MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT I MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT I
PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI
OLEH : OLEH :
KELOMPOK 9 KELOMPOK 9
1.
1. Robinhot Robinhot Pasaribu Pasaribu 41432300234143230023 2.
2. Rahmani Rahmani 41512300184151230018 3.
3. Muhammad Muhammad Suhadi Suhadi 41522300104152230010 4.
4. Nur Asyiah Panggabean Nur Asyiah Panggabean 41522300124152230012 5.
5. Tri Tri Fransiskawati Fransiskawati Br. Br. Sitompul Sitompul 41522300154152230015
Dosen Pengampu : Faridawaty Marpaung , S.Si.,
Dosen Pengampu : Faridawaty Marpaung , S.Si., M.Si.M.Si.
JURUSAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2017 2017
KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR
Dengan mengucap rasa syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas Dengan mengucap rasa syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat-Nya
berkat-Nya dapat dapat diselesaikannya diselesaikannya tugas tugas mata mata kuliah kuliah Matematika Matematika Diskrit Diskrit I I yaituyaitu sebuah
sebuah makalah makalah yang yang berjudul berjudul Prinsip Prinsip Inklusi-Eksklusi Inklusi-Eksklusi sehingga sehingga makalah makalah iniini dapat menjadi
dapat menjadi suatu bahan suatu bahan untuk untuk menambah wawasan menambah wawasan dalam dalam memahami matamemahami mata kuliah Matematika Diskrit I. Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak kuliah Matematika Diskrit I. Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan, namun disadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini sedikit hambatan, namun disadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan dari Dosen Matematika tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan dari Dosen Matematika Diskrit I. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak Diskrit I. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak terutama kepada Dosen pembimbing, yang telah memberikan tugas, petunjuk, terutama kepada Dosen pembimbing, yang telah memberikan tugas, petunjuk, kepada penulis sehingga penulis termotivasi dalam menyelesaikan tugas ini.
kepada penulis sehingga penulis termotivasi dalam menyelesaikan tugas ini. Penulis mohon
Penulis mohon maaf maaf jika dalam penyajian jika dalam penyajian dan penyampaian dan penyampaian makalah ini,makalah ini, banyak hal-hal
banyak hal-hal yang kurang berkenan yang kurang berkenan atau berkualitatau berkualitas karena as karena keterbatasan keterbatasan saranasarana buku-buku
buku-buku yang yang bisa bisa mendukung mendukung terciptanya terciptanya makalah makalah ini. ini. Mudah-mudahanMudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat dan demi kesempurnaan makalah ini, dengan tangan makalah ini dapat bermanfaat dan demi kesempurnaan makalah ini, dengan tangan terbuka penulis selalu menerima saran-saran yang bersifat membangun dan terbuka penulis selalu menerima saran-saran yang bersifat membangun dan membantu perbaikan-perbaikan dalam makalah ini.
membantu perbaikan-perbaikan dalam makalah ini.
Medan, 8 Maret 2017 Medan, 8 Maret 2017
Penulis Penulis
DAFTAR ISI DAFTAR ISI
KATA
KATA PENGANTAR PENGANTAR ... ii. ii DAFTAR
DAFTAR ISI ...ISI ... iii... iii BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar
1.1.Latar Belakang Belakang ... 1. 1 1.2.Rumusan
1.2.Rumusan Masalah Masalah ... 1... 1 1.3.Tujuan
1.3.Tujuan ... ... 11
BAB II ISI BAB II ISI PRINSIP
PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI ...INKLUSI-EKSKLUSI ... 3... 3 Lemma Lemma 1.1 1.1 ... 3... 3 Teorema Teorema 1.1 1.1 ... 3... 3 Teorema Teorema 1.2 1.2 ... 4... 4 Teorema
Teorema 1.3: 1.3: (Prinsip (Prinsip Inklusi-Eksklusi) ...Inklusi-Eksklusi) ... 4. 4 Contoh
Contoh Soal ...Soal ... ... 55 BAB III PENUTUP
BAB III PENUTUP Kesimpulan
Kesimpulan ... ... 77 DAFTAR
BAB I BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1.4. Latar Belakang 1.4. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membicarakan objek-objek diskrit, Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membicarakan objek-objek diskrit, misalnya buku, komputer, mahasiswa, nilai ujian, dan lain-lain. Dalam misalnya buku, komputer, mahasiswa, nilai ujian, dan lain-lain. Dalam membicarakan objek diskrit, kita sering berhadapan dengan situasi yang membicarakan objek diskrit, kita sering berhadapan dengan situasi yang berhubungan
berhubungan dengan dengan sekumpulan sekumpulan objek objek di di dalam dalam suatu suatu kelompok. kelompok. Misalnya,Misalnya, “semua mahasiswa Matematika UNIMED Angkatan 2015” adalah sebuah “semua mahasiswa Matematika UNIMED Angkatan 2015” adalah sebuah kelompok yang terdiri atas sejumlah mahasiswa UNIMED Angkatan 2015 dari kelompok yang terdiri atas sejumlah mahasiswa UNIMED Angkatan 2015 dari Program Studi Matematika.
Program Studi Matematika.
Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit adalah
Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit adalah himpunanhimpunan.. Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek secara bersama-sama. Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek secara bersama-sama. Himpunan merupakan struktur diskrit fundamental yang mendasari struktur diskrit Himpunan merupakan struktur diskrit fundamental yang mendasari struktur diskrit lainnya seperti relasi, kombinasi, dan graf.
lainnya seperti relasi, kombinasi, dan graf.
Berapa banyak anggota di dalam gabungan dua buah himpunan
Berapa banyak anggota di dalam gabungan dua buah himpunan A A dan dan himpunan
himpunan B B? Penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru? Penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan
yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A A dan himpunan dan himpunan B B. Cara-cara. Cara-cara menentukan banyaknya anggota dalam gabungan antara himpunan terhingga dari menentukan banyaknya anggota dalam gabungan antara himpunan terhingga dari sebuah himpunan dinamakan
sebuah himpunan dinamakan Prinsip Prinsip Inklusi-EksklusiInklusi-Eksklusi. Dengan demikian, penulis. Dengan demikian, penulis dalam makalah ini akan membahas tentang Prinsip Inklusi-Eksklusi.
dalam makalah ini akan membahas tentang Prinsip Inklusi-Eksklusi.
1.5. Rumusan Masalah 1.5. Rumusan Masalah
a.
a. Apakah yang dimaksud dengan Prinsip Inklusi-Eksklusi?Apakah yang dimaksud dengan Prinsip Inklusi-Eksklusi? b.
b. Bagaimana cara mengidentifikasi Prinsip Inklusi-Eksklusi dalam strukturBagaimana cara mengidentifikasi Prinsip Inklusi-Eksklusi dalam struktur objek diskrit himpunan?
objek diskrit himpunan? c.
c. Bagaimana cara menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakanBagaimana cara menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi?
Prinsip Inklusi-Eksklusi?
1.6. Tujuan 1.6. Tujuan
a.
b.
b. Dapat mendeskripsikan Prinsip Inklusi-Eksklusi dalam menghitung padaDapat mendeskripsikan Prinsip Inklusi-Eksklusi dalam menghitung pada struktur objek diskrit himpunan.
struktur objek diskrit himpunan. c.
c. Dapat menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakan PrinsipDapat menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi.
BAB II BAB II
ISI ISI
PRINSIP
PRINSIP INKLUSI-EKSKLINKLUSI-EKSKLUSIUSI
Berapa banyak anggota di dalam gabungan dua buah himpunan
Berapa banyak anggota di dalam gabungan dua buah himpunan A A dan dan himpunan
himpunan B B? Penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru? Penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan
yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A A dan himpunan dan himpunan B B. Himpunan. Himpunan A A dan himpunan
dan himpunan B B mungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknyamungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara
elemen bersama antara A A dan dan B B adalah adalah A A B B . Setiap unsur yang sama itu telah. Setiap unsur yang sama itu telah
dihitung dua kali, sekali pada
dihitung dua kali, sekali pada A A dan sekali pada dan sekali pada B B , meskipun ia seharusnya, meskipun ia seharusnya
dianggap sebagai satu buah elemen di dalam
dianggap sebagai satu buah elemen di dalam A A B B ..11
Lemma 1.1 Lemma 1.1:: Misalkan
Misalkan A A dan dan B B adalah himpunan berhingga yang saling asing. Maka adalah himpunan berhingga yang saling asing. Maka A A B B
berhingga dan berhingga dan
A A B B
nn
A A
nn B B nn ..
Bukti : Bukti :
Dalam menghitung elemen-elemen
Dalam menghitung elemen-elemen A ABB, pertama hitung jumlah elemen pada A, pertama hitung jumlah elemen pada A
yaitu n(A). Elemen lain dari
yaitu n(A). Elemen lain dari A A B B ada pada B tetapi bukan di A. Tetapi, karena ada pada B tetapi bukan di A. Tetapi, karena
A dan B saling asing, tidak ada elemen B di A, sehingga ada n(B) elemen di B A dan B saling asing, tidak ada elemen B di A, sehingga ada n(B) elemen di B yang bukan di A. Dengan demikian,
yang bukan di A. Dengan demikian, nn
A A B B
nn
A A
nn B B ..Teorema 1.1 Teorema 1.1:: Misalkan
Misalkan A A dan dan B B adalah himpunan berhingga. Maka adalah himpunan berhingga. Maka A A B B dan dan A A B B berhingga dan
berhingga dan
A A B B
nn A A
nn
B B
nn
A A B B
n
n
sehingga sehingga
A A B B
nn A A
nn
B B
nn
A A B B
n
n ..
Bukti : Bukti :
1
Dalam menghitung elemen-elemen
Dalam menghitung elemen-elemen A ABB, kita hitung elemen-elemen di A dan B., kita hitung elemen-elemen di A dan B.
Ada n(A) elemen di A dan n(B) elemen di B. Tetapi elemen pada
Ada n(A) elemen di A dan n(B) elemen di B. Tetapi elemen pada A A B B dihitung dihitung
dua kali. Sehingga dua kali. Sehingga
A A B B
nn A A
nn
B B
nn
A A B B
n
n
Kita mempunyai gabungan yang saling asing Kita mempunyai gabungan yang saling asing
B B A A
A A B B AA \\ dan dan B B
A A B B
B B\\ A ASehingga berdasarkan Lemma 1.1 diperoleh, Sehingga berdasarkan Lemma 1.1 diperoleh,
A A B B
nn
A A
nn
B B A A nn \\ dan dan nn
B B
nn
A A B B
nn
B B\\ A AMaka
Maka nn
B B\\ A A
nn
B B
nn
A A B B
, dengan demikian, dengan demikian
A A B B
nn A A
nn
B B
nn
A A B B
n n yang diperlukan. yang diperlukan. Teorema 1.2 Teorema 1.2:: Misalkan
Misalkan A A,, B B dan dan C C adalah adalah himpunan himpunan berhingga. berhingga. MakaMaka A A B BC C berhingga berhingga
dan dan
A A B B C C
nn(( A A)) nn(( B B)) nn((C C )) nn(( A A B B)) nn(( A A C C )) nn(( B B C C )) nn(( A A B B C C ))n n .. Bukti : Bukti : Gunakan
Gunakan
A A B B
C C
A AC C
B BC C dan dan
A AC C
B BC C
A A B BC Cdan gunakan Teorema 1.1 secara berulang, maka kita dapatkan : dan gunakan Teorema 1.1 secara berulang, maka kita dapatkan :
A A B B C C
nn
A A B B
nn
C C
nn
A A C C
B B C C
n n
A A
nn
B B
nn
C C
nn
A A B B
nn
A A C C
nn
B B C C
nn
A A B B C C
n n C C B B A A n n C C B B n n C C A A n n C C n n B B A A n n B B n n A A n n yang diperlukan. yang diperlukan. Teorema 1.3
Teorema 1.3:: (Prinsip Inklusi-Eksklusi)(Prinsip Inklusi-Eksklusi):: Misalkan
Misalkan A A11,, A A22,, ...,, AAnn adalah himpunan berhingga. Maka Aadalah himpunan berhingga. Maka A11 A A22,, ...,, AAnnadalahadalah
berhingga dan berhingga dan
ii j j k k nn k k j j ii n n j j ii j j ii n n ii ii nn nn A A nn A A A A nn A A A A AA
A A A A A A n n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1
nn
n n A A A A A A n n
2 2 1 1 1 1 1 1 22Prinsip Inklusi dan
Prinsip Inklusi dan Eksklusi Eksklusi merupakan perluasan ide merupakan perluasan ide dalam Diagram Venndalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan.
beserta operasi irisan dan gabungan.33
Contoh Soal Contoh Soal Contoh 1 : Contoh 1 :
Dalam kelas matematika diskrit terdiri dari mahasiswa Prodi Pendidikan Dalam kelas matematika diskrit terdiri dari mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika atau Matematika, atau keduanya. Banyak mahasiswa Prodi Matematika atau Matematika, atau keduanya. Banyak mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika (mungkin bersama dengan Prodi Matematika) adalah 25; Pendidikan Matematika (mungkin bersama dengan Prodi Matematika) adalah 25; banyak mahasiswa Prodi Matematika (mungkin bersama dengan Prodi Pendidikan banyak mahasiswa Prodi Matematika (mungkin bersama dengan Prodi Pendidikan Matematika) adalah 13; dan banyak mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika dan Matematika) adalah 13; dan banyak mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika dan Matematika adalah 8. Berapa banyak mahasiswa di kelas ini ?
Matematika adalah 8. Berapa banyak mahasiswa di kelas ini ?
Penyelesaian : Penyelesaian :
Misalkan A himpunan mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika di kelas dan B Misalkan A himpunan mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika di kelas dan B adalah himpunan mahasiswa Prodi Matematika di kelas. Maka
adalah himpunan mahasiswa Prodi Matematika di kelas. Maka A A B B adalah adalah
himpunan mahasiswa Prodi Matematika bersama Prodi Pendidikan Matematika di himpunan mahasiswa Prodi Matematika bersama Prodi Pendidikan Matematika di kelas. Karena setiap mahasiswa di kelas Prodi Pendidikan Matematika atau kelas. Karena setiap mahasiswa di kelas Prodi Pendidikan Matematika atau Matematika (atau keduanya), diperoleh bahwa banyak mahasiswa di kelas adalah Matematika (atau keduanya), diperoleh bahwa banyak mahasiswa di kelas adalah
B B A
A . Oleh karena itu,. Oleh karena itu,
B B A A B B A A B B A A 30 30 8 8 13 13 25 25
Terdapat 30 mahasiswa di dalam kelas tersebut. Terdapat 30 mahasiswa di dalam kelas tersebut.
Contoh 2 : Contoh 2 :
Sebanyak 1.232 mahasiswa Jurusan Matematika mengambil mata kuliah Sebanyak 1.232 mahasiswa Jurusan Matematika mengambil mata kuliah Kalkulus, 879 mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan 114 mengambil Kalkulus, 879 mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan 114 mengambil mata kuliah Bahasa Pemrograman. Terdapat 103 mahasiswa mengambil mata mata kuliah Bahasa Pemrograman. Terdapat 103 mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus dan Matematika Diskrit, 23 mengambil mata kuliah Kalkulus dan kuliah Kalkulus dan Matematika Diskrit, 23 mengambil mata kuliah Kalkulus dan
2
2 Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson,Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Matematika Diskrit Diskrit 11 (Jakarta:Salemba Teknika, (Jakarta:Salemba Teknika,
2001), hh. 30, 31. 2001), hh. 30, 31.
3
3 http://retnomayapada.blogspot.co.id/2016/03/makalah-prinsip-inklusi-eksklusi-dan.htmlhttp://retnomayapada.blogspot.co.id/2016/03/makalah-prinsip-inklusi-eksklusi-dan.html (diakses(diakses
3 Maret 2017). 3 Maret 2017).
Bahasa Pemrograman, dan 14 mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Bahasa Pemrograman, dan 14 mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Bahasa Pemrograman. Jika 2.092 mahasiswa mengambil setidaknya satu dari Bahasa Pemrograman. Jika 2.092 mahasiswa mengambil setidaknya satu dari mata kuliah Kalkulus, Matematika Diskrit, dan Bahasa Pemrograman, berapa mata kuliah Kalkulus, Matematika Diskrit, dan Bahasa Pemrograman, berapa banyak mahasiswa yang mengamb
banyak mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah tersebut ?il ketiga mata kuliah tersebut ?
Penyelesaian : Penyelesaian :
Misalkan S himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus, F Misalkan S himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus, F himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, dan R himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, dan R himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Bahasa Pemrograman. Maka himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Bahasa Pemrograman. Maka
232 232 .. 1 1 S S ,, F F 878799,, R R 114114,, S S F F 103103,, S S R R 2323,, F F R R 1414, dan, dan 09 0922 .. 2 2 R R F F S
S . Ketika banyak tersebut dimasukkan ke dalam persamaan. Ketika banyak tersebut dimasukkan ke dalam persamaan
R R F F S S R R F F R R S S F F S S F F R R S S F F R R S S ,, diperoleh diperoleh R R F F S S = 1232 + 879 + 114= 1232 + 879 + 114 – – 103 103 – – 23 - 14 + 2092 = 7. 23 - 14 + 2092 = 7.
Oleh karena itu, ada 7 mahasiswa yang telah mengambil matakuliah Kalkulus, Oleh karena itu, ada 7 mahasiswa yang telah mengambil matakuliah Kalkulus, Matematika Diskrit, dan Bahasa Pemrograman.
Matematika Diskrit, dan Bahasa Pemrograman.
Contoh 3 : Contoh 3 :
Carilah banyaknya anggota dari
Carilah banyaknya anggota dari A A B BC C D D jika setiap himpunan berukuran jika setiap himpunan berukuran
25, setiap irisan dari dua himpunan berkuran 15, setiap irisan dari tiga himpunan 25, setiap irisan dari dua himpunan berkuran 15, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 5, dan irisan dari keempat himp
berukuran 5, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 1.unan berukuran 1.
C C B B D D A A C C A A B B A A D D C C B B A A D D C C B B A A
B B D D C C D D A A B B C C A A B B DD D D C C B B A A D D C C B B D D C C A A 2525 2525 2525 2525 1515 1515 1515 1515 1515 1515 55 55 55 1 1 5 5
29 29 44BAB III BAB III PENUTUP PENUTUP Kesimpulan Kesimpulan
Prinsip Inklusi dan
Prinsip Inklusi dan Eksklusi Eksklusi merupakan perluasan ide merupakan perluasan ide dalam Diagram Venndalam Diagram Venn beserta
beserta operasi operasi irisan irisan dan dan gabungan. gabungan. Misalkan Misalkan A A dan dan B B sembarang sembarang himpunan.himpunan. Penjumlahan
Penjumlahan A A B B adalah menghitung banyaknya elemen A yang tidak adalah menghitung banyaknya elemen A yang tidak
terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam
kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam A A B B sebanyak dua kali. Oleh sebanyak dua kali. Oleh
karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam
karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam A A B B dari dari
B B A
A membuat banyaknya anggota membuat banyaknya anggota A A B B dihitung tepat satu kali. Dengan dihitung tepat satu kali. Dengan
demikian, demikian, B B A A B B A A B B A A ..
Sehingga, untuk r buah himpunan berlaku teorema berikut: Sehingga, untuk r buah himpunan berlaku teorema berikut:
nn
nn nn k k j j ii k k j j ii nn j j ii j j nn iinn nn A A nn A A A A nn A A A A A A nn A A A A AA
A A A A A A nn
22 11 11 11 11 11 11 11 22 11 11Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan Prinsip Inklusi-Eksklusi.
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
Lipschutz, Seymour dan Lipson, Marc Lars. 2001. Matematika Diskrit 1. Jakarta : Lipschutz, Seymour dan Lipson, Marc Lars. 2001. Matematika Diskrit 1. Jakarta :
Salemba Teknika. Salemba Teknika.
Mayapada, Retno. 2016.
Mayapada, Retno. 2016. Makalah Makalah Prinsip Prinsip Inklusi-EksklusInklusi-Eksklusi i dan dan PermutasiPermutasi.. [Online]. Tersedia: retnomayapada.blogspot.co.id/2016/03/makalah-[Online]. Tersedia: retnomayapada.blogspot.co.id/2016/03/makalah- prinsip-inklusi-eksklusi-dan.html. (3 Maret 2017).
prinsip-inklusi-eksklusi-dan.html. (3 Maret 2017).
Munir, Rinaldi. 2004.
Munir, Rinaldi. 2004. Matematika Disk Matematika Diskrit rit . Bandung : Informatika.. Bandung : Informatika.
Tim Dosen Matematika. 2017.
Tim Dosen Matematika. 2017. Matematika Diskrit Matematika Diskrit I I . Medan : Universitas Negeri. Medan : Universitas Negeri Medan.
