PENERAPAN PROGRAM LINIER KABUR DALAM ANALISIS SENSITIVITAS PROGRAM LINIER

PENERAPAN PROGRAM LINIER KABUR DALAM ANALISIS

SENSITIVITAS PROGRAM LINIER

Elfrianto

Dosen Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara

Abstrak: Salah satu kajian dalam masalah program linier adalah melakukan analisis

sensitivitas. Analisis ini melihat sejauh mana pengaruh perubahan sisi ruas kanan maupun fungsi tujuan terhadap jawab optimal. Metode yang digunakan dalam analisis ini pada umumnya adalah Program Linier Parametrik. Namun metode ini hanya memberikan gambaran perubahan untuk perubahan koefisien fungsi tujuan secara serentak dan tidak dapat untuk perubahan pada salah satu koefisien. Untuk mengatasi hal tersebut digunakan Program Linier Kabur dengan fungsi tujuan kabur.

Kata kunci: Analisis Sensitivitas, Program Linier, Program Linier Parametrik, Program Linier

Kabur

1. PENDAHULUAN

Analisis parameter digunakan untuk mempelajari pengaruh perubahan dalam parameter model program linier terhadap pemecahan optimum. Analisis seperti ini dipandang sebagai bagian integral dari pemecahan (yang diperluas) setiap program linier. Analisis ini memberikan karakteristik dinamis pada model yang memungkinkan seorang analis untuk mempelajari perilaku optimum sebagai hasil dari perubahan dalam parameter model.

Pada praktiknya analisis parameter sering digunakan untuk menangani perubahan dalam pemecahan optimum disebabkan oleh perubahan kontinu dalam parameter model, khususnya pada koefesien fungsi tujuan yang dalam dunia nyata berhubungan dengan fluktuasi perubahan permintaan pasar atau laba/biaya marginal.

Dalam tulisan ini dibahas pemecahan persoalan program linier yang berubah pemecahan optimumnya disebabkan perubahan kontinu dari koefesian fungsi tujuannya setelah diselesaikan dengan program linier.

Program linier parametrik dapat digunakan dalam hal ini, namun untuk melihat perubahan dari seluruh koefisien fungsi tujuan secara keseluruhan. Untuk melihat perubahan dari satu koefisien fungsi tujuan dipergunakan Program Linier Kabur.

Perubahan kontinu koefesien fungsi tujuan diartikan sebagai ketidakjelasan pada tujuan. Dengan pendekatan himpunan kabur

atas dapat diselesaikan.

Penggunaan himpunan kabur disini dengan mendefinisikan nilai-nilai kabur yang ada ("di sekitar" koefisien tujuan melalui fungsi keanggotaan). Fungsi keanggotaan tersebut merupakan tingkat atau derajat keanggotaan yang memenuhi suatu nilai pada himpunannya.

2. PERUMUSAN MASALAH

Dari uraian tersebut di atas dirumuskan permasalahan yang menjadi topik pembahasan dalam tulisan ini adalah bagaimana model program linier dapat menangani pengaruh perubahan kontinu pada koefisien "di sekitar" fungsi tujuan terhadap pemecahan optimum dengan menggunakan Analisis Parameter dan Program Linier Kabur (fuzzy).

3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

Tujuan penelitian ini untuk memperlihatkan bagaimana persoalan Program Linier dengan perubahan kontinu pada koefisien tujuan akibat dari fluktasi permintaan pasar diselesaikan dengan Analisis Parameter dan Program Linier Kabur (fuzzy). Juga diperlihatkan pengaruh perubahan kontinu tersebut terhadap solusi optimum.

Hasil dari pemecahan persoalan dalam penelitian ini dapat memberikan masukan daiam penyelesaian persoalan Program Linier jika terjadi jumlah permintaan tidak deterministik.

4. PROGRAM LINIER KABUR

Program linier adalah kasus program matematika yang semua fungsinya mempunyai bentuk linier. Program linier pada umumnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang dirumuskan sebagai:

Maksimumkan f(x)=z=cT_{x………..…(1)}

Dengan kendala Ax

≤

b X

≥

0

di mana c, x

∈

Rn, b

∈

Rm, A

∈

Rm+n

Untuk model konvensional, umumnya diasumsikan koefisien-koefisien A, b, dan c adalah besaran-besaran yang crisp. ketidaksamaan “

≥

” juga dalam arti eksak.

Hal ini berarti penyimpangan dari salah satu koefisien akan menyebabkan solusi dari permasalahan di atas menjadi berubah. Untuk mengatasi hal ini, maka diperkenalkan metoda program linier kabur (Zimmerman 1992).

Jika diasumsikan bahwa keputusan dari program linier harus dibuat dengan kondisi yang fuzzy, maka perlu dilakukan beberapa modifikasi dari persamaan (1).

Pertama, pengambil keputusan mungkin tidak benar-benar ingin memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Dia mungkin hanya ingin ‘memperbaiki biaya saat ini (present cost) sewajarnya saja’, dan alasan lain (Zimmerman 1991). Kedua, kendala-kendala tersebut mungkin tidak juga tidak nyata pada beberapa hal seperti diuraikan berikut ini:

1. Tanda ">" mungkin tidak harus didefinisikan sebagai ketidaksamaan yang eksak seperti pada persoalan matematika, melainkan masih dapat menerima penyimpangan yang kecil pada tanda tersebut.

2. Koefisien-koefisien dari vektor b dan c atau matrik A umumnya merupakan besaran-besaran yang bersifat fuzzy.

Yang terakhir, peranan dari kendala-kendala yang mungkin berbeda dengan yang digunakan pada metode program linier konvensional di mana suatu pelanggaran sekecil apapun dapat menyebabkan solusi berubah.

Persoalan (1) tersebut merupakan bentuk permasalahan program linier yang terdefinisi dengan jelas karena nilai b, c diasumsikan dengan pasti atau deterministik.

Contoh Kasus:

Diberikan suatu problem program linier sebagai berikut:

Maksimumkan: f =3x1 + x2

Kendala: 2x1 + 3 x2

≤

6

2x1 + x2

≤

4

X1, X2

≥

0

Dengan metode simpleks diperoleh hasil akhir sebagai berikut:

vB ttB 1 2 3 4 Rttg

X1 X2 X3 X4

X3 0 0 0 2 1 -1 2

X1 3 1 ½ 0 ½ 2

Ej - Zj 0 -1/2 0 -3/2 6

Dari contoh kasus analisis parameter di atas dapat dilihat bahwa fungsi tujuan optimal cl diketahui berada pada interval

[3,10/3], [3,10], koefisien fungsi tujuan cZ

berada pada interval [1,5/3], [1,15]. Jika pengambil keputusan ingin mencari harga-harga cl, c2 sesuai dengan ketelitian

numeriknya maka permasalahan di atas menjadi program linier dengan tujuan fuzzy maka harus dicari dengan program linier fuzzy. Permasalahan di atas dituliskan sebagai: Maksimum f = c1x1 + c2x2

Kendala 2xl + 3x2

≤

6

2x1 + x2

≤

4

x1, x2

≥

0

Penyelesaian I dengan asumsi nilai c2 tidak

berubah maka persoalannya menjadi: Maksimum f = clxl + xZ Kendala 2xl + 3x2

≤

6 2x1 + x2

≤

4 x1, x2

≥

0, c1

∈

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

3

10

,

3

Maka c, dapat dihitung ketelitian numeriknya berdasarkan derajat keanggotaannya berdasarkan rumusan fungsi keanggotaan c1:

0 jika i

inf

φ

( )

c

_i <

c

_i ………(2)

φ

( )

c =

(

₁

inf

( )

)

2

/

(

inf

_i

( )

_{i j}

( )

_j

)

2 i i i i

c

c

c

c

−

φ

φ

−

φ

jika i

inf

φ

_i

( )

c

_i

≤

c

_i

≤

φ

_j

( )

c

_j 1, jika

c

_i >

φ

_j

( )

c

_j sehingga , 0 jika 3 < c1

( )

( )

2 , 3 10 1 c

φ

= (c1 – 3)2/ 2

3

3

10

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

_{jika 3}

_≤

_c 1

≤

1 jika

3

10

> c1 0 jika 3 < c1

( )

( )

3 , 3 10 1 c

φ

= (c1 – 3)2/ 2

3

3

10

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

jika 3

≤

c1

≤

1 jika

3

10

> c1

Dengan himpunan kendala

{

x

_∈

R

2

2x

₁

₊

3x

₂

_≤

6;2x

₁

₊

₂

_≤

4

;

x

₁

,

₂

_≥

0

}

x

x

Untuk memaksimumkan keuntungan dalam menyelesaikan permasalahan maks.

x

x

,

x

x

c

f

=

_{1 1}

+

₂

∈

Dari kasus di atas hanya terdapat satu bagian fungsi keanggotaan yang dipergunakan pada persamaan (2) bahwa:

Untuk setiap c

( )

1

( )

c

i

n

_:

_c

_inf

R

φ

=

φ

∈

_yang

sama dengan persamaan (3), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menurut persamaan: Maks z(

α

) =

(

3

+

1

/

3

1

−

α

)

x

1

+

x

2

Kendala 2x1 + 3x2 ≤ 6

2xl+x2 ≤ 4

xl,x2 ≥ 0, α Є [0,1]

Penyelesaian fuzzy menjadi himpunan fuzzy dari nilai-nilai fungsi tujuan

{3 + c ; (c + 3)2 _{/ 9}1 _{, c Є [3,} 10_{3 ]}}

[3,

3 10 _]

Tabel 1. S o lusi Optimal untuk Cl Є [3,

3 10 _] C1 C2 β α X1 X2 Z(α) 3 1 0 1 2 3 1 6 11 3 10 _{1 1 0} 2 3 _{1 6}

Tabel 2. Solusi Optimal untuk C2 Є [1,

3 5_] C1 C2 β α X1 X2 Z(α) 3 1 0 1 2 3 1 2 11 3 3 5 _{1 0} 2 3 ₁ 3 14

Tabel 3. Solusi Optimal untuk C2Є[1,

3 5 _{], C2 Є} [1, 3 5_] C1 C2 β α X1 X2 Z(α) 3 1 0 1 2 3 1 2 11 3 10 3 5 _{1 0} 2 3 ₁ 3 20

Dengan cara yang sama ambil untuk persamaan:

Maka persamaannya menjadi: Maksimum f = c1x1 + c2x2 Kendala 2xl + 3x2

≤

6 2x1 + x2

≤

4 x1, x2

≥

0, c1 Є [3,10] Maks. z(

α

) =

(

3

+

7

1

−

α

)

x

1

+

x

2 Kendala 2x1 + 3x2 ≤ 6 2xl+x2 ≤ 4 xl,x2 ≥ 0, α Є [0,1]

Tabel 4. Nilai Keanggotaan c1 c1 3 + c1 (c1 – 3)2 / 49) 3 6 0.000 4 7 0.20 5 8 0.082 6 9 0.184 7 10 0.326 8 11 0.510 9 12 0.735 10 13 0.000

Dari tabel di atas diperoleh nilai c1

yang optimal pada c1 = 7, maka jika kita

misalkan ((c1 - 3)2 /49)=

β

, berarti

α

= 1-

0.326

≈

0.7, maka akan diperoleh: Maks z(

α

) =

(

3

+

7

1

−

0

.

7

)

x

₁

+

2

x

₂ =

(

3

+

7

0

.

3

)

x

₁

+

2

x

₂ =

(

3+7

(

0.55

)

)

x₁+2x₂ = 7x₁+2x₂ Kendala 2x1 + 3x2 ≤ 6 2xl + x2 ≤ 6 xl,x2 ≥ 0, α Є [ 0 , 1 ]

dengan metode simpleks maka solusinya seperti terlihat dalam Tabel 5.

Dari tabel simpleks tersebut diperoleh harga yang optimal untuk xl = 3/2, x2 = 1

clan z = 23/2. Berdasarkan derajat keanggotaan c1 diperoleh tabel optimal dari solusi

optimal persoalan program linier seperti terlihat pada Tabel 6.

Tabel 5. Simpleks c1 = 7 dj 1 2 0 0 cj 7 1 0 0 I dB CB Xb X1 X2 X3 X4 bi 1 0 0 X3 2 3 1 0 6 2 0 0 X4 2 1 0 1 4 Zj 0 0 0 0 Cj -Zj 7 2 0 0 1 0 0 X3 0 2 1 -1 2 2 1 7 X1 1 ½ 0 ½ 2 Zj 7 7/2 0 7/2 14 Cj -Zj 0 -3/2 0 -7/2 1 0 1 X2 0 1 ½ -½ 1 2 1 0 X1 1 0 -½ 3/4 3/2 Zj 7 2 _3/4 - 17/4 23/2 C j-Zj 0 0 3/4 -17/4

Tabel 6. Solusi Optimal Berdasarkan Derajaat Keanggotaan C1 C1 C2 β α X1 X2 Z(α) 3 1 0 1 ₂3 1 11₂ 4 1 0.020 0.980 ₂3 1 14₂ 5 1 0.082 0.918 ₂3 1 17₂ 6 1 0.184 0.816 ₂3 1 20₂ 7 1 0.326 0.674 ₂3 1 23₂ 8 1 0.510 0.490 ₂3 1 26₂ 9 1 0.735 0.265 ₂3 1 29 10 1 1 1 2 3 1 32₂

Sedangkan untuk permasalahan c2 pada

interval [1,15] maka dengan asumsi nilai cl

tidak berubah sehingga dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh ketelitian numeriknya sebagai berikut:

Maksimum f = 3x1+ c2x2 0 jika i

inf

φ

( )

c

i <

c

i

φ

( )

c =

(

₁

inf

( )

)

2

/

(

inf

i

( )

i j

( )

j

)

2 i i i i

c

c

c

c

−

φ

φ

−

φ

jika i

inf

φ

i

( )

c

i

≤

c

i

≤

φ

j

( )

c

j 1 jika

c

_i >

φ

_j

( )

c

_j

0 jika 1 < c1

( )

c1

φ

= (c1 – 3)2/ 2

3

3

10

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

_{jika 1}

_≤

_c 1

≤

15 2 jika 15 > c1 atau 0 jika 1 < c1

( )

c2

φ

= (c1 – 3)2/ 9 1 _{jika 1}

_≤

_c 1

≤

15 1 jika 15 > c1

Dengan himpunan kendala 2X1 + 3X2

≤

6 X1 + X2

≤

4 X1, X2 ≥ 0 X=

{

x

_∈

R

2

2x

₁

₊

3x

₂

_≤

6;2x

₁

₊

₂

_≤

4

;

x

₁

,

₂

_≥

0

}

x

x

Untuk memaksimumkan keuntungan dalam menyelesaikan permasalahan:

Maks 3x1+ C2X2, x Є X

Dari kasus di atas hanya terdapat satu bagian fungsi keanggotaan yang dipergunakan pada persamaan (4) bahwa: Untuk setiap C Є Rn: φ(c)=inf φ_i(c_i) yang oleh persamaan (3.6) sama dengan persamaan (3.9), maka persamaan dapat diselesaikan menurut persamaan:

Dengan mengubah persamaan di atas menjadi:

Maks Z(α) = (3X1 + (1+14

1

−

α

)X2

Kendala 2X1+3X2

≤

6

2X1+X2

≤

4

X1, X2 ≥ 0, α Є [0.1]

Maka diperoleh tabel optimal berdasarkan derajat keanggotaan C2 sebagai berikut:

Tabel 7. Solusi Optimal Berdasarkan Derajat Keanggotaan C2 C1 C2 β=(C2 -1)/196 α X1 X 2 Z(α) 3 1 0 1 3/2 1 11/2 3 2 0.005 0.995 3/2 1 13/2 3 3 0.020 0.980 3/2 1 15/2 3 4 0.046 0.954 3/2 1 17/2 3 5 0.082 0.918 3/2 1 19/2 3 6 0.127 0.823 3/2 1 21/2 3 7 0.184 0.816 3/2 1 23/2 3 8 0.250 0.750 3/2 1 25/2 3 9 0.326 0.674 3/2 1 27/2 3 10 0.413 0.587 3/2 1 29/2 3 11 0.510 0.490 3/2 1 31/2 3 12 0.617 0.383 3/2 1 33/2 3 13 0.735 0.265 3/2 1 35/2 3 14 0.862 0.138 3/2 1 37/2 3 15 1 _{0 3/2 1 39/2}

Kemudian akan dibandingkan dengan penyelesaian program linier kabur dengan C1,

C2 berada pada interval [3,10], [1,15] dengan

persamaan:

Maks F =

(

3

+

7

1

−

α

)

X1 + ( 1+14

1

−

α

)

X2

Kendala 2x1+3x2 ≤ 6

2x1+ x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Tabel 8. Solousi Optimal c1, c2 dengan ketelitian

α

α

C1 C2 X1 X2 f 1 3 1 3/2 1 11/2 0.980 4 3 3/2 1 9 0.918 5 5 3/2 1 25/2 0.816 6 7 3/2 1 16 0.674 7 9 3/2 1 39/2 0.490 8 11 3/2 1 23 0.265 9 13 3/2 1 53/2 0 10 15 3/2 1 30

Dari tabel dapat ditentukan bahwa harga keuntungan optimum pada saat

α

= 0 dengan nilai c1 = 10 dan c2 = 15, x1 =

3

5. KESIMPULAN DAN SARAN 5. 1. Kesimpulan

1. Persoalan program linier dengan perubahan koefisien pada fungsi tujuan dalam parameter

λ

tidak hanya menjadi tujuan. Jika perubahan koefisien terjadi hanya pada salah satu koefisien saja, maka analisis parameter tidak dapat memecahkan persoalan, maka program linier kabur (fuzzy) sangat tepat digunakan untuk memecahkan persoalan perubahan koefisien pada semua fungsi tujuan dan pada salah satu koefisien saja.

2. Perubahan koefisien fungsi tujuan berhubungan dengan fluktuasi harga permintaan pasar, di mana fluktuasi permintaan diasumsikan sama. Jika diselesaikan dengan analisis parameter dan program linier kabur mengakibatkan harga-harga tujuan optimum yang berubah dan jenis serta jumlah produk yang diproduksi juga berubah sesuai besarnya harga kisaran

λ

_.

5.2. Saran

Dalam kenyataan sehari-hari mungkin saja perubahan koefisien fungsi tujuan tidak sama dalam hal yang disarankan agar persoalan demikian untuk diselesaikan dengan mengkombinasikan harga-harga perubahan derajat ketelitian

λ

.

DAFTAR PUSTAKA

Bradley.P. Stephen, Hav.C.Arnold, Magnanti, L. Thomas, “Applied Mathematical Programming”, Adison-Wesley

Publishing, Sidney, 1997.

Frederick,S.Hiller, Gerald Lieberman, Alih Bahasa Dra. Ellen Gunawan, “Pengantar Operasi Riset”, Erland, Jakarta, 1990.

Lai, Young-Jou, Ching-Lai Hwang, Fuzzy

Mathematical Programming, Method and application”, Springer Verlag,

Berlin Heidelberg, 1992.

Kauffman, Arnold. Gupta, Madan, Introduction

to Fuzzy Arithmatic: Theory and Application” Van Nostrap Reinhold, New

York, 1991.

Rao, S.S, “Optimization: Theory and Application”, Edisi ketiga, Wiley

Eastern Limited, Banglore, India, 1987.

Taha Hamdy A, “Riset Operasi”, Alih Bahasa Drs. Daniel Wirajaya, Binarupa Aksara, Jakarta,1996.

Wu Nesa L’abbe [and] Richard Coppin, ”Linier

Programming and Extention”, Mc

Graw-Hill, New York, 1981.

Zadeh, Lofti Asker, “ Fuzzy Sets and

Application”, John Wiley an Sons.Inc,

Canada, 1987.

Zimmerman,H-J, “Fuzzy Set Theory and Its

Application, Second Revised Edition”,

Kluwer Academic Publisher, Boston/Dorecch/London,1991.