BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

(1)

BAB III

UKURAN PEMUSATAN DATA

A. Ukuran Gejala Pusat

 Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan di mana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok).

 Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal sebuah data yang dapat memberikan gambaran lebih jelas dan singkat tentang di sekitar mana data itu memusat, dan dianggap mewakili seluruh data.

 Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.

Ukuran gejala pusat atau ukuran pemusatan data meliputi: 1. Rata-rata:

a. Rata-rata hitung (arithmetic mean) Dirumuskan:

Rata-rata hitung = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎

 Jika data merupakan data tunggal, maka

n X n X X X X X n i i n 



      1 2 3 ... 1 atau n X X 



 Jika data merupakan data bergolong, katakanlah masing-masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:

n n n f f f f X f X f X f X f X          ... ... 3 2 1 3 3 2 2 1 1 _atau



 f fX X Contoh 1

Nilai ujian statistik 5 Mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut adalah 80, 60, 75, 70, 65. Tentukan nilai rata-rata hitungnya!

70 5 65 70 75 60 80    _  X

(2)

Contoh 2

Nilai ujian statistik 15 mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut adalah

• 2 mahasiswa mendapat nilai 95, • 4 mahasiswa dengan nilai 80, • 5 mahasiswa mendapat nilai 65, • 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan • 1 mahasiswa mendapat nilai 50, Tentukan nilai rata-rata hitungnya.

71 15 1065 1 3 5 4 2 ) 50 1 ( ) 60 3 ( ) 65 5 ( ) 80 4 ( ) 95 2 (                 X X X Contoh 3

Penyelesaian dengan tabel distribusi frekuensi

Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut. Tentukan nilai rata-rata hitungnya.

525 , 140 40 5621   



f fX X

Penyelesaian dengan memakai kode (koding)

Rumus: _        



f fU c X X ₀ Di mana:

• x: nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0), • c: lebar kelas,

(3)

• U: kode kelas 525 , 140 475 , 2 143 40 11 9 143 0                      



f fU c X X

b. Rata-rata ukur (geometric mean)

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain saling berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau hampir tetap.

Biasa digunakan untuk mengetahui persentase perubahan sepanjang waktu, misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, dan pendapatan nasional.

Dirumuskan:

• Untuk data tunggal

                  



n X anti G n X G G n n

x

log log atau log log log atau ... . . ₂ ₃ 1

• Untuk data bergolong

        



f X f anti G log log

(4)

Contoh 4

Tentukan rata-rata ukur dari 2,4,8.

9031 , 0 8 log 6021 , 0 4 log 3010 , 0 2 log    0 , 4 ) 6021 , 0 log( 3 8062 , 1 log 3 9031 , 0 6021 , 0 3010 , 0 log 3 8 log 4 log 2 log log                            G anti G anti G anti G anti G Contoh 5

Tentukan rata-rata ukur dari data berikut.

757 , 139 ) 145 , 2 log( 40 815 , 85 log log log                 



_anti _anti f X f anti G

c. Rata-rata harmonis (harmonic mean)

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau desimal

Dirumuskan:

 Untuk data tunggal:

                  



_X n R_H 1

(5)

 Untuk data bergolong:                   



X f f R_H Contoh 6

Tentukan rata-rata harmonis dari 2,4,8.

43 , 3 8 7 3 8 1 4 1 2 1 3 1                                                



_X n R_H

Tentukan rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9

40 , 0 397 , 0 08 , 10 4 4 9 3 7 2 5 3 4 1 _                                         



_X n R_H Contoh 7

Diberikan data tabel sebagai berikut. Tentukan nilai rata-rata harmonisnya.

889 , 138 288 , 0 40                     



X f f R_H

(6)

2. Median

 Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan Dirumuskan:

• Untuk data tunggal:

Median data ganjil = nilai yang paling tengah = data ke 𝑛+1 2 Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah • Untuk data bergolong:

               f F n c L Med ₀ 2 Contoh 8

Tentukan Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10.

Apakah himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki median? Contoh 9

Tentukan Median dari data tabel berikut

75 , 140 12 17 20 9 5 , 138 9 5 , 138 5 , 147 17 8 5 4 12 5 , 138 maka 147 139 kelas pada 20 ke nilai yaitu , 2 40 ke atau 2 ke nilai pada terletak Median 0                     Med c F f L n

(7)

3. Modus

Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul. Dirumuskan:

 Untuk data tunggal diambil dari nilai yang paling sering muncul  Untuk data bergolong:

         2 1 1 0 b b b c L Mod modus kelas sesudah kelas satu tepat frekuensi dengan modus kelas frekuensi antara selisih modus kelas sebelum kelas satu tepat frekuensi dengan modus kelas frekuensi antara selisih kelas lebar modus kelas bawah batas modus 2 1 0      b b c L Mod Contoh 10

Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah...

Apakah himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus? Apakah data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus?

Apakah data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus? Contoh 11

Tentukan Modus dari data tabel berikut.

77 , 141 7 4 4 9 5 , 138 7 5 12 4 8 12 9 5 , 138 5 , 147 5 , 138 maka 12 terbesar frekuensi dengan , 147 139 kelas pada terletak Modus 2 1 0                      Mod b b c L

(8)

B. Ukuran Tata Letak Data 1. Kuartil

Konsep median diperluas dengan membagi data yang telah terurut menjadi empat bagian sama banyak, dengan tiga bilangan pembagi yaitu kuartil (Q1,Q2,Q3).

 Bila data merupakan data tunggal, maka: , 1,2,3 4 ) 1 ( ke yang Nilai    i n i Qi

 Bila data merupakan data bergolong, maka: ₀ 4 , 1,2,3             _   i f F in c L Q_i i i Q f Q F c L kuartil kelas frekuensi kuartil kelas sebelum kelas semua frekuensi jumlah kelas lebar kuartil kelas bawah batas : mana di 0     Contoh 12 Data tunggal

Tentukan kuartil 1, 2 dan 3 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut. 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100 13 mana di , 4 ) 1 ( ke nilai    i n n Q_i 5 , 42 ) 40 45 ( 2 1 40 ) 3 ke nilai 4 ke nilai ( 2 1 3 ke nilai 4 ke nilai dan 3 ke nilai antara 2 1 3 ke nilai 4 14 ke nilai 4 ) 1 13 ( 1 ke nilai 1             Q

(9)

5 , 82 ) 80 85 ( 2 1 80 10) ke nilai 11 ke nilai ( 2 1 10 ke nilai 2 1 10 ke nilai 4 42 nilaike 4 ) 1 13 ( 3 ke nilai 3            Q Contoh 13 Data bergolong

Tentukan kuartil 1, 2, dan 3 dari data tabel distribusi frekuensi berikut.

156 148 pada dan 147 139 pada , 138 130 kelas pada maka 40, n Karena atas ke 25% dan bawah ke 75% menjadi data membagi , atas ke 50% dan bawah ke 50% menjadi data membagi , atas ke 75% dan bawah ke 25% menjadi data membagi , 3 2 1 3 2 1     Q Q Q Q Q Q 3 , 2 , 1 , 4 0            _   i f F in c L Q_i 625 , 130 8 9 10 9 5 , 129 8 9 4 40 9 5 , 129 8 9 5 4 5 , 129 : Untuk 1 0 1                       _        Q f F L Q 75 , 140 12 17 20 9 5 , 138 12 17 8 5 4 5 , 138 : Untuk 2 0 2                 Q f F L Q

(10)

3 , 149 5 29 30 9 5 , 147 5 29 5 , 147 : Untuk 3 0 3              Q f F L Q 2. Desil

Desil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian sama banyak Dirumuskan :  Data tunggal: , 1,2,3,...,9 10 ) 1 (    Nilai yang ke i n i Di  Data bergolong: 9 ,..., 3 , 2 , 1 , 10 0            _   i f F in c L D_i i i D f D F l c L desil kelas frekuensi desil kelas sebelum kelas semua frekuensi jumlah kelas ebar desil kelas bawah batas : mana di 0     Contoh 14 Data tunggal

Tentukanlah desil 3, dan 7 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut. 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 13 mana di , 10 ) 1 ( ke nilai    i n n D_i 46 ) 45 50 ( 5 1 45 ) 4 ke nilai 5 ke nilai ( 5 1 4 ke nilai 5 1 4 ke nilai 10 42 ke nilai 10 ) 1 13 ( 3 ke nilai 3            D

(11)

78 ) 70 80 ( 10 8 70 ) 9 ke nilai 10 ke nilai ( 10 8 9 ke nilai 10 8 9 ke nilai 10 98 ke nilai 10 ) 1 13 ( 7 ke nilai 7            D Contoh 15 Data bergolong

Tentukanlah desil 3, dan 7 dari tabel distribusi frekuensi berikut!

147 139 pada , 138 130 kelas pada maka , 40 Karena atas ke 30% dan bawah ke 70% menjadi data membagi , atas ke 70% dan bawah ke 30% menjadi data membagi , 7 3 7 3    D D n Q D 75 , 146 12 17 28 9 5 , 138 12 17 10 ) 40 ( 7 9 5 , 138 : Untuk 875 , 132 8 9 12 9 5 , 129 8 9 10 ) 40 ( 3 9 5 , 129 : Untuk 7 7 3 3                       _                         _   D D D D 3. Persentil

Persentil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 100 bagian sama banyak Dirumuskan:  Data tunggal: , 1,2,3,...,99 100 ) 1 (    Nilai yang ke i n i Pi

(12)

 Data bergolong 99 ,..., 3 , 2 , 1 , 100 0            _   i f F in c L P_i i i P f P F c L persentil kelas frekuensi persentil kelas sebelum kelas semua frekuensi jumlah kelas lebar persentil kelas bawah batas : mana di 0     Contoh 16

Terdapat sebanyak 253 data yang sudah tersortir ascending Data ke-190 bernilai 175 dan Data ke-191 bernilai 180 Data ke-50 bernilai 45 dan Data ke-51 bernilai 48 Data ke-165 bernilai 100 dan Data ke-166 bernilai 102 Tentukan nilai Persentil ke-65 (p-65).

Letak persentil ke-p = 𝑝(𝑛+1) 100 = 65(253+1)

100 = 16510)

100 = 165.1

Nilai Persentil ke-65 = Data ke 165 + 0.1 (Data ke-166 – data ke-165) = 100 + (0.1x2) = 100 + 0.2 = 100.2

LATIHAN

1. Diketahui data sampel sebagai berikut. 2 4 4 8 2 2 2 2

Carilah:

a. Rerata hitung, rerata geometrik, dan rerata harmoniknya. b. Median, modus, dan kuartil-kuartilnya.

2. Diketahui data sampel nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut.

Nilai 50 60 70 80 90 100

(13)

Carilah rerata hitung, median, modus, kuartil ketiga, dan desil ketujuh dari data tersebut.

3. Diberikan tabel frekuensi dari tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai berikut.

Tinggi badan Banyaknya

mahasiswa 140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 164-169 4 7 10 12 6 3 a. Tentukan mean, median, dan modus.

b. Tentukan Q1 dan D7

4. Diberikan tabel frekuensi dari rata-rata gaji harian dari 171 karyawan sebagai berikut. Interval Kelas Gaji

(dalam ribuan) frekuensi 101-110 111-120 121-130 131-140 141-150 151-160 161-170 171-180 181-190 191-200 201-210 211-220 221-230 231-240 9 18 23 23 26 22 18 15 5 8 2 0 0 2 c. Tentukan mean, median, dan modus.

d. Tentukan Q3, D8, dan P85

5. Hasil nilai ujian Statistik dan Probabilitas pada tahun 2015 adalah sebagai berikut. Nilai ujian paling rendah 40

Nilai nyata atas yang pertama 49,5

Nilai ujian kurang dari 50 sebanyak 10 mahasiswa Nilai ujian kurang dari 60 sebanyak 22 mahasiswa

(14)

Nilai ujian kurang dari 70 sebanyak 40 mahasiswa Nilai ujian kurang dari 80 sebanyak 50 mahasiswa Nilai ujian lebih dari 80 sebanyak 10 mahasiswa Nilai ujian lebih dari 90 sebanyak 3 mahasiswa

a. Susunlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut. b. Hitung mean, median, dan modus.

c. Hitung kuartil pertama, kedua, dan ketiga. d. Hitung desil pertama, kedua, dan kesembilan. e. Hitung persentil pertama, kedua, dan kelima puluh.

Tim Penyusun: • Sukirman • Sri Rejeki

Sumber:

• Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta

• N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS • Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS