BAB 3 PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI

(1)

BAB 3

PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI

1. Tentukan banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 10.000 yang tidak habis dibagi 4, 6, 7 atau 10.

Jawab:

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 10.000} a1 = {sifat habis dibagi 4}

a2 = {sifat habis dibagi 6}

N(a1) = banyak anggota S yang habis dibagi 4

( ) =10.000

4 = 2.500

( ) =10.000

6 = 1.666

( ) =10.000

7 = 1.428

( ) =10.000

10 = 1.000

N(a1a2) = banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 6

( ) =10.000

24 = 416

( ) =10.000

28 = 357

( ) =10.000

(2)

( ) =10.000

42 = 238

( ) =10.000

60 = 166

( ) =10.000

70 = 142

N(a1a2a3) = banyak anggota S yang habis dibagi 4, 6 dan 7

( ) =10.000

168 = 54

( ) =10.000

240 = 41

( ) =10.000

420 = 23

N(a1a2a3a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 4, 6, 7 dan 10

( ) =10.000 1680 = 5

(

)

= − ( ) + , + , , , , , = N – N (a1) – N (a2) – N (a3) – N (a4) + N (a1a2) + N (a1a3) + N (a1a4) + N (a2a3) + N (a2a4) + N (a3a4) – N (a1a2a3) – N (a1a2a4) – N (a2a3a4) + N (a1a2a3a4) = 10000 – 2500 – 1666 – 1428 – 1000 + 416 + 357 + 250 + 238 + 166 + 142 – 54 – 41 – 23 + 5 = 4857.

Jadi, banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 10.000 yang tidak habis dibagi 4, 6, 7, dan 10 adalah 4857.

(3)

2. Tentukan banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1.000.000 yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat sempurna kurang dari 20 (<20) atau bilangan cacah pangkat 3 kurang dari 30 (<30).

Jawab

Missal: S = {1,2,3, … 1000.000} = sifat habis dibagi 4 = sifat habis dibagi 9 = sifat habis dibagi 16 = sifat habis dibagi 8 = sifat habis dibagi 27 = ISI =1000000

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 = (1000000/4) =250000 ( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9 = (1000000/9) =111111 ( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 16 = (1000000/16) = 62500 ( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 8 = (1000000/8) =125000 ( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 27 = (1000000/27) =37037 ( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 9 = (1000000/36) = 27777

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 16 = (1000000/64) = 15625

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 8

= (1000000/32) = 31250

(4)

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9 dan 16 = (1000000/576) = 1736

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9 dan 8

= (1000000/288) = 3472

( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9, 16 dan 8 = (1000000/4608) = 217

( _, ) = (1000000/124416) = 8

3. Tentukan banyaknya permutasi dari {1, 2, 3, 4, 5, 6} hingga pola-pola “124” dan “35” tidak muncul

Jawab

S = himpunan p. Semua permutasi dari {1,2,3,4,5,6} = pola “124”muncul

= pola “35”muncul = ISI = 6!

(5)

( ) = banyak permutasi di S ⇒ pola 124 muncul = banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6} = 4! (atau: ((6-3+1)!=4!)

( ) = banyak permutasi di S ⇒ pola 35 muncul = banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6} = 5! (atau: ((6-2+1)!=5!)

( ) = banyak permutasi di S ⇒ pola 124 dan 35 muncul = banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6} = 3!

( ′ ′) = banyak permutasi di S ⇒ pola 124 dan 35 tidak muncul = − ( ) − ( ) + ( )

= 6! - 4! - 5! + 3! = 720 – 24 – 120 + 6 =582

4 Sebuah kata sandi dengan panjang 9 dibentuk dari angka-angka 0,1 dan 2 sedemikian hingga tiap angka muncul tiga kali dan tiga angka berurutan dalam kata sandi tersebut tidak boleh sama.Ada berapa kata sandi yang dapat dibentuk?

Jawab:

Misal: S :{permutasi sebuah kata sandi dengan panjang 9 dari angka-angka 0,1 dan 2 tiap angka muncul 3x dan tiga angka muncul tidak boleh sama}

:{“0”,”0”,”0”,”1”,”1’,”1’,”2,”,”2”,”2”}

a1 : sifat”kode” “0” muncul 3x = muncul pola “000”

a2 : sifat kode”1” muncul 3x = muncul pola “111”

a3 : sifat kode”2” muncul 3x = muncul pola “222”

Ditanya :

N( )=banyaknya kata sandi yang dapat dibentuk dengan panjang 9, dimana tiga angka berurutan tidak boleh sama.

N =│S│= !

! ! != 1680

N = (a1) = Banyaknya anggota S yang punya sifat muncul kode “000” dari

{0,0,0,1,1,1,2,2,2} atau = {“000”1,1,1,2,2,2} = !

(6)

N =(a2) =Banyaknya anggota S yang punya sejenis muncul kode “111” dari

{0,0,0,1,1,1,2,2,2} = _{! !}! = 140 N = (a3) =140

N = (a1a2) =Banyaknya anggota yang punya sifat muncul kode

“000”dan”111”dari {0,0,0,1,1,1,2,2,2} = !_!= 20 N =(a1a3) = N(a2a3)=20

N = (a1a2a3) = Banyaknya anggota S yang punya sifat muncul kode

“000”,”111”,”222”, dari {0,0,0,1,1,1,2,2,2} = 3! =6 N ( ) = 

_

 



_







_





kberbeda j i k j i i i jberbeda j i i aa a a a a N N , , , = 1680 – 3(140) + 3(20) – 6 = 1314 cara

5. Delapan kecelakaan terjadi dalam satu minggu dengan prinsip inklusi dan eksklusi, hitung probabilitas bahwa terdapat paling sedikit satu kecelakaan tiap hari.

Jawab :

7 7 7 7 7 7 7

Banyak kecelakaan 1 2 3 4 5 6 7

Hari sen sel rab kam jum sab ming

Mis : S : {semua kejadian kecelakaan yang mungkin terjadi }

a1 : sifat bahwa hari kNe-i tidak terjadi kecelakaan dengan i = { sen sel rab

kam jum sab ming} N =

 

5 78 N =

 





8 : 1 7   i a ,I E {1,2,...7} N =



aiaj

 

 7 2



8 i j

N =



aiajak

 

 7 3



8 , i,j,k berbeda N =



aia2...a7

 

 77



8 0 N =





 

_

 



_





 

 







jberbeda i i j i i i N a a N aa a a N N a aia , 2 1 7 1 2... ... 17 ... 7

(7)

= 78

 

17



71



8

 

27



72



8

 

37



73



8



















7 8 7 8 8 7 8



7 7 7 6 7 5 7 5 4 7 4         = 5764801-7.68 21.58 35.48 35.38 21.28 7.18 0 = 5764801 - 11.757.312 + 8203125 - 229376 + 7-0 = 141120

Jadi banyaknya semua peristiwa yang mungkin di mana ada 7 hari terjadi kecelakaan yaitu 141120

Dengan demikian, peluang peristiwa dimana tiap hari terjadi kecelakaan :





N a a a N P 1 7 1 2 1 1 ...  = ₈ 7 141120 = 0,024479596 = 0,02

6. Untuk suatu bilangan cacah n, banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 + X2

+X3+…+ Xk= n, X ≥ 0 i



1,2,3,...k



adalah _        n k n 1

gunakan PIE untuk

menentukan banyaknya solusi bulat dari banyaknya solusi bulat dari setiap persamaan berikut. a) x1 + x2 + x3 = 16, 0 Xi 7,i



1,2,3



b) x1 + x2 + x3 = 14, 1 Xi 7,i



1,2,3



c) x1 + x2 + x3 = 20, 1 X1 6, 0 X2 7 8 4 X₃  ,2 X₄ 6 d) x1 + x2 + x3 + x4 = 28, i Xi 5i,i 



1,2,3,4



Jawab

a) x1 + x2 + x3 = 16, 0 Xi 7, i



1,2,3



. Misalkan S himpunan semua solusi bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 = 16, 0 Xi 7, i



1,2,3



untuk setiap



1,2,3





i missal a_i menyatakan sifat X_i 6.

N= _                16 18 1 3 16 S

 

a1

N = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a_i 16

(8)

= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, x18,x2 0, x3 0.

= banyaknya solusi bulat x1 – 8 + x2 + x3 = 8, x1 80,x2 0,x3 0

= banyaknya solusi bulat x₁1 + x2 + x3 = 8, x1 80,x2 0,x3 0

=         8 1 3 8 =       8 10

 

a2

N = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a_i

= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, x1 0,x2 8., x3 0.

= banyaknya solusi bulat x1 + x2 - 8 + x3 = 8, x10,x2 80,x3 0

= banyaknya solusi bulat x1 + x12 - 8 + x3 = 8, x10,x2 0,x3 0

= _     831 = _      8 10

Dengan cara yang sama diperoleh N

 

a₃ = _      8 10



a1a2



N = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a₁ dan a₂

= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, X11 8,X2 8., X3 0.

= banyaknya solusi bulat x11– 8 + x2 – 8 + x3 = 0, x180,x280,

x₃ 8

= banyaknya solusi bulat 1 1 x + 1 2 x + x3 = 0, x1180,x 8 0 1 2  , x₃ 0 = _        0 1 3 0 = _      1 2 = 1

Dengan cara yang sama diperoleh N



a₁a₃



=N



a₁a₂



=       1 2 = 1



a1a2q3



N = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a₁, a₂dan a₃

= tak mungkin = 0

(9)



1



3 1 2 1 1a a a N = N -



 

i i a +

_





ij j ia a +

_





ijk k j ia a a = _      16 18 - 3 _      8 10 + 3 b) X1 + X2 + X3 = 14, 1Xi 7, i 



1,2,3



Missal : X1 + X2 + X3 = 14 - 1, 0 Xi 6, i 



1,2,3



X1 + X2 + X3 = 13 , 0Xi 6, i



1,2,3



S =



semua solusi bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 =13, X1 0,X2 0., 0 3  X



1 a = sifat X1 ≥ 7 2 a = sifat X2 ≥ 7 3 a = sifat X2 ≥ 7 Maka didapat N = _                13 15 1 3 13 S

 

a1

N = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a₁

= banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 =13, dengan 7

1 

X ,X₂ 0., X₃ 0.

= banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 - 7 + X2 + X3 = 6, 0

7

1 

X ,X₂ 0,X₃0

= banyaknya solusi bulat dari persamaan X₁1 + X2 + X3 = 6, X11 0, 0 2  X ,X₃ 0 = _        6 1 3 6 = _      6 8 = 28 13

(10)

N(a1a2) = banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=13, x1≥7, x2≥7, x3≥0

= banyaknya solusi bulat dari -7+x2-7+x3=-1, x1-7≥0, x2-7≥0, x3≥0

= banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=-1, x1≥0, x2≥0, x3≥0

= 0

Dengan cara yang sama diperoleh N(a1a3)= N(a2a3) = 0

N(a1a2a3) = banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=13, x1≥7, x2≥7, x3≥7

= 0

N( ′ ′ ′) = N-∑ ( ) +∑, −∑, , ( )

= 105-84 = 21

Jadi banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=14, 1≤ x2 ≤ 7, i {1,2,3}

adalah 21.

c) x1 + x2 + x3 + x4 = 20, 1 ≤ x1 ≤ 6, 0 ≤ x2 ≤ 7, 4 ≤ x3 ≤ 8, 2 ≤ x4 ≤ 6

Maka,

x 1 + x2 + x3 + x4 = 20 – 1 – 4 – 2; 0 ≤ x1 ≤ 5, 0 ≤ x2 ≤ 7, 0 ≤ x3 ≤ 4, 0 ≤ x4 ≤ 4

Misal S{semua solusi bulat dari x1 + x2 + x3 + x4 = 13 dengan 0 ≤ x1 ≤ 5,

0 ≤ x2 ≤ 7, 0 ≤ x3 ≤ 4, 0 ≤ x4 ≤ 4} a1 = sifat x1 ≥ 6 , a3 = sifat x3 ≥ 5 a2 = sifat x2 ≥ 8 , a4 = sifat x4 ≥ 5 N = | | = 13 + 4 − 1 13 = 16 13 = 560

N(a1) = banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 = x4 = 13 dengan x1 ≥ 6, x2 ≥ 0,

x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

= banyak solusi bulat x1 – 6 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

= 7 + 4 − 1

7 =

10

7 = 120

N(a2) = banyaknya solusi bulat + + + = 13;

≥ 0, ≥ 8, ≥ 0, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat + − 8 + + = 5; ≥ 0, − 8 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

(11)

= banyaknya solusi bulat + + + = 5; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 = 5 + 4 − 1 5 = 8 5 ≤ 56

N( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 5, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat + − 8 + −5 + = 8; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat + + + = 5; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

= 8 + 4 − 1

8 =

11

8 = 165

N( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 5

= 8 + 4 − 1

8 =

11

8 = 165

N( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13

≥ 6, ≥ 8, ≥ 0, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat − 6 + − 8 + + = −1, − 6 ≥ 0, − 8 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

= 0 (tidak mungkin)

≥ 6, ≥ 0, ≥ 5, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat − 6 + + −5 + = 2 ;

− 6 ≥ 0, ≥ 0, − 5 ≥ 0, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat + + + = 2 ; ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 = 2 + 4 − 1 2 = 5 2 = 10

(12)

N( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13 ≥ 6, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 5 = 2 + 4 − 1 2 = 5 2 = 10

N( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13 ≥ 0, ≥ 8, ≥ 5, ≥ 0

= banyaknya solusi bulat + − 8 + −5 + = 0

≥ 0, − 8 ≥ 0, − 5 ≥ 0, ≥ 0

= 0 + 4 − 1

0 = 1

N( ) = N( ) = 1

≥ 0, ≥ 0, ≥ 5, ≥ 5

= banyaknya solusi bulat + + −5 + − 5 = 3 ≥ 0, ≥ 0, − 5 ≥ 0, − 5 ≥ 0

= 3 + 4 − 1

3 =

6

3 = 20

( ) = banyaknya solusi bulat + + + = 13

≥ 6, ≥ 8, ≥ 5, ≥ 0 = 0

≥ 6, ≥ 8, ≥ 0, ≥ 5 = 0

≥ 6, ≥ 0, ≥ 5, ≥ 5 = 0

≥ 0, ≥ 8, ≥ 5, ≥ 5 = 0

≥ 6, ≥ 8, ≥ 5, ≥ 5 = 0

(13)

Jadi, N( ) = − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) + 1 + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) = 560 – 120 – 56 – 165 – 165 + 0 + 10 + 10 + 1 + 1 + 20 – 0 – 0 – 0 – 0 = 96 d) + + + = 28, ≤ ≤ 5 , ∀ {1,2,3,4} Misal + + + = 28 − 1 − 2 − 3 − 4, 0 ≤ ≤ 4 + + + = 18, 0 ≤ ≤ 4, 0 ≤ ≤ 8, 0 ≤ ≤ 12, 0 ≤ ≤ 16 Misalkan

S = {semua solusi bulat dari X + X + X + X = 18 } a = Sifat X ≥ 5

a = Sifat X ≥ 4 a = Sifat X ≥ 13 a = Sifat X ≥ 17

N = |s| = = = 1330

N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18 dengan x ≥ 5, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0

= banyak nya solusi bulat dari x − 5 + x + x + x = 13 dengan x − 5, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0

= = = 560

N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18 dengan X ≥ 0, X ≥ 9, X ≥ 0, X ≥ 0

(14)

= = = 56

= – = = 4

N(a a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18 dengan X ≥ 5, X ≥ 4, X ≥ 0, X ≥ 0

= – = = 35

N(a a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18 dengan X ≥ 5, X ≥ 0, X ≥ 13, X ≥ 0

= – = = 1

N(a a ) = N(a a ) = N(a a ) = (a a ) = 0

N(a a a ) = N(a a a ) = N(a a a ) = (a a a ) = 0 N(a a a a ) = 0

N(a a a a ) = N − N(a ) − N(a ) − N(a ) − N(a ) +

N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) − 0 = 1330 − 560 − 220 − 56 − 4 + 35 + 1 + 0

= 526

8. Terdapat 10 orang pilot dan 5 pesawat terbang di bandara A. Kesepuluh pilot tersebut di tugasi oleh atasannya untuk menerbangkan ke-5 pesawat tersebut bersama-sama ke bandara udara B. Ada berapa cara yang mungkin untuk mengelompokkan pilot-pilot tersebut ke dalam pesawat.

Jawab : Misalkan :

= {semua kejadian yang mungkin} = kejadian bahwa pesawat ke- kosong

(15)

= sifat pesawat ke- tidak mempunyai pilot, ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

( ) = banyaknya cara mengelompokkan 10 pilot ke dalam pesawat 7 pesawat ke- kosong = (5 − 1) = 4 Kita peroleh : = | | = 5 ( ) = ( − 1) = 4 = ( − 2) = 3 = ( − 3) = 2 ⋮ ( ⋯ ) = ( − 5) = 0 ′ ′ _⋯ ′ ₌ _{− ∑} _{( ) + ∑} _{− ∑} ₊ ⋯ + ( ⋯ ) = 5 − 5 1 (5 − 1) + 52 (5 − 2) − 53 (5 − 3) + 5 4 (5 − 4) − 5 5 (5 − 5) + 0 Banyak cara yang dimaksud adalah :

5 − 5 ∙ 4 + 10 ∙ 3 − 10 ∙ 2 + 5 − 1 = 5103000

9. Tentukan banyaknya permutasi dari {1, 2, ⋯ , 10} sehingga : a. tidak ada bilangan ganjil menempati tempatnya semula b. terdapat tepat 3 bilangan menempati tempatnya semula c. terdapat tepat 6 bilangan menempati tempatnya semula Jawab :

a. = {semua permutasi dari {1, 2, ⋯ , 10}}

= sifat bahwa unsur “1” menempati tempatnya semula = sifat bahwa unsur “3” menempati tempatnya semula = sifat bahwa unsur “5” menempati tempatnya semula = sifat bahwa unsur “7” menempati tempatnya semula = sifat bahwa unsur “9” menempati tempatnya semula Karena terdapat 10 bilangan maka = | | = 10!

(16)

( ) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat = (10 − 1)! = 9! ( ) = 9! ( ) = 9! ( ) = 9! ( ) = 9!

( ) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat dan = (10 − 2)!

= 8!

( ) = 8! ( ) = 8! ( ) = 8!

( ) = 8! ( ) = 8! ( ) = 8! ( ) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat , dan = (10 − 3)! = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = 7! ( ) = (10 − 4) = 6! ( ) = 6! ( ) = 6! ( ) = 6! ( ) = 6! ( ) = 5! P = N ( ′ ′ ′ ′ ) = N - ∑ ( i)+ ∑ ( ) – ∑, , ( ) + ∑_{, , ,} ( ) - N( ) P = 10! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5!

Banyaknya permutasi dari {1,2, … ,10} Ǝ tidak ada bilangan ganjil menempati tempatnya semula adalah P

(17)

b. Misalkan S ={semua permutasi {1,2, … ,10} } = menyatakan sifat dimana bilangan ke-i muncul, 1 ≤ i ≤ 10

N = | S | = 10!

N( ) = banyaknya permutasi yang mungkin dimana bilangan ke-i muncul. = banyaknya permutasi (n-1) elemen

= (n-1)!

N( ) = banyaknya permutasi yang mungkin dimana bilangan ke-i dan ke-j muncul

= (n-2)!

Secara umum diperoleh : N( , , … , ) = (n-1)!

Karena ada cara memilih k sifat dari ketiga n sifat yang ada, maka : = ∑N( , , … , ) = (n-k)!

Dari T.3.1 (r = 10, m = 3),maka diperoleh :

= - + - + - + -

= (10 − 3)! - (10 − 4)! + (10 − 5)! - (10 −

6)! + (10 − 7)! - (10 − 8)! + (10 − 9)! -

(10 − 10)! = 222480

... banyaknya permutasi dari {1,2,...,10} Ǝ tepat 3 bilangan menempati tempatnya semula = 222480 cara

c. seperti jawaban b, akan tetapi untuk tepat 6 bilangan menempati tempat semula. Berarti r = 10, m = 6 = - + - + = (10 − 6)! - (10 − 7)! + (10 − 8)! - (10 − 9)! + (10 − 10)! = ! ! !4! - ! ! ! ! ! !3! + ! ! ! ! ! !2! - ! ! ! ! ! !1! + ! ! !1! = ! ! - ! ! ! + ! ! ! - ! ! ! + ! ! !

(18)

= !

! [ 1 − !+ !− !+ ! ]

10. Hitunglah banyaknya permutasi dari { 1, 2, 3, ..., n } sedemikian hingga terdapat tepat k bilangan menempati tempatnya semula.

Jawab :

Dari teorema 33A

Ek = (−1) SK+P , dengan SK+P ∑ ( ... )

Mij = S = { Semua permutasi dari {1,2,3,..., n}}

Ai = sifat dimana bilangan ke-1 menempati tempatnya semula.

i  {1,2,3,..., n}

Karena terdapat n bilangan maka N = |S| = n! Selanjutnya diperoleh.

N(ai) = banyak bilangan mungkin dimana bilangan ke-1 menempati

tempatnya semula i  {1,2,3,..., n} = banyaknya permutasi (n-1) elemen = (n-1)!

∑ ( ) = (n-1)!

N(ai aj) = banyaknya bilangan yang mungkin dimana bilangan ke-i dan

ke-j menempatkan tempatnya semula = banyaknya permutasi (n-2) elemen = (n-2)!

Secara umum diperoleh : N(ai1, ai2..., aik) = (n - k)!

Karena ada cara memilih k sifat dan n sifat yang ada, maka : Sk = ∑N(a , a . . . , a )

= (n - k)!

N (ai aj) = banyaknya permutasi di S7 bilangan i dan j menempati tempat

semula i{1,2,3,..., n} = (n - 2)! ∑ ( 2) = (n - 2)!

N(ai1, ai2..., aik) = banyaknya permutasi di S7 bilangan i1 , i2...ik

menempati tempat semula = (n - k)! ∑N(a , a . . . , a ) = (n - k)!

(19)

Secara analogi diperoleh ∑N(a , a . . . , a ) = n – (k + p)! = (n- k – p)! ∑N(a , a . . . . … , a ) = n (n - k - p)! Sk+p = (n - k - p)! Jadi : Ek = (−1) (n - k - p)! = (−1) ( )! ! ! ( )! ( )! (n - k - p)! Ek = ∑ ( ) ! ! ! = ! ! ∑ ( ) !