL) khusus mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear, dengan kendala yang juga linear (berupa persamaan atau pertidaksamaan). Misalkan menyatakan suatu fungsi dalam variable-variabel . Fungsi dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta , = (Winston 2004.) Sebagai contoh merupakan fungsi linear, sedangkan bukan fungsi linear. Jika f fungsi linear dan d konstanta, maka merupakan persamaan linear. Untuk sembarang fungsi linear dan sembarang bilangan d,

pertidaksamaan dan adalah pertidaksamaan linear (Winston 2004).

Solusi optimasi linear mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut

min{ }

dengan vektor , serta adalah matriks berpangkat baris penuh. Masalah disebut masalah primal.

(14)

Masalah dual dari masalah primal diberikan sebagai berikut max { },

dengan dan . Masalah disebut masalah dual. adalah notasi dari nilai optimal dan . Daerah fisibel dari masalah didefinisikan sebagai

{ } sedangkan daerah fisibel dari didefinisikan sebagai

{ } (Roos et al. 2006).

Daerah fisibel optimasi linear adalah daerah yang memenuhi semua kendala pada optimasi linear. Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi semua kendala pada optimasi linear (Nash & Sofer 1996).

Solusi Basis

Solusi dari suatu optimasi linear disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut:

1 Solusi tersebut memenuhi kendala pada optimasi linear, 2 Kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan

komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.

Solusi dari suatu optimasi linear disebut solusi basis jika memenuhi _{. Vektor} _{disebut solusi basis fisibel jika} _{merupakan solusi} basis dan (Nash & Sofer 1996).

Pada masalah maksimisasi, solusi optimum suatu optimasi linear adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Pada masalah minimisasi, solusi optimum suatu optimasi linear adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil (Winston 2004). Dalam (Roos et al.

2006) setiap sistem persamaan linear dan pertaksamaan linear yang memenuhi kondisi titik interior jika ada solusi fisibel yang memenuhi semua kendala ketaksamaan dalam sistem.

Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi himpunan konveks, fungsi konkaf, fungsi konkaf serta ilustrasinya. Sebelum membahas fungsi konveks dan konkaf, sebaiknya terlebih dahulu dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan S menyatakan himpunan titik. Himpunan S adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan sembarang titik-titik dalam S seluruhnya termuat dalam S, atau dengan perkataan lain himpunan dikatakan himpunan konveks jika untuk setiap dan untuk setiap [ ] berlaku Ilustrasi himpunan konveks dan bukan konveks diberikan pada Gambar 1 berikut (Maulana 2009).

(15)

Gambar 1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks

Pada Gambar 1, lingkaran (i) dan persegi panjang (ii) merupakan himpunan konveks, sedangkan bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan konveks. Dalam (Bazaraa et al. 1993), dimisalkan . Maka ∑ dengan ∑ dan untuk disebut kombinasi konveks dari . Konsep fungsi konveks dan fungsi konkaf yang digunakan pada karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini.

Misalkan , dengan S himpunan konveks yang takkosong di . Fungsi f dikatakan konveks di S jika

untuk setiap dan untuk setiap [ ]

Ilustrasi:

Gambar 2 Ilustrasi fungsi konveks

Misalkan , dengan S himpunan konveks yang takkosong di . Fungsi f

dikatakan konkaf di S jika

untuk setiap dan untuk setiap [ ] (Peressini et al. 1988).

Ilustrasi:

(16)

Analisis Parametrik

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi analisis parametrik dan sifat sifat analisis parametrik. Analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas sistematis karena perubahan parameter terjadi secara kontinu. Oleh karena itu, analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas lanjutan yang sangat berguna untuk memeriksa dampak dari hubungan parameter-parameter yang berubah secara kontinu dan bersamaan (Lestaurika 2007). Dalam buku yang ditulis Roos C, Terlaky T, dan Vial J-Ph tahun 2006 dimodelkan hasilnya sifat-sifat dari analisis parametrik yaitu (1) nilai optimal fungsi dengan adanya perubahan parameter-parameter pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan pada masalah optimasi linear adalah kontinu, konkaf/konveks dan piecewise linear, (2) pada suatu interval tertentu perubahan parameter tidak akan mengubah solusi optimalnya, (3) break point adalah suatu titik di mana solusi optimal akan berubah bila terjadi perubahan parameter dari sisi kiri break point ke sisi kanannya, dan (4) terdapat titik ektrem yang juga merupakan break point. Untuk lebih lanjut mengenai sifat-sifat tersebut akan dibahas di Bab Hasil dan Pembahasan.

Proposisi 1 (Dualitas Lemah)

Misalkan adalah solusi fisibel untuk dan adalah solusi fisibel untuk maka . disebut kesenjangan dualitas. Akibatnya, adalah batas atas untuk nilai optimal dari , jika ada, serta adalah batas bawah untuk nilai optimal dari , jika ada. Selanjutnya, jika kesenjangan dualitas adalah nol maka adalah solusi optimal dari dan adalah solusi optimal dari (Roos et al. 2006).

Teorema 1.1 (Dualitas)

Jika dan fisibel maka kedua masalah tersebut mempunyai solusi optimal; kemudian, dan adalah solusi optimal jika dan hanya jika . Jika tak satu pun dari dua masalah memiliki solusi optimal, maka keduanya dan tidak fisibel atau salah satu dari dua masalah adalah tidak fisibel dan yang lain tak terbatas (Roos et al. 2006).

Teorema 1.2 (Goldman-Tucker)

Jika dan fisibel maka terdapat solusi optimal dengan strictly complementary (pelengkap yang kuat), yaitu suatu pasangan solusi optimal dengan (Roos et al. 2006).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan menyelidiki efek dari perubahan b dan c pada nilai optimal fungsi . Jadi kita akan mempelajari nilai optimal fungsi yang dapat ditulis sebagai berikut.

(17)

sebagai fungsi dari parameter dan , dan dan adalah vektor perturbasi (pengganggu), vektor b dan c adalah tetap. Karya ilmiah ini mempelajari tentang kasus-kasus variasi yang hanya terjadi pada salah satu dari dua vektor b dan c. Ini berarti, jika kita mengambil maka akan diperhatikan variasi dari demikian pula sebaliknya, jika kita mengambil maka akan diperhatikan variasi dari .

adalah notasi perturbasi untuk masalah primal dengan dan ( ) untuk masalah dualnya. Daerah fisibel pada kedua masalah diatas dilambangkan dengan dan . Sebaliknya juga, adalah notasi perturbasi untuk masalah dual dengan dan ( ) untuk masalah primalnya serta daerah fisibel pada masalah diatas dilambangkan dengan dan . Perhatikan bahwa daerah fisibel adalah hanya dan daerah fisibel ( ) hanya . Asumsi yang diberikan bahwa b dan c sedemikian rupa sehingga (P) dan (D) keduanya fisibel. Oleh karena itu, adalah didefinisikan ada dan terbatas. Selanjutnya notasi berikut akan diperkenankan

( )

Disini domain dari parameter dan diambil sebesar mungkin dengan memperhatikan domain Jika ada maka fungsi ini terdefinisi. Perhatikan bahwa, ketika bervariasi maka daerah fisibel ( ) adalah konstan, dan karena diasumsikan bahwa ( ) fisibel untuk , berarti ( ) fisibel untuk setiap nilai . Oleh karena itu, didefinisikan jika masalah dual ( ) memiliki solusi optimal dan tidak didefinisikan (atau tak terhingga) jika masalah dual ( ) tak terbatas. Dengan Teorema Dualitas ini berarti bahwa didefinisikan jika dan hanya jika masalah primal ( ) fisibel. Dengan cara yang sama dapat dipahami bahwa domain dari terdiri dari semua yang ( ) fisibel dan ( ) dibatasi.

Lema 1

Domain dari dan adalah konveks. Bukti:

Akan dibuktikan untuk domain dari adalah konveks. Untuk bukti ada di Lampiran 1. Diberikan , dom dan < < . Kemudian dan adalah terbatas, ini berarti bahwa dan tidak kosong. Diberikan

dan . Kemudian dan adalah nonnegatif dan

Sekarang perhatikan

(18)

Perhatikan bahwa adalah kombinasi konveks dari dan dan karena adalah nonnegatif maka akan ditunjukkan bahwa Dengan mengurangkan dengan sehingga mengakibatkan

dengan mengalikan matriks dengan persamaan (2) sehingga

ini membuktikan bahwa ( ) adalah fisibel dan karenanya dom Domain dari dan dalam interval sebenarnya ditutup pada garis real. ini mengikuti dari lema di atas, dan fakta bahwa pelengkap dari domain dari dan adalah subset terbuka dari garis real. Pernyataan terakhir adalah isi dari lema berikutnya.

Lema 2

Pelengkap dari domain dan adalah subset terbuka pada garis real. Bukti:

Seperti dalam pembuktian sebelumnya, untuk bukti pelengkap dari domain adalah subset terbuka dan pada garis real terdapat di Lampiran 2 karena mirip dengan bukti untuk . Kita cukup menunjukkan bahwa pelengkap dari dom adalah terbuka. Diberikan dom . Ini berarti bahwa ( ) adalah takterbatas. Hal tersebut setara dengan keberadaan vektor sedemikian rupa sehingga

Dengan menetapkan z dan mempertimbangkan sebagai variabel, di mana himpunan semua yang memenuhi ketidaksetaraan secara sempurna adalah interval terbuka. Untuk semua dalam interval ini ( ) takterbatas. Oleh karena itu, pelengkap dari domain dari adalah terbuka. Suatu dampak dari dua lema terakhir adalah teorema berikutnya, yang tidak memerlukan bukti lebih .

Teorema 2

Domain dari dan adalah interval tertutup pada garis real. Diberikan Contoh 1 yang mengacu pada Lema 2 dan Teorema 2 berikut ini. Contoh 1

Tentukan dengan masalah

{ }

Dalam kasus ini b = (0, 1) dan c = (1). Perhatikan bahwa (D) adalah daerah fisibel dan dibatasi. Set dari semua solusi yang optimal terdiri dari setiap ( , 1)

(19)

dengan . Sekarang mari kita lihat dan mempertimbangkan efek mengganti b dengan , dan membiarkan sebagaimana dijelaskan di atas. Kemudian,

{ }

dengan mudah untuk memverifikasi bahwa masalah perturbasi adalah tak terbatas untuk semua taknol. Karenanya domain dari adalah himpunan singleton yakni {0}.

Selanjutnya akan dibahas tentang sifat-sifat dari analisis parametrik yaitu nilai optimal fungsi adalah piecewise linear, set optimal pada interval linear, set optimal di break point, dan titik ekstrem di interval linear. Keempat sifat-sifat tersebut disajikan pula teorema, lema, dan corollary beserta buktinya yang mendukung. Pada subbab terakhir akan disajikan prosedur mencari break point

dan interval linear serta contoh aplikasi.

Nilai Optimal Fungsi Adalah Piecewise Linear

Dalam subbab ini akan ditunjukkan bahwa fungsi dan

piecewise linear pada domainnya. Kita mulai dengan . Teorema 3

adalah kontinu, konkaf dan piecewise linear. Bukti:

Menurut definisi,

{ }

Untuk setiap dicapai nilai minimum pada solusi sentral dari masalah perturbasi ( ). Solusi ini secara unik ditentukan oleh partisi optimal ( ). Karena jumlah partisi dari himpunan indeks penuh, { } adalah terbatas maka dapat dituliskan

{ } di mana T adalah subset terbatas dari P. Untuk setiap x T

yang merupakan fungsi linear dari . Karena adalah minimum dari satu set fungsi linear terbatas maka adalah kontinu, konkaf dan piecewise linear.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi piecewise linear pada domainnya yang disajikan dalam Teorema 4 berikut ini.

Teorema 4

adalah kontinu, konveks dan piecewise linear. Bukti:

Buktinya dengan cara yang sama seperti Teorema 3. Menurut definisi, { }

Untuk setiap β yang nilai maksimum dicapai pada solusi pusat dari ( ). Sekarang secara unik ditentukan oleh partisi optimal ( ) dan yang konstan untuk semua yang optimal. Mengaitkan salah satu khususnya

(20)

dengan setiap kemungkinan slack yang muncul timbul dalam cara ini didapatkan

{ }

di mana S adalah subset terbatas dari . Untuk setiap y , kita memiliki

merupakan fungsi linear dari . Hal ini menjelaskan bahwa adalah maksimum set terbatas dari fungsi linear. Oleh karena itu, adalah kontinu, konveks dan piecewise linear, seperti yang dibutuhkan.

Perubahan kemiringan nilai optimal fungsi dari disebut break points dari dan setiap interval antara dua break point secara berturut-turut disebut linearity interval (interval linear) dari . Dengan cara yang sama kita mendefinisikan break point dan interval linear untuk . Berikut ini diberikan Contoh 2 yang mengacu pada Teorema 3.

Contoh 2

Untuk seti p γ mempertimbangkan masalah ( ) didefinisikan oleh ( )

Dalam hal ini adalah konstan dan vektor perturbasi untuk c = (1, 3, 1) adalah

Masalah Dualnya

( ) { } Dari sini dijelaslah bahwa nilai optimal diberikan oleh

Grafik dari nilai optimal fungsi digambarkan pada Gambar 4. Perhatikan bahwa

Gambar 4 Nilai optimal fungsi

adalah piecewise linear dan konkaf. Break point dari terjadi pada dan

(21)

Berikut ini diberikan Contoh 3 yang mengacu pada Teorema 4. Contoh 3

Untuk setiap mempertimbangkan masalah ( ) didefinisikan oleh

( ) { }

Dalam hal ini b adalah konstan dan vektor perturbasi untuk adalah Masalah Dualnya ( ) { } Setara dengan { } Dengan misalkan variabel baru yakni , sehingga menjadi

{ } dapat ditulis kembali

{ } Dari sini dijelaslah bahwa nilai optimal diberikan oleh

Grafik dari nilai optimal fungsi digambarkan pada Gambar 4.

Gambar 5 Nilai optimal fungsi

adalah piecewise linear dan konveks. Break point dari terjadi pada dan .

Set Optimal pada Interval Linear

Untuk setiap di domain kita notasikan set optimal ( ) oleh dan set optimal ( ) oleh .

Teorema 5

Jika adalah linear pada interval [ , ], di mana < maka set optimal dualnya adalah konstan untuk ( , ).

(22)

Bukti:

Ambil ̅ ( , ) sembarang dan ̅ ̅ sembarang. Karena ̅ adalah optimal untuk ̅ kita memiliki

( ) ( ) dan, saat ̅ adalah masalah dual yang fisibel untuk semua β,

Diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) Fungsi berbentuk linear pada [ , ] akan mengakibatkan

( )

Dengan menggunakan aturan ̅ dan ̅ dapat mengakibatkan

( ) ( ) Oleh karena itu, persamaan (11) berubah menjadi pertidaksamaan (12), dan kemiringan pada interval tertutup [ , ] pada . Ini berarti bahwa turunan

terhadap pada interval terbuka ( , ) memenuhi ( ̅) Hal tersebut sama artinya dengan,

Dapat disimpulkan bahwa optimal untuk setiap dengan . Karena adalah sembarang di dapat dikatakan bahwa

Karena ̅ adalah sembarang di interval terbuka , argumen di atas berlaku untuk setiap ̃ , maka dapat dibuat

̃

Sehingga dapat disimpulkan bahwa dan ̃ , maka ̃. Bukti di atas menyatakan bahwa harus memiliki nilai yang sama untuk setiap dan setiap dapat dinyatakan sebagai berikut. Corollary 5.1

Menurut hipotesis dari Teorema 5,

Dengan kontinuitas dapat ditulis

Dapat menyiratkan konsekuensi lainnya.

Corollary 5.2

Berdasarkan hipotesis dari Teorema 5 untuk perubahan , kemudian

Dalam hasil selanjutnya dapat sepakati dengan kebalikan dari implikasi dari Teorema 5 disajikan dalam Teorema 6 berikut ini.

(23)

Teorema 6

Misalkan dan sedemikian rupa sehingga . Kemudian konstan untuk setiap dan linear pada interval [ ].

Bukti:

Misalkan . Kemudian

Pertimbangkan fungsi h linear:

̅ ̅ [ ] Kemudian bertepatan dengan f di dan . Karena konveks dapat mengakibatkan

[ ] Jadi fisibel untuk setiap [ ]. Karena adalah nilai optimal dari ,

̅ ̅ Oleh karena itu, yang bertepatan dengan di [ ]. Berakibat, linear di [ ] dan ̅ optimal untuk , bila [ ]. Karena ̅ sembarang di berakibat pada subset dari untuk setiap . Berdasarkan Teorema 5 dan Corollary 5.2 juga memiliki pernyataan sebaliknya (inklusi converse). Set optimal dual di adalah konstan.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk setiap di domain kita notasikan set optimal ( ) oleh dan set optimal ( ) oleh , disajikan dalam Teorema 7, Corollary 7.1, dan Corollary 7.2 berikut ini.

Teorema 7

Jika adalah linear pada interval [ ], di mana , maka set optimal primal adalah konstan untuk .

Bukti: lihat Roos et al. 2006 Corollary 7.1

Berdasarkan hipotesis dari Teorema 7,

( ) Corollary 7.2

Berdasarkan hipotesis dari Teorema 7 ₍

) untuk sembarang ( ). Maka ₍ ₎ ₍ ₎

Dalam hasil selanjutnya dapat sepakati dengan kebalikan dari implikasi pada Teorema 7 yang disajikan dalam Teorema 8 berikut ini.

Teorema 8

Misalkan dan sedemikian rupa sehingga . Kemudian adalah konstan untuk setiap [ ] dan adalah linear pada interval [ ].

(24)

Bukti: lihat Roos et al. 2006.

Diberikan Contoh 4 yang mengacu pada Teorema 7 berikut ini. Contoh 4

Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 2 untuk setiap , masalah ( ) didefinisikan sebagai berikut

( ) Kendala Masalah Dual

( ) { }

Didapat vektor perturbasi untuk adalah

Pada masalah ini didapatkan break point terjadi pada dan dan Gambar 4 menerangkan bahwa adalah linear pada interval [ ]. Sehingga kita mengambil , di mana yang diambil yakni , dan .

Misalkan , sehingga menjadi

, Setara dengan

Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat yakni .

, Setara dengan

Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat yakni .

, Setara dengan

Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat yakni . Sehingga dapat disimpulkan bahwa set optimal primal adalah konstan untuk .

Set Optimal di break point

Kembali ke fungsi pada bagian sebelumnya, jika bukan

break point maka banyaknya konstan untuk setiap . Jika domain memiliki titik ekstrem dari kanan maka dapat dipertimbangkan turunan kanan pada titik yang menjadi , dan jika domain dari memiliki titik ekstrem dari kiri turunan kiri pada saat diambil . Kemudian adalah break point jika dan hanya jika turunan kanan dan kiri di berbeda. Ini mengikuti dari definisi break

(25)

point. Dinotasikan turunan kiri dan kanan yakni dan . Konveksitas dari mengimplikasikan bahwa pada break point dapat di tulis

Lema 3

Misalkan , dan memiliki interior pada dom seperti yang memiliki interval linear terbuka hanya di sebelah kanan dan ke interval linear terbuka hanya di sebelah kiri Selain itu, dan kemudian

{ } { } Bukti: lihat Lampiran 3

Berdasarkan Lema 3, akan menjadi bentuk umum yang baik jika berlaku adalah titik ekstrem pada domain sehingga dapat disajikan dalam Teorema 9 berikut ini.

Teorema 9

Misalkan dom dan akan ada solusi optimal dari . Kemudian turunan pada β didefinisikan

{ }

{ } Bukti: lihat Roos et al. 2006

Corollary 9.1

β bukan ekstrem break point dari f dan dan didefinisikan dalam lema 3 sehingga menjadi

Corollary 9.2 { } { } Corollary 9.3

Dengan menganalogikan dual dari Lema 3 dan Teorema 9 sehingga dapat disajikan dalam Lema 4 berikut ini.

Lema 4

Misalkan , dan memiliki interior pada dom( ), hanya interval linear terbuka sebelah kanan, dan hanya interval linear terbuka sebelah kiri. Selain itu, dan . Kemudian menjadi

(26)

{ } { } Bukti: lihat Roos et al. 2006

Berdasarkan Lema 4 diatas, akan menjadi bentuk umum yang baik jika berlaku adalah titik ekstrem pada domain sehingga dapat disajikan dalam Teorema 10 berikut ini.

Teorema 10

Misalkan dan akan ada solusi optimal dari . Kemudian turunan pada didefinisikan

{ } { } Bukti: lihat Roos et al. 2006

Corollary 10.1

Misalkan bukan ekstrem break point dari dan dan didefinisikan dalam lema 4 sehingga menjadi

Corollary 10.2 { } { } Corollary 10.3

Diberikan Contoh 5 yang mengacu pada Lema 4 dan Teorema 10 berikut ini.

Contoh 5

Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 2 untuk setiap , masalah ( ) didefinisikan sebagai berikut

( ) Kendala Masalah Dual

( ) { }

Didapat vektor perturbasi untuk adalah

Grafik digambarkan dalam Gambar 4, break point pada terjadi pada dan Untuk solusi optimal pada ( ) adalah serta . Pada break point set solusi optimal primal dapat diberikan sebagai berikut

{ }

Nilai ekstrem pada set ini adalah 2 dan 0. Nilai maksimal yang terjadi untuk dan nilai minimal untuk . Oleh sebab itu,

(27)

turunan kiri dan kanan pada diberikan nilainya. Jika maka solusi optimal masalah primal diberikan dan , sehinnga turunan dari adalah 0 untuk wilayah ini. Pada break point set solusi optimal primal dapat diberikan sebagai berikut

{ }

Nilai ekstrem pada set ini adalah dan . Turunan kiri dan kanan pada diberikan nilainya. Nilai maksimal yang terjadi untuk dan nilai minimal untuk . Pada contoh ini, solusi optimal primal didapatkan untuk setiap break point yang berdimensi satu, serta interval linear terbuka pada solusi optimalnya selalu unik.

Titik Ekstrem di Interval Linear

Di bagian ini, asumsi yang digunakan yakni ̅ memiliki interior interval linear [ ]. Diberikan solusi optimal akan ditunjukan bagaimana titik ekstrem dan dari interval linear yang mengandung ̅ dapat ditentukan dengan memecahkan dua masalah Linear Optimasi tambahan.

Teorema 11

Misalkan ̅ sembarang dan ( ) akan menjadi solusi optimal dari ( _̅). Titik ekstrem dari interval linear [ ] mengandung ̅ dapat ditulis sebagai berikut

{ }

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̅ menjadi break point dan ( ) akan menjadi pelengkap solusi optimal dari ( _̅).

Teorema 12

Misalkan ̅ menjadi break point dan ( ) akan menjadi pelengkap solusi optimal dari ( _̅). Kemudian dan yang diberikan pada Teorema 11 didapat ̅

Bukti: lihat Roos et al. 2006

Selanjutnya, asumsi yang digunakan yakni ̅ memiliki interior interval linear [ ]. Diberikan solusi optimal akan ditunjukan bagaimana titik ekstrem dan dari interval linear yang mengandung ̅ dapat ditentukan dengan memecahkan dua masalah linear optimasi tambahan.

(28)

Teorema 13

Misalkan ̅ sembarang dan akan menjadi solusi optimal dari ( _̅). Titik ekstrem dari interval linear [ ] mengandung ̅ dapat ditulis sebagai berikut

{ }

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̅ menjadi break point dan akan menjadi pelengkap solusi optimal dari ( ̅ ).

Teorema 14

Misalkan ̅ menjadi break point dan akan menjadi pelengkap solusi optimal dari ( _̅). Kemudian dan diberikan pada Teorema 13 didapatkan

̅

Bukti: lihat Roos et al. 2006

Berikut ini diberikan Contoh 6 yang mengacu pada Teorema 13 dan Teorema 14.

Contoh 6

Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 5, dengan menggunakan notasi pada Teorema 13 langkah selanjutnya menentukan interval linear untuk ̅ . Dengan memverifikasi bahwa adalah optimal untuk ( ). Oleh karena itu titik ekstrem dan dari interval linear yang mengandung ̅ diikuti dengan meminimalkan dan memaksimalkan atas wilayahnya

{ }

Kendala terakhir menyiratkan , sehingga mempengaruhi kendala lain untuk dan , dengan diberikan Oleh karena itu interval linear mengandung ̅ adalah [ ].

Ketika ̅ , adalah optimal pada ( ), dan interval linear mengandung ̅ dengan meminimalkan dan memaksimalkan di atas wilayah.

{ }

Kendala terakhir menyiratkan , sehingga mempengaruhi kendala lain untuk γ dan γ , setara dengan Oleh karena itu interval linear mengandung ̅ adalah [ ]

Ketika ̅ , adalah optimal pada , dan interval linear mengandung ̅ dengan meminimalkan dan memaksimalkan di atas wilayah.

{ }

Kendala terakhir menyiratkan , sehingga mempengaruhi kendala lain untuk dan , setara dengan Oleh karena itu interval linear mengandung ̅ adalah [ ]

Perhatikan bahwa interval linear dihitung sesuai dengan Gambar 4. Akhirnya dapat ditunjukkan penggunaan Teorema 14 pada break point.

(29)

Mengambil ̅ dapat dilihat bahwa adalah optimal untuk , dan diperlukan untuk meminimalkan dan memaksimalkan γ atas wilayah tersebut

{ }

Kendala terakhir menyiratkan , sehingga mempengaruhi kendala lain untuk dan , setara dengan dan dapat ditemukan interval linear [ ] kiri dari 1. Ini karena juga optimal pada interval ini. Ingat dari Contoh 4 bahwa set optimal pada diberikan oleh

{ }

Jadi, bukannya solusi optimal sama baiknya bila menggunakan

strictly complementary solution . Kemudian perlu meminimalkan dan memaksimalkan γ atas daerah

{ } Terakhir kendala sebesar , subsitusikan pada hasil Kendala ketiga atau . Karena diiriskan dengan kendala kedua didapatkan , dari . Dengan demikian, sesuai dengan Teorema 14.

Prosedur Menemukan Semua break point dan Interval Linear

Dengan menggunakan hasil pada subbab sebelumnya, dalam bagian ini akan dijelaskan algoritme yang menghasilkan nilai optimal fungsi untuk perturbasi dimensi satu dari vektor b atau vektor c. Pertama-tama, perturbasi b

yang berdimensi satu dengan kelipatan skalar dari vektor dengan menyatakan algoritme untuk perhitungan nilai optimal fungsi dan kemudian membuktikan bahwa algoritme dapat menemukan semua break point dan interval linear. Kemudian akan jelas bagaimana memperlakukan perturbasi dimensi satu c; dengan menyatakan algoritme yang sesuai dan hasil konvergensi tanpa bukti lebih lanjut.

Teorema berikut menyatakan bahwa algoritme ini dapat menentukan break point dari yang berturut-turut pada garis real taknegatif, serta kemiringan dari pada interval linear secara berturut-turut.

Teorema 15

Algoritme berakhir setelah jumlah iterasi terbatas. Jika adalah banyaknya iterasi pada saat terakhir maka adalah break point dari secara berturut-turut pada garis real taknegatif. Nilai optimal pada didapat dari dan kemiringan dari pada interval didapat dari

Bukti: dalam iterasi pertama algoritme dimulai dengan langkah sebagai berikut Di mana adalah vektor slack dalam solusi optimal yang diberikan dari Masalah ini fisibel, karena (P) memiliki sebuah solusi optimal dan memenuhi kendala. Oleh sebab itu masalah tambahan pertama adalah takterbatas atau memiliki solusi optimal Menurut Teorema 11, yakni sama dengan titik ekstrem di sebelah kanan dari interval linear yang mengandung 0. Jika masalah tak terbatas (ketika )

(30)

maka adalah linear pada dan algoritme berhenti; dengan kata lain adalah break point pertama disebelah kanan dari 0. (perhatikan bahwa, apabila terjadi Hal ini tentu mengakibatkan jika 0 adalah break point dari f dan solusi dimulai adalah strictly complementary.) Jelas adalah primal fisibel pada dan , didapat adalah optimal untuk dengan mengasumsikan bahwa paruh kedua algoritme yang terjadi ketika masalah ini memiliki solusi optimal, algoritme dapat dilakukan dengan pemecahan masalah tambahan kedua

{ }

Menurut Teorema 9 nilai maksimal sama dengan turunan dari kanan di . Jika masalah takterbatas maka adalah break point terbesar dari pada dan untuk Dalam masalah ini sudah selesai sehingga algoritme berhenti. Jika tidak, ketika masalah dibatasi, solusi optimal adalah sedemikian rupa sehingga adalah sama dengan kemiringan pada interval linear di sebelah kanan , hal ini berdasarkan Lema 3 Selain itu, akibat dari Corollary 9.2, optimal dual pada interval terbuka linearitas sebelah kanan . Oleh sebab itu, pada awal iterasi kedua adalah solusi optimal pada interval terbuka sebelah kanan break point pertama pada [ Dengan demikian, untuk memulai iterasi kedua dan selanjutnya seperti pada iterasi pertama. Karena setiap iterasi menghasilkan Interval linear, dan hanya memiliki banyak interval yang terbatas, maka algoritme berakhir setelah banyaknya iterasi yang terbatas.

Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menemukan semua break point dan interval linear pada nilai optimasi fungsi dengan dan dalam buku (Roos et al. 2006). Untuk algoritme nilai optimasi fungsi secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 4.

Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang berurutan ini. Misalkan vektor adalah titik yang terletak pada daerah fisibel masalah primal yang dihasilkan saat iterasi ke- . Vektor dan adalah titik yang terletak pada daerah fisibel masalah dual yang dihasilkan saat iterasi ke- . Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan break point, interval linear, solusi optimal dan nilai optimal adalah sebagai berikut.adalah sebagai berikut. Input : Matriks , vektor untuk masalah primal, vektor , vektor

untuk masalah dual, dan vektor .

Output : Menemukan semua break point dan interval linear.

Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan , , dan .

Langkah 1. Hitung parameter pada solusi persamaan (29) jika atau Hitung parameter pada solusi persamaan (28) jika .

Langkah 2. Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 3; selainnya, BERHENTI .

(31)

Langkah 3. Hitung pada solusi persamaan (19) untuk atau Hitung pada solusi persamaan (18) untuk .

Langkah 4. Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 5; selainnya, BERHENTI.

Langkah 5. Perbarui solusi,

Selanjutnya , kembali ke Langkah 1 (Roos et al. 2006). Ketika vektor c adalah perturbasi oleh kelipatan skalar dari untuk hal ini bertujuan untuk menemukan nilai optimal fungsi . Dengan mengetahui bahwa adalah konkaf. Hal tersebut menyebabkan masalah tambahan kedua di algoritme ini adalah masalah minimisasi.

Teorema berikut menyatakan bahwa algoritme ini dapat menentukan break point dari yang berturut-turut pada garis real taknegatif, serta kemiringan dari pada interval linear secara berturut-turut.

Teorema 16

Algoritme berakhir setelah jumlah iterasi terbatas. Jika K adalah banyaknya iterasi pada saat terakhir maka adalah break point dari secara berturut-turut pada garis real taknegatif. Nilai optimal pada didapat dari dan kemiringan dari pada interval didapat dari

Bukti: seperti Teorema 15

Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menemukan semua break point dan interval linear pada nilai optimasi fungsi dengan dan dalam buku (Roos et al. 2006). Untuk algoritme nilai optimasi fungsi secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 6.

Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang berurutan ini. Misalkan vektor adalah titik yang terletak pada daerah fisibel masalah primal yang dihasilkan saat iterasi ke- . Vektor adalah titik yang terletak pada daerah fisibel masalah dual yang dihasilkan saat iterasi ke- . Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan break point, interval linear, solusi optimal dan nilai optimal adalah sebagai berikut.

Input : Matriks , vektor untuk masalah primal dan vektor Perturbasi Output : Menemukan semua break point dan interval linear.

(32)

Langkah 1. Hitung parameter pada solusi persamaan (31) jika atau Hitung parameter pada solusi persamaan (30) jika .

Langkah 3. Hitung pada solusi persamaan (25) untuk atau Hitung pada solusi persamaan (24) untuk .

Langkah 5. Perbarui solusi,

Selanjutnya , kembali ke Langkah 1 (Roos et al. 2006). Contoh Aplikasi

Selanjutnya akan dibahas mengenai dua contoh aplikasi dari analisis parametrik pada masalah optimasi linear yang diperoleh dengan menjalankan algoritme yang diperoleh dari corollary, lema, dan teorema yang dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan.

Contoh Aplikasi 1 (Perubahan Parameter pada Koefisien Fungsi Tujuan)

(P) { }

Dan masalah dualnya

(D) { }

Didapatkan

[ ], [ ], [ ]. dengan vektor perturbasi yakni

Sehingga dapat ditulis

(P) { }

Dan masalah dualnya

(D) { }

Dan menghitung interval linear dari Lema 4 dibutuhkan pengetahuan bahwa suatu solusi optimal primal untuk beberapa interval. Sehingga input pada Contoh Aplikasi 1 adalah

(33)

Kasus Nilai Optimal Fungsi Iterasi ke-1

Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan dan . Langkah 1. Hitung parameter pada solusi persamaan (31)

{ }

Dimulai dengan sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal pada saat break point ini adalah

Langkah 2. Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.

Langkah 3. Hitung pada solusi persamaan (25).

{ } terlihat bahwa dan adalah minimal jika . Sehingga dapat ditemukan suatu solusi optimal untuk interval linear yang hanya di sebelah kanan pada dan kemiringan dari di interval ini.

Langkah 5. Perbarui solusi optimal dengan , _dan_{. Lanjut ke langkah 2.}

Iterasi ke-2

Langkah 1. Hitung parameter pada solusi persamaan (31)

{ }

Dengan mudah kita lihat bahwa adalah optimal dengan Sehingga dapat ditentukan calon break poin kedua dan nilai optimal

{ }

terlihat bahwa dan adalah minimal jika dan . Sehingga dapat ditemukan suatu solusi optimal untuk interval linear yang hanya di sebelah kanan pada dan kemiringan dari di interval ini.

(34)

Iterasi ke-3

{ } Perhatikan bahwa dan masalah menjadi setara dengan

{ } Langkah 2. Masalah tidak terbatas maka BERHENTI.

Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan dan . Langkah 1. Hitung parameter pada solusi persamaan (30)

{ } karena ini setara dengan

{ }

Dimulai sebagai calon break point pertama dan solusi optimal pada break point ini diberikan oleh

{ }

terlihat bahwa dan adalah maksimal jika . Sehingga dapat ditemukan suatu solusi optimal untuk interval linear yang hanya di sebelah kiri pada dan kemiringan dari di interval ini.

Iterasi ke-2

{ } karena ini setara dengan

(35)

Jadi calon break point kedua dan solusi optimal pada break point ini diberikan oleh

{ } kasus ini setara dengan

{ }

Karena adalah maksimal jika dan . Sehingga dapat ditentukan suatu solusi optimal untuk interval linear yang hanya disebelah kiri dan kemiringan dari g di interval ini.

Iterasi ke-3

{ } perhatikan bahwa dan masalah menjadi seperti

Untuk melengkapi perhitungan nilai optimal fungsi pada contoh ini dapat dilihat di Gambar 6.

(36)

Contoh Aplikasi 2 (Perubahan Parameter pada Koefisien Nilai Ruas Kanan) Diberikan masalah primal

(P) { }

dan masalah dualnya

(D) { }. Didapatkan

[ ], [ ], [ ].

Di dapatkan vektor perturbasi b dengan kelipatan skalar yakni [ ]

Sehingga dapat ditulis.

(P) { } (D) { }.

Dengan menggunakan algoritme untuk menentukan break point dan interval linear dari

Sehingga solusi optimal (P) dan (D) diketahui sebagai input. _. Kasus Nilai Optimal Fungsi

Iterasi ke-1

Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan , _dan_.

{ } Dimulai dengan β sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal pada saat break point ini adalah

Langkah 2. Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3. Langkah 3. Hitung pada solusi persamaan (19).

{ } Maka dan adalah maksimum jika dan . Sehingga dapat ditentukan solusi optimal untuk interval linear yang hanya disebelah kanan dan kemiringan dari di interval ini:

(37)

Langkah 5. Perbarui solusi optimal dengan , _dan_{. Lanjut ke langkah 1}

Iterasi ke-2

{ }

Dari dapat disimpulkan bahwa dan didapatkan hasil

β sebagai calon break point yang kedua serta nilai optimal pada saat break point ini adalah

{ }

Maka dan adalah maksimal jika . Sehingga dapat ditentukan solusi optimal untuk interval linear yang hanya disebelah kanan β dan kemiringan dari di interval ini:

Langkah 5. Perbarui solusi optimal dengan , _dan_{. Lanjut ke langkah 1}

Iterasi ke-3

{ } setara dengan

Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan , _dan_.

{ } Dimula β sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal pada saat break point ini adalah

(38)

{ } Maka dan adalah minimal jika dan . Sehingga dapat ditentukan solusi optimal untuk interval linear yang hanya disebelah kiri dan kemiringan dari di interval ini,

Iterasi ke-2

{ }

Dari dan didapatkan hasil β sebagai calon break point

yang kedua serta nilai optimal pada saat break point ini adalah Langkah 2. Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3. Langkah 3. Hitung pada solusi persamaan (18).

{ } Setara dengan

{ }

Langkah 4. Masalah tidak terbatas karena Sehingga BERHENTI.

Untuk melengkapi perhitungan nilai optimal fungsi pada contoh ini dapat dilihat di Gambar 7

(39)

Gambar 7 Hasil analisis dari Contoh Aplikasi 2

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa analisis parametrik adalah analisis sensitifitas sistematis yang sangat berguna untuk memeriksa dampak dari perubahan parameter secara kontinu terhadap solusi optimal. Masalah analisis parametrik memperkenankan parameter terpilih ( atau ) diubah secara kontinu pada interval tertentu dengan menggunakan sifat-sifatnya. Sifat-sifat dari analisis parametrik adalah (1) nilai optimal fungsi dengan adanya perubahan parameter-parameter pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan pada masalah optimasi linear adalah kontinu, konkaf/konveks dan piecewise linear, (2) pada suatu interval tertentu perubahan parameter tidak akan mengubah solusi optimalnya, (3) break point adalah suatu titik di mana solusi optimal akan berubah bila terjadi perubahan parameter dari sisi kiri break point ke sisi kanannya, dan (4) terdapat titik ektrem yang juga merupakan break point. Algoritme yang disajikan dapat menentukan semua break point dan interval linear dalam suatu optimasi linear.

Saran

Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk membahas penentuan solusi optimal dan nilai optimal analisis parametrik terhadap optimasi linear menggunakan teknik komputasi berupa pemakaian software optimasi untuk mempermudah mendapatkan solusi optimal dan nilai optimal.

(40)

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2005. Elementary Linear Algebra. Ed-ke-9. New Jersey (US): J Wiley.

Bazaraa MS, HD Sherali & CM Shetty. 1993. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. ed. New Jersey (US): John Wiley.

Dumaria Lestaurika Tambunan. 2007. Menentukan Solusi Optimal Program Linear Parametrik Dengan Menggunakan Metode Simplex [Skripsi]. Medan (ID): Universitas Sumatra Utara

Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. London: Springer. Nash SG, Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. New York (US):

McGraw-Hill.

Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York(US): Springer-Verlag.

Roos C, Terlaky T, Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear Optimization. New York (US): Springer.

Winston WL. 2004. Operations Reserch Applications and Algorithms Ed ke-4. New York (US): Duxbury.

Yusep Maulana. 2009. Penyelesaian Integer Programming Dengan Metode Relaksasi Lagrange [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

(41)

Lampiran 1 Pembuktian domain dari adalah konveks

Diberikan , dom dan < < . Kemudian dan adalah terbatas, yang berarti bahwa kedua dan yang tidak kosong. Diberikan dan . Kemudian dan adalah nonnegatif dan

Sekarang perhatikan Perhatikan bahwa x adalah kombinasi konveks dari dan dan karenanya adalah nonnegatif. Kita melanjutkan dengan menunjukkan bahwa . Menggunakan bahwa

Dengan menggunakan persamaan (3) sehingga

Ini membuktikan bahwa ( ) adalah fisibel dan karenanya dom

(42)

Lampiran 2 Pembuktian pelengkap dari domain adalah subset terbuka dari garis nyata

Ambil dom . Ini berarti bahwa ( ) adalah takterbatas. Ini setara dengan keberadaan vektor sedemikian rupa sehingga

Menetapkan z dan mempertimbangkan sebagai variabel, himpunan semua yang memenuhi ketidaksetaraan secara ketat/sempurna adalah interval terbuka. Untuk semua dalam interval ini ( ) takterbatas. Oleh karena

itu domain dari g adalah terbuka.

Lampiran 3 Pembutktian Lema 4

Diberikan bukti , dan bukti tidak dijelaskan karena sama caranya. Karena adalah optimal untuk didapatkan

Didapatkan juga berdasarkan teorema 5 dan corollary 5.2 mengakibatkan

Mengurangi kedua ruas persamaan ini akan menyebabkan

Dengan membagi kedua ruas oleh bilangan positif didapatkan

ini akan membuktikan bahwa

{ }

(43)

Lampiran 4 Algoritme Nilai Optimal Fungsi dan

Nilai Optimal Fungsi Input:

Solusi Optimal dari (D); Vektor Perturbasi .

begin

k:=1; ; ready: false; while not ready do

begin

Solve { } if masalah ini adalah takterbatas: ready:=true

else adalah solusi optimal; begin

Solve { } if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true

else adalah solusi optimal;

k:=k+1; end end end

Solusi Optimal dari (D); Vektor Perturbasi .

begin

k:=1; ; ready: false; while not ready do

begin

Solve { } if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true

else adalah solusi optimal;

k:=k+1; end end end

(44)

Lampiran 5 Algoritme Nilai Optimal Fungsi dan Nilai Optimal Fungsi Input:

Solusi Optimal dari (P); Vektor Perturbasi . begin

ready: false; k:=1;

while not ready do begin

Solve { } if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true else adalah solusi optimal;

k:=k+1 end end end

Solusi Optimal dari (P); Vektor Perturbasi . begin

ready: false; k:=1;

while not ready do begin

Solve { } if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true else adalah solusi optimal;

k:=k+1; end end end

(45)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 Januari 1992 dari ayah Supendi dan ibu Manzilah (Alm). Penulis merupakan putra kedua dari enam bersaudara. Pada tahun 2003, penulis lulus dari SD Negeri Duren Tiga 15 pagi Jakarta. Pada tahun 2006, penulis lulus dari SMP Negeri 238 Jakarta. Pada tahun 2009, penulis lulus dari SMA Negeri 60 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Kewirausahaan Agribisnis, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik (S1) pada semester ganjil tahun akademik 2012-2013, asisten mata kuliah Pemrograman Linear (S1) pada semester genap tahun akademik 2012-2013. Penulis mendapatkan beasiswa dari Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) IPB pada semester pertama tahun 2009 sampai semester delapan tahun 2013.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan seperti organisasi maupun kepanitiaan. Kepanitiaan yang perah diikuti yakni menjadi panitia dalam Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) 2010 dan menjadi panitia dalam Masa Perkenalan Fakultas MIPA 2011. Dalam berorganisasi, penulis pernah memegang amanah selama dua periode sebagai Ketua Komisi IV Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (Dewan Epicentrum dan Dewan Zwiterium) tahun 2011-2012.