1. HIMPUNAN. HIMPUNAN dan OPERASINYA. 1.1 Pendahuluan dan notasi. 1.2 Cardinality 1.3 Power Set 1.4 Cartesian Products

(1)

HIMPUNAN dan OPERASINYA

1. HIMPUNAN

1.1 Pendahuluan dan Notasi

1.2 Cardinality

1.3 Power Set

1.4 Cartesian Products

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

{1, 2, 3} adl himpunan yang memuat “1” dan “2” dan {1, 2, 3} adl himpunan yang memuat “1” dan “2” dan “3.” “3.” {1, 1, 2, 3, 3} = {1, 2, 3} krn pengulangan tidak penting. {1, 1, 2, 3, 3} = {1, 2, 3} krn pengulangan tidak penting. {1, 2, 3} = {3, 2, 1} krn himpunan tidak berurutan. {1, 2, 3} = {3, 2, 1} krn himpunan tidak berurutan. {0,1, 2, 3, …} adl himpunan bilangan asli tak terbatas. {0,1, 2, 3, …} adl himpunan bilangan asli tak terbatas.   = {} adl himpunan kosong, karena tidak mmpunyai = {} adl himpunan kosong, karena tidak mmpunyai elemen. elemen. Catatan:   {} .

. Pengertian Pengertian :Himpunan adalah kumpulan elemen yang tak beraturan..

Contoh. Contoh.

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

x

x _ SS artinya “ artinya “xx adl sebuah elemen dalam himpunan adl sebuah elemen dalam himpunan SS.”.”

x

x _ SS artinya “ artinya “xx bukan sebuah elemen dalam himpunan bukan sebuah elemen dalam himpunan

S S.”.”

A

A _ BB artinya “ artinya “AA adl himpunan bagian (subset) dari adl himpunan bagian (subset) dari BB.”.”

Diagram Venn atau, “B mengandung A.” atau, “setiap elemen A juga terdapat dalam B.” atau, x ((x  A)  (x  B)). B A

(2)

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

A

A _ BB artinya “ artinya “AA adl himpunan bagian dari adl himpunan bagian dari BB.”.”

A

A  BB artinya “ artinya “AA adl superset dari adl superset dari BB.”.”

A = B

A = B jika dan hanya jika jika dan hanya jika AA dan dan BB mempunyai elemen mempunyai elemen yang tepat sama yang tepat sama iff, A  B dan B  A iff, A  B dan A  B iff, x ((x  A)  (x  B)). Untuk menunjukkan kesamaan himp A dan B, tunjukkan: A  B B  A

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

A

A  BB artinya “ artinya “AA adl himpunan bagian layak dari adl himpunan bagian layak dari BB.”.” AA  BB, dan , dan AA  BB.. xx (( ((xx  AA) )  ( (xx  BB)) ))   x_x (( ((xx _ BB) ) _ ( (xx _ AA)))) A B

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

Contoh: Contoh: ● {1,2,3} {1,2,3}  {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5} ● {1,2,3} {1,2,3}  {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5} Is Is _ _ {1,2,3}? {1,2,3}? Ya! x (x  )  (x  {1,2,3}) terpenuhi, krn (x  ) tidak benar. Is   {1,2,3}? Tidak! Is   {,1,2,3}? Ya! Is   {,1,2,3}? Ya!

1.1

1.1 Pendahuluan

_Pendahuluan

dan notasi

Apakah { Apakah {xx} } _ { {xx}?}? Apakah {x}  {x,{x}}? Apakah {x}  {x,{x}}? Apakah {x}  {x}? Ya Ya Ya Tidak

Quiz time:

(3)

Mendefinisikan Himpunan

● Explicit: {John, Paul, George, Ringo}Explicit: {John, Paul, George, Ringo}

● Implicit: {1,2,3,…}, atau {2,3,5,7,11,13,17,…}Implicit: {1,2,3,…}, atau {2,3,5,7,11,13,17,…}

● Pembangun Himpunan: { Pembangun Himpunan: { xx : : xx adl bil prima }, { adl bil prima }, { xx | | xx adl adl

bil ganjil }. bil ganjil }.

● Umum { Umum { xx : : PP((xx)}, dimana )}, dimana PP((xx) adl semacam sebutan.) adl semacam sebutan.

Mendefinisikan Himpunan

Cont. Jika D(x,y) merupakan sebutan= “x bisa dibagi oleh y” dan P(x) merupakan sebutan y ((y > 1)  (y < x))  D(x,y) Maka { x : y ((y > 1)  (y < x))  D(x,y) }. adl himpunan semua bil prima

1.2 Kardinalitas (Cardinality)

Jika

Jika SS terbatas, maka terbatas, maka cardinalitycardinality dari dari SS, |, |SS|, adl |, adl banyaknya elemen berbeda dalam banyaknya elemen berbeda dalam SS.. S = {1,2,3} |S| = 3. S = {3,3,3,3,3} S =  S = { , {}, {,{}} } |S| = 1. |S| = 0. |S| = 3. S = {0,1,2,3,…}, |S| terbatas

1.3 Power sets

If

If SS is a set, then the is a set, then the power setpower set of of SS is is

P(S) = 2 = 2SS _= {_= {_x_x_:_:_x_x__S_S_}._}. If S = {a} If S = {a,b} If S =  If S = {,{}} We say, “P(S) is the set of all subsets of S.” 2S _= {_, {_a_}}. 2S _= {_{, {a}, {b},} {a,b}}. 2S _= {_}. 2S _= {_, {_}, {{_}}, {_,{_}}}.

(4)

1.4 Perkalian Kartesian

Perkalian Cartesian

dari dua himpunan

A

dan

B

adl:

A



B

= { (

a, b

) :

a



_

A



_

b



_

B

}

Jika A = {Charlie, Lucy, Linus}, dan B = {Brown, VanPelt}, maka

A,B terbatas  |A  B| = |A||B|

A₁  A₂  …  A_n =

= {(a₁, a₂,…, a_n): a₁  A₁, a₂  A₂, …, a_n  A_n}

A  B = {(Charlie, Brown), (Lucy, Brown), (Linus, Brown), (Charlie, VanPelt), (Lucy, VanPelt), (Linus, VanPelt)}

2. Operasi pada Himpunan

2.1 Pendahuluan

2.2 Identitas Himpunan

2.3 Operasi umum pada himpunan

2.4 Representasi Computer terhadap

himpunan

2.1 Pendahuluan

Gabungan (union)

dari dua himpunan

A

dan

B

adl:

A



B = { x : x



A



x



B}

Jika A = {Charlie, Lucy, Linus}, dan B = {Lucy, Desi}, maka

A  B = {Charlie, Lucy, Linus, Desi}

A B

2.1 Pendahuluan

Irisan (intersection)

Irisan (intersection) dari dua himpunan A dari dua himpunan A dan dan

B

B adl: adl:

A

A _ B = { B = { xx : : xx _ AA _ xx _ BB}}

Jika A = {Charlie, Lucy, Linus}, dan B = {Lucy, Desi}, maka

A  B = {Lucy}

A B

(5)

2.1 Pendahuluan

Irisan

dari dua himpunan

A

dan B

dan

B

adl:

A



_

B = {

x

:

x



_

A



_

x



_

B

}

Jika A = {x : x adl presiden Indonesia}, dan B

= {x : x sesiapa dalam ruangan ini}, maka

A  B = {x : x adl pres. Ind dlm ruangan ini} =  Himpunan yg irisannya kosong disebut himp. lepas B _A

2.1 Pendahluan

Komplemen (complement)

Komplemen (complement) dari himpunan dari himpunan AA adl: adl:

If

A

= {

x

:

x

tdk diarsir}, maka

= U dan U =  A U } : {x x A A  



A

={

x

:

x

yang diarsir

}

A

2.1 Pendahuluan

Beda Simetri (symmetric difference)

Beda Simetri (symmetric difference), , AA _ BB, , adl: adl: A A   BB = { = { xx : ( : (xx   AA   xx   BB) )  ( (xx   BB   xx   AA)})} = (A – B) _ (B – A) = =

{

x

:

x



_

A



x



_

B

}

U A – B B – A

2.2 Himpunan Identitas

●

Identitas

A



U = A

A



_



_

= A



Dominasi

_A_{U = U} A   =  

Idempotent

_A_{A = A} A  A = A

(6)

2.2 Himpunan Identitas

● Excluded MiddleExcluded Middle

A



U

A











A



Uniqueness



Double complement

2.2 Himpunan Identitas

●

Commutatif

A A  B = B B = B  A A A A __ B = B B = B __ A A ●

Associatif

((AA  BB) )  C = AC = A  ( (BB  CC) ) ((AA __ BB) ) __ C =AC =A __ ( (BB __ CC)) ●

Distributif

A A __ ( (BB __ CC) = () = (AA __ BB) ) __ ( (AA __ CC) ) A A _ ( (BB _ CC) = () = (AA _ BB) ) _ ( (AA _ CC))

2.2 Set Identities

●

DeMorgan’s I

B

A

B

A







B

A

B

A









DeMorgan’s II

4 cara membuktikan identitas

● perlihatkan bhw perlihatkan bhw A A  B dan B dan

bhw

bhw A A _ B B..

● Gunakan tabel anggota.Gunakan tabel anggota.

● Gunakan bukti identitas sebelumnya.Gunakan bukti identitas sebelumnya.

(7)

4 cara membuktikan identitas

Prove that Prove that

_A

_

_B

_

_A

_

_B

B

A

x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

A

x

B

A

x

































4 cara membuktikan identitas

Menggunakan tabel anggota Menggunakan tabel anggota 0 : x terdapat dalam himpunan yg disebut 0 : x terdapat dalam himpunan yg disebut 1 : lainnya 1 : lainnya A A BB A A  B B 1 1 11 00 00 00 11 00 1 1 00 00 11 00 11 00 0 0 11 11 00 00 11 00 0 0 00 11 11 11 00 11

Prove that

_A

_

_B

_

_A

_

_B

B

A



B

A



A B

4 cara membuktikan identitas

Prove that

_A

_

_B

_

_A

_

_B

Menggunakan persamaan logika Menggunakan persamaan logika (A  B) = {x : (x  A  x  B)} = {x : (x  A)  (x  B)} = {x : (x  A)  (x  B)} = A B

4 cara membuktikan identitas

Prove that

Menggunakan identitas yang telah dibuktikan Menggunakan identitas yang telah dibuktikan A B C C B A(  ) (  ) ) ( ) (B C A B C A     ) (B C A   A C B  ( ) A B C   ( )

(8)

2.3 Operasi Umum pd Himpunan

∪

i=1 n

A

_i

=

A

₁

∪

A

₂

∪∪

A

_n

={

x

:

x

∈

A

₁

∨

x

∈

A

₂

∨∨

x

∈

A

_n

}

contoh. Jika U = N, dan:

Maka

∪

i=1 n

A

_i

= ∪

i=1 n

{

i ,i



1,

i



2,...

}={

1,2,3,...

}

Gabungan Umum

A_i={i, i+1, i+2, …}

Irisan Umum

} : { ₁ ₂ 2 1 1 n n n i i A x A x A x x A A A A              



contoh. Jika U = N, dan:

Maka 2,...} 1 { 1     ,n n,n A n i i



A_i={i, i+1, i+2, …}

2.4 Representasi Computer

Diberikan U = {x₁, x₂,…, x_n}, dan pilih sebarang elemen U, misal x₁, x₂,…, x_n

Jika A  U. Maka bit string representation dari A adl the bit string dgn panjang n : a₁ a₂… a_n sdh a_i =1 jika x_i  A, dan 0 untuk lainnya.

Cont. Jika U = {x₁, x₂,…, x₆}, dan A = {x₁, x₃, x₅, x₆}, maka bit string representation dari A adl (101011)

Himpunan sbg bit strings

cont. Jika U = {x₁, x₂,…, x₆}, A = {x₁, x₃, x₅, x₆}, dan B = {x₂, x₃, x₆}.