Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1

(1)

1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = ln(1 + x) di sekitar a = 0. Tuliskan sampai turunan ke 5. Kemudian estimasilah ln(1.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma.

2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x sehingga f (x) = 5, dengan [a, b] = [3.2, 4.0]! Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma.

3. Hitunglah Z 1

0

(2 + sin(2√x))dx dengan menggunakan aturan trapesium dengan lebar sub-selang h = 0.1. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian.

Answer :

1. Cari f (x), f′_{(x), f}′′_{(x), f}′′′_{(x), f}iv_{(x) dan f}v_{(x) lalu hitung f (0), f}′_(0),

f′′_{(0), f}′′′_{(0), f}iv_{(0) dan f}v_(0).

f(x) = ln(1 + x), f′_{(x) =} 1

1 + x, f

′′_{(x) = −(1 + x)}−2_{, f}′′′_{(x) = 2(1 + x)}−3_,

fiv_{(x) = −6(1 + x)}−4_{, f}v_{(x) = 24(1 + x)}−5_.

Lalu, kita dapatkan,

f(0) = 0, f′_{(0) = 1, f}′′_{(0) = −1, f}′′′_{(0) = 2, f}iv

(0) = −6, fv(0) = 24. Maka deret Taylor dari f (x) = ln(1 + x) di sekitar a = 0 adalah

f(x) = ln(1 + x) = f(0) + f′_{(0)(x − 0) +} f′′(0) 2! (x − 0) 2 +f′′′(0) 3! (x − 0) 3 +f iv₍₀₎ 4! (x − 0) 4 +f v₍₀₎ 5! (x − 0) 5 + . . . = 0 + (1)x +−1 2!x 2 + 2 3!x 3 +−6 4!x 4 +24 5!x 5 + . . . = _{x −}1 2x 2 +1 3x 3 −1₄x4+1₅x5+ · · · + (−1) n−1 n x n_{+ . . .}

Untuk menghitung ln(1.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi 1.2 ke dalam persamaan yang terakhir.

ln(1.2) = ln(1 + 0.2) ≈ (0.2) − 1₂(0.2)2 +1 3(0.2) 3 −1₄(0.2)4+1₅(0.2)5 ≈ 0.18233067

2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x − 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4.0,

b_{(3.2) = −0.636849190194, b(4.0) = 0.38629436112,} Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini

(2)

0 3.2 3.6 4.0 -0.119066154538 1 3.6 3.8 4.0 0.135001066732 2 3.6 3.7 3.8 0.00833281965018 3 3.6 3.65 3.7 -0.0552728324056 4 3.65 3.675 3.7 -0.0234468673352

Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, di-dapatkan nilai x = 3.675 dimana nilai b(x) = −0.0234468673352 atau nilai f(x) = ln(x) + x = 5.0234468673352.

3. Pertama-tama kita hitung banyaknya sub-selang. n=batas atas − batas bawah

lebar sub selang = 1 − 0

0.1 = 10.

Jadi terdapat 10 buah sub-selang, artinya terdapat 11 titik (x0, x1, . . . , x10) =

(0, 0.1, 0.2, . . . , 1) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan trapesium, Z 1 0 (2 + sin(2√x))dx ≈ h₂(f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f(x9) + f (x10)) ≈ 0.1₂ (f (0) + 2f (0.1) + 2f (0.2) + · · · + 2f(0.9) + f(1)) ≈ 0.1₂ 57.1481769542 ≈ 2.85740884771

(3)

1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = √1 + x di sekitar a = 0? Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah√1.1 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma.

2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda Newton, tentukan nilai xsehingga f (x) = 5, dengan tebakan awal x0 = 3.2. Hitunglah sampai

dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma.. 3. Hitunglah

Z 4 0

x2e−x_dx_{dengan menggunakan aturan Simpson dengan}

jum-lah sub-selang n = 8. Answer :

1. Cari f (x), f′_{(x), f}′′_{(x), f}′′′_{(x), f}iv_{(x) lalu hitung f (0), f}′_{(0), f}′′_{(0), f}′′′_(0),

fiv_(0). f(x) =√1 + x, f′_{(x) =} 1 2(1+x) −1/2_{, f}′′_{(x) = −}1 4(1+x) −3/2_{, f}′′′_{(x) =} 3 8(1+x) −5/2_, fiv_{(x) = −}15 16(1 + x) −7/2_.

Lalu, kita dapatkan,

f(0) = 1, f′_{(0) =}1 2, f ′′_{(0) = −}1 4, f ′′′_{(0) =} 3 8, f iv (0) = −15₁₆. Maka deret Taylor dari f (x) =√1 + x di sekitar a = 0 adalah

f(x) =√1 + x = f(0) + f′_{(0)(x − 0) +}f′′(0) 2! (x − 0) 2 +f′′′(0) 3! (x − 0) 3 +f iv₍₀₎ 4! (x − 0) 4 + . . . = 1 +1 2x+ −1 4 × 2!x 2 + 3 8 × 3!x 3 + −15 16 × 4!x 4 + . . . = 1 +1 2x − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 15 384x 4 + . . .

Untuk menghitung √1.1 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi 1.2 ke dalam persamaan yang terakhir.

√ 1.1 =√1 + 0.1 ≈ 1 +1₂(0.1) −1₈(0.1)2 + 1 16(0.1) 3 − 15 384(0.1) 4 ≈ 1.04880859375

2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x)+x = 5. Dengan menggunakan metoda Newton akan dicari x yang memenuhi kondisi di atas. Pertama-tama, kita cari turunan dari b(x) = ln(x) + x − 5.

b_{(x) = ln(x) + x − 5,} b′_{(x) =} 1

x+ 1 3

(4)

xk+1= xk− b(xk) b′_(x_k₎

kita akan dapatkan tabel dibawah ini

k xk f(xk) f′(xk)

0 3.2 -0.636849190194 1.3125

1 3.68521843062 -0.0104517698862 1.27135433593 2 3.69343940379 -0.000002484534 1.27075034695 3 3.69344135896 -8.25738976705e-13 1.27075020362

Jadi, dengan

meng-gunakan metoda Newton sampai dengan 3 iterasi, didapatkan nilai x = 3.69344135896 dimana nilai b(x) = −8.25738976705e − 13 atau nilai f(x) = ln(x) + x = 5 + −8.25738976705e − 13 ≈ 5.

3. Pertama-tama kita hitung lebar setiap sub-selang. h=batas atas − batas bawah

banyak sub selang = 4 − 0

8 = 0.5.

Karena ada 8 buah selang, maka ada 9 titik (x0, x2, . . . , x8) = (0, 0.5, 1, . . . , 4)

yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan Simpson, Z 4 0 x2 e−x_dx ≈ h₃(f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + 4f (x5) + 2f (x6) + 4f (x7) + f (x8)) ≈ 0.5 3 (f (0) + 4f (0.5) + 2f (1) + 4f (1.5) + 2f (2) + 4f (2.5) + 2f (3) + 4f (3.5) + f (7)) ≈ 0.5 3 9.15415745542 ≈ 1.52569290924

(5)

1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = cos(x) di sekitar a = π 3?

Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah cos(630_{) dengan}

menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian. 2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x

sehingga f (x) = 5, dengan tebakan awal x0= 3.2 dan x1= 4.0. Hitunglah

sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma. 3. Hitunglah

Z 4 0.25

1 √

xdx dengan menggunakan aturan trapesium dengan lebar sub-selang h = 0.25

Answer :

1. Cari f (x), f′_{(x), f}′′_{(x), f}′′′_{(x), f}iv_{(x) lalu hitung f (0), f}′_{(0), f}′′_{(0), f}′′′_(0),

fiv_(0).

f(x) = cos x, f′_{(x) = − sin x, f}′′_{(x) = − cos x, f}′′′_{(x) = sin x, f}iv_{(x) = cos x.}

Lalu, kita dapatkan, f(π 3) = 1 2, f ′₍π 3) = − 1 2 √ 3, f′′_{(0) = −}1 2, f ′′′_{(0) =} 1 2 √ 3, fiv(0) = 1 2. Maka deret Taylor dari f (x) = cos x di sekitar a = π

3 adalah f(x) = cos x = f(π 3) + f ′₍π 3)(x − π 3) + f′′₍π 3) 2! (x − π 3) 2 +f ′′′₍π 3) 3! (x − π 3) 3 +f iv₍π 3) 4! (x − π 3) 4 + . . . = 1 2 − 1 2 √ 3(x −π₃) − 1 2 × 2!(x − π 3) 2 + 1 2 × 3! √ 3(x −π₃)3 + 1 2 × 4!(x − π 3) 4 + . . . Untuk menghitung cos 620

dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita ubah 620_{ke dalam bentuk radian menjadi}

620 = 600 + 20 = π 3 + π 90 Kemudian kita substitusikan π

3 + π

90 ke deret Taylor yang didapat.

cosπ 3 + π 90 ≈ 1 2 − 1 2 √ 3(π 3 + π 90− π 3) − 1 2 × 2!( π 3 + π 90− π 3) 2 + 1 2 × 3! √ 3(π 3 + π 90− π 3) 3 + 1 2 × 4!( π 3 + π 90− π 3) 4 ≈ 1₂ −1₂√3(₉₀π) − 1 2 × 2!( π 90) 2 + 1 2 × 3! √ 3(π 90) 3 + 1 2 × 4!( π 90) 4 ≈ 0.469471563161 5

(6)

fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x − 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4.0,

b(3.2) = −0.636849190194, b(4.0) = 0.38629436112, Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini

k ak ck bk b(ck) 0 3.2 3.6 4.0 -0.119066154538 1 3.6 3.8 4.0 0.135001066732 2 3.6 3.7 3.8 0.00833281965018 3 3.6 3.65 3.7 -0.0552728324056 4 3.65 3.675 3.7 -0.0234468673352

Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, di-dapatkan nilai x = 3.675 dimana nilai b(x) = −0.0234468673352 atau nilai f(x) = ln(x) + x = 5.0234468673352.

3. Pertama-tama kita banyaknya sub-selang. n= batas atas − batas bawah

lebar sub selang =

4 − 0.25 0.25 = 15.

Karena ada 15 titik (x0, x2, . . . , x15) = (0.25, 0.5, 0.75, . . . , 4) yang mesti

dihi-tung. Berdasarkan aturan trapesium, Z 4 0.25 1 √ xdx ≈ h 2(f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f(x14) + f (x15)) ≈ 0.25 2 (f (0.25) + 2f (0.5) + 2f (0.75) + · · · + 2f(3.75) + f(4)) ≈ 0.25 2 24.1559784329 ≈ 3.01949730412