KEKONVERGENAN INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS. PADA RUANG EUCLIDE R (Henstock-Pettis Integral Convergence in Euclidean Space)

(1)

21 KEKONVERGENAN INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS

PADA RUANG EUCLIDE

n

R

(Henstock-Pettis

Integral Convergence in Euclidean Space)

Hairur Rahman

1

dan Soeparna Darmawijaya

2

1

Universitas Muhamadiyah Malang

2

Jurusan Matematika FMIPA UGM, Sekip Utara Yogyakarta

ABSTRAK

Dalam paper ini dibicarakan integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide _Rn_.

Pembahasannya meliputi beberapa sifat fungsi terintegral Henstock-Pettis pada ruang

Euclide _Rn_{, fungsi primitif, lemma Henstock, dan beberapa teorema kekonvergenannya.}

Kata kunci: Integral Henstock, Ruang Euclide _Rn_{, fungsi terintegral Henstock Pettis}

ABSTRACT

Henstock-Pettis Integral on the Euclide an Space is discussed in this paper. Dis cussions

cover some properties of Henstock-Pettis integrable function on the Euclide an Space _Rn_,

primitive function, Henstock lemma, and some convergence theorems.

Makalah diterima tanggal 12 Maret 2006

1. PENDAHULUAN

Pada tahun 1914, Perron mengembangkan perluasan lain integral Lebesgue dan menunjukkan bahwa integralnya mempunyai sifat bahwa setiap derivatifnya terintegral pada garis lurus.Selanjutnya Hanstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta positif δ menjadi fungsi positif δ dan ternyata integral yang disusun keduanya ekuivalen. Oleh karena itu, integral yang mereka susun terkenal dengan nama Henstock-Kurzweil.

Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifatnya yang telah diungkapkan baik dalam R maupun ruang Rn. Menurut penelitian, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral henstock-Pettis, khususnya sejauh mana

sifat-sifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn.

Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Untuk bilangan asli n, Rn menyatakan himpunan semua pasangan atas n bilangan real, yaitu :

R R R Rn = × ×_...× _{. ( n faktor )}

(

)

{

x= x x x_n x_i∈R ≤i≤n

}

= ₁, ₂,..., : ,1

Untuk setiap α∈R dan

x

,

y

∈

R

n. Jika A himpunan bagian tak kosong didalam _Rn_, diameter himpunan A didefinisikan

diam(A) = sup

{

x−y :x,y∈Α

}

Untuk x∈Rn, persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari-jari r >0 dinotasikan dengan B ,

( )

x r , didefinisikan

(2)

( )

x r

{

y y R x y r

}

B = ∈ n − < dan : , .

Definisi 1.1 Diberikan sel E ⊂ Rn .

(1) Divisi pada sel E adalah koleksi sel berhingga D yang tidak saling tumpang tindih sehingga . E D D D = ∈

U

(2) Segmentasi pada koleksi sehingga sel-sel C adalah koleksi berhin gga sel D yang tidak saling tumpang tindih sehingga memenuhi

(a) Untuk setiap D∈D terdapat sel

C

C∈ sehingga D⊆C (b) Untuk setiap C∈C koleksi

{

D∈D:D⊂C

}

adalah partipasi pada C

Definisi 1.2. Diberikan fungsi volume

α

pada

Rn, sel _E⊂_Rn_{dan E ruang Banach. Fungsi f :}

E? X dikatakan terintegral-α Henstock pada

E terhadap α, ditulis singkat f ∈ H (E, α, X)

jika terdapat vektor Α∈Χ sehingga untuk setiap bilangan

∈>

0

terhadap fungsi positif δ pada E dan untuk setiap partisi Perron δ-fine

(

) (

)

{

D x D x Dn xn

}

D= ₁, ₁ , ₂, ₂ ,... , pada E berlaku

( )

= −

( )

( ) ( )

<∈ −

∑

= 1 1 1 1 A D f x D x f D A n i α α

Definisi 1.3. Diberikan X ruang Banach dan

X* ruang dualnya, volume α pada Rn, dan E ⊂Rn

. Fumgsi f : E ? X dikatakan terintegral-α Henstock-Pettis pada E, ditulis singkat dengan f ∈ HP(E, α), jika untuk setiap x*f terintegral-α Henstock pada A terdapat vektor x(f, A, α)∈ X sehingga

(

)

(

) ( )

_∫

∗ ∗ ₌ Ax fd H A f x x , ,α α

Selanjutnya vektor x

(

f, A,α

)

di atas disebut nilai Integral Henstock-Pettis fungsi f pada A dan ditulis

(

) ( )

=

_∫

Afd H A f x , ,α α , khususnya

(

) ( )

=

_∫

Efd HP E f x , ,α α. Jadi

( )

(

_∫

)

( )

_∫

∗ ∗ ₌ A Afd H x fd HP x α α.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Akan dibahas sifat-sifat lanjut dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn, beberapa kekonvegenan dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn .

Teorema 2.1. ( Kriteria Cauchy) Fungsi

( )

E,α HP

f ∈ jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ∈ > 0 terdapat fungsi positif δ pada E sehingga jika A⊂E sel dan D1=

{

(

Β1,x1

)

,...,

(

Βp,xp

)

}

dan

(

)

(

)

{

C x Cq xq

}

D₂= ₁, ₁,..., , masing-masing partisi Perron δ-fine pada A memenuhi

( )

∑

( ) ( ) ( )

−

∑

( ) ( )

<∈ = = ∗ ∗ p i k q k i B D x f yk C x f x D 1 1 2 1 1 α α untuk setiap x∗∈X∗.

Teorema 2.2. Jika

f

∈

HP

( )

E

,

α

maka

( )

A

,

α

HP

f

∈

untuk setiap sel bagian A⊆ E.

Bukti : Cukup jelas, berdasarkan Definisi

1.3.

Definisi 2.3. Jika f ∈HP

( )

E,α dan J (E) koleksi semua sel bagian di dalam E maka fungsi F : J (E) ? X dengan rumus

( ) (

= , ,

) ( )

=

∫

, A fd HP A f x A F α α

dan F

( )

0/ =0,untuk setiap A∈F

( )

E disebut

(3)

23

Teorema 2.4. Diberikan fungsi volume α di

dalam Rn dan sel E ⊂ Rn. Jika f ∈HP

( )

E,α

dengan f sebagai primitif-HP nya dan E1, E2, ..., Ep sel-sel di dalam E yang tak saling tumpang tindih dan

U

p

k Ek E 1 = = maka

( )

_∑

( )

_∑

(

)

= = = = p k p k k x f A E F E F 1 1 , , α

Bukti: Karena f ∈HP

( )

E,α dengan

primitif-HP fungsi f pada E,

U

p

k Ek E 1 = = dengan 0 0 =0/

I

j i E E untuk setiap i≠ j, diperoleh

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

, ,

)

. ... , , ... , , , , 1 1 1 1 1 1

∑

= = = = = = + + = + + = =     = p k p k k p p p k k p k k A f x E F E F E F E f x E f x E f x E F E F α α α α

U

Selanjutnya berdasarkan Definisi 1.3. maka integral Henstock-Pettis terhadap pada E dapat juga dinyatakan seperti dalam teorema berikut.

Teorema 2.5. Fungsi f ∈HP

(

E,α

)

jika

dan hanya jika terdapat fungsi adiktif sehingga untuk setiap bilangan ∈ > 0 yang diberikan dan x∗∈X∗ dapat ditemukan fungsi positif δ pada E sehingga jika A⊂E

sel dan D=

{

(

D,x

)

}

partisi Perron δ-fine pada A berlaku

( ) ( ) ( )

(

−

)

<∈.

∑

∗ D F D x f x α

Teorema 2.6. ( Lemma Henstock )

Diberikan X ruang Banach dan _X∗_ruang

dualnya, volume α pada Rn

dan sel _E⊂_Rn_.

Jika f ∈HP

( )

E,α dengan primitif F, yaitu untuk setiap bilangan ∈>0 dan x∗∈X∗

terdapatlah fungsi positif δ pada E

sehingga jika A⊂E sel dan D=

{

( )

D,x

}

partisi Perron δ-fine pada A berlaku

( )

∑

∗

(

( ) ( ) ( )

−

)

<∈ D F D x f x D α

maka untuk setiap jumlahan bagian

∑

1dan

( )

DΣ berlaku

( )

∑

∗

(

( ) ( ) ( )

−

)

<∈

1x f x D F D

D α

Teorema 2.7. ( Teorema Kekonvergenan

Seragam ) Diberikan fungsi volume α pada

Rn, sel _E⊂_Rn_dan _f _HP

( )

_E_,α

n∈ untuk

setiap n. Jika untuk setiap sel A⊂E

barisan fungsi

{ }

f_n konvergen lemah seragam ke suatu fungsi f pada A, maka

( )

E,α HP f ∈ dan

(

f,A,α

)

limx

(

f ,A,α

)

x _n n→∞ = .

Bukti : Diberikan A⊂E sel sebarang.

Barisan fungsi

{ }

f_n konvergen lemah seragam ke f pada A jika untuk setiap bilangan ∈>0 dan terdapat bilangan asli

( )

_∈ ∗

=m x

m , sehingga jika n≥m berlaku

( )

1 4 + ∈ < − ∗ ∗ α x f x x f x n . Untuk setiap x∈A⊂E.

Fungsi fn∈HP

( )

E,α jika untuk setiap

bilangan ∈ > 0 tersebut dan x∗∈X∗

terdapat fungsi positif δn-fine pada A

berlaku ( )

(

)

−

( )

∑

∗

( ) ( )

<∈ ∗ D x f x D x x fn,A,α n α dan

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 ∈ < −

∑

∗

∑

∗ D x f x D D x f x P n α n α

Jika P=

{

( )

D,x

}

,D=

{

( )

D,x

}

sebarang partisi Perron δ-fine pada A berlaku

(4)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

<∈ + ∈ + ∈ + + ∈ < − + − + − ≤ −

∑

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ A A D x f x D D x f x D D x f x D D x f x P D x f x P D x f x P D x f x D D x f x P m m m m α α α α α α α α α α α α 1 4 4 1 4

Hal ini menunjukkan bahwa x∗f terintegral Henstock pada A dan untuk A⊂Esel di atas jadi terdapat vektor x

(

f,A,α

)

∈X

sehingga ( )

(

)

( )

_∫

∗ ∗ ₌ A A f H x fd x x _, _,_α α

Dengan kata lain, f ∈HP

( )

E,α . Selanjutnya, karena f ∈HP

( )

E,α . Jadi terdapat fumgsi positif δ1 pada E sehingga

untuk A⊂E sel dan jika =

{

(

D,x

)

}

partisi Perron δ1-fine pada A berlaku

( )

(

)

−

( )

∑

∗

( ) ( )

<∈ ∗ D x f x Q x x _f_,_A_,_α α

Untuk setiap n tetap dan n ≥ m, dipilih

( )

x

{

δ

( ) ( )

x δn x

}

δ =min 1 , untuk setiap x∈E.

Untuk A⊂ E sel di atas dan jika J sebarang partisi Perron pada A, diperoleh

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

( )

)

( )

+

( )

+∈<∈ ∈ + ∈ < − + − + − ≤ −

∑

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 4 1 4 4 , , , , , , , , A A x x D x f x J D x f x J D x f x J D x f x J x x x x x x A f n n A f A f A f n n α α α α α α α α α α

Dengan kata lain terbukti

(f,A,α) lim_n x(fn,A,α) x

∞ →

=

Teorema 2.8. (Teorema kekonvergenan

Monoton) Diberikan fungsi volume α pada

Rn , sel E ⊂ Rn, dan fn∈HP

( )

E,α untuk

setiap n, dan

{ }

f_n monoton lemah pada E. Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan fungsi

{ }

fn konvergen lemah ke f pada A dan

untuk setiap x∗∈X∗, limn x

(

x(fn,A,α)

)

∗ ∞ → ada maka f ∈HP

( )

E,α dan (f,A,α) lim_n x(fn,A,α) f ∞ → = .

Bukti : Diambil sebarang bilangan ∈>0

dan ∗_∈ ∗

X

x . Cukup dibuktikan untuk kasus barisan fungsi

{ }

f_n yang naik monoton lemah pada A untuk setiap A⊂ E caranya sama. Menurut yang diketahui terdapat

( )

(

, ,α

)

limn x xfn A

a= →∞ ∗ . Karena barisan fungsi

{ }

fn naik monoton lemah pada A, maka

barisan

{

x₍fn,A,α₎

}

naik monoton lemah

dengan a sebagai batas atas terkecilnya. Jadi untuk bilangan ∈ > 0 tersebut dan x* ∈ X*

, dapat dipilih bilangan asli n0 = n0 (∈, x*) sehingga jika n ≥ n0 berlaku

( )

(

)

4 , , ∈ < − ∗ α A f x x a

Karena barisan fungsi

{ }

f_n konvergen lemah f pada A, maka untuk setiap bilangan ∈ > 0 di atas, x∗∈X∗ dan x∈A⊂E. Terdapat bilangan asli m_o =m_o

(

∈,x∗,x

)

sehingga jika n≥mo berlaku

( )

_{( )}

1 4 + ∈ < − ∗ ∗ A x f x x f x _n α

Karena fn ∈HP(E,α) untuk setiap n, maka untuk setiap bilangan ∈ > 0 di atas dan x*∈X* terdapat fungsi positif δn pada E

sehingga untuk A ⊂ E. sel di atas dan untuk setiap partisi Perron δn-fine Dn=

{

(

D,x

)

}

pada A berlaku

( )

( ) ( )

(

( , ,)

)

1 2+ ∗ ∗ ₋ _< ∈

∑

f A n n x f x D x x D α α

Dibentuk fungsi positif δ pada E dengan rumus

( )

x =δm₍∈,x∗x₎

δ

untuk setiap x∈E dan x*∈ X* dengan

(

x x

)

{

n

( ) (

x m x x

)

}

(5)

25

untuk A ⊂ E sel di atas dan jika

(

) (

)

(

)

{

D x D x Dp xp

}

D= 1, 1 , 2, 1,... , Partisi Perron

δ-fine pada A berlaku

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

{

}

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+

( )

+ ∈ +∈<∈+∈+∈=∈ ∈ < −         +         − + + − < −         +                 − + − ≤ = −

∑

∞ = + = = _ _ ∗ = _ _ ∗ ∈ ∗ = ∈ ∗ ∗ = _ _ ∗ = _ _ ∗ ∈ ∗ = ∈ ∗ = ∗ ∗      ∈ ∗      _∈ ∗ ∗ ∗      ∈ ∗      ∈∗ ∗ ∗ 4 2 4 4 2 1 4 1 1 1 1 , , 1 , , , , 1 , , 1 , , 1 , , , , 1 , , 1 , , , , , , , , , n n p i i p i f D p i f D i x x m p i i x x m i p i f D p i f D i i x x m p i i i x x m i i p i i i D A a x x x x D x f x D x f x x f x a x x x x D x f x D x f D x f x D x f x a D x f x D i i x x m i i x x m i i i i x x m i i x x m i i α α α α α α α α α α α α α

Dari uraian di atas berarti x*f terintegral Henstock pada E dan untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor x₍f,A,α₎∈X sehingga

( )

(

)

( )

_∫

∗ ∗ ₌ A A f H x fd x x _, _,_α α Jadi f ∈HP

( )

E,α , dan ( )

(

x

)

x

(

x( )

)

a x _f _A n A f = n = ∗ ∞ → ∗ α α ,, , , lim

Dengan kata lain,

∞ →

=

Teorema 2.9. ( Lemma Fatou ) Diberikan

fungsi volume α pada Rn , dan sel E ⊂ Rn fungsi f_n∈HP

( )

E,α untuk setiap n. Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan fungsi

{ }

f_n

konvergen lemah ke fungsi f pada A dan

( )

≥0

∗_f _x

x _n h.d pada A untuk setiap n maka

( )

(

x

f,A,α

)

lim

inf

x

(

x

(fn,A,α)

)

x

∗

≤

∗

Bukti : Diberikan A ⊂ E sel sebarang.

Dibentuk fungsi hn untuk setiap n dengan rumus

( )

_i _n i n x f h ≥ =inf

untuk setiap x∈A⊂E. Oleh karena itu untuk setiap sel A ⊂ E di atas diperoleh barisan fungsi naik monoton lemah

{ }

h_n

pada A dan x∗h_n

( )

x ≤x∗f_n

( )

x untuk setiap

E A x∈ ⊂ dan x∗∈X∗. Selanjutnya , ( )

(

,,α

)

lim

(

( , ,α)

)

lim_n x xhnA _n x xfnA ∗ ∞ → ∗ ∞ → ≤

dan barisan fungsi

{ }

h_n konvergen lemah ke f. Karena limn x

(

x₍hn,A,α₎

)

∗ ∞

→ ada, maka

menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, f ∈HP

( )

E,α dan

( )

(

xf,A,α

)

lim_n x

(

x(hn,A,α)

)

liminfx

(

x(fn,A,α)

)

x ∗ ∗

∞ →

∗ ₌ _≤

dengan kata lain,

( )

(

xf,A,α

)

liminfx

(

x(fn,A,α)

)

x ≤ ∗

Akibat dari Lemma Fatou ini diperoleh Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue, disajukan berikut ini.

Teorema 2.10. ( Teorema Kekonvergenan Terdominasi lebesgue ) Diberikan fungsi

volume α pada Rn, dan sel n dan

R E⊂

(

,α

)

,

9 fn∈HP E . Jika untuk setiap sel A ⊂ E

barisan

{ }

f_n konvergen lemah ke f pada A dan x∗f_n

( )

x ≤x∗9

( )

x untuk setiap n, x*∈ X* dan x∈A maka, f ∈HP

( )

E,α dan

∞ →

=

Bukti : Diberikan A ⊂ E sel sebarang. Karena

( )

x x f

( )

x f x∗ _n = ∗ untuk setiap ∗ ∗_∈ ⊂ ∈A E x X x , dan x fn

( )

x x 9

( )

x ∗ ∗ _≤ _untuk

(6)

setiap n, diperoleh x∗9

( )

x −x∗f_n

( )

x ≥0 dan barisan

{

x∗

(

9− f_n

)

}

konvergen ke ( 9 – f ) pada A. Oleh karena itu menurut Lemman Fatou,

( )

(

x9 f,A,α

)

liminfx

(

x(9 fn,A,α)

)

x∗ − ≤ ∗ −

Karena −x∗9

( )

x ≤x∗f

( )

x ≤ x∗9

( )

x utuk setiap

, , ∗∈ ∗ ⊂ ∈A E x X x dan 9∈HP

( )

E,α , maka

( )

E,α HP f ∈ dan ( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

(

)

(

( )

)

{

}

( )

{

}

( )

(

α

)

(

( α)

)

α α α α α α α α α α α α , , , , 9 , , , , 9 , , 9 , , 9 , , , , 9 sup lim sup lim 9 inf lim 9 inf lim 9 inf lim inf lim inf lim 0 A f A A n A A n A A A n A f A A f A f A f A n n n x x x x d f x H d x H d f x H d x H d f x H d x H x x x x x x x x x x x x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ − = − = − + = − + = − = ≤ = − ≤

∫

Dari sini diperoleh,

Lim sup x

(

x₍fn,A,α₎

)

≤

(

x₍f,A,α₎

)

∗ ₍₁₎

Selanjutnya untuk x∗9

( )

x +x∗f_n

( )

x ≥0diperoleh

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

(

)

(

( )

)

{

}

( )

{

}

( )

(

α

)

(

( α)

)

α α α α α α α α α α α α , , 9 , , , , 9 , , , , 9 , , 9 , , , , 9 inf lim 9 inf lim 9 inf lim 9 inf lim inf lim inf lim 0 A A f A A n A A n A n A A A f A f A f A f A x x x x d x H d f x H d x H d f x H d x H d f x H x x x x x x x x x x x x n n n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ ∗ + = + = + = + = + = ≤ = + ≤

∫

atau ( )

(

xf,A,α

)

liminfx

(

x(fn,A,α)

)

∗ ≤ (2)

dari (1) dan (2) diperoleh ( )

(

x

)

x

(

x( )

)

a x _f _A n A f = n = ∗ ∞ → ∗ α α ,, , , lim

dengan kata lain,

∞ →

=

Teorema 2.11. ( Teorema Kekonvergenan

Terbatas ). Diberikan fungsi volime α pada

Rn, dan sel _E⊂_Rn_dan ₉_,_f _HP

(

_E_,α

)

n∈ .

Jika untuk setiap sel A⊂E barisan

{ }

f_n

konvergen lemah ke f pada A dan

( )

x M f x n ≤ ∗ _{untuk setiap} ∗_∈ ∗ X x n, dan A x∈ maka, f ∈HP

( )

E,α dan (f,A,α) lim_n x(fn,A,α) x ∞ → =

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan dalam bab-bab sebelumnya kesimpulan bahwa beberapa sifat integral Henstock masih berlaku untuk integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn.

Demikian juga untuk teorema kekonvergenan integral Henstock, yaitu Teorema Kekonvergenan Seragam, Teorema Kekonvergenan Monoton, Lemma Fatau, Teorema Kekonvergenan Tedominasi Lebesgue, dan Teorema Kekonvergenan terbatas masih berlaku untuk integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn.

Teori integral Henstock-Pettis dalam tulisan ini dapat dikembangkan antara lain kajian mengenai sifat-sifat primitif fungsi terintegral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn, dan aplikasi integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn serta aplikasi pada ilmu-ilmu atau bidang fisika dan kimia.

DAFTAR PUSTAKA

Dharmawidjaya, S., 2003, On The Bounded Interval Fu nctions, Proccedings of the International Conference 2003 On Mathematics And Its Application, SEAMS-Gadjah Mada university, Universitas Gadjah Mada, Indonesia .

(7)

27

Indarti, Ch.R., 2002, Integral Henstock

-Kurzweil pada ruang Euclide Rn berdimensi-n, Disertai, Universitas Gadjah Mada, Indonesia .

Gordon, R.A., 1994, The Integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock , Mathematical Society, USA. Guoju, Ye dan Tianqing, 2001, On

Henstock-Dunford and Henstock-Pettis Integral, IJMMS, 25:7, Hindawi Publishing Corp. pp 467-478.

Guoju, Ye dan, Swabik.S, 2001, The MacShane and The Weak. MacShane Integral of Banach Space value Funchen Define On Rn, Mathematical Notes, Miscole, Vol, 2., No, 2., pp127-136.

Guoju, Ye, and Swabik.S, 2004, Topics in Banach Space Integration, Manuscrip in Preparation.

Indarti, Ch.R., 2002, Integral Henstock -Kurzweil pada ruang Euclide Rn berdimensi-n, Disertai, Universitas

Gadjah Mada, Indonesia .

Rahman, Hairur, 2005, Integral Henstock -Pettis pada ruang Euclide Rn, Tesis Universitas Gadjah Mada, Indonesia . Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures On

Henstock Integration, Word Scientific, Singapore.

Lee, P.Y. dan Vborn, R., 2000, Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock , Cambridge University Press. Preffer, W.F., 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA.

Royden, H.L., 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA.

Swabik.S. dan Guoju. , Ye, 1991, The macshe and The Pettis Integral of Banach Space value Function defined on Rn, Chzech, Math Journal.

(8)