PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP  INKLUSI-­‐EKSKLUSI  

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Ada berapa anggota dalam gabungan dua

himpunan hingga?

Contoh 1

Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?

Solusi.

Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6

B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9.

Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 22 5 11 16 18 / 100 9 / 100 6 / 100 | | | | | | | | = + + = − + = ∩ − + = ∪ B A B A B A

Contoh 2

Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?

Solusi.

Misalkan A: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika

B: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika

Maka |A|=97, |B|=68, dan |A∩B|=12.

Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 97 + 68 – 12 = 153

Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.

Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi

untuk tiga himpunan

Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat ketika |A| dihitung,

angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat ketika |B| dihitung,dan

angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat ketika |C| dihitung. 

Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung berulang-ulang.

|A ∩ B| dikurangkan (dua 1 merah diambil), |A ∩ C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan |B ∩ C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil) Terlihat bahwa penghitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga

himpunan sama-sama beririsan.

Maka perlu ditambahkan kembali |A ∩ B ∩ C|.

Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk

tiga himpunan (2)

Jadi,

|A

∪

B

∪

C| = |A| + |B| + |C|

- |A

∩

B| - |A

∩

C| - |B

∩

C|

+ |A

∩

B

∩

C|

Contoh 3

Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah

Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak,

dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa

mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus

Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan

Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus

Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196

mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari

ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang

Contoh 3 (2)

Solusi.

Misalkan MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit,

KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, dan

G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri.

Maka |MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56,

|MD ∩ KPB| = 25, |MD ∩ G| = 14, |KPB ∩ G| = 9, dan |MD ∪ KPB ∪ G| = 196

Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:

|MD∪KPB∪G| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD∩KPB| - |MD∩G| - |KPB∩G| + |MD∩KPB∩G|

196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD ∩ KPB ∩ G| Jadi, |MD ∩ KPB ∩ G| = 2

Soal 1

Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C| jika

terdapat 100 anggota dalam setiap himpunan dan jika a.  ketiga himpunan tersebut tidak ada yang saling

beririsan

b.  terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan tidak ada anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus

c.  terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan 25 anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus

d.  irisan setiap pasang himpunan dan irisan ketiga himpunan berukuran sama

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Teorema 1.

Misalkan A

₁

, A

₂

, …, A

_n

himpunan hingga.

Maka

| | ) 1 ( | | | | | | | | 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n k j n k j i i j n j i i n i i A A A A A A A A A A A A ∩ ∩ ∩ − + − ∩ ∩ + ∩ − = ∪ ∪ ∪ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

∑

∑

∑

  

Contoh 4

Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C ∪ D| jika setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua

himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2.

Solusi.

|A∪B∪C∪D|=|A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C| - |B∩D|- |C∩D| + |A∩B∩C|+ |A∩B∩D|+|A∩C∩D| + |B∩C∩D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D| = 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58

Soal

Soal 2.

Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf

dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari

kata FIGHT, BALKS, MOWER.

Soal 3.

Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf

dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari

kata CAR, CARE, SCARE, SCARED.

APLIKASI  DARI  PRINSIP  INKLUSI-­‐

EKSKLUSI  

Beberapa Aplikasi

Inklusi-Eksklusi

•  Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil

dari suatu bilangan bulat positif

•  Banyaknya fungsi pada dari suatu

himpunan hingga ke himpunan hingga

lainnya.

•  Masalah derangement: penitipan topi ( the

Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi

Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N.

A_i: subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat P_i. banyaknya anggota dengan semua sifat dan banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat

maka

Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

N P

₍

₁P₂!P_n

₎

: _{P1, P2,}!, P_n N P

₍

₁P₂!P_n

₎

= | A₁ ! A₂ !!! A_n |

(

P₁'P₂' P_n'

)

: N _ P₁,P₂,_, P_n

(

P₁'P₂' P_n'

)

N | A₁ A₂ A_n | N _{ = − ∪ ∪∪}

(

)

) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' 2 1 1 1 1 2 1 n n k j i n k j i n j i j i n i i n P P P N P P P N P P N P N N P P P N   

∑

∑

∑

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − + + − + − =

Contoh 1

Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x₁ + x₂ + x₃ = 11

dengan x₁, x₂, x₃ bilangan bulat tak negatif dan x₁ ≤ 3, x₂ ≤ 4, dan x₃ ≤ 6.

Solusi.

Misalkan P₁: sifat x₁ > 3, P₂: sifat x₂ > 4, dan P₃: sifat x₃ > 6. Maka banyaknya solusi adalah:

(

)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 P P P N P P N P P N P P N P N P N P N N P P P N − + + + − − − =

Contoh 1 (2)

•  N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78

•  N(P₁): jumlah solusi dengan x₁ ≥ 4 = C(3+7-1,7) = 36 •  N(P₂): jumlah solusi dengan x₂ ≥ 5 = C(3+6-1,6) = 28 •  N(P₃): jumlah solusi dengan x₃ ≥ 6 = C(3+5-1,5) = 15

•  N(P₁ P₂): jumlah solusi dengan x₁ ≥ 4 dan x₂ ≥ 5 = C(3+2-1,2) = 6

•  N(P₁ P₃): jumlah solusi dengan x₁ ≥ 4 dan x₃ ≥ 7 = C(3+0-1,0) = 1

•  N(P₂ P₃): jumlah solusi dengan x₂ ≥ 5 dan x₃ ≥ 7 = 0

•  N(P₁P₂P₃): jumlah solusi dengan x₁ ≥ 4, x₂ ≥ 5 dan x₃ ≥ 7 = 0 Jadi, N(P₁ P₂ P₃ ) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6

The Sieve of Erotosthenes

•  Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu.

•  Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut.

Contoh 2.

Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100.

Solusi.

Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10.

The Sieve of Erotosthenes (2)

Misalkan P₁: sifat bilangan habis dibagi 2, P₂: sifat bilangan habis dibagi 3, P₃: sifat bilangan habis dibagi 5, dan P₄: sifat bilangan habis dibagi 7.

Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P₁ P₂ P₃ P₄ )

Jadi, menurut inklusi-eksklusi:

( ) 21 7 5 3 2 100 7 5 3 100 7 5 2 100 7 3 2 100 5 3 2 100 7 5 100 7 3 100 5 3 100 7 2 100 5 2 100 3 2 100 7 100 5 100 3 100 2 100 99 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 99 ' ' ' ' 4 3 2 1 4 3 2 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 3 2 4 1 3 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 = ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ ⋅ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ ⋅ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ ⋅ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ ⋅ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ⋅ + ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ − ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ − = − − − − − + + + + + + − − − − = P P P P N P P P N P P P N P P P N P P P N P P N P P N P P N P P N P P N P P N P N P N P N P N P P P P N

The Sieve of Erotosthenes (3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Banyaknya fungsi pada

Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota?

Solusi.

Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b₁, b₂, dan b₃. Misalkan P₁, P₂, dan P₃ adalah sifat bahwa b₁, b₂, dan b₃ tidak berada dalam range fungsi.

Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P₁, P₂, atau P₃, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

(

)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 P P P N P P N P P N P P N P N P N P N N P P P N − + + + − − − =

Banyaknya fungsi pada (2)

•  N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 36_.

•  N(P_i): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b_i dalam range = 26_.

•  N(P_i P_j): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b_i dan b_j dalam range = 16 _{= 1.}

•  N(P₁ P₂ P₃): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b₁, b₂, dan b₃ dalam range = 0.

Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

Banyaknya fungsi pada & aplikasinya

Teorema 1

Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m ≥ n. Maka, terdapat

nm _{- C(n,1) (n-1)}m _{+ C(n,2) (n-2)}m _{– … + (-1)}n-1 _{C(n,2) 1}m

fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota.

Soal 1.

Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan?

Soal 2.

Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?

Derangements

Derangement

adalah permutasi objek sehingga tidak ada

objek yang menempati tempat aslinya.

Contoh 3.

Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456.

Permutasi 653124 bukanlah derangement dari 123456.

D

_n

menyatakan banyaknya derangement dari n obyek.

Banyaknya

derangement

dari

n

objek

Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat P_i jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya.

Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat P_i, i=1,2,…,n. Jadi,

o  N: banyaknya permutasi dengan n anggota = n!

o  N(P_i): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)!

o  N(P_i P_j): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)!

o  N(P_i1 P_j2 …P_jm): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)! ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' 2 1 1 1 1 2 1 n n k j i n k j i n j i j i n i i n n P P P N P P P N P P N P N N P P P N D   

∑

∑

∑

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − + + − + − = =

Banyaknya derangement dari n objek (2)

Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n

anggota, maka

o Σ N(P

_i

) = C(n,1) (n-1)!

o Σ N(P

_i

P

_j

) = C(n,2) (n-2)!

o Dan secara umum, Σ N(P

_i1

P

_j2

…P

_jm

) = C(n,m) (n-m)!

Sehingga,

Teorema 2.

Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n

anggota adalah

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − + − = ! 1 ) 1 ( ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! n n D_{n } n

The Hatcheck Problem

Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi

suatu rumah makan menerima titipan topi dari n

pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori

topi-topi tersebut.

Ketika para pengunjung hendak mengambil

kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara

acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya

bahwa tidak ada seorang pun yang menerima

The Hatcheck Problem (2)

Solusi.

Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang

menerima topinya kembali adalah

Jika n membesar tanpa batas.

n! ! ! n! D_{n n} 1 ) 1 ( 2 1 1 1 1_{− + − + −} =  368 , 0 1 1 ) 1 ( lim 1 ≈ = − =

∑

∞ = ∞ → n! n! e D n n n n